小學(xué)奧數(shù)習(xí)題版三年級幾何一筆畫教師版

PAGEPAGE3一筆畫一筆畫知識要點一筆畫問題是一種有名的數(shù)學(xué)游戲一筆畫問題是一種有名的數(shù)學(xué)游戲．所謂一筆畫，就是從圖形上的某點出發(fā)，筆不離開紙，而且每條線都只畫一次不準重復(fù)．我們把一個圖形中與偶數(shù)條線相連接的點叫做偶點．相應(yīng)的把與奇數(shù)條線相連接的點叫做奇點．1、判斷圖形能否一筆畫的規(guī)律：⑴能一筆畫出的圖形必須是連通的圖形．⑵凡是只由偶點組成的連通圖形，一定可以一筆畫出．畫時可以由任一偶點為起點．最后仍回到這點．⑶凡是只有兩個奇點的連通圖形一定可以一筆畫出．畫時必須以一個奇點為起點．另一個奇點為終點．⑷奇點個數(shù)超過兩個的圖形，一定不能一筆畫．2、我們把不能一筆畫成的圖，歸納為多筆畫．多筆畫圖形的筆畫數(shù)恰等于奇點個數(shù)的一半．事實上，對于任意的連通圖來說，奇點個數(shù)必為偶數(shù)，如果有個奇點(為自然數(shù)），那么這個圖一定可以用筆畫成．公式是：奇點數(shù)=筆畫數(shù)，即．【課前引入】老師可在黑板上畫一些簡單的一筆畫的動物圖形做引入，例如下面的蝴蝶、蝸牛、鵝以及金魚都是用一筆畫成的。由此引出關(guān)于一筆畫的由來：

18世紀，東普魯士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普萊格爾河橫貫城區(qū)，使這座城市錦上添花，顯得更加風(fēng)光旖旋。這條河有兩條支流，在城中心匯成大河，在河的中央有兩座美麗的小島。河上有七座各具特色的橋把島和河岸連接起來。（如下圖所示）

每到傍晚，許多人都來此散步。人們漫步于這七座橋之間，久而久之，就形成了這樣一個問題：能不能既不重復(fù)又不遺漏地一次相繼走遍這七座橋？這就是聞名遐邇的“哥尼斯堡七橋問題?！泵恳粋€到此游玩或散心的人都想試一試，可是，對于這一看似簡單的問題，沒有一個人能符合要求地從七座橋上走一遍。這個問題后來竟變得神乎其神，說是有一支隊伍，奉命要炸毀這七座橋，并且命令要他們按照七橋問題的要求去炸。

七橋問題也困繞著哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生們，在屢遭失敗之后，他們給當時著名數(shù)學(xué)家歐拉寫了一封信，請他幫助解決這個問題。

歐拉看完信后，對這個問題也產(chǎn)生了濃厚的興趣。他想，既然島和半島是橋梁的連接地點，兩岸陸地也是橋梁的連接地點，那就不妨把這四處地方縮小成四個點，并且把這七座橋表示成七條線。（如右上圖所示）這樣，原來的七橋問題就抽象概括成了如下的關(guān)系圖：這顯然并沒有改變問題的本質(zhì)特征。于是，七橋問題也就變成了一個一筆畫的問題，即：能否筆不離紙，不重復(fù)地一筆畫完整個圖形。這竟然與孩子們的一筆畫游戲聯(lián)系起來了。接著，歐拉就對“一筆畫”問題進行了數(shù)學(xué)分析一筆畫有起點和終點，起點和終點重合的圖形稱為封閉圖形，否則便稱為開放圖形。除起點和終點外，一筆畫中間可能出現(xiàn)一些曲線的交點。歐拉注意到，只有當筆沿著一條弧線到達交點后，又能沿著另一條弧線離開，也就是交匯于這些點的弧線成雙成對時，一筆畫才能完成，這樣的交點就稱為“偶點”。如果交匯于這些點的弧線不是成雙成對，也就是有奇數(shù)條，則一筆畫就不能實現(xiàn)，這樣的點又叫做“奇點”。見下圖：歐拉通過分析，得到了下面的結(jié)論：若是一個一筆畫圖形，要么只有兩個奇點，也就是僅有起點和終點，這樣一筆畫成的圖形是開放的；要么沒有奇點，也就是終點和起點連接起來，這樣一筆畫成的圖形是封閉的。由于七橋問題有四個奇點，所以要找到一條經(jīng)過七座橋，但每座橋只走一次的路線是不可能的。

