+第九章 光的電磁理論基礎(chǔ)

第九章光的電磁理論基礎(chǔ)19世紀60年代，麥克斯韋(Maxwell)在電磁學理論的研究基礎(chǔ)上，從理論上推得電磁波的傳播速度等于光速，這使得麥克斯韋推測：光的傳播是一種電磁現(xiàn)象，是電磁振動在空間的傳播。20年后赫茲(Hertz)第一次在實驗上證實了光波就是電磁波，從而肯定了麥克斯韋的預言，產(chǎn)生了光的電磁理論。光的電磁理論的確立，推動了光學及整個物理學的發(fā)展。現(xiàn)代光學盡管產(chǎn)生了許多新的領(lǐng)域，并且許多光學現(xiàn)象需要用量子理論來解釋，但是光的電磁理論仍然是闡明大多數(shù)光學現(xiàn)象以及掌握現(xiàn)代光學的一個重要基礎(chǔ)。2023最新整理收集do

something本章內(nèi)容●光的電磁性質(zhì)●光在電介質(zhì)分界面上的反射和折射●光的吸收、色散和散射●光波的疊加●光波的傅里葉分析1、麥克斯韋方程組（9-1）（9-2）（9-3）（9-4）D——電感強度(電位移矢量)；E——電場強度；B——磁感強度；

H——磁場強度；

ρ——表示封閉曲面內(nèi)的電荷密度；

j——表示積分閉合回路上的傳導電流密度；

——為位移電流密度；

概括了靜電場和似穩(wěn)電流磁場的性質(zhì)和時變場情況下電場和磁場之間的聯(lián)系。

▽哈密爾頓算子第一節(jié)光的電磁性質(zhì)

一、電磁場的波動性D——電感強度(電位移矢量)；E——電場強度；B——磁感強度；

H——磁場強度；

ρ——表示封閉曲面內(nèi)的電荷密度；

j——表示積分閉合回路上的傳導電流密度；

——為位移電流密度；

此式為電場的高斯定理，表示電場可以是有源場，此時電力線發(fā)自正電荷，終止于負電荷此式為磁通連續(xù)定律，即穿過一個閉合面的磁通量等于零，表示穿入和穿出任一閉合面的磁力線的數(shù)目相等，磁場是個無源場，磁力線永遠是閉合的此式為為法拉第電磁感應定律，表示變化的磁場會產(chǎn)生感應的電場，這是一個渦旋場，其電力線是閉合的，不同于閉合面內(nèi)有電荷時的情況。麥克斯韋指出，只要所限定面積中磁通量發(fā)生變化，不管有否導體存在，必定伴隨變化的電場此式為安培全電流定律，表示在交變電磁場的情況下，磁場既包括傳導電流產(chǎn)生的磁場，也包括位移電流產(chǎn)生的磁場。傳導電流意味電荷的流動，位移電流意味電場的變化，兩者在產(chǎn)生磁效應方面是等效的。位移電流的引入，進一步揭示了電場和磁場之間的緊密聯(lián)系。divergnce散度rot旋度梯度，gradient

▲

物質(zhì)方程

電磁場是在介質(zhì)中傳播，介質(zhì)性質(zhì)對電磁場傳播會帶來影響.

描述物質(zhì)在場作用下特性的關(guān)系式稱為物質(zhì)方程。靜止的、各向同性(每一點的物理性質(zhì)不隨方向改變)介質(zhì)中的物質(zhì)方程為

在各向同性均勻介質(zhì)中，ε、μ是常數(shù)，σ=0。（9-5）（9-6）（9-7）σ電導率ε介電常數(shù)(或電容率)μ磁導率在真空中，（法/米）對于非磁性物質(zhì)（法/米）

物質(zhì)方程給出了介質(zhì)的電學和磁學性質(zhì)，用介電常數(shù)和磁導率表示光與物質(zhì)相互作用時介質(zhì)中大量分子平均作用。麥克斯韋方程組與物質(zhì)方程一起構(gòu)成一組完整的方程組，用于描述時變場情況下電磁場的普遍規(guī)律。在電磁場的邊值條件下，用于處理具體的光學問題。

2、電磁場的波動性

▲任何隨時間變化的磁場在周圍空間產(chǎn)生電場，這種電場具有渦旋性。

▲任何隨時間變化的電場（位移電流）在周圍空間產(chǎn)生磁場，磁場是渦旋的。

▲電場和磁場緊密相聯(lián)，其中一個起變化時，隨即出現(xiàn)另一個，它們相互激發(fā)形成統(tǒng)一的場——電磁場。

▲交變電磁場在空間以一定的速度由近及遠的傳播，就形成了電磁波。

從麥克斯韋方程組出發(fā)，可證明電磁場傳播具有波動性。為簡單，討論在無限大各向同性均勻介質(zhì)的情況，此時，ε、μ是常數(shù)，電導率σ=0。若電磁場遠離輻射源，則封閉曲面內(nèi)的電荷密度

=0，積分閉合回路上的傳導電流密度j=0，麥克斯韋方程簡化為：（9-8）（9-9）（9-10）（9-11）ε、μ為常數(shù)σ=0ρ=0j=0

由麥克斯韋方程組可以導得【7】E、B

滿足的波動微分方程為其中（9-12）（9-13）（9-14）

可見，E、B隨時間和空間的變化是遵循波動規(guī)律，電磁場以波動形式在空間傳播，電磁波的傳播速度與介質(zhì)的電學和磁學性質(zhì)有關(guān)。（9-15）

▲真空中電磁波速——電磁波在真空中的傳播速度為引入相對介電常數(shù)相對磁導率（9-16）

▲介質(zhì)對電磁波的折射率n——電磁波在真空中的速度c與介質(zhì)中速度v的比值，即（9-17）

除了磁性物質(zhì)，大多數(shù)物質(zhì)的μr≈1，因而有n=(εr)0.5的關(guān)系，這一關(guān)系對于化學結(jié)構(gòu)簡單的氣體，符合的很好，但對于許多液體和固體，兩者相差很大。這是由于(μr)0.5的值（因而折射率）實際上與入射電磁波的頻率有關(guān)，存在色散現(xiàn)象（參見本章第三節(jié)）。

