2021-2022學年滬教版必修一數(shù)學暑假提升第5講 等式與不等式的性質(zhì)（教師版）

第5講等式與不等式的性質(zhì)

【基礎知識】

1.等式的性質(zhì)

對于實數(shù)而言,等式明顯具有以下性質(zhì)：

(1)傳遞性設4”、「均為實數(shù)，

如果a=〃，且J那么a=u.

(2)加法性質(zhì)設。、從「均為實數(shù)，

如果a那么a+r=〃+r.

(3)乘法性質(zhì)設a、。、，均為實數(shù)，

如果那么adc.

當一個等式成立時,由上面的性質(zhì).在等式兩邊減去同一個

數(shù)?或除以同一個不等于零的數(shù)，該等式仍然成立.

2.方程的解集

含有未知數(shù)的等式稱為方程.使得方程兩端相等的未知數(shù)的值，稱為方程的解或者方程的根

一般地，把一個方程所有解組成的集合稱為這個方程的解集.

3.一元二次方程的解集

一般地，/=〃-4ac稱為一元二次方程af+6x+c=0(aW0)的判別式.

當△>()時.解集為，口土包三亞二.一f1叫簡

(2a2aJ

記為《二^雪運｝.

當A=0時.解集.一擊｝.

當avo時,解集為空集0.

4.一元二次方程根與系數(shù)的關系

韋達定理若一元二次方程。/+研+r=0(。*0)的

bc

兩個根為工、工，則工】+工，一?

122=a/1/2=a

5、不等式的性質(zhì)：

(1)a>bb<a;

(2)a>b,b>c=a>c;

(3)a>b^>a+c>b+c\

(4)a>b,c>d=a+c>b+d;

(5)a>b,c>D=ac>bc;a>b,c=ac<be;

(6)a>b>0,c>clac>bd\

(7)a、力同號，且abw0,a>b=>工<—;

ah

定理對任意的實數(shù)”和。.總有2ab,且等號

當且僅當&=/，時成立.

注：在高考中，不等式性質(zhì)的判斷題常有出現(xiàn)，一般我們判斷此類問題主要采用兩種方法：

其一：按照性質(zhì)進行判斷，此種方法要求我們對不等式性質(zhì)有一個全面熟練的掌握。

其二：采用賦值法/特殊值法進行判斷，此種方法對于證明假命題非常適用；

二、比較兩式大小的常見方法：作差法、作商法

作差法：作差是兩式比較大小的常用方法，基本步驟如下：

第一步：作差；

第二步：變形，常采用配方，因式分解等恒等變形手段；

第三步：定號，重點是能確定是大于0,還是等于0,還是小于0.最后得結(jié)論.概括為“三步，

一結(jié)論”，這里的“變形”一步最為關鍵.

注1:有的問題直接作差不容易判斷其符號，這時可根據(jù)兩式的特點考慮先變形，到比較易于判斷符號時,

再作差，予以比較；

注2：含參不等式的大小判斷要注意符號問題，具體根據(jù)不等式性質(zhì)判斷.注意分類合理恰當.

作商法：

注：在兩式無法確定正負號或是否可能為0的情況下無法適用.

作商法的基本步驟是：①求商，②變形，③與1比大小從而確定兩個數(shù)的大小.

【考點剖析】

考點一：等式的性質(zhì)

設是實數(shù).判斷下列命題的真假：

(1)如果〃?且那么

(2)如果?且c=4.那么

(3>如果關。，那么：%

(4)如果,那么.其中〃是正整數(shù)；

(5)如果.那么a=〃；

(6)如果(a—+(A—C?=0.那么a=/?=<.

解(1)(2)(3)(4)(6)都正確.

(5)錯誤.因為當(=0時?即使aRb.仍有=儀=0.

考點二：方程的解集

設a、〃6R?求關于x的方程4]=/)的解集.

解當aWO時.解集為《5卜

當a=O,〃=0時,解集為R：

當a=O.時.解集為空集0.

K.的解奧

■Q設&SR?求方程組

解兩式相減?得到(2一4)工=2.

26—A

當4關2時?才=^~-了?代人方程組中的第一式.得到v=5―7-

L-RL-R

此時,原方程組的解集為41T.