有名的“哥尼斯堡七橋問題”就這樣被歐拉解決了。下面我們就根據(jù)歐拉提出的結(jié)論來學(xué)習(xí)一下一筆畫問題。一筆畫判斷下列各圖能否一筆畫出，并說明理由。【分析】圖有個奇點，圖有個奇點不能一筆畫出，其余均可以一筆畫出。判斷下列各圖能否一筆畫出，并說明理由?！痉治觥竣庞袀€奇點，不能一筆畫。⑵有個奇點，不能一筆畫。⑶有個奇點，不能一筆畫。⑷⑸⑹都是偶點，可以一筆畫。多筆畫下面各圖至少需要幾筆才能畫成？【分析】圖有個奇點，因此需要筆畫出；圖有個奇點，需要筆畫出；圖有個奇點，需要筆畫出。判斷圖中的三個圖形各需要幾筆才能畫出？請把能一筆畫的圖形的畫法用字母和箭頭表示出來?！痉治觥繄D能一筆畫，因為該圖中所有的點全是偶點。它的一個畫法是：。圖能一筆畫，因為該圖中只有兩個奇點。它的一個畫法是：。圖有個奇點，需筆畫出。圖有個奇點，需要筆畫出。觀察下面的圖形，判斷其需要幾筆才能畫出？【分析】圖都是偶點，可一筆畫出；圖有個奇點，也可以一筆畫出。圖有個奇點，需要筆畫出。多筆畫改一筆畫下圖中的兩個圖形均不能一筆畫出，你能將原圖形中的某一線段取消使之能夠一筆畫成嗎？【分析】兩個圖形均能將某一條線段取消使之一筆畫成。圖中的奇點有點四個，因此取消六條線段中的任意一條均可以消除兩個奇點，使得圖形可以一筆畫出；圖中的奇點有四個，取消四條線段中的任意一條均可以消除兩個奇點使得圖形可以一筆畫出。下圖能一筆畫成嗎？如果不能，請你添上或減去一根線段使它能一筆畫出來?！痉治觥繄D中奇點有四個，因此不能一筆畫出。想要一筆畫出需要至少消除兩個奇點，那么可添加線段中的任意一條線段，將此圖形改為可一筆畫；或者減去這四點間任意兩點的連線（圖中只有），將圖形變化為一筆畫。判斷下列圖形能否一筆畫．若能，請給出一種畫法，若不能，請說明需要幾筆才能畫出，并請加一條線或去一條線，將其改成可一筆畫的圖形．【分析】圖：原圖有四個奇點，需兩筆畫出。在兩點之間加一條線后，圖中只有兩個奇點，故可以一筆畫出，如圖所示(答案不唯一)．畫法：．圖：原圖有四個奇點，需要兩筆畫出。去掉兩點之間的連線，圖中只有兩個奇點，故可以一筆畫出，如圖所示(答案不唯一)．畫法：．圖：原圖有四個奇點，需要兩筆畫出。在兩點之間加一條線后，圖中只有兩個奇點，故可以一筆畫出，如圖所示(答案不唯一)．畫法：將下圖改為一筆畫．【分析】圖⑴中有個奇點，因此可添上兩條(或3條)邊后改為一筆畫．又因為這個圖中，把這6個奇點任意分為3對后，最多只有兩對奇點間有邊相連，因此，也可去掉兩條邊后改為一筆畫，舉例如圖⑶～⑹；圖⑵中有4個奇點，因此，可添上兩條(或1條)邊后改為一筆畫，又因為把奇點按與與(或與與)分為兩對后，每對間均有邊相連，因此，可去掉兩條(或1條)邊后改為一筆畫．舉例如圖⑺～⑻．注意：圖⑹運用了兩種方法，去掉邊，添上邊與．生活中的一筆畫（第十二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試題（小學(xué)組））同學(xué)們野營時建了個營地，連接營地之間的道路如圖所示，貝貝要給每個營地插上一面旗幟，要求相鄰的旗幟色彩不同，則貝貝至少需要＿＿＿種顏色的旗子。如果貝貝從某營地出發(fā)，不走重復(fù)的路就______（填“能”或“不能”）完成這項任務(wù)?！痉治觥坑蓤D中可以看到這九個營地形成基本圖形為三角形的網(wǎng)格，那么根據(jù)題意需保證三角形的每個頂點顏色都不相同，至少需要種顏色的旗子。由于圖中共有個奇點，可以確定貝貝從某營地出發(fā)不走重復(fù)的路不能完成這項任務(wù)。下圖是一個公園的道路平面圖，要使游客走遍每條路且不重復(fù)，問出、入口應(yīng)設(shè)在哪里？【分析】依據(jù)題意可知，此題實際是一筆畫問題．由于要設(shè)出口和入口，所以首先應(yīng)確定有沒有奇點，若有，有幾個．因為圖中只有、兩個奇點，所以該道路圖可以一筆畫，只要將出、入口分別設(shè)在這兩個點，游客就可以從入口處進入公園，不重復(fù)地走遍所有道路，而且從出口處離開公園．下圖中每個小正方形的邊長都是米。小明沿線段從點到點，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？