數(shù)學(xué)高中必修一知識點總結(jié)

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數(shù)學(xué)高中必修一知識點總結(jié)1

一、平面的基本性質(zhì)與推論

1、平面的基本性質(zhì)：

公理1假如一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)；

公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；

公理3假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

2、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系：

直線與直線—平行、相交、異面；

直線與平面—平行、相交、直線屬于該平面〔線在面內(nèi)，最易忽視〕；

平面與平面—平行、相交。

3、異面直線：

平面外一點A與平面一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線〔判定〕；

所成的角范圍〔0，90〕度〔平移法，作平行線相交得到夾角或其補角〕；

兩條直線不是異面直線，那么兩條直線平行或相交〔反證〕；

異面直線不同在任何一個平面內(nèi)。

求異面直線所成的角：平移法，把異面問題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角

二、空間中的平行關(guān)系

1、直線與平面平行〔核心〕

定義：直線和平面沒有公共點

判定：不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線平行于此平面〔由線線平行得出〕

性質(zhì)：一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行

2、平面與平面平行

定義：兩個平面沒有公共點

判定：一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

性質(zhì)：兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；假如兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

3、常利用三角形中位線、平行四邊形對邊、已知直線作一平面找其交線

三、空間中的垂直關(guān)系

1、直線與平面垂直

定義：直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直

判定：假如一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交的直線都垂直，那么該直線與此平面垂直

性質(zhì)：垂直于同一貫線的兩平面平行

推論：假如在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面

直線和平面所成的角：【0，90】度，平面內(nèi)的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影說成的銳角，特別規(guī)定垂直90度，在平面內(nèi)或者平行0度

2、平面與平面垂直

定義：兩個平面所成的二面角〔從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形〕是直二面角〔二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線所成的角〕

判定：一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直

性質(zhì)：兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

數(shù)學(xué)高中必修一知識點總結(jié)2

★高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識點

一、早期導(dǎo)數(shù)概念————非常的形式大約在1629年法國數(shù)學(xué)家費馬討論了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法1637年左右他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時他構(gòu)造了差分f〔A+E〕—f〔A〕，發(fā)覺的因子E就是我們所說的導(dǎo)數(shù)f〔A〕。

二、17世紀————廣泛運用的“流數(shù)術(shù)”17世紀生產(chǎn)力的進展推動了自然科學(xué)和技術(shù)的進展在前人制造性討論的基礎(chǔ)上大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統(tǒng)地討論微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術(shù)”他稱變量為流量稱變量的改變率為流數(shù)相當于我們所說的導(dǎo)數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)》流數(shù)理論的實質(zhì)概括為他的重點在于一個變量的函數(shù)而不在于多變量的方程在于自變量的改變與函數(shù)的改變的比的構(gòu)成最在于決斷這個比當改變趨于零時的極限。

三、19世紀導(dǎo)數(shù)————漸漸成熟的理論1750年達朗貝爾在為法國科學(xué)家院出版的《百科全書》第五版寫的“微分”條目中提出了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一種觀點可以用現(xiàn)代符號簡約表示{dy/d*〕=lim〔oy/o*〕。1823年柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)假如函數(shù)y=f〔*〕在變量*的兩個給定的界限之間保持連續(xù)并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀60時代以后魏爾斯特拉斯制造了ε—δ語言對微積分中涌現(xiàn)的各種類型的極限重加表達導(dǎo)數(shù)的定義也就獲得了今日常見的形式。

四、實無限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能微積分學(xué)理論基礎(chǔ)大體可以分為兩個部分。一個是實無限理論即無限是一個詳細的東西一種真實的存在另一種是潛無限指一種意識形態(tài)上的過程比如無限接近。就歷史來看兩種理論都有肯定的道理。其中實無限用了150年后來極限論就是現(xiàn)在所運用的。光是電磁波還是粒子是一個物理學(xué)長期爭辯的問題后來由波粒二象性來統(tǒng)一。微積分無論是用現(xiàn)代極限論還是150年前的`理論都不是最好的手段。

★高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)要點

1、求函數(shù)的單調(diào)性：

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù)yf〔*〕在區(qū)間〔a，b〕內(nèi)可導(dǎo)，〔1〕假如恒f〔*〕0，那么函數(shù)yf〔*〕在區(qū)間〔a，b〕上為增函數(shù)；〔2〕假如恒f〔*〕0，那么函數(shù)yf〔*〕在區(qū)間〔a，b〕上為減函數(shù)；〔3〕假如恒f〔*〕0，那么函數(shù)yf〔*〕在區(qū)間〔a，b〕上為常數(shù)函數(shù)。