麥克斯韋通過理論計算后預言：交變的電場和磁場產(chǎn)生電磁波，光波就是電磁波。赫茲在麥克斯韋預言后20年從實驗上確證了電磁波的存在，并證明電磁波具有與光波相同的反射、折射、相干、衍射和偏振特性，它的傳播速度等于光速。這以后，光的電磁理論真正為人們所接受。

整個的電磁波譜如表9-1所示。通常所稱的光學波譜包括紫外光波、可見光波和紅外光波。人眼可以感覺到各種顏色的可見光波，它們在真空中的波長范圍約390～780nm。光學是以光學波譜為對象，研究輻射光的性質(zhì)、光所引起的現(xiàn)象及其應用。

二、平面電磁波及其性質(zhì)1、平面簡諧電磁波的波動公式

利用波動方程式(9-12)和式(9-13)可分別求出E和B的多種形式的解，例如平面波、球面波和柱面波解。方程的解還可以寫成各種頻率的簡諧波及其疊加。在此，以平面波為例求解波的方程，并討論在光學中有重要意義的平面簡諧波解。

平面電磁波是電場或磁場在與傳播方向正交的平面上各點具有相同值的波。假設(shè)平面波沿直角坐標系Oxyz的z方向傳播，則平面波的E和B僅是z和t的函數(shù)。式(9-12)、(9-13)化為（9-18）（9-19）求解波動方程，考慮由源向外輻射電磁波的情況，得（9-20）（9-21）表示以速度v沿z軸正方向傳播的平面波

▲傳播的波動取決于源的振動形式。取最簡單的簡諧振動作為波動方程的特解，這不僅是因為這種振動形式簡單，更重要的是從傅里葉分析方法可知，任何形式的波動都可分解為許多不同頻率的簡諧振動之和。故有（9-22）（9-23）（9-24）（介質(zhì)中）平面簡諧電磁波波動公式，對于光波來說，就是平面單色光波的波動公式

A和A’——分別為電場和磁場的振幅矢量，表示平面波的偏振方向；v——平面波在介質(zhì)中的傳播速度；ω——角頻率；[ω(z/v-t)]——為位相，它是時間和空間坐標的函數(shù)，表示平面波在不同時刻空間各點的振動狀態(tài)。物理量間的關(guān)系：（真空中）（9-24a）（9-24b）（9-24c）振動頻率，書中用的符號與速度符號難以分辨，故用fv傳播速度光波波長振動周期

引入波傳播方向上的波矢量k(稱為空間角頻率或波數(shù)）：

▲波動公式（9-25）、（9-26）、（9-22）所描述的波是一個具有單一頻率、在時間和空間上無限延續(xù)的波。（9-24d）（9-25）（9-26）

某一時刻波在空間是一個以波長λ為周期的周期分布。

●在空間域中，可用空間周期λ、空間頻率1/λ及空間角頻率k這樣一組物理量來表示它的空間周期性；

●而對于空間固定的點，波在該點是以時間周期T為周期的一個周期振動，在時間域中，可用時間周期T、時間頻率f=1/T及角頻率ω這樣一組物理量表示它的時間周期性。

空間周期性與時間周期性之間通過傳播速度v=λ/T相聯(lián)系。任何時間周期性和空間周期性的破壞都意味著光波單色性的破壞.設(shè)k的方向余弦cosα、cosβ、cosγ，任一點P的坐標為x、y、z，

式（9-27）實際上是式(9-29)的實數(shù)部分。這種代替完全是形式上的，其目的是使計算簡化。（9-27）

▲利用波矢量k可寫出沿空間任一方向傳播的平面波波動公式.

如圖9-1，沿空間任一方向k(k為矢量)傳播的平面波在垂直于傳播方向的任一平面∑上場強相同，且由該平面與坐標原點的垂直距離s決定，則平面∑上任一點P的矢徑r在k方向上的投影都等于s，因此，于是有平面波的波面是k·r=常數(shù)的平面

（9-28）

單色平面波波動公式（9-27）也可寫成復數(shù)形式：（9-29）圖9-1任一方向傳播的平面波

▲復振幅——表示某一時刻光波在空間的分布。當只關(guān)心光波場振動的空間分布時（例如光的干涉和衍射等問題中），常用復振幅表示一個簡諧光波。復振幅：（9-31）振幅和空間相位因子的乘積記為（9-30）2、平面電磁波的性質(zhì)

（1）平面電磁波是橫波平面電磁波波動公式式（9-8）式（9-9）（9-32）（9-33）表明，電矢量與磁矢量的方向均垂直于波傳播方向（9-34）

（3）E和B同相位

（2）E、B、k0互成右手螺旋系（9-35）

由式（9-10）、（9-11）得取標量形式，得

▲E和B的復振幅比為一正實數(shù)，故E和B的振動始終同相位，它們在空間某一點對時間的依賴關(guān)系相同，同時到達最大值，同時到達最小值。圖9-2是沿z方向傳播的平面電磁波的模型。圖9-2平面簡諧電磁波

當知道一個場量E（或B）及波傳播方向時，另一個場量的大小和方向也就確定了。特別是考慮光與物質(zhì)相互作用時，實驗和理論表明，對光檢測器起作用的是電矢量而不是磁矢量，所以只須考慮電場的作用，此時就用電矢量代表光矢量（即光振動）。

三、球面波和柱面波

▲球面波——其等相面(波面)是球面，球面簡諧波的波動公式（9-36）（9-37）（9-38）其復振幅表示一個由源點向外發(fā)散的球面波

表示一個向源點會聚的球面波

當考察平面離波源很遠，且只注意考察平面上一個小范圍時，r的變化對球面波振幅的影響可忽略，此時球面波在考察范圍內(nèi)可視為平面波。（9-39）

▲柱面波——具有無限長圓柱形波面(等相面)的波。用平面波照射一細長狹縫可獲得接近于圓柱面形的柱面波。柱面波的場強分布只與離開光源(狹縫)的距離r和時間t有關(guān)，其波動公式為：

