麥克斯韋速率分布函數(shù)

一.分布的概念氣體系統(tǒng)是由大量分子組成，而各分子的速率通過碰撞不斷地改變，不可能逐個加以描述?！栴}的提出·分布的概念例如學(xué)生人數(shù)按年齡的分布15~1617~1819~2021~22人數(shù)按年齡的分布2000300040001000人數(shù)比率按年齡的分布20%30%40%10%§6-5麥克斯韋速率分布律

速率v1

～v2

v2

～v3…vi

～vi+Δv…分子數(shù)按速率的分布ΔN1ΔN2…ΔNi…

分子數(shù)比率按速的分布ΔN1/NΔN2/N…ΔNi/N…例如氣體分子按速率的分布｛ΔNi｝就是分子數(shù)按速率的分布二.氣體速率分布的實驗測定1.實驗裝置2.測量原理(1)能通過細槽到達檢測器D

的分子所滿足的條件通過改變角速度w的大小，選擇速率v

(2)通過細槽的寬度，選擇不同的速率區(qū)間(3)沉積在檢測器上相應(yīng)的金屬層厚度必定正比相應(yīng)速率下的分子數(shù)三.速率分布函數(shù)f(v)

設(shè)某系統(tǒng)處于平衡態(tài)下，

總分子數(shù)為

N

，則在v～v+dv

區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的比率為f(v)

稱為速率分布函數(shù)意義：分布在速率v

附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。四.麥克斯韋速率分布定律理想氣體在平衡態(tài)下分子的速率分布函數(shù)(麥克斯韋速率分布函數(shù))式中μ為分子質(zhì)量，T為氣體熱力學(xué)溫度，

k為玻耳茲曼常量k=1.38×10-23J/K1.麥克斯韋速率分布定律理想氣體在平衡態(tài)下，氣體中分子速率在v～v+dv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為這一規(guī)律稱為麥克斯韋速率分布定律說明(1)從統(tǒng)計的概念來看講速率恰好等于某一值的分子數(shù)多少，是沒有意義的。(2)麥克斯韋速率分布定律對處于平衡態(tài)下的混合氣體的各組分分別適用。(3)在通常情況下實際氣體分子的速率分布和麥克斯韋速率分布能很好的符合。任一速率間隔v1到v2中分子數(shù)與總分子數(shù)的比率可表示為速率分布函數(shù)滿足歸一化條件2.麥克斯韋速率分布曲線f(v)vOv(速率分布曲線)·由圖可見，氣體中速率很小、速率很大的分子數(shù)都很少。

·在dv間隔內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v～v+dv

中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v＋dv···在v1~v2區(qū)間內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v1~v2之間的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v1v2TvOT(速率分布曲線)·曲線下面的總面積，等于分布在整個速率范圍內(nèi)所有各個速率間隔中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率的總和最概然速率vp

f(v)出現(xiàn)極大值時,所對應(yīng)的速率稱為最概然速率

·(歸一化條件)f(v)

不同氣體,不同溫度下的速率分布曲線的關(guān)系·①μ

一定,T越大,這時曲線向右移動②

T一定,

μ

越大,這時曲線向左移動vp越大,

vp越小,T1f(v)vOT2(>T1)μ1f(v)vOμ2(>μ1)由于曲線下的面積不變,由此可見五.分子速率的三種統(tǒng)計平均值

1.平均速率式中M為氣體的摩爾質(zhì)量，R為摩爾氣體常量思考：

是否表示在v1

~v2區(qū)間內(nèi)的平均速率？3.最概然速率

2.方均根速率T(1)一般三種速率用途各不相同

討論分子的碰撞次數(shù)用說明討論分子的平均平動動能用討論速率分布一般用f(v)vO(2)同一種氣體分子的三種速率的大小關(guān)系:···氦氣的速率分布曲線如圖所示.解例求(2)氫氣在該溫度時的最概然速率和方均根速率O(1)試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，(2)有N個粒子，其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子數(shù)解例求(1)由歸一化條件得O(2)因為速率分布曲線下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分與總分子數(shù)的比率，所以因此，v>v0

的分子數(shù)為(2N/3)同理v<v0

的分子數(shù)為(N/3)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值。根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為解例根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度成反比(設(shè)Δv

很小)將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有例證金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運動，與容器中的氣體分子很類似。設(shè)金屬中共有N個電子，其中電子的最大速率為vm，設(shè)電子速率在v~v+dv

之間的幾率為式中A

為常數(shù)解例求該電子氣的平均速率因為僅在（0，vm）區(qū)間分布有電子，所以

氣體分子按平動動能的分布規(guī)律麥克斯韋速率分布定律上式表明理想氣體在平衡態(tài)下，分子動能在

~

+

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。意義：代入上式得思考最概然平動動能是否等于最概然速率所對應(yīng)的平動動能?兩邊微分§6-6

分子的平均自由程和平均碰撞次數(shù)一個分子單位時間內(nèi)和其它分子碰撞的平均次數(shù)，稱為分子的平均碰撞頻率。

一.分子的平均碰撞頻率假設(shè)·每個分子都可以看成直徑為d的彈性小球，分子間的碰撞為完全彈性碰撞。大量分子中，只有被考察的特定分子A以平均速率運動，其它分子都看作靜止不動。單位時間內(nèi)與分子A

發(fā)生碰撞的分子數(shù)為考慮到所有分子實際上都在運動，則有平均碰撞頻率為用宏觀量p、T表示的平均碰撞頻率為···分子在連續(xù)兩次碰撞之間自由運動的平均路程，稱為分子的平均自由程。二.分子的平均自由程用宏觀量p、T表示的分子平均自由程為說明在標準狀態(tài)下，各種氣體分子的平均碰撞頻率的數(shù)量級約為109s-1，平均自由程的數(shù)量級約為10-7~10-8m。估算氫氣分子在標準狀態(tài)下的平均碰撞頻率常溫常壓下，一個分子在一秒內(nèi)平均要碰撞幾十億次，可見氣體分子之間的碰撞是多么的頻繁！解例在標準狀態(tài)下，有對氫氣分子取，則真空管的線度為10-2m

，其中真空度為1.33×