2023年九年級中考數(shù)學復習-猜想與證明壓軸題

試卷第=page1010頁，共=sectionpages1010頁2023年九年級中考數(shù)學復習：猜想與證明壓軸題1．在等邊中，D是邊上一動點，連接，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．(1)如圖1，連接，當B、A、E三點共線時，若，求的長；(2)如圖2，取的中點F，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于G點，若，請直接寫出的值．2．如圖，在等邊中，，點D為邊上一點，點E為邊上一點，連接．(1)如圖1，過點E作交于點F，延長交延長線于點G，若，求的長；(2)如圖2，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請猜想、、的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，點K為邊上一點，連接、，在第（2）問的條件下，當周長最小時，請直接寫出的面積．3．在正方形中，是邊上一點，且點不與、重合，點在射線上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)如圖，當點在線段上時，依題意補全圖；(2)在圖的條件下，延長，交于點，求證：．(3)在圖中，當點在線段的延長線上時，連接，若點，，恰好在同一條直線時，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．在中，，，點D為線段上一點，將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)①請補全圖形：②直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系____________；(2)取中點F，連接、，猜想與的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明．5．與均為等邊三角形，在邊上，連接．(1)如圖，若，，求的長；(2)如圖，若，在平面內(nèi)將圖中繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接、，交于點，連接，在運動過程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．6．（1）正方形中，對角線與相交于點O，如圖1，請直接猜想并寫出與之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖2，將（1）中的繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，矩形和有公共頂點，且，則．7．如圖所示，在中，，，點為直線上的一個動點（不與、重合），連接，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點旋轉(zhuǎn)到點，連接．操作感知：如果點在線段上運動，過點作交直線于，如圖所示，從而求得___________．猜想論證：如果點在線段的延長線上運動，如圖所示，以上結(jié)論是否依然成立，并說明理由．拓展應(yīng)用：連接，當點在直線上運動時，若，則的最小值為___________．8．如圖，在等腰三角形中，，，，連接，點、、分別為、、的中點．(1)觀察猜想：圖中，點、分別在邊、上，線段、的數(shù)量關(guān)系是______，的大小為______；(2)探究證明：把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接、、，圖中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．9．綜合與實踐問題情境：如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△（點A的對應(yīng)點為點C）．延長AE交于點F，連接DE．猜想證明：(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問題：(3)如圖①，若AB＝5，CF＝1，請直接寫出DE的長．10．如圖1，四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，點A在DG上，連接AE，CG．(1)求證：；(2)猜想：AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想；(3)在其它條件不變的前提下，如果將正方形ABCD繞著點D按逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度（如圖2）．那么（2）中結(jié)論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(4)如圖3，將正方形ABCD繞著點D旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得，．當正方形DEFG的邊長為時，請直接寫出正方形ABCD的邊長．11．如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)．當點D恰好落在AB邊上時．①線段DE與AC的位置關(guān)系是．（不需證明）②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是，證明你的結(jié)論；(2)猜想論證當△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請你證明小明的猜想．12．如圖，點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．(1)如圖1，求a，b的值；(2)如圖2，點C在線段AB上（不與A、B重合）移動，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想線段AC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若P為x軸正半軸上異于原點O和點A的一個動點，連接PB，將線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°至PE，直線AE交y軸于點Q，當P點在x軸上移動時，線段BE和線段BQ中哪一條線段長為定值，并求出該定值．13．【問題情境】如圖1，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到．延長AE交于點F，連接DE．(1)【猜想證明】試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，若DA＝DE，猜想線段CF與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(3)【解決問題】如圖1，若AB＝13，CF＝7，請直接寫出DE的長度．14．如圖1，在中，，，點，分別在邊，上，，連接，點，，分別為，，的中點．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值______．15．如圖1，已知正方形BEFG，點C在BE的延長線上，點A在GB的延長線上，且AB＝BC，過點C作AB的平行線，過點A作BC的平行線，兩條平行線相交于點D．(1)證明：四邊形ABCD是正方形；(2)當正方形BEFG繞點B順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，使得點G在射線DB上，連接BD和DF，點Q是線段DF的中點，連接CQ和QE，猜想線段CQ和線段QE的關(guān)系，并說明理由；(3)將正方形BEFG繞點B旋轉(zhuǎn)一周時，當∠CGB等于45°時，直線AE交CG于點H，探究線段CH、EG、AH的長度關(guān)系．16．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC邊上一動點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE．連接CE、DE，點F是DE的中點．(1)求證：BD=CE；(2)如圖1所示，在點D運動的過程中，連接CF，CF的延長線與AB交于點P，連接DP，試猜想DP與CE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論．(3)如圖2所示，在點D運動的過程中，當BD=2CD時，連接CF，CF的延長線與BA的延長線交于點G，求的值．17．如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．(1)觀察猜想在圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，∠MPN的度數(shù)是______；(2)探究證明若△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，點DE分別在邊AB，AC上，AD=AE，把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖2．連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．判斷△PMN的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸若△ABC中∠BAC=120°，AB=AC=13，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE=5，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3．①△PMN的是______三角形．②若△PMN面積為S，直接利用①中的結(jié)論，求S的取值取值范圍．18．閱讀材料：如圖①，與都是等腰直角三角形，，且點在邊上，、的中點均為，連接、、，顯然，點、、在同一條直線上，可以證明，所以．解決問題：（1）將圖①中的繞點旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，猜想此時線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）如圖③，若與都是等邊三角形，、的中點均為，上述（1）中結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出與之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖④，若與都是等腰三角形，、的中點均為，且頂角，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系（用含有的式子表示出來）．答案第=page22頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)；(2)，(3)．2．(1)2(2)，(3)3．(3)，4．(1)(2)，，5．(1)(2)，6．（1）；（2）；（3）．7．操作感知：；猜想論證：結(jié)論不成立，；拓展應(yīng)用：的最小值為．8．(1)，(2)成立，9．(1)四邊形BFE是正方形，(2)線段CF與的數(shù)量關(guān)系是CF=，(3)10．(2)AE⊥CG．(3)（2）中結(jié)論仍然成立．(4)11．(1)①，②12．(1)a=2,b=2(2)CD=BD+AC．(3)BQ是定值，13．(1)正方形，(2)，(3)