當氏=2時.方程(2-KH=2無解,從而原方程組無解.其解

集為空集0.

一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關系

(1)方程根個數(shù)的判斷及應用

[\]例1已知關于x的一元二次方程3f—2x+-0,根據(jù)下列條件，分別求出在的范圍.

(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)方程有實數(shù)根；

(4)方程無實數(shù)根.

【解】4=(-2)2-4X34=4(1-3〃).

(1)因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，

所以4>0,即4(1-3〃)>0,

所以

(2)因為方程有兩個相等的實數(shù)根，

所以4=0,即4(1-3A)=0,

所以

O

(3)因為方程有實根，

所以420,即4(1一3公20,

所以

(4)因為方程無實根,

所以4<0,即4(1一3a<0,所以力『

［、1例2.不解方程，判斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù).

(l)2?-3x+l=0；

(2)4/+9=12y；

(3)5(x+3)—6x=0.

解：(1)因為4=(-3)2-4X2Xl=l〉0,

所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)原方程可化為4/-12y+9=0,

因為4=(-12)2-4X4X9=0,

所以原方程有兩個相等的實數(shù)根.

(3)原方程可化為5Z—6x+15=0,

因為4=(一6產(chǎn)一4X5X15=-264<0,

所以原方程沒有實數(shù)根.

(2)直接應用根與系數(shù)的關系進行計算

例3若小，用是方程x?+2x—2007=0的兩個根,

試求下列各式的值:

(1)第+溫

（2）1+1；

X\X-i

⑶（4一5）（，一5）；

（4）\xx-xt\.

【解】X\+X2=-2,X\X2=-2007,

（l）"+舄=（Xi+x2）2—2*1X2=（一2尸一2X（―2007）—4018.

1?1_必+人—―2_2

用型-x\xz一一2007-2007-

（3）（為-5）（在-5）=為及一5（為+加+25=-2007—5X（—2）+25=—1972.

（4）|xi-x2\='（丁一?。?=yj（小+呢）。一4汨二=#4+4義2007=78032=4y502.

例4.已知％…是方程f+6x+3=。的兩個實數(shù)根，琮+比的值.

解：由題知，4>0,xi+xz=—6,汨涇=3,

所藍+1

（小+?。?汨加

（—6）2—2X3

=3-

=10.

(3)應用根與系數(shù)的關系求字母系數(shù)的值或范圍

5.已知關于X的方程V—(A+Dx+l2+inO,根據(jù)下列條件，求出4的值.

⑴方程兩實根的積為5；

(2)方程的兩實根不,Xi,滿足|小|=及.

【解】△=[—（什1）]2—4X=2k—3,

3

A\>-

/eo,2,

(1)設方程的兩個根為乂，期出版="/+1=5,

左2=16,k=4或4=—4(舍),

3

(2)①若占20,則汨=照，4=0,k=~.

方程為V—*Y+!|=0,汨=生=)〉0滿足.

Z104

②若為＜0,則汨+眼=0,即衣+1=0,%=—1.

5

方程為/+：=(),而方程無解，

3

所以2—1,所以4=引.

6.已知關于x的一元二次方程V—(24—l)x+尸+A—1=0有實數(shù)根.

(1)求4的取值范圍;

(2)若此方程的兩個實數(shù)根小，生滿足'=11,求4的值.

解：(D因為關于x的一元二次方程/-(2A-1)x+〃+4-1=0有實數(shù)根.

所以J20,

即［一（2A-DF—4X1X（〃+/~1）=-8衣+520,

5

解得個.

O

⑵由題知由+上=2左一1,由及=〃+4一1,

所以（汨+上）“一2小小=（2A—1）~—2（—+〃一1）=2k~—6A+3.

