高斯算法在等差數(shù)列和高斯中的推廣

高斯算法在等差數(shù)列和高斯中的推廣

一、求等差數(shù)的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,培養(yǎng)出“本節(jié)的教育內(nèi)容是通用高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（5）中章節(jié)“等差數(shù)列前n個(gè)和”的第三節(jié)（第一課）。本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用。等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見(jiàn),因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問(wèn)題。同時(shí),求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問(wèn)題,通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo),可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問(wèn)題方法。二、課外練習(xí),學(xué)生學(xué)習(xí)在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本性質(zhì),有了一定的準(zhǔn)備知識(shí),也對(duì)高斯算法有所了解,這都為倒序相加法的教學(xué)提供了基礎(chǔ),但高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離,如何從首尾配對(duì)法引出倒序相加法,這是學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙。因此針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,本節(jié)課將采取循序漸進(jìn)、層層深入的教學(xué)方式,以問(wèn)題解答的形式,通過(guò)分析、討論、歸納、探索而獲得知識(shí),為學(xué)生積極思考、自主探究搭建了理想的平臺(tái),讓學(xué)生去感悟倒序相加法的使用范圍。三、公式推導(dǎo)和過(guò)程與方法(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能:掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路;會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題。過(guò)程與方法:通過(guò)公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用,使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般,再?gòu)囊话愕教厥獾乃季S規(guī)律,初步形成認(rèn)識(shí)問(wèn)題,解決問(wèn)題的一般思路和方法;通過(guò)公式推導(dǎo)的過(guò)程教學(xué),對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)練,發(fā)展學(xué)生的思維水平。情感態(tài)度與價(jià)值:通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程,展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美。四、這所學(xué)校是困難的重點(diǎn):等差數(shù)列n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)。難點(diǎn):靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題。五、教育過(guò)程的設(shè)計(jì)(一)“倒序疊加”法“小故事”:高斯是偉大的數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家,高斯十歲時(shí),有一次老師出了一道題目,老師說(shuō):“現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+…100=?”過(guò)了兩分鐘,正當(dāng)大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦樂(lè)乎時(shí),高斯站起來(lái)回答說(shuō):“1+2+3+…+100=5050。教師問(wèn):“你是如何算出答案的?高斯回答說(shuō):因?yàn)?+100=101;2+99=101;…50+51=101,所以101×50=5050”。這個(gè)故事告訴我們:(1)作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察,敢于思考,所以他能從一些簡(jiǎn)單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西。(2)該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一種很重要的思想方法,這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法。其實(shí)高斯的算法用到了我們?cè)诘炔顢?shù)列的學(xué)習(xí)中介紹過(guò)的一條性質(zhì),那么是哪一條呢?am+an=ap+aq(m+n=p+q,且m、n、p、q∈N*)[學(xué)情預(yù)設(shè)]高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和一般的規(guī)律性。教學(xué)時(shí),應(yīng)給學(xué)生提供充裕的時(shí)間和空間,讓學(xué)生自己去觀察、探索發(fā)現(xiàn)這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律。學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的,知道采用首尾配對(duì)的方法來(lái)求和,但估計(jì)他們對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí)可能處于記憶階段,為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解,設(shè)計(jì)了以下三道由易到難的問(wèn)題。(二)探索的學(xué)習(xí)方法準(zhǔn)備知識(shí):數(shù)列的前n項(xiàng)和:數(shù)列a1,a2,a3……an,我們稱a1+a2+a3+……+an為數(shù)列的前n項(xiàng)和。簡(jiǎn)記為Sn=a1+a2+a3+……+an該題組織學(xué)生分組討論,在合作中學(xué)習(xí),并把小組發(fā)現(xiàn)的方法一一呈現(xiàn)問(wèn)題1:計(jì)算Sn=1+2+3+……51[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生可能出現(xiàn)以下求法方法1:原式=(1+2+3+……+50)+51方法2:原式=0+1+2+……+50+51方法3:原式=(1+2+…+25+27…+51)+26以上方法實(shí)際上是用了“化歸思想”,將奇數(shù)個(gè)項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求解。