【分析】這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫的方法，實際上可以用一筆畫原理求解。首先，圖中有個奇點，在個奇點之間至少要去掉條線段，才能使這個奇點變成偶點；其次，從點出發(fā)到點，兩點必須是奇點，現(xiàn)在都是偶點，必須在與連接的線段中各去掉條線段，使成為奇點。所以至少要去掉條線段，也就是最多能走米，走法如下圖：小明假日去看畫展，展覽分四個展區(qū)，展覽館內(nèi)外一共有六扇門，平面圖如下，請問小明能否不重復(fù)地穿過每一扇門？如果不能，請說明理由。如果能，應(yīng)從哪開始走？【分析】我們將每個展室看成一個點，室外看成點，將每扇門看成一條線段，兩個展室間有門相通表示兩個點間有線段相連，于是得到右上圖。能否不重復(fù)地穿過每扇門的問題，變?yōu)橛疑蠄D是否可以一筆畫問題。圖中只有兩個奇點，所以答案是肯定的，應(yīng)該從或展室開始走。下圖是某博物館的平面圖，共有五個主題展館，相鄰兩館之間有門相通，并且設(shè)有入口．博物館的入口以及展館門口掛了顏色各異的彩旗，請問你能否從入口進入一次不重復(fù)地穿過所有的門采集到所有顏色的彩旗嗎？如果可以，請指明穿行路線，如果不能，應(yīng)關(guān)閉哪個門就可以辦到？【分析】可以將圖中的五個展館以及館外的部分都抽象成點，為方便解題，給它們分別編號得到左下圖．這時，連通館與館之間的門就相當于各點之間的連線．于是題目中博物館的平面圖就抽象成為一個連通的圖形，求穿行路線的問題就轉(zhuǎn)化成一筆畫的問題．在抽象出的圖形中，我們可以找到四個奇點，即①、④、③和博物館入口外，所以圖形不能一筆畫出也就是說，從入口進入不可能一次不重復(fù)的穿過所有的門．但根據(jù)一筆畫問題的知識，只要關(guān)閉或門，把③、④或①、④變?yōu)榕键c，就可以辦到，可行路線如下圖（答案不唯一）：關(guān)閉門關(guān)閉門關(guān)閉門關(guān)閉門在一條河的中間有兩個小島，周圍有六座橋與兩岸相通．問能否找到一條路線，從一岸出發(fā)，不重復(fù)走遍所有的橋，然后到達對岸？用點表示小島與河岸，用連接兩點的線表示連接相應(yīng)兩地的橋，如右上圖，由于此圖中有和兩個奇點，雖然可以一筆畫出此圖形，但起點和終點必須為和，所以要想以和分別為起始點和終點，是無法一筆畫出此圖形的，所以不能找到一條路線，從一岸出發(fā)，不重復(fù)走遍所有的橋，然后到達對岸.如下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個島，有七座橋連接這兩個島及河岸．問：一個散步者能否一次不重復(fù)地走遍這七座橋？【分析】用點表示小島與河岸，用連接兩點的線表示連接相應(yīng)兩地的橋，如圖，有個奇點，所以該圖可以一筆畫，即可以一次不重復(fù)地走遍這七座橋，走法如圖．圖1-7-2圖1-7-1圖1-7-2圖1-7-1世紀的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心匯合，匯合處有一座小島和一座半島，人們在這里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個島連接起來(如下圖所示)．如果游人要一次走過這七座橋，而且對每座橋只許走一次，問如何走才能成功？這個有趣的問題引起了著名數(shù)學(xué)家歐拉的注意，他證明了七橋問題中提到的走法根本不存在．下面，我們考慮如下兩個問題：⑴若再架一座橋，游人能否走遍所有這八座橋？若能，這座橋應(yīng)架在何處？若不能，請說明理由．⑵架設(shè)幾座橋可以使游人走遍所有的橋回到出發(fā)地？【分析】⑴圖中，用表示兩個小島，點表示河的左右兩岸，若用連接兩點的線表示橋，從而得到一個由四個點和七條線組成的圖形．在圖中，點四個點均為奇點，顯然不能一筆畫出這個圖形．若將其中的兩個奇點改成偶點，即在某兩個奇點之間連一條線，這樣奇點個數(shù)由四個變?yōu)閮蓚€，此時，圖形可以一筆畫出．