因為'=11,所以2〃-64+3=11,

解得〃=4或仁一L

5

因為所以左=一1.

o

考點四：不等式基本性質(zhì)

設a和6都是非零實數(shù)，不等式a>6和'〉,同時成立的充要條件是一

□例L

ab

【難度】★【答案】。>0力<0

【解析】"0>0,根據(jù)。>力，可知要使兩者同時成立，則a>0,6<0.

abab

例2.下列四個命題中，為真命題的是()

A.若a>b,則B.若a>b,則a-c>b-d

C.若Q>網(wǎng)，則片>〃D.若a>b,則一<不

【難度】★★【答案】C

【解析】此題是2016年?？碱}，較主流的一種出法，利用不等式基本性質(zhì)即得，較常規(guī)

△2例3?設。。>0,下面四個不等式中，正確的是

?\a+h\>\a\?\a+b\<\b\?\a+b\<\a-b\?\a-\-h\>\a\-\b\

A、①和②B、①和③C、①和④D、②和④

【難度】★★【答案】C

【解析】?..必>(),所以。2同號，再根據(jù)不等式性質(zhì)即可求得

0

例4.已知a<-l<b<O<c<l則下列不等式成立的是

11

-<-<D

22、2

A、b<c<aB、ab+—<cc>〃4b>ab—bc+ac

ah

【難度】★★【答案】C

【解析】本題a*,c,的范圍均限制的非常具有區(qū)分度，此類問題可以采用賦值法的方式進行排除判斷，本題

是此類方法較為典型的例題，賦值法也是考試中較為快捷的排除手段，準確率高

例5.已知三個不等式:

cd

(1)ab>0;(2)—>—;(3)bc>ad.

ab

以其中兩個作為條件，余下一個作結(jié)論,則可以組成____個正確命題.

【難度】★★

【答案】3

ab>04

<cJ=>—?(ah)>——\ab)=>he>ad,

—>—ab

【解析】解法一：顯然b

ab>01,1cd

1=be>aa=>—>—

be>adababab

第三個命題是"若￡>且be>ad,貝布〃>0".下面證明這個命題也正確.

ab

首先，由￡>4知a。。0,.若a。<0,則由巧>幺可得￡?(a切<-?(。份,即。c<ad,這與bc>ad矛盾.因此

ababab

只能ab>0.

綜上所述,可以組成3個正確命題.

解法二：由式(2)￡>.=￡-4>0=0>0,式(1)就是分母大于0,式(3)等價于分子大于

ahahah

0。顯然(1)(2)n(3)；(1)(3)=(2)；(2)(3)=>(1),所以可以構(gòu)成3個正確命題。

考點五：作差法/作商法比較大小

0^例1已知w(°，l)，記M=qa2，N=q+。2-1，則“，N的大小關系是______

【難度】★★【答案】M>N

【解析】作差法+%-1)=(4一1)(%-1)>0,,.?4，%￡(0,1),二.M>N

2.設xcR,比較-----與1一%的大小.

1+X

X2

【難度】★★【答案】1)當x=0時,即——=0,

1+X

->

Y"

―--=1-x；2）當1+xvO,即％<—1時，——<0,---<1-X;

1+x1+X1+X

2

3）當l+x>0但X70,即一l<x<0或x>0時，工〉0,/.------〉1-x

\+x1+九

\X

【解析】作基------(l-x)=—,本題作差，變形，變形到最簡形式時，由于式中含有字母，不能定號,

1+X1+X

必須對字母根據(jù)式子具體特點分類討論才能定號.此時要注意分類合理恰當.

【反思總結(jié)】

不等式是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎，為后續(xù)分式不等式，基本

不等式等打基礎。本章節(jié)中的作差法也是后續(xù)證明函數(shù)單調(diào)性的重要思想；在今后的學習過程中應注重基

礎，重視通法，養(yǎng)成良好的分析問題的習慣。

【真題演練】

一、單選題

1.（2021?上海市南洋模范中學高一期末）如果x+y<o,且y>0,那么下列不等式成立的是

A.y2>x2>xyB.x2>y2>-xyC.x2<-xy<y2D.x1>-xy>y2

【答案】D

【分析】由x+y<o,且y>0,可得x<-y<o.再利用不等式的基本性質(zhì)即可得出—>-孫，

孫<-/?

【詳解】???x+y<0,且y>0,

.-.x<-y<0.

/.x~>-xy,xy<-y",

因此x2>-xy>y2.

故選O.

【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎題.

2.（2021?上海高一期末）若實數(shù)滿足。>6,則下列不等式成立的是（）

A.同〉網(wǎng)B.a3>h3C.——D.ab~>h~

ab

【答案】B

【分析】對于選項A、C,可以舉反例判斷，對于選項B.可以利用函數(shù)的單調(diào)性判斷，對于選項D,可以利用

作差法判斷.