四、光波的輻射和輻射能

原子發(fā)光——大部分物體的發(fā)光屬于原子發(fā)光類型。經(jīng)典電磁理論把原子發(fā)光看成是原子內(nèi)部形成的電偶極子的輻射。1、電偶極子輻射模型

電偶極子——在外界能量激發(fā)下，原子中的電子和原子核在不停地運動著，以致原子的正電中心(原子核)和負電中心(高速回轉(zhuǎn)的電子)往往不在一起，兩者的距離也在不停地變化，從而使原子成為一個振蕩的電偶極子，如圖。

振蕩電偶極子必定在周圍空間產(chǎn)生交變的電磁場，并在空間以一定的速度傳播，并伴隨著能量的傳遞。振蕩電偶極子輻射的電磁場可用麥克斯韋方程組進行計算，這在一般的經(jīng)典電動力學的輻射場部分都有介紹。

若電偶極子作直線簡諧振蕩，偶極矩p=p0e-iωt，ω是偶極子振蕩角頻率，p0為振幅矢量。計算表明，遠離偶極子中心的某點M的場為:

分析式(9-40)可知：（9-40）r是偶極子中心到M點的矢徑

v是是介質(zhì)中電磁波的傳播速度

（1）輻射電磁波的角頻率與偶極子振蕩角頻率相同，等于ω.

（2）取式(9-40)的標量形式

（9-41）式中，Ψ——偶極矩方向p與波傳播方向r的夾角。上式表明輻射電磁波是以偶極子中心為原點的發(fā)散球面波，其振幅與r成反比，且隨sinΨ而變。在偶極子振動方向上，Ψ=0，故E=B=0，在此方向上無能量輻射，而在Ψ=90°方向上能量最大。

（3）由式(9-40)可得：（9-42）即E、B、r彼此垂直，互成右手螺旋系，且E在p與r組成的平面內(nèi)振動，而B的振動方向與此平面垂直。這表明了輻射電磁波的偏振性，也再次證明電磁波(光波)是橫波。

▲實際光源發(fā)出的光波并非在時間和空間上無限延續(xù)的簡諧波，而是由一些被稱為波列的有限長的衰減振動組成。這是由于原子的振動使原子間相互碰撞，每個作自發(fā)輻射的原子所輻射的光波(波列)持續(xù)時間只是原子兩次碰撞的時間間隔(10-8～10-9s)。2、對實際光波的認識

▲實際光源輻射的光波并不具有偏振性，原因：★雖然單個原子在某一時刻輻射的光波具有偏振性，但由于原子的輻射是不連續(xù)的，同一原子不同時刻發(fā)出的波列之間其振動方向和相位是隨機的；★實際光源由大量分子、原子組成，其發(fā)出的各個波列的振動方向和相位也是隨機的。因此，在觀測時間T(>>波列存在時間△t)內(nèi)接收這類光的組合時，各個波列的振動方向和相位被完全平均，成為均等包含任何方位振動的光。這種光稱為自然光。它可以看作是在一切可能方向上振動的光波的總和。

電磁波的最主要的性質(zhì)之一是能夠傳輸能量。3、輻射能

對于光波，E、B是時間的函數(shù)，故S也隨時間快速變化，頻率在1015Hz左右，人眼與其他探測系統(tǒng)都無法接收到S的瞬時值，能夠接收的是某一時間周期T內(nèi)S的時間平均值<S>

引入輻射強度矢量或坡印亭(Poynting)矢量S用于描述電磁能量的傳播。S的方向表示能量流動方向，其大小等于單位時間垂直通過單位面積的能量。在各向同性介質(zhì)中，能量的傳播方向沿著波的傳播方向，由此得到（9-43）（9-44）輻射強度矢量的時間平均值稱為光強，記為I。對于平面波的情況，有（9-45）關(guān)于偏振光

就偏振性而言，光一般可分為偏振光、自然光和部分偏振光。光矢量的方向和大小有規(guī)則變化的光稱為偏振光。在傳播過程中，光矢量的方向不變、其大小隨相位變化的光是線偏振光，這時在垂直于傳播方向的平面上，光矢量端點的軌跡是一直線。圓偏振光在傳播過程中，其光矢量的大小不變但方向呈規(guī)則變化，其端點的軌跡是一個圓。橢圓偏振光的光矢量其大小和方向在傳播過程中均呈規(guī)則變化，光矢量端點沿橢圓軌跡轉(zhuǎn)動。任一偏振光都可以用兩個振動方向互相垂直、相位有關(guān)聯(lián)的線偏振光來表示。第二節(jié)光在電介質(zhì)分界面上的反射和折射

由于介質(zhì)的物理性質(zhì)不同，即n(ε,μ)不同，光在兩種電介質(zhì)分界面上會產(chǎn)生傳播方向、振幅、相位、能量和偏振性的變化，這是光與介質(zhì)相互作用的結(jié)果。

下面拋開光與物質(zhì)相互作用的微觀機制，用介電常數(shù)、磁導率和電導率等宏觀量來表示大量原子的平均作用，根據(jù)麥克斯韋方程組和電磁場的邊界連續(xù)條件進行討論。

電磁場的連續(xù)條件[4]：在沒有傳導電流和自由電荷的介質(zhì)中，磁感應強度B和電感強度D的法向分量在界面上連續(xù)，而電場強度E

和磁場強度H的切向分量在界面上連續(xù)。表示為

一、電磁場的連續(xù)條件（9-46）緊鄰邊界面的場矢量，均可分解為垂直于邊界的法向分量和平行于邊界的切向分量

二、光在兩電介質(zhì)分界面上的反射和折射

1、幾個基本概念

（1）入射面

兩電介質(zhì)分界面的法線與入射光線組成的平面。

（2）振動面

電場矢量的方向與入射光線組成的平面，或者電場矢量所在的平面。電矢量一般不在入射面內(nèi)振動，振動面和入射面之間存在一定的夾角α。

（3）電場矢量的分解

任一方位振動的光矢量E，都可分解成互相垂直的兩個分量：平行于入射面振動的分量為p分量，記作Ep；垂直于入射面振動的分量為s分量，記作Es，見圖9-4。

注意：不發(fā)生相位變化時，s、p、k三者滿足右手螺旋系（由p轉(zhuǎn)到s）圖9-4E的兩個分量Es和Ep

▲利用電磁場連續(xù)條件討論反射波和折射波的存在及傳播方向.