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：①求函數(shù)yf〔*〕的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f〔*〕；③解不等式f〔*〕0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；④解不等式f〔*〕0，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。

反過來，也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題〔如確定參數(shù)的取值范圍〕：設(shè)函數(shù)yf〔*〕在區(qū)間〔a，b〕內(nèi)可導(dǎo)，

〔1〕假如函數(shù)yf〔*〕在區(qū)間〔a，b〕上為增函數(shù)，那么f〔*〕0〔其中使f〔*〕0的*值不構(gòu)成區(qū)間〕；

〔2〕假如函數(shù)yf〔*〕在區(qū)間〔a，b〕上為減函數(shù)，那么f〔*〕0〔其中使f〔*〕0的*值不構(gòu)成區(qū)間〕；

〔3〕假如函數(shù)yf〔*〕在區(qū)間〔a，b〕上為常數(shù)函數(shù)，那么f〔*〕0恒成立。

2、求函數(shù)的極值：

設(shè)函數(shù)yf〔*〕在*0及其四周有定義，假如對*0四周的全部的點都有f〔*〕f〔*0〕〔或f〔*〕f〔*0〕〕，那么稱f〔*0〕是函數(shù)f〔*〕的微小值〔或極大值〕。

可導(dǎo)函數(shù)的極值，可通過討論函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：

〔1〕確定函數(shù)f〔*〕的定義域；〔2〕求導(dǎo)數(shù)f〔*〕；〔3〕求方程f〔*〕0的全部實根，*1*2*n，順次將定義域分成假設(shè)干個小區(qū)間，并列表：*改變時，f〔*〕和f〔*〕值的

改變狀況：

〔4〕檢查f〔*〕的符號并由表格判斷極值。

3、求函數(shù)的最大值與最小值：

假如函數(shù)f〔*〕在定義域I內(nèi)存在*0，使得對任意的*I，總有f〔*〕f〔*0〕，那么稱f〔*0〕為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不肯定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。

求函數(shù)f〔*〕在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值的步驟：〔1〕求f〔*〕在區(qū)間〔a，b〕上的極值；

〔2〕將第一步中求得的極值與f〔a〕，f〔b〕比較，得到f〔*〕在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值。

4、解決不等式的有關(guān)問題：

〔1〕不等式恒成立問題〔絕對不等式問題〕可考慮值域。

f〔*〕〔*A〕的值域是[a，b]時，

不等式f〔*〕0恒成立的充要條件是f〔*〕ma*0，即b0；

不等式f〔*〕0恒成立的充要條件是f〔*〕min0，即a0。

f〔*〕〔*A〕的值域是〔a，b〕時，

不等式f〔*〕0恒成立的充要條件是b0；不等式f〔*〕0恒成立的充要條件是a0。

〔2〕證明不等式f〔*〕0可轉(zhuǎn)化為證明f〔*〕ma*0，或利用函數(shù)f〔*〕的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明f〔*〕f〔*0〕0。

5、導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用：

實際生活求解最大〔小〕值問題，通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。在利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最值時，肯定要留意，極值點唯一的單峰函數(shù)，極值點就是最值點，在解題時要加以說明。

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一、求導(dǎo)數(shù)的方法

〔1〕基本求導(dǎo)公式

〔2〕導(dǎo)數(shù)的四那么運算

〔3〕復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)在點*處可導(dǎo)，y=在點處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)在點*處可導(dǎo)，且即

二、關(guān)于極限

1、數(shù)列的極限：

粗略地說，就是當數(shù)列的項n無限增大時，數(shù)列的項無限趨向于A，這就是數(shù)列極限的描述性定義。記作：=A。如：

2、函數(shù)的極限：

當自變量*無限趨近于常數(shù)時，假如函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)，就說當*趨近于時，函數(shù)的極限是，記作

三、導(dǎo)數(shù)的概念

1、在處的導(dǎo)數(shù)。

2、在的導(dǎo)數(shù)。

3。函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，

即k=，相應(yīng)的切線方程是

注：函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在時的函數(shù)值，就是在處的導(dǎo)數(shù)。