【詳解】對于選項A,可以舉反例，如：a=\,b=-3,a>b,但是|1|<|一3],所以該選項錯誤；

對于選項B,由于函數(shù)/（》）=丁是R上的單調(diào)增函數(shù)，所以/>〃，所以該選項正確；

對于選項C,可以舉反例，如：。=1力=-3,。>6,但是;〉一；，所以該選項錯誤；

對于選項D,%—/=3—1）力2不一定大于零，所以該選項錯誤.

故選B

【點睛】本題主要考查比較實數(shù)大小，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

3.（2021?上海市控江中學高一期末）若a>b>c,a+b+c=0,則下列各式正確的是（）

A.ab>bcB.ac>bcC.。網(wǎng)>網(wǎng)。D.ab>ac

【答案】D

【分析】已知a>6>c,且a+b+c=0,于是可以推出得到最大數(shù)”>0和最小數(shù)c<0,而b為正、負、

零均有可能，所以每個選項代入不同的從逐一驗證.

【詳解】?：a>b>cS.a+b+c-0.

當時,c<Z?<4,0,則a+b+c<0.與己知條件a+b+c=0矛盾，

所以必有a>（）,同理可得c<0.

A項，當a=l,1=0,c=—l時，而=/C,故A項錯誤；

B項,ac-bc=c（a—份<0,即ac<匕c，故B項錯誤；

C項,。=0時.4網(wǎng)=c瓦故C項錯誤；

D項,出?一ac=a（/?-c）>0,即a/?>ac，故D項正確.

故選：D

4.（2021?上海高一期末）下列不等式中，恒成立的是（）

4,,1

A.x+->4B.x-y+------22

xx—y

C.|x-y|>|x_z|+1y-z|D.H——~^x-\—

【答案】D

【分析】由特殊值法，可判斷ABC錯，根據(jù)不等式的性質(zhì)，由作差法，可判斷D正確.

4

【詳解】A選項，若x=—l,則尤+—=-5<4,故A錯；

x

B選項，若x-y=-l,則=0<2,故B錯；

C選項,若x=3,y=2,z=-2,則卜一乂=1,卜一目+卜一目=5+4=9,此時,一乂<|%-z|+|y-z|,

故C錯;

(xT)(3-1)

D選項,F++￡Hi)+M(i)(T

+

(尤-l)(x-1)(尸+x+l)4顯然恒成匯,

-!=---------------=t>0

X2x2

,11

所以XH-—^x-\--,即D選項正確.

xx

故選：D.

5.（2021?上海市大同中學高一期末）如果。<0<匕，那么下列不等式中成立的是（）

A.<\fbB.a2<b~C.o'<b3D.ab>b2

【答案】C

【分析】取特殊值可判斷A,B選項，由函數(shù)y=d在R上為增函數(shù)可判斷選項C,由。+辦的符號不定，則

"一。2=。（。一》）的符號不定，可判斷D,從而得出答案.

【詳解】選項A中，取。=-3,人=2,則"〉血，所以A不正確.

選項B中，取。=-3/=2,則a2>〃2,所以B不正確.

選項C中，由函數(shù)y=d在R上為增函數(shù)，由。<0，則有/</成立，所以C1E確.

選項D中，由曲一〃=/?（。一/?）,因為b>0,a<Q<b-

所以％（a-b）<0,即曰<廿,所以D不正確.

故選：C

6.（2020?上海高一專題練習）若非空集合X={x|a+1WxW3a—5},丫={x|1WxW16},則使得Y^X\JY

成立的所有。的集合是（）

A.{a10<a<7}B,{a13<a<7}

C.{a\a<1}D.空集

【答案】B

【分析】山丫=乂11丫成立知x=y,結(jié)合非空集合x,y,列不等式式組求解集即可.

【詳解】使y=xuy成立，則x=y,

a+l>l

.??由題設，知：ba-5<16,解得：3<?<7.

a+143a-5

故選：B

二、填空題

7.（2021?上海高一期末）若a/eR,且同W1,網(wǎng)W5,則卜+4的最大值是.

【答案】6

【分析】根據(jù)題中條件，由不等式的性質(zhì)，求出G+力的范圍，即可得出結(jié)果.