如我們可以選擇奇點在之間連一條線(架一座橋)，如圖．在圖中只有點和兩個奇點，那么我們可以以為起點，為終點將圖形一筆畫出．其中一種畫法為：．所以，如果在河岸與小島之間架一座橋，游人就可以不重復(fù)地走遍所有的橋．⑵在⑴的基礎(chǔ)上，再在另外兩個奇點與之間連一條線(即架一座橋)，使這兩個奇點也變成偶點，如圖．那么四個點均為偶點，所以圖可以一筆畫出，并且可以以任意點為起點，最后仍回到這個點．其中一種畫法為：．這表明：在河岸與半島之間架一座橋后，再在小島與河岸之間架一座橋，共架設(shè)兩座橋，就可以使游人不重復(fù)地走遍所有的橋并回到出發(fā)地．下圖是某博物館的平面圖，相鄰兩個展廳之間有一扇門相通，每一個展廳都有一門通往館外．問參觀者能否不重復(fù)地一次穿過每一扇門？若能，請找出一條可行路徑，若不能，請說明理由．如果允許關(guān)閉某一扇門，問參觀者能否不重復(fù)地穿過每一扇開著的門？【分析】我們把展廳及館外看成某個圖中的點，把兩個展廳之間的門看作是連接表示這兩個展廳的點的線．根據(jù)題中條件知，館外與各展廳相通，這樣將點與點用線連接，展廳與展廳相通，將點與點用線連接，展廳除與相通外，它還與展廳相通，將與連接，除此之外，展廳相通，展廳相通，將點連接，再將點連接(如圖)．于是本題要解決的問題就變成了能否將圖一筆畫的問題．可以看出：圖中共有六個點，其中有四個奇點，它們分別為，由一筆畫的規(guī)律可知，圖不能一筆畫．也就是說，參觀者不能夠不重復(fù)地一次穿過每一扇門．如果允許關(guān)閉某一扇門，這相當于在圖中去掉一條線，那么參觀者就有可能不重復(fù)地一次穿過每一扇門．我們知道，在圖中有四個奇點，為了把圖改成一筆畫圖形，我們設(shè)法減少奇點個數(shù)，使奇點數(shù)變?yōu)閮蓚€．為此，我們可以去掉一條連接兩個奇點的線，如去掉與間的連線，相應(yīng)的圖就變成了圖．在圖中，除了原來的和是奇點外，其余點全部是偶點，故圖可以一筆畫．其中一種畫法為：．上面的分析表明，如果關(guān)閉連接兩展廳之間的門，參觀者就可以不重復(fù)地一次穿過每一扇開著的門．本題與七橋問題類似，只是將行人過橋換成了參觀者穿過每一扇門．我們將這個問題轉(zhuǎn)化為一筆畫問題來研究．（年中國臺灣小學(xué)數(shù)學(xué)競賽選拔賽復(fù)賽）有一個城市的街道圖是由一些矩形所構(gòu)成，如下圖。一位警察要從點出發(fā)巡邏，行經(jīng)每一條路至少一次后回到點。請問他至少要行走多少米？【分析】圖中共有個奇點，點為偶點，我們至少需要增加條線段才能使奇點都變成偶點，題中問“至少”行走多少米，那么我們需要保證添加的線段總長為最短，如下圖所示。如此可知，這個警察走過的最短路程為（米）一個郵遞員投遞信件要走的街道如下頁左上圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局。怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？圖b圖a圖b圖a【分析】圖中共有個奇點，必須在個奇點間添加條線，才能消除所有奇點，成為能從郵局出發(fā)最后返回郵局的一筆畫。在距離最近的兩個奇點間添加一條連線，如上圖中粗線所示，共添加條連線，這條連線表示要重復(fù)走的路，顯然，這樣重復(fù)走的路程最短，全程（千米）（圖畫法不唯一。）一個郵遞員投遞信件要走的街道如下圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局。怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？農(nóng)技站有一塊邊長為米的正方形試驗田，如下圖所示，用縱橫田埂劃分成九個作物實驗區(qū)。農(nóng)技員從處進入后能不能不走重復(fù)的路，把實驗田埂全部走一遍？若不可能，請找出一條走重復(fù)路線最少的捷徑。全程要走多少米？【分析】圖中有八個奇點（圖中用三角形標注），因此農(nóng)技員不可能不走重復(fù)的路將田埂走一遍。