上海市奉賢區(qū)四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間：120分鐘，分值：150分）一、填空題（24+30=54分）1.不等式的解集是__．【答案】【解析】【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.【詳解】原不等式與不等式同解，故有；故答案為：.2.已知集合，，則___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得和的交集為方程組的解.【詳解】由得解為，根據(jù)題意可得：，故答案為：3.已知向量，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量得夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】由，更多優(yōu)質(zhì)支援請(qǐng)嘉威鑫MXSJ663得，所以.故答案為：.4.若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則=______.【答案】3【解析】【分析】由題意可得一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，利用該關(guān)系式代入求解即可．【詳解】方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，由韋達(dá)定理可得，，∴，故答案為：3．5.如果都是實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有一個(gè)根，則_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程根的特征可知為方程另一根，利用韋達(dá)定理可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)闉殛P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以為關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，解得，，所以.故答案為：.6.設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則.故答案：.7.已知圓錐側(cè)面展開圖中扇形的中心角為，圓錐底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)圓錐的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，求解即可.【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，則，解得，又圓錐側(cè)面展開圖中扇形的中心角為，則2π3?l=2π，解得所以圓錐的表面積為S=πrl+πr故答案為：.8.在空間直角坐標(biāo)系中給定點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)，所以.故答案為：.9.有一個(gè)空心鋼球，質(zhì)量為，測(cè)得外直徑為5，則它的內(nèi)直徑是________（鋼的密度為7.9，精確到0.1）【答案】4.5【解析】【分析】直接利用球的體積公式和物理學(xué)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)鋼球的內(nèi)半徑為，所以，解得．故內(nèi)直徑為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：球的體積公式和相關(guān)的物理中的關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．10.一張A4紙的規(guī)格為：，把它作為一個(gè)圓柱的側(cè)面．則卷成的圓柱體體積為_________．（結(jié)果精確到）【答案】或【解析】【分析】分以的邊為高，和以的邊為高，兩種情況討論，分別求出對(duì)應(yīng)底面圓的半徑，代入圓柱的體積公式即可得解.【詳解】①如果以的邊為高，，，此時(shí)圓柱體的體積為.②如果以的邊為高，，，此時(shí)圓柱體的體積為.故答案為：或.11.如圖，用平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，得到一個(gè)小圓錐．如果這兩個(gè)圓錐的高分別是，求這兩個(gè)圓錐的底面面積之比為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形相似比與面積比之間的關(guān)系即可得到答案.【詳解】由題意知，所以，所以，故答案為：.12.如圖，為正方體，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，顯然不是平角，則為鈍角時(shí)有，解得不等式即可．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則；，，因?yàn)?，所以，，設(shè)，則，即，解得，所以，則，，，與是異面直線，顯然不是平角，則為鈍角，有，解得．所以的取值范圍為．故答案為：.二、選擇題（4+4+5+5=18分）13.下列命題中，是真命題的選項(xiàng)為（）A.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行B.若兩個(gè)平面分別經(jīng)過兩條平行直線，則這兩個(gè)平面平行C.分別在兩個(gè)平行平面上的兩條直線平行D.與兩條異面直線都平行的兩個(gè)平面平行．【答案】D【解析】【分析】舉例說明判斷ABC；利用面面平行的判定推理判斷D.【詳解】如圖，正方體，對(duì)于A，平面與平面都與直線平行，而平面與平面相交，A是假命題；對(duì)于B，相交平面與平面分別經(jīng)過直線，且，B是假命題；對(duì)于C，直線平面，直線平面，且平面平面，而直線與直線是異面直線，C是假命題；對(duì)于D，直線是兩條異面直線，是兩個(gè)不同平面，，過直線上的點(diǎn)作直線，則直線確定平面，由，得點(diǎn)，而，于是，因此，所以，D真命題.故選：D14.下列命題正確的是（）A.以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B.以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C.圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面D.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓錐、圓柱、圓臺(tái)特點(diǎn)判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)圓錐的特點(diǎn)，以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，故A正確；對(duì)于B，以直角梯形的直角腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓柱、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面，而圓錐只有一個(gè)底面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，此扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤.故選：A.15.如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為．則頂點(diǎn)到面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】根據(jù)正方體的性質(zhì)知，平面，所以為三棱錐的高，因?yàn)?，，所以，設(shè)到面的距離為,由，得，即，解得，所以到面的距離為.故選：A.16.若兩異面直線所成的角為，過空間內(nèi)一點(diǎn)作與直線所成角均為的直線，則所作直線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】利用異面直線所成的角的概念進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】空間取一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)分別作，設(shè)直線確定平面，當(dāng)直線滿足它的射影在所成角的平分線上時(shí)，與所成的角等于與所成的角，因?yàn)橹本€，所成的角為，得所成銳角等于，所以當(dāng)射影在所成銳角的平分線上時(shí)，與所成角的范圍是.這種情況下，過點(diǎn)有兩條直線與所成的角都是，當(dāng)?shù)纳溆霸谒赦g角的平分線上時(shí)，與所成角的范圍是.這種情況下，過點(diǎn)有兩條直線與所成的角都是，綜上所述，過空間任意一點(diǎn)可作與，所成的角都是的直線有4條.故選：D.三、解答題（14+14+14+18+18=78分）17.求實(shí)數(shù)的值或取值范圍，使得復(fù)數(shù)分別是：（1）純虛數(shù)；（2）0【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用純虛數(shù)的定義，列式計(jì)算即得.（2）利用復(fù)數(shù)為0的充要條件，列式計(jì)算即得.【小問1詳解】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，且，得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.【小問2詳解】由復(fù)數(shù)是0，且，得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.18.（1）已知一元二次不等式的解集為，求不等式的解集．（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可得1和2為方程的兩根，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求出，進(jìn)而根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可；（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及判別式求解即可.【詳解】（1）由題意，1和2為方程的兩根，則，即，，所以不等式，即為，即，即或，所以不等式的解集為.（2）由題意，，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．19.已知向量與的夾角為，且．（1）求；（2）求在方向上的投影與數(shù)量投影．【答案】（1）（2）投影為，數(shù)量投影為【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律公式求解即可；（2）根據(jù)投影的定義求解即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】由題意，在方向上的投影為，在方向上的數(shù)量投影為.20.如圖，在正方體中，（1）求異面直線與所成的角的大??；（2）求證：；（3）設(shè)分別是給定正方體的棱和上的任意點(diǎn)．求證：三棱錐的體積是定值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）連接，，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，進(jìn)而可得為異面直線與所成的角，進(jìn)而求解即可；（2）連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得平面，，進(jìn)而得到，從而求證；（3）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得平面，平面，進(jìn)而得到到平面的距離即為，進(jìn)而結(jié)合棱錐的體積公式求證即可.【小問1詳解】連接，，正方體中，有，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則為異面直線與所成的角，又，即為等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角為.【小問2詳解】證明：連接，在正方體中，有平面，，因?yàn)槠矫?，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所?【小問3詳解】證明：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，在正方體中，有平面，平面，所以到平面的距離即為，又，所以，所以三棱錐的體積是定值．21.如圖，用一塊鋼錠澆筑一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器，設(shè)容器的高為h米，蓋子的