【詳解】因為同VI,網(wǎng)45,即一14aKl,-5<b<5,

所以-6Wa+bW6,因此|。+可<6,

即|a+同的最大值是6.

故答案為：6.

8.（2021.上海高一期末）在創(chuàng)全國文明城區(qū)的活動中，督查組對城區(qū)的評選設計了X，%,鼻，與四項

多元評價指標，并通過經(jīng)驗公式S=五+受來計算各城區(qū)的綜合得分，S的值越高則評價效果越好.若某城

工2%

區(qū)在自查過程中各項指標顯示為0<七</<馬（玉，則下階段要把其中一個指標的值增加1個單位，而使

得S的值增加最多，那么該指標應為.（填入芭，*2，83，4中的一個）

【答案】%3

【分析】從分式的性質(zhì)中尋找到S的變化規(guī)律，結(jié)合變化規(guī)律，即可求解.

【詳解】因為花，*2，七，%都是整數(shù)，可得分子越大或分母越小時，S的值越大，

而分子增加1個單位時，分母越小時，S的值增長越多，

由0<七<%<X2<玉，可知分母七最小，所以均增大1個單位時會使得S的值增加最多.

故答案為：x3.

9.（2021.上海高一期末）已知方程2f+x-5=0的兩個實根為X，W，則,一司=.

?rf-t.J41

【答案】—

2

【分析】由方程易知△>()，根據(jù)根與系數(shù)的關系寫出玉+々、玉4，由?_尤2|=/芯+/)2_4%里即

可求值.

【詳解】由題設知：A=F—4x2x(—5)=41>0,

.15

??西+工2=-5，％々=-5，

|%|一^21——J(X]+々)~-4%]——+1()——，2"?

故答案為：叵.

2

10.(2021?上海高一)若ac<(),則方程分2+床+c=o有個實數(shù)解

【答案】2

【分析】首先分析a。0,再利用判別式/的符號即可求解.

【詳解】因為ac<0,所以awO，

方程辦2+bx+c=0的判別式4=b2-4ac>0，

所以方程向法+c=。有2個實數(shù)解.

故答案為：2.

11.(2021?上海高一)已知方程以2+2公+4—9=0至少有一個整數(shù)根，則整數(shù)。的值為

【答案】1或9

【分析】先討論a=0時，原方程不成立，當awO時，利用求根公式求出一元二次方程的根，分析為整數(shù)

的條件即可求解.

【詳解】當。=0時.，原方程為—9=0不成立，

當a。()時，關于x的一元二次方程ax2+2ax+a-9=0

判別式A=4Q2—4xax(a-9)=36a,

LI-Ivl、EXLnr-ALn八rr1—2a—6JCl<3—2(1+6ylCl43

所以萬程的兩個根分別為％=-------=-1一一五，x=--------=+

2ayja22ayja

若方程ax2+2ax+a-9=0至少有一個整數(shù)根，

則G是3的因數(shù)，所以6=1或3,解得：。=1或9,

故答案為：。=1或9.

12.(2020?上海市嘉定區(qū)第一中學高一月考)若2x2+3x+5=a(2x+l)(x+l)+b恒成立，則a+力的值

【答案】5

【分析】根據(jù)等式恒成立，對應項的系數(shù)相等可求得結(jié)果.

【詳解】因為2f+3x+5=a(2x+l)(x+l)+力，即+3x+5=2a?+3以+。+人恒成立,

’2=2。

所以“3=3。，所以a+Z?=5.

5=a+b

故答案為：5

【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)等式恒成立，對應項的系數(shù)相等求解是解題關鍵.

13.(2020?上海高一專題練習)已知x，V，z是非負整數(shù)，且x+y+z=10,x+2y+3z=30,則x+5y+3z

的范圍是

【答案】{30}

x+y+z=10①^

【分析】〈；c由①X3-②得到2x+y=0,結(jié)合x、y是非負整數(shù)，得到x=y=0,z=10,進

x+2y+3z=30②

而計算結(jié)果.

x+y+z=l0①

【詳解】

x+2y+3z=30②

①x3-②得:

2x+y=0,

??"、y是非負整數(shù),

/.x=y=0,z=10,

.*.x+5y+3z=30,

故答案為：{30}.