農(nóng)技員從處進入，處出來，要走遍所有的田埂，必須走四段重復(fù)路，由此得出走邊全部田埂的四種方案如下圖（粗線為重復(fù)的路程）：重復(fù)走的路一般選擇在相鄰較近的兩個奇點之間，這樣可以保證所走的路程最短，以上四種方案中圖最佳。所以可得最短路程為（米）。有一個郵局，負責(zé)個村莊的投遞工作，圖中的點表示村莊，線段表示道路．郵遞員從郵局出發(fā)，怎樣才能不重復(fù)地經(jīng)過每一個村莊，最后回到郵局？【分析】圖中有兩個奇點，所以該圖可以一筆畫，但因為郵局所在點為奇點，所以要一筆畫就不可能回到郵局．又圖中十點均有4條線段與之相連，如果我們將上圖一筆畫的話，就要經(jīng)過以上十點各兩次，這也不滿足題目的要求，所以要將這些點相連的線段去掉一些，使得與這些點相連的線段均只有兩條，并且將兩個奇點也變成只有兩條線段與之相連，這樣得到的圖形即可一筆畫，又只經(jīng)過每個點一次，并且可以回到郵局，一種可行路線如下圖：一課一練請試著將下列圖形一筆畫出。（4）（3）（2）（1）（4）（3）（2）（1）【分析】（4）（3）（2）（1）（4）（3）（2）（1）判斷下列各圖能否一筆畫出，并說明理由?！痉治觥繛榉沁B通圖形，有四個奇點，因此不能一筆畫出；有兩個奇點，均為偶點可以一筆畫出。觀察下面的圖形，判斷其需要幾筆才能畫出？【分析】圖有個奇點，需要筆畫出；圖有個奇點，需要筆畫出；圖有個奇點，需要筆畫出；圖中有個奇點，需要筆畫出。如圖是一個超市的平面圖，超市共有六個門，小明想一次走遍所有通道而又不走重復(fù)路線，請你幫他設(shè)計一種進出方法．【分析】把每一條通道看作是邊，通道的交點看作是結(jié)點(每個門處即為一個結(jié)點)，可得右下圖，這樣問題就轉(zhuǎn)化為能否從某點出發(fā)將圖一筆畫的問題．觀察可知，圖中只有兩個奇點(點和點)，根據(jù)一筆畫原理可得：將點和點分別作為起點和終點，可將右圖一筆畫出．即張明從門(或門)進超市，一次走遍所有通道后從門(或門)出超市，其行進路線為：某對外開發(fā)的花房有六間展覽室，每相鄰的兩室間有一扇門相通，平面圖如下圖所示。處為入口，若要使參觀者能夠從入口進去一次不重復(fù)的經(jīng)過所有的門，出口應(yīng)該設(shè)在哪里？【分析】用點表示各花卉展覽室以及入口，用線段表示連接各展覽室的門，得到右上圖。此題便成為求使得該圖能否一筆畫出的問題。圖中僅有兩個奇點和，若要使其能一筆畫，在入口已經(jīng)確定在點的條件下，出口應(yīng)該設(shè)在點。也就是說該花房的出口應(yīng)該設(shè)在編號為的展覽室與室外的交接墻體處。（年秋明心奧數(shù)挑戰(zhàn)賽）下圖是某街區(qū)的示意圖，各線段代表馬路。街區(qū)為正方形，邊長米，各小區(qū)都是米米的長方形。在處的某人想找到處的那個人，但是，由于他缺乏運動，所以，想盡量走最長的路，順便鍛煉鍛煉，并且不想走重復(fù)的路。那么，他最多可以走多少米？【分析】根據(jù)一筆畫原理，根據(jù)圖形，若要從點出發(fā)到點不重復(fù)的走最長的路，需要通過取消一些線段將該圖形改變成僅有兩個奇點的圖形。觀察可知原圖中共個奇點，與是偶點，由于兩點的相鄰點均為奇點，那么將這個奇點變成偶點并且將兩點變成奇點至少需要取消條線段，也就是說至少有段路不能走到。若要使走得路程最長，那么只需找出最短的段路共米，去掉即可。全街區(qū)道路共米。因此他最多可以走：（米）。如下圖所示，有四個小島，各島之間有七座橋，游人想要一次不重復(fù)的走遍這七座橋，能做到嗎？有幾種走法？要怎么走？【分析】用點表示四個小島，用線表示連接這四個島的七座橋，得到右上圖。此題中的問題便轉(zhuǎn)化為一筆畫問題。該圖共有兩個奇點和，因此可以一筆畫，也就是說游人可以一次不重復(fù)的走遍這七座橋。有兩種走法，一種是從島出發(fā)到島結(jié)束，;一種是從島出發(fā)到島結(jié)束.(具體走法不唯一。)下圖是某展覽廳的平面圖，