問(wèn)題2:計(jì)算Sn=1+2+3+4+……+n[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生可能出現(xiàn)以下求法方法1:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn=(n+1)n/2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=[1+(n-1)](n-1)/2+n=(n+1)n/2綜上當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),Sn=(n+1)n/2[設(shè)計(jì)意圖]這是求個(gè)項(xiàng)數(shù)奇偶不定的求和問(wèn)題,若簡(jiǎn)單地摹仿高斯算法,將出現(xiàn)不能全部配對(duì)的問(wèn)題,借此滲透化歸思想。[設(shè)計(jì)意圖]以上題目是從求確定的前n個(gè)正整數(shù)之和到求一般項(xiàng)數(shù)的前n個(gè)正整數(shù)之和,讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的研究方法,旨在讓學(xué)生對(duì)“首尾配對(duì)求和”這一算法的改進(jìn)。問(wèn)題3:在公差為d的等差數(shù)列{an}中,定義前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an,如何求Sn?由前面的大量鋪墊,學(xué)生應(yīng)容易得出如下過(guò)程:思考:若將an=a1+(n-1)d代入又可得出哪個(gè)表達(dá)式?Sn=na1+n(n-1)d/2公式2(三)u3000n項(xiàng)和公式例題1、如圖1堆放著一堆鋼管,最上層放了4根,下面每一層比上一層多放一根,共8層,這堆鋼管共有多少根?設(shè)計(jì)意圖:從實(shí)例引出求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題,通過(guò)這個(gè)實(shí)例的解答,使學(xué)生了解“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的幾何意義,可類比梯形面積的推倒方法來(lái)記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。例題2、課本43頁(yè)例題1。[設(shè)計(jì)意圖]該例題是課本原題,可以鍛煉學(xué)生建模的能力和處理數(shù)據(jù)信息的能力以及選用公式的能力。學(xué)生可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā),選用公式1;也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā),選用公式2,通過(guò)兩種方法的比較,引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)注意選擇適當(dāng)?shù)墓?以便于計(jì)算。(四)返回練習(xí)1課本45頁(yè)小練習(xí)1,3題。(五)運(yùn)用有限元學(xué)算法掌握數(shù)值規(guī)律組織學(xué)生分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法,小組之間互相補(bǔ)充完成課堂小結(jié),實(shí)現(xiàn)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的再次深化。1。從特殊到一般的研究方法;2。體會(huì)倒序相加的算法,掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式,領(lǐng)會(huì)方程(組)思想;3、用梯形面積公式記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;(六)前n項(xiàng)和前n項(xiàng)1、課本46習(xí)題第1題(1)(3),第2題(3)(4),第5題2、探索題(1)數(shù)列{1n(n+1)}{1n(n+1)}的前n項(xiàng)和Sn=11×2+12×3+13×4+?+1n×(n+1)Sn=11×2+12×3+13×4+?+1n×(n+1),求Sn;(七)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法另外“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的推導(dǎo)不只一種方法,本節(jié)課是通過(guò)介紹高斯的算法,探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和。該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì),可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的理解,而且該推導(dǎo)過(guò)程體現(xiàn)了人類研究、解決問(wèn)題的一般思路——從特殊到一般。本節(jié)課教學(xué)過(guò)程的難點(diǎn)在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思路。為了突破這一難點(diǎn),在教學(xué)中采用了以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法,設(shè)計(jì)的三個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了分析、解決問(wèn)題的一般思路,即從特殊問(wèn)題的解決中提煉方法,再試圖運(yùn)用這一方法解決一般問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中,通過(guò)教師的層層引導(dǎo)、學(xué)生的合作學(xué)習(xí)與自主探究,尤其是借助圖形的直觀性,學(xué)生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了。但是在實(shí)際的授課過(guò)程中發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)于奇數(shù)列的求和熟練的程度不如偶數(shù)列,在高斯問(wèn)題的基礎(chǔ)上把由偶數(shù)列改為奇數(shù)列,同時(shí)出這道問(wèn)題1:計(jì)算Sn=1+2+3+……51的目的是要求學(xué)生利用:“首尾配對(duì)法”進(jìn)行計(jì)算,偶數(shù)列相比奇數(shù)列而言“配對(duì)”更為簡(jiǎn)便,在這里也為問(wèn)題二需要坐下鋪墊,以起到層層深入的目的。否則直接給出問(wèn)題三這樣在課程的剛剛進(jìn)行就給學(xué)生設(shè)置了障礙,那樣并不符合我們新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。另外例題2的演練過(guò)程中,我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對(duì)于實(shí)際問(wèn)題有些無(wú)從下手,從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的意識(shí)淡薄,能力也教差,因此以后有必要在這方面多下些功夫,以提高大家的實(shí)際應(yīng)用能力。這樣才