三、解答題

14.(2021?上海高一期末)已知是任意實數(shù)，求證：aA+b^^b+ab3,并指出等號成立的條件.

【答案】證明見解析：當且僅當4=8時，等號成立.

【分析】做差，然后因式分解，再進行配方，最后與0比較大小即可證明.

【詳解】因為—+一々3人)+(人4_加)

(]Y3

=a3(a-h')+Z?3(h-a)-(a-h)(a3一=(?-ZJ)2(/+ab+b2^=(a-b)2a+—b+—b2

故+/?4)—(a%+a//)>0,即aA+b4>a'b+ab3-

當且僅當a=。時，等號成立.

15.(2021?上海高一期末)設。、〃為實數(shù)，比較/+〃與4a—e—8的值的大小.

【答案】a2+b2>4a-4b-S

【分析】利用作差、配方、判斷符號，可得出a?+6與4a—4b—8的值的大小關系.

【詳解】由于“、b為實數(shù)，則

+。2)_(44-4。-8)=。2_40+4+/+40+4=(a-2)2+(0+2)2

a=2

當且僅當匕c時，等號成立.

[b=-2

因止匕a?+人224a-40-8.

【過關檢測】

一、單選題

1.(2020?上海高一單元測試)以下結(jié)論正確的是

A.若a<Z?且c<d,則ac<M

B.若a>6,則a?〉濟

C.若“>/?且c<4,則a-c>Z?-d

D.若0<a<b,集合A=<XXNL},8=<xxN：},則A衛(wèi)8

【答案】C

【分析】A.舉反例即得解；B.c=0時顯然錯誤；C.利用不等式的性質(zhì)可以證明正確；D.利用集合的關系分

析判斷得解.

【詳解】人.設。=1,。=2,。=-2,4=-1，1<2且-2<-1,則ac=bd,所以該選項錯誤；

B.若a>b,。=0則的2>宜不成立，所以該選項錯誤;

C.若且cvd,則一c＞一d,所以所以該選項正確;

1

D.若0<a<〃，集合4="xx>—>,B=<xx>-則A=B,所以該選項錯誤.

ab

故選C

【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)和集合的關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

2.（2020?上海市三林中學高一月考）已知a,0,cwR,若“＞人則下列不等式成立的是（）

1

224d

A<-Q>c>a>

力B.

【答案】C

【分析】利用不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】對于A,當。＞0〉6時，不等式不成立，故排除A；

對于B,當。=0，匕=一1時，不等式不成立，故排除B；

對于C,由于/一＞0,又a＞。,ab

則c2+1>c2+1故C選;

c2+1

對于D,當c=0時，不等式不成立，故排除D.

故選：C

【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎題.

3.（202。上海高一單元測試）若a,6,ceR,a＞b,則下列不等式成立的是（）

11

<

--B./“2C.D.a|c|〉"c|

A.力

47T

【分析】取特殊值可判斷ABD錯誤；由不等式性質(zhì)可判斷C正確.

【詳解】對于A,若。=1,人=一1，則!＞4，故A錯誤；

ab

對于B,若。=1/=—2,則/〈從，故B錯誤；

對于C,因為02+1＞0,即一一＞0,若4＞力，則4—＞/一,故C正確；

C+1C+1C+1

對于D,若c=0,則a|c|=b|c故D錯誤.

故選：C.

4.（2020?上海市金山中學高一月考）已知a、。為實數(shù)，且a＞6,則下列結(jié)論正確的是（）

11

2222

-<-4>c>機D

A.a力B.zc

【答案】D

【分析】根據(jù)反例可判斷ABC錯誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷D正確.

【詳解】取。=2/=-3,則且"〈尸，故AB錯誤.

ab

取C=0,則4<?2=6。2=0,故C錯誤.

根據(jù)不等式的性質(zhì)可得成立，故D正確.

故選：D.

5.（2020.上海高一開學考試）若。、6、。為實數(shù)，則下列命題正確的是

A.若a>b,貝！|。。2>兒2B.若a<b<0，則">出?>尸

C.若a<匕<0,則,<[D.若”<。<0,則

abab

【答案】B

【分析】利用等式的性質(zhì)或特殊值法來判斷各選項中不等式的正誤.