假設(shè)一單色平面光波入射在界面上，反射波、折射波也為平面光波，圖9-5。（9-47）

①入射角、反射角和折射角為θ1、θ1’和θ2；

②入射波、反射波和折射波的波矢量分別為k1、k’1和k2；角頻率為ω1、ω1’和ω2；

③將入射波E1分解成E1s和E1p。設(shè)只考慮s分量的情況(若取y正方向為s分量的正向)，則可得到入射波、反射波和折射波的表達式分別為圖9-5平面波在界面上的反射和折射式中，A1s、A’1s和A2s一般是復數(shù)，因為三個波可以有不同的初相位；r是界面上任一點的矢徑。由E1t=E2t，且注意到界面一邊的場量應等于界面另一邊的場量將式(9-47)代入上式式(9-48)應該對于任意時刻t及分界面上任意位置矢量r(x,y)，連續(xù)條件都成立，因此E1s、E’1s和E2s對變量r和t的函數(shù)關(guān)系必須嚴格相等，于是有（9-48）

由式(9-48)，在界面上同時還有:

即表明(k1’-k1)和(k2-k1)在r方向的投影(界面平面上)等于零，即與界面法線平行。這就是說k1、k’1和k2共面，都在入射面內(nèi)。（9-49）（9-50）（9-51）（9-52a）（9-52b）

利用式(9-47)中k與r的標量積，并考慮到在界面上，z=0，由式(9-51)可得因為k1=k1’=ω/v1和k2=ω/v2（9-53）同時得或

（9-54）反射定律折射定律

三、菲涅耳公式及其討論

（一）菲涅耳公式

菲涅耳公式表示反射波、折射波與入射波的振幅和相位關(guān)系.

對于入射平面光波E1的兩個互相垂直的分量s波和p波，其反射波和折射波的振幅和相位關(guān)系不同，分別予以討論。

光波中電矢量和磁場矢量的正方向規(guī)定：

（1）同一光波的波矢k，電矢量E、磁矢量B之間必須滿足右手螺旋關(guān)系，見圖(a)。

（2）所有垂直于入射面的場矢量的正向垂直紙面向外，圖(b)圖(a)圖(b)s分量和p分量的正方向1、s波（垂直于入射面分量）

（3）兩個場同相位或反相位的規(guī)定

同相位：場量的振幅比為正值，則場矢量取規(guī)定的正方向；

反相位：場量的振幅比為負值，則場矢量取規(guī)定的反方向；同相位和反相位一般是相對于入射光波來說。

圖9-6示出了反射波、折射波的場量的正向。由連續(xù)條件式(9-46)，有圖9-6s波的E和H的方向（9-55）（9-56）（9-56）（9-34）（9-7）（9-17）（9-57）（9-55）（9-57）（9-48）（9-50）（9-58a）（9-58b）s波的振幅反射系數(shù)s波的振幅透射系數(shù)

2、p波（平行于入射面分量）p波的電矢量的正向與相應的磁矢量的取向如圖9-7所示。

假定在界面處入射波、反射波和折射波同時取正向。據(jù)連續(xù)條件式(9-46)和式(9-7)，有（9-59）（9-60）圖9-7p波的E和H的分量

利用式(9-48)，由式(9-59)、式(9-60)、及式(9-54)，p波的菲涅耳公式：（9-61a）（9-61b）

對于θ1=0的垂直入射的特殊情況，菲涅耳公式：（9-62a）（9-62b）（9-62c）（9-62d）n=n2/n1為相對折射率（二）反射和折射時的振幅關(guān)系

菲涅耳公式給出了反射波或折射波與入射波振幅的相對變化，用振幅反射(或透射)系數(shù)r(或t)來描述，并隨入射角而變。

▲反射波與入射波的振幅關(guān)系

（1）不管界面兩側(cè)折射率的大小如何，在入射角θ1=θB時，p分量的反射系數(shù)總會出現(xiàn)零值，表明此時反射波中沒有p分量，產(chǎn)生全偏振現(xiàn)象。

（2）當n<1時，在入射角θ1=θC時，s和p分量的反射系數(shù)都為1，表示產(chǎn)生了全反射現(xiàn)象。

▲折射波與入射波的振幅關(guān)系

不論光波以什么角度入射至界面，也不論界面兩側(cè)折射率的大小如何，s分量和p分量的透射系數(shù)總是取正值。

（三）反射波和折射波相對于入射波的相位變化

當光波在電介質(zhì)表面反射和折射時，由于折射率為實數(shù)，故rs、rp、ts、tp通常也是實數(shù)(暫不考慮全反射)，隨著θ1的變化只會出現(xiàn)正值或負值的情況，表明所考慮的兩個場同相位(振幅比取正值)，或者反相位(振幅比取負值)，其相應的相位變化或是零或是π。

1、折射波相對于入射波的相位變化

光在兩種介質(zhì)表面折射時不發(fā)生相位變化。

光在兩種介質(zhì)表面反射時相位變化比較復雜：不管兩種介質(zhì)折射率的大小如何，當光在一般角度的斜入射情況下，要根據(jù)菲涅爾公式討論反射光相對于入射光的相位變化情況。從光疏介質(zhì)傳播到光密介質(zhì)界面上反射時，當光在接近正入射或者掠入射情況下，相對于入射光的電矢量，反射光的電矢量發(fā)生了半波損失。

2、反射波相對于入射波的相位變化

不論光波以什么角度入射至界面，也不論界面兩側(cè)折射率的大小如何，s分量和p分量的反射系數(shù)有正負情況的轉(zhuǎn)化，因此，反射光相對于入射光的相位有相同和相反的轉(zhuǎn)化。反射波相對于入射波的相位變化

