高數(shù)同濟版第十二章冪級數(shù)

一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算§12.3冪級數(shù)2021/5/91一、函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).對若常數(shù)項級數(shù)斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域

;若常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域

.2021/5/92為級數(shù)的和函數(shù)

,并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n

項的和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是

x

的函數(shù)稱它2021/5/93例如,

等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔泻秃瘮?shù)2021/5/94二、冪級數(shù)及其收斂性

形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù)

.即是此種情形.的情形,即稱(1)因為只要令則(1)成為收斂域2021/5/95發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x

冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式證:收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使2021/5/96當(dāng)時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,反之,若當(dāng)時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點故假設(shè)不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢2021/5/97冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=

時,冪級數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散2021/5/98定理2.若的系數(shù)滿足證:1)若

≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級數(shù)收斂;當(dāng)原級數(shù)發(fā)散.即時,1)當(dāng)

≠0時,2)當(dāng)

＝0時,3)當(dāng)

＝∞時,即時,則2021/5/992)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意

x原級數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級數(shù)的收斂半徑記下來!!!比值判別法成立根值判別法成立2021/5/910對端點

x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例1.求冪級數(shù)

2021/5/911例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域為(2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.2021/5/912例3.的收斂半徑.解:

級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由2021/5/913例4.的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2

時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)(2)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即(2)2021/5/914三、冪級數(shù)的運算定理3.

設(shè)冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有:其中以上結(jié)論可用部分和的極限證明.2021/5/915*說明:兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.例如,設(shè)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是2021/5/916定理4

若冪級數(shù)的收斂半徑(證明略

)則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:注:

逐項積分時,運算前后端點處的斂散性不變.通過逐項求導(dǎo)和逐項積分目的是轉(zhuǎn)化冪級數(shù)為等比級數(shù)這樣可方便求和.2021/5/917例5.求級數(shù)的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,收斂,x=1時級數(shù)發(fā)散．2021/5/918因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而[2021/5/919解:

由例2可知級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例6.則故得的和函數(shù).因此得設(shè)2021/5/920例7.解:構(gòu)造冪級數(shù)顯然收斂域為[-1,1)求的和.設(shè)和函數(shù)為2021/5/921內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運算.2021/5/9222)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)1.

已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,時發(fā)散.故收斂半徑為2021/5/9232.

在冪級數(shù)中,n

為奇數(shù)n

為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答:不能.

因為當(dāng)時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散

,說明:

可以證明比值判別法成立根值判別法成立(為什么?)2021/5/924P2771(1),(3),(5),(7),(8)