【詳解】對于A選項，若c=0,則ac2=bW，故A不成立；

對于B選項，Qa<Z?<0.在不等式a<b同時乘以得a?>皿,

另一方面在不等式。兩邊同時乘以8,得a0>〃，...〃>必>層，故B成立；

對于選項c,在兩邊同時除以"（質(zhì)>0）,可得:<：,所以C不成立；

對于選項D,令a=—2,b——l>則有@=——2,—,所以D不成立.

b-1a2ab

故選B.

【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，常用的判斷方法有：不等式的基本性質(zhì)、特殊值法以及比較法，在

實際操作中，可結(jié)合不等式結(jié)構(gòu)合理選擇相應的方法進行判斷，考查推理能力，屬于基礎題.

6.（2020?上海高一單元測試）若a>人c>d,則下列不等關系中不一定成立的是（）

A.a-d>b—cB.a+d>b+c

C.a-c>b—cD.a—c<a—d

【答案】B

【分析】由不等式的性質(zhì)，判斷ACD,舉出反例判斷8

【詳解】'.'a>b,c>d,.,.a-b>0,d-c<0,故a--c一定成立，即a—d>Z?—c一定成立；故A

正確；

又因為故在兩邊加-c可得，a-c>b-c,故C正確；

由c>d可得-c<-d,兩邊同時加?？傻胊-cVa-d,故O正確；

對8,當a=2,b=l,c=l,d=0.5時，〃+t/>b+c,

當a=2,》=l,c=l,d=-3時，a+d<b+c,

當。=2,匕=1,。=0,1=-1時，“+4=匕+°,故不一定成立，

故選:B.

【點睛】本題考查兩式比較大小，涉及不等式性質(zhì)及特值的應用，屬基礎題.

7.（2020?上海高一開學考試）下列命題正確的是（）

A.若a>Z?,則一<[B.若a>b,則

ab

C.若a>b,c<d,則。一c>Z?—dD.若a>h,c>d,則ac>bd

【答案】C

【分析】利用不等式的性質(zhì)，對四個選項逐一判斷，即可得出正確選項.

【詳解】若a>0>。，則故選項A不正確；

ab

若則故選項8不正確；

若cvd,則一c>-d,因為所以a-c>b-d,故選項C正確；

當a>h>0,c>d>0時，才有ac>hd成立，故選項D不正確；

故選：C

【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎題.

8.（2020?上海高一單元測試）如果a<bvO,那么下列不等式中正確的是（）

Aa17-IICII

A.—?<lB.a2>abC.—<—D.—<—

barab

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析ABC,采用舉例的方式分析D,由此得到正確的結(jié)果.

【詳解】A.因為。<力<0,所以色>2,所以0〉1,故錯誤；

bhb

B.因為QV/?V0,所以。?。>。為，所以">以，故正確；

C.因為avbv。，所以a?〉/〉。，所以77〉一r，

ba

D.取。=-2/=-1,所以一,=！>—1=!，故錯誤，

a2b

故選：B.

9.(2020?上海高一單元測試)設a<匕<0,則下列不等式中不熟主的是()

A.—>—B.a2>b~C.---->—D.|司>網(wǎng)

aba-ba

【答案】C

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷各選項中的不等式的正誤.

【詳解】Qa<b<0,則，活>0.

對于A選項，,即!>』，A選項中的不等式成立；

ababab

對于B選項，由a<匕<0可得一a>—b>0，由不等式的基本性質(zhì)可得標>加，B選項中的不等式成立;

對于C選項，Qa<b<0,])^\a<a-b<0,所以，a(a—h)>(),

aa-b11

由不等式的性質(zhì)可得一^~云<一~~小，即——<-.C選項中的不等式不成立；

a[a-b)a^a-b)a-ba

對于D選項，由a<6<0可得一a>—人>0,即時〉例，D選項中的不等式成立.

故選：C.

10.(2020?上海高一單元測試)若/>從，則下列不等式中成立的是()

A.a>0>hB.a>b>0C.時>網(wǎng)D.a>\b\

【答案】C

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和取特殊值即可得答案.