（1）光從光疏介質(zhì)射到光密介質(zhì)s分量的反射系數(shù)小于零，說明反射光中的s分量相對于入射光中的s分量總是相位相反，或者說反射光中的s分量相對于入射光中的s分量存在π相位突變。

p分量的反射系數(shù)有正有負，即p分量相對于入射光的p分量存在相位相同和π相位突變的情況。

★

n1<n2，θ1=0（或θ1非零，小角度入射）的正入射情況

由于rs<0，反射光中的s分量與規(guī)定方向相反（即為垂直紙面向內(nèi)方向）；由于rp>0，反射光中的p分量與規(guī)定正方向相同（逆著反射光線看，指向右側(cè)）。所以，在入射點處，合成的反射光矢量E1’相對入射光場E1反向，相位發(fā)生π突變，或半波損失。rs<0，rp<0，說明反射光中的s分量和p分量都與規(guī)定方向相反。在入射點處，入射光矢量E1與反射光矢量E1’方向近似相反，將產(chǎn)生半波損失。

★

n1<n2，掠入射的情況

（2）光從光密介質(zhì)射到光疏介質(zhì)s分量的反射系數(shù)大于零，說明反射光中的s分量相對于入射光中的s分量總是相位相同，或者說反射光中的s分量相對于入射光中的s分量不存在相位突變。

p分量的反射系數(shù)有正有負，即p分量相對于入射光的p分量存在相位相同和π相位突變的情況。

★

n1>n2，θ1=0（或θ1非零，小角度入射）的正入射情況

由于rs>0，反射光中的s分量與規(guī)定方向相同（即為垂直紙面向外方向）；由于rp<0，反射光中的p分量與規(guī)定正方向相反（逆著反射光線看，指向左側(cè)）。所以，在入射點處，合成的反射光矢量E1’相對入射光場E1同向，沒有發(fā)生π相位突變，或半波損失。rs>0，rp>0，說明反射光中的s分量和p分量都與規(guī)定方向相同。在入射點處，入射光矢量E1與反射光矢量E1’方向近似相同，不產(chǎn)生半波損失。

★

n1>n2，掠入射的情況

考慮界面上一單位面積（圖9-11），設(shè)入射波、反射波和透射波的光強分別為I1、I1’和I2，則通過此面積的光能為入射波

界面上反射波、透射波的能流與人射波能流之比為

反射波透射波

（四）反射比和透射比

（能量關(guān)系）（9-63）（9-64）

上式中利用了μ1=μ2的假定。當不考慮介質(zhì)的吸收和散射時，根據(jù)能量守恒關(guān)系，得

應用菲涅耳公式，可寫出s波和p波的反射比和透射比公式為

（9-65）（9-66）（9-67）（9-68）（9-69）

同樣滿足能量守恒定律，有

（9-70）

影響反射比和透射比的因素，除了界面兩邊介質(zhì)的性質(zhì)以外，需考慮入射波的偏振性和入射角的因素。當入射波電矢量取任意方位角α時，可證明反射比ρα和反射比τα分別為

對于入射自然光的情況，可將自然光看成具有一切可能振動方向的光波的總和，利用上面的結(jié)果，對所有可能的方位角取值α（0→2π）所對應的反射比取平均，求得自然光反射比為（9-71a）（9-71b）

容易證明，ρn與ρ45°完全一樣。

圖9-12示出了光在空氣-玻璃界面(n=1.52)反射時，ρs、ρp

和ρn隨入射角θ1的變化。當θ1<45o，ρn幾乎不變；當θ1→π/2時，ρn很快趨于1，因此，即使是粗糙的表面也可獲得很高的反射比。（9-72）<>表示取平均

正入射時，自然光的反射比為

表明，ρn只取決于相對折射率n=n2/n1，即使是正入射，反射損失總是存在的(如n=1.52時，ρn=0.04)。當反射面多時，光能的損失相當嚴重?，F(xiàn)代光學技術(shù)普遍采用在光學元件表面鍍增透膜的方法，以減少光能的損失。（9-73）

一般情況下，rs≠rp，ts≠tp，故反射光波和折射光波的振動面相對于入射光波的振動面將發(fā)生偏轉(zhuǎn)。此時折射光波中含有全部p波和部分s波，是一個p波占優(yōu)勢的部分偏振光。當自然光以其他角度入射時，反射光一般是s波占優(yōu)勢的部分偏振光，而透射光是p波占優(yōu)勢的部分偏振光。

（五）反射和折射時的偏振關(guān)系

當入射光為自然光，若入射角滿足θ1+θ2=90o，則由式(9-68)和圖9-12，ρp=0，即反射光中沒有p波，只有垂直于入射面振動的s波，發(fā)生全偏振現(xiàn)象，反射光是偏振光，稱這時的入射角為起偏振角或布儒斯特(Brewster)角，記做θB。由折射定律可得（9-74）圖9-12ρs、ρp、ρn隨入射角的變化（n1=1，n2=1.5）ρ

光在界面上反射時產(chǎn)生的全偏振現(xiàn)象，提供了一種獲取完全偏振光的方法。玻片堆就是其中一實用裝置。它由若干薄玻璃片疊合而成(見圖9-13)，當光以θB角入射到玻片堆時，經(jīng)過各片上、下表面的反射和折射，透射光中的s波隨反射次數(shù)的增加變得越來越少，最后得到偏振程度相當高的平行于入射面振動的透射光。

全偏振現(xiàn)象在近代激光技術(shù)中的一個應用就是可獲得高相干度的單色線偏振光。在激光器諧振腔的放電管上，以布儒斯特角斜貼上兩塊玻片(見圖9-14)，形成一布儒斯特窗。s波在反射光方向上，不能在諧振腔中形成多次反射，但沿軸向行進的p波能無損耗地通過布儒斯特窗，在諧振腔中經(jīng)多次反射得到增益而形成激光，最后從諧振腔出射的是平行于入射面振動的p波。圖9-13玻片堆圖9-14帶布儒斯特窗的玻片堆

【解】據(jù)菲涅耳公式

當rp=0時，則θ1+θ2=π/2。記此時的θ1為布儒斯特角θB。于是有由折射定律

【例題9.2】一束光入射到空氣和火石玻璃(n1=1，n2=1.7)界面，問光束在什么角度下入射恰可使rp=0?光束在這一角度下入射到界面，反射光沒有平行于入射面的電矢量分量。如果入射光是非偏振光，反射光則變?yōu)槠窆?電矢量的振動面垂直于入射面)。

【例題9.3】電矢量振動方向與入射面成450的線偏振光入射到兩種介質(zhì)的界面上，第一介質(zhì)和第二介質(zhì)的折射率分別為n1=1和n2=1.5。若入射角θ1=500，問反射光中電矢量與入射面所成的角度為多少?