例、假設(shè)=2，那么=〔〕A—1B—2C1D

四、導(dǎo)數(shù)的綜合運用

函數(shù)y=f〔*〕在點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=〔*〕在點處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。詳細求法分兩步：

〔1〕求出函數(shù)y=f〔*〕在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f〔*〕在點處的切線的斜率k=

〔2〕在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為*。

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軌跡，包含兩個方面的問題：凡在軌跡上的點都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性〔也叫做須要性〕；凡不在軌跡上的點都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性〔也叫做充分性〕。

一、求動點的軌跡方程的基本步驟。

1、建立適當?shù)淖鴺讼?，設(shè)出動點M的坐標；

2、寫出點M的集合；

3、列出方程=0；

4、化簡方程為最簡形式；

5、檢驗。

二、求動點的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法和交軌法等。

1、直譯法：徑直將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

2、定義法：假如能夠確定動點的軌跡滿意某種已知曲線的定義，那么可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3、相關(guān)點法：用動點Q的坐標*，y表示相關(guān)點P的坐標*0、y0，然后代入點P的坐標〔*0，y0〕所滿意的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法。

4、參數(shù)法：當動點坐標*、y之間的徑直關(guān)系難以找到時，往往先查找*、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

5、交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

求動點軌跡方程的一般步驟：

①建系——建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>

②設(shè)點——設(shè)軌跡上的任一點P〔*，y〕；

③列式——列出動點p所滿意的關(guān)系式；

④代換——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于*，Y的方程式，并化簡；

⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。

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空間幾何體表面積體積公式：

1、圓柱體：表面積：2πRr+2πRh體積：πR2h〔R為圓柱體上下底圓半徑，h為圓柱體高〕。

2、圓錐體：表面積：πR2+πR[〔h2+R2〕的]體積：πR2h/3〔r為圓錐體低圓半徑，h為其高。

3、a—邊長，S=6a2，V=a3。

4、長方體a—長，b—寬，c—高S=2〔ab+ac+bc〕V=abc。

5、棱柱S—h—高V=Sh。

6、棱錐S—h—高V=Sh/3。

7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+〔S1S2〕^1/2]/3。

8、S1—上底面積，S2—下底面積，S0—中h—高，V=h〔S1+S2+4S0〕/6。

9、圓柱r—底半徑，h—高，C—底面周長S底—底面積，S側(cè)—，S表—表面積C=2πrS底=πr2，S側(cè)=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h。

10、空心圓柱R—外圓半徑，r—內(nèi)圓半徑h—高V=πh〔R^2—r^2〕。

11、r—底半徑h—高V=πr^2h/3。

12、r—上底半徑，R—下底半徑，h—高V=πh〔R2+Rr+r2〕/313、球r—半徑d—直徑V=4/3πr^3=πd^3/6。

14、球缺h—球缺高，r—球半徑，a—球缺底半徑V=πh〔3a2+h2〕/6=πh2〔3r—h〕/3。

15、球臺r1和r2—球臺上、下底半徑h—高V=πh[3〔r12+r22〕+h2]/6。

16、圓環(huán)體R—環(huán)體半徑D—環(huán)體直徑r—環(huán)體截面半徑d—環(huán)體截面直徑V=2π2Rr2=π2Dd2/4。

17、桶狀體D—桶腹直徑d—桶底直徑h—桶高V=πh〔2D2+d2〕/12，〔母線是圓弧形，圓心是桶的中心〕V=πh〔2D2+Dd+3d2/4〕/15〔母線是拋物線形〕。

數(shù)學(xué)高中必修一知識點總結(jié)6

空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面。

按是否共面可分為兩類：

〔1〕共面：平行、相交

〔2〕異面：

異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。

異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：范圍為〔0°，90°〕esp?？臻g向量法。

兩異面直線間距離：公垂線段〔有且只有一條〕esp?？臻g向量法。

假設(shè)從有無公共點的角度看可分為兩類：

〔1〕有且僅有一個公共點——相交直線；〔2〕沒有公共點——平行或異面。

直線和平面的位置關(guān)系：

直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行。

①直線在平面內(nèi)——有很多個公共點

②直線和平面相交——有且只有一個公共點

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。

空間向量法〔找平面的法向量〕

規(guī)定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角；b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角。

由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°，90°]。

最小角定理：斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角。

三垂線定理及逆定理：假如平面內(nèi)的一條直線，與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直。

直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：假如一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說