【詳解】解：因為/>從，故由不等式的性質(zhì)得同〉例，故C選項」E確；

對于A選項，當a=2,b=l時滿足片>^，但。>。>匕不成立，故A選項錯誤；

對于B選項，由于(―3)2>(—2>但一3<-2<0,故B選項錯誤；

對于D選項，由于(—3)2>(—2「但一3〈卜2|,故D選項錯誤.

故選：C.

11.(2020?上海市行知中學高一月考)如果匕<a<0,那么下列不等式中錯誤的是()

A.c+b<c+aB.a2<b2C.be2<ac1D.—<—

ah

【答案】C

【分析】逐一分析每?個選項判斷得解.

【詳解】對于選項A,根據(jù)不等式的加法法則，顯然正確，所以該選項正確;

對于選項B,因為人<。<0,所以/<〃，所以該選項正確；

對于選項C,當c=0時，顯然不成立，所以該選項錯誤；

對于選項D,'-■1="@<（）所以2.<《，所以該選項正確.

ababab

故選：C

12.（2020?上海高一專題練習）若非空集合X={x|a+lWx43a—5},y={x|lWxW16},則使得

y=XUY成立的所有a的集合是（）

A.{?10<a<7}B,{?13<a<7}

C.{a\a<l}D.空集

【答案】B

【分析】由y=xuy成立知x=y,結(jié)合非空集合x,y,列不等式式組求解集即可.

【詳解】使y=xuy成立，則x=y,

a+\>\

.?.由題設，知：J3?-5<16,解得：3Wa47.

a+143a—5

故選：B

二、填空題

13.（2019?上海市青浦高級中學高一月考）已知a>0>0,c<4<0,e<0,則」一，一.

a-cb-d

【答案】>

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可求得a—c>人一d>0,進而得到」一匕，不等式左右兩端同時乘以一

a—cb-d

個負數(shù),不等號方向改變，從而得到結(jié)果.

【詳解】Qc<d<0/.-c>>0,又:.a-c>b-d>0/.---<---

a-cb—d

ee

e<0/.----->------

a-cb—d

故答案為〉

【點睛】本題考查利用不等式的性質(zhì)比較大小的問題，屬于基礎題.

14.（202。華東師范大學第一附屬中學高一月考）已知方程2%2+4%-3=0的兩個根為內(nèi)、馬，則

11

-----1------二

4

【答案】一

3

【分析】利用韋達定理代入求解即可.

【詳解】由方程2/+4%一3=0的兩個根為王、々,

%/=—2

利用韋達定理得：\3，

Xl-X2=--

11x,4

—I-----=----------=——

4

故答案為：一.

3

15.(2020?上海市復興高級中學高一期中)若a、/是方程f+4x-1=0的兩個實數(shù)根，則

11

—+—=_______.

a0

【答案】4

11

【分析】由于一+京=a-+B^,所以利用根與系數(shù)的關系直接求解即可

apap

【詳解】解：因為a、4是一元二次函數(shù)V+4X—1=0的兩個實數(shù)根,

a+/7=-4

所以＜

。夕=一1

11a+/3

所以￡+濟

ap

故答案為：4

16.(2020?上海市嘉定區(qū)第一中學高一月考)若2f+3x+5="(2x+l)(x+l)+。恒成立，則a+6的值

【答案】5

【分析】根據(jù)等式恒成立，對應項的系數(shù)相等可求得結(jié)果.

【詳解】因為2丁+3%+5=。（2%+1）。+1）+6,即2/+3x+5=2?2+3ox+a+b恒成立，

’2=2。

所以<3=3。，所以。+力=5.

5-a+b

故答案為：5

【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)等式恒成立，對應項的系數(shù)相等求解是解題關鍵.

17.（2019?上海曹楊二中高一月考）3<x<5,-2<y<-l,則工一V的取值范圍是

【答案】[4,7]

【分析】先計算l?-y42,再利用不等式性質(zhì)得到答案.

【詳解】3<x<5,—24y4-l,則34x<5,lW-y<2.?.44x-y<7

故答案為[4,7]

【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，先確定-y42是解題的關鍵.

18.（2020?上海華師大二附中高一月考）已知0<“<4則且■（填“"或“<”）.

bb+\

【答案】<

【分析】利用作差法，結(jié)合條件，即