【解】

由折射定律

因此

由于入射光中電矢量振動方向與入射面成α=45o角，即tanα=A1s/A1p。故在入射光中電矢量垂直于入射面分量的振幅等于平行于入射面分量的振幅

。但在反射光中，由于rs≠rp，所以反射光中兩個分量的振幅并不相等。它們的值分別是式中的負號表示其取向與規(guī)定的正向相反。因此，合振幅與入射面的夾角由下式?jīng)Q定

光波從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)；臨界角θc=arcsin(n2/n1)

四、全反射

（一）反射比

由菲涅耳公式及圖9-15，在全反射區(qū)間(θ1≥θc)，所有光線全部返回介質(zhì)1，光在界面上發(fā)生全反射時確實不損失能量。圖9-15

全反射時ρs、ρp隨θ1的變化曲線(n1=1.5，n2=1）

從圖9-15還可看到，當入射角從θB變化到θc時，ρp從0很快趨于1，反射比在臨界角附近發(fā)生急劇變化。這種變化在兩介質(zhì)折射率相差大時更為顯著。例如透紅外光的鍺片(n1=4.0)，則有θB=14o2’，θc=14o29’，入射角僅變化27’，其反射比ρ就從0陡然上升到1。這種性質(zhì)在激光技術(shù)等方面得到應用。

圖9-16示出的是利用臨界角高精度對焦的例子。當光點準確聚焦在光盤上時，經(jīng)反射后入射在全反射棱鏡斜面上的光是平行光，且入射角大于臨界角，因此光檢測器全亮；當光點沒有被準確聚焦時，光在棱鏡斜面上的入射角有部分小于臨界角，故反射比急劇下降，以致光檢測器上出現(xiàn)明暗區(qū)域。通過檢測其明暗區(qū)域之差，可以知道離焦量并判斷離焦的方向，具有很高的對焦精度。圖9-16用臨界角高精度對焦（9-75a）（9-75b）因為全反射時，光在介質(zhì)2中將發(fā)生衰減(見隱失波部分)，因此式(9-75b)中應取正號才有意義。將式(9-75a)、式(9-75b)代入式(9-58a)、式(9-61a)，則有（9-76a）（9-76b）以上兩式表明，rs和rp是復數(shù)，且其分子分母都為復數(shù)共軛關(guān)系。|rs|和|rp|表示反射波和入射波的實振幅之比，其值等于1，相應的反射比也等于1，說明全反射時光能全部反射回介質(zhì)1。δs和δp分別表示全反射時s波和P波的相位變化，由式(9-76a)、式(9-76b)，可求得

（二）相位變化

光在界面上發(fā)生全反射時，由折射定律，給出折射角:（9-77a）（9-77b）δs和δp隨θ1的變化關(guān)系如圖9-17?？梢姡瓷鋾r的s波和p波在界面上有不同的相位改變。因此，反射光中s波和p波有一相位差δ，它由下式?jīng)Q定：（9-78）可見，當入射角θ1等于臨界角θc和90o時，反射光中s波和p波的相位差為零，如果這時入射光為線偏振光，則反射光也為線偏振光。但當入射角θ1>θc，且入射線偏振光的振動方向與入射面的交角α≠00或900，這時δ≠0

或π，反射光將成為橢圓偏振光。關(guān)于橢圓偏振光形成的原理將在第四節(jié)中敘述。圖9-17全反射時的相位變化（n1=1.5，n2=1）

實驗表明，在全反射時光波不是絕對地在界面上被全部反射回第一介質(zhì)，而是透入第二介質(zhì)大約一個波長的深度，并沿著界面流過波長量級距離后重新返回第一介質(zhì)，沿著反射光方向射出。這個沿著第二介質(zhì)表面流動的波稱為隱失波，曾稱倏逝波。從電磁場的連續(xù)條件來看，隱失波的存在是必然的。因為電場和磁場不會在兩介質(zhì)的界面上突然中斷，在第二介質(zhì)中應該有透射波存在，并具有特殊的形式。這從下面討論中易知。

設(shè)取xz平面為入射面，由式(9-28)，其透射波可表示為將式(9-75a)、式(9-75b)代入上式，且利用k1=k2/n

，可得（9-79）

（三）隱失波式(9-79)表明，透射波是一個沿x方向傳播且其振幅在z方向作指數(shù)衰減的波，這個波就是隱失波(見圖9-18)?？梢钥闯觯@是一個非均勻波，其等幅面是z為常數(shù)的平面，其等相面是x為常數(shù)的平面，兩者互相垂直，并且隱失波的波長和傳播速度分別為圖9-18隱失波（9-80）（9-81）式(9-79)還表明，隱失波的振幅隨透入深度的增加急速下降。通常定義振幅減少到界面(z=0)處振幅的1/e時的深度為穿透深度z0

，則（9-82）例如，選取n1=1.5，n2=1,θ1=45o時，有z0=0.45λ1。說明穿透深度很小，只有入射波波長量級。進一步研究隱失波在第二介質(zhì)中的能量流動情況，計算輻射強度矢量的時間平均值，即只有沿x方向(界面)有能量流動，而y、z方向的平均能流為零。表明流人第二介質(zhì)的能量全部返回第一介質(zhì)。實驗和計算還證明，一束有限寬度的平行光全反射時，反射光沿界面產(chǎn)生側(cè)向位移[稱為古斯?哈恩森(Goos-Haenchen)位移]，其值只是入射光波波長量級。從圖9-19可看到，入射到M點并全反射的光只沿x方向行進了l=MM’距離便在M’點沿反射光方向出射。圖9-19全反射中的位移

全反射的特點：無反射能量損失、有相位變化、存在隱失波

▲全反射時無透射損失，例如，全反射棱鏡、光纖技術(shù)應用

（四）全反射現(xiàn)象的應用▲利用隱失波特性產(chǎn)生的受抑全反射效應能制成光調(diào)制器或光輸出耦合器。

圖9-20所示，P1和P2是兩個等同全反射棱鏡，兩斜面間留有一定空氣間隙d。當光入射在棱鏡P1的斜面BC時，反射光由光電元件V1接收，同時透過BC面有一個隱失波存在。當d很小(在波長量級)，且隱失波足夠強時，在臨近的棱鏡P2中將激發(fā)起一個波，并在P2中行進，光電元件V2能接收到這一方向的出射光。若不考慮棱鏡的吸收，則總的能量守恒。當控制改變d的大小時，V1及V2中接收到的光強將發(fā)生變化。反之，若測出透射和反射的兩路光的光強，也可求取微小位移d。這種因為隱失波透入第二介質(zhì)中深度的變化所帶來的對介質(zhì)1中全反射效應的影響，稱為受抑全反射效應。它是一種光學隧道效應。通過全反射時透射區(qū)中隱失波的耦合，實現(xiàn)能流的轉(zhuǎn)移和傳輸。圖9-20隱失波光調(diào)制器

20世紀90年代取得很大發(fā)展的近場掃描光學顯微鏡(NSOM，NearFieldScanningMicroscope)是隱失波的又一應用領(lǐng)域。

如圖9-21，一個表面微結(jié)構(gòu)的樣品緊貼全反射棱鏡界面，當發(fā)生內(nèi)全反射時，在樣品及其鄰近區(qū)域存在隱失波場，用一光纖探針接近樣品表面，通過受抑全反射效應耦合，針尖接收到一光強信號輸出。由于隱失波振幅隨耦合的間距指數(shù)衰減，所以測控系統(tǒng)反應很敏感，當樣品表面有輕微起伏時，測控系統(tǒng)通過控制信號使針尖適時升降，因此可以從控制信號中獲取全反射界面上樣品圖像。近場掃描光學顯微鏡用于研究納米尺度或分子尺度微結(jié)構(gòu)和材料的光學性質(zhì)，其無損和多樣化樣品種類也為生物、化學和醫(yī)學提供了新的研究手段。隱失波在薄膜光波導理論和技術(shù)中的應用，第十章中再作討論。圖9-21近場掃描光學顯微鏡工作原理示意圖

▲利用相位變化特性，適當選取折射率n和入射角θ1，可得到特定的相位差值δ，從而改變?nèi)肷涔獾钠駹顟B(tài)。

據(jù)此原理設(shè)計的菲涅耳棱體有類似于波片的功能，且能在調(diào)諧范圍內(nèi)消色差，在激光光譜學中得到應用。

圖9-22是菲涅耳棱體原理圖，圖a中，選取入射角θ1=48o37’或54o37’，經(jīng)兩次全反射，產(chǎn)生π/2的相位變化，當入射光是線偏振光時，反射光一般為橢圓偏振光；若取入射光方位α=45o，則出射光將是圓偏振光。這里棱體起著改變?nèi)肷涔馄駪B(tài)的作用，相當于一塊1/4波片。圖b所示則由兩塊棱體組成，能產(chǎn)生π的相位變化，起到旋轉(zhuǎn)入射光振動面的作用。圖9-22菲涅耳棱體(n=1.51)(a)(b)

當光波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)中的束縛電子將在光波電磁場的作用下作受迫振蕩，使得介質(zhì)中的原子成為一個振蕩電偶極子，光波要消耗電能量來激發(fā)電偶極子的振蕩。電偶極子振蕩的一部分能量將以電磁次波的形式與入射波疊加為反射波和折射波，另一部分能量由于原子(分子)間的相互作用轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降哪芰俊９獾倪@一部分能量損耗就是物質(zhì)對光的吸收。

（一）物質(zhì)對光吸收的一般規(guī)律

若一束單色平行光在某種均勻介質(zhì)中沿x方向傳播，通過厚度為l的均勻介質(zhì)層后，實驗表明，其光強為第三節(jié)光的吸收、色散和散射

一、光的吸收（9-83）式中，α是與光強無關(guān)的比例系數(shù)，稱為介質(zhì)的吸收系數(shù)；I0和I分別是x=0和x=l處的光強。

式(9-83)稱為朗伯(Lambert)定律，表示由于物質(zhì)對光的吸收，光的強度按指數(shù)規(guī)律衰減。

朗伯定律反映了光與物質(zhì)的線性相互作用。這對于一般光源產(chǎn)生的光強不太強的光束是成立的。但對于像激光那樣的強光光束，其物質(zhì)對光的吸收是非線性的，朗伯定律不再適用。（9-84）

當光通過溶解于透明溶劑中的物質(zhì)時，實驗證明，當溶液濃度不太大時，吸收系數(shù)與溶液濃度C成正比，其吸收規(guī)律為β是與C無關(guān)側(cè)常量比爾(Beer)定律：

根據(jù)比爾定律，可通過測定被吸收的光強，求出溶液的濃度，這是吸收光譜分析常用的方法。需要注意的是，當溶液濃度過大或當溶劑分子明顯地影響著溶質(zhì)分子對光的吸收本領(lǐng)時，比爾定律不再成立。

由式(9-83)，吸收系數(shù)在數(shù)值上等于光強度因吸收而減弱到1/e時透過的物質(zhì)厚度的倒數(shù)，其單位為m-1。各種物質(zhì)的吸收系數(shù)相差很大，對可見光來說，玻璃的α≈10-2cm-1，金屬的α≈106cm-1，而1atm(101kPa)下空氣的α≈10-5cm-1。顯然，光在空氣中傳播時很少被吸收，而極薄的金屬片就能吸收掉通過它的光能，呈現(xiàn)出對光不透明的性能。

大多數(shù)物質(zhì)在可見區(qū)的吸收具有波長選擇性。由于物質(zhì)其表面或體內(nèi)對可見光進行選擇吸收，造成絕大部分物質(zhì)呈現(xiàn)顏色。例如，紅玻璃對綠光、藍光和紫光幾乎全部吸收，而對紅光、橙光吸收很少。因此，當用白光照射它時，只有紅光能透過，玻璃呈現(xiàn)紅色。

▲觀察整個光學波段，所有物質(zhì)的吸收都具有波長選擇性。這是物質(zhì)的普遍屬性。

（二）吸收的波長選擇性

例如，地球大氣層，對可見光和波長在300nm以上的紫外光是透明的，而對紅外光的某些波段和波長小于300nm的紫外光，則表現(xiàn)為選擇吸收。

包括玻璃在內(nèi)的普通光學材料，均表現(xiàn)出不同的選擇吸收，具有不同的無吸收的透光范圍，分別處于短波紫外端和長波紅外端，見表9-2。所以，必須選用對所研究的波長范圍是透明的光學材料來制作光學元件，如可見光波段可選用玻璃，紫外波段選用石英，紅外波段選用熒石等晶體材料。

物質(zhì)吸收的波長選擇性可用吸收系數(shù)和波長的關(guān)系曲線來表示。許多物質(zhì)的吸收曲線總體上變化緩慢。一般來講，固體和液體在某一較大的波長范圍內(nèi)吸收較強，且有極大值，該吸收范圍稱為吸收帶，如圖9-3。帶外波長區(qū)吸收很小，可視為透明區(qū)。圖9-23固體液體的吸收系數(shù)

對于稀薄氣體，吸收帶很窄，約為10-3nm量級，吸收帶變成了吸收線。吸收線的出現(xiàn)，顯示出光波作用于介質(zhì)時，在一系列特定的波長處，入射光波的頻率和介質(zhì)中的原子、分子的固有振動頻率一致而引起共振，這時入射波的能量強烈地被吸收，產(chǎn)生共振吸收。這在稀薄氣體時尤為明顯。一種物質(zhì)往往有許多形態(tài)不同的吸收帶，形成所謂的吸收光譜。圖9-24是太陽光通過周圍大氣層形成的暗線吸收光譜。圖9-24太陽大氣的吸收光譜

大量實驗指出，物質(zhì)的吸收線或吸收帶的位置即波長值，與該物質(zhì)的發(fā)射光譜線或光譜帶的位置相一致。這表明，某種物質(zhì)自身發(fā)射哪些波長的光，就強烈地吸收那些波長的光。圖9-24太陽大氣的吸收光譜

據(jù)此可以利用物質(zhì)的光譜來分析物質(zhì)中的元素成分。圖9-24所示的吸收暗線分別對應太陽大氣中含量較多的幾種吸收元素。如氫(C線、F線)、氧(A線、B線)、氦(D3線)、鈉(D1線，D2線)、鐵(E2線，G線)和鈣(H線)等。

利用固體、液體分子的紅外吸收光譜，可鑒別分子的種類，測定分子的振動頻率，分析分子的結(jié)構(gòu)等，在有機化學研究和生產(chǎn)中有廣泛的應用。另外，可利用原子(分子)的共振吸收特性制作光頻濾波器，使能實現(xiàn)對特定頻率的入射光有強烈吸收或很少吸收，其結(jié)果相當于帶阻或帶通濾波器的作用。這種所謂的原子濾波器是當前一個重要的研究課題

二、光的色散

（一）正常色散和反常色散

色散——光在物質(zhì)中傳播時其折射率(傳播速度)隨光波頻率(波長)而變的現(xiàn)象

色散分兩種情況：1、正常色散

發(fā)生在物質(zhì)透明區(qū)(物質(zhì)對光的吸收很小)內(nèi)的色散，表現(xiàn)為折射率隨波長增大而減小，色散曲線n(λ)呈單調(diào)下降，如圖9-25.圖9-25正常色散曲線

正常色散可用1836年科希(A.L.Cauchy)由實驗得出的經(jīng)驗公式描述（9-85）式中，A、B、C是與物質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，叫做科希常數(shù)。只要測出三個已知波長的折射率的值，便可由上式求出A、B、C。在可見光波段，科希公式與物質(zhì)的正常色散實驗曲線很好吻合。

發(fā)生在物質(zhì)吸收區(qū)內(nèi)的色散(見圖9-26)，此時折射率隨波長的增大而增大，稱這種色散為反常色散。

當考察的波長范圍不大時，科希公式只需取頭兩項，即（9-86）2、反常色散

在接近反常色散區(qū)域，科希公式不再成立。實驗表明，反常色散與物質(zhì)的吸收區(qū)相對應，正常色散與物質(zhì)的透明區(qū)相對應?？疾旄鞣N物質(zhì)的全波段色散曲線，類似地有如圖9-27所示的形貌，它由一系列正常色散曲線(滿足科希公式)和反常色散曲線(吸收帶)組成。圖9-26吸收帶附近的反常色散圖9-27一種介質(zhì)的全波段色散曲線

色散現(xiàn)象可用經(jīng)典色散理論來解釋。這一理論將洛倫茲的經(jīng)典電子論和麥克斯韋的電磁理論相結(jié)合，導出電磁場的頻率與介電常數(shù)的關(guān)系，由此得到光波頻率與折射率的關(guān)系，從而闡明了色散現(xiàn)象。在經(jīng)典電子論看來，組成物質(zhì)的原子由原子核和外層束縛電子以線性彈性力所維系，原子成為作阻尼振蕩的電偶極子。

利用上式可以討論在透明區(qū)和選擇吸收區(qū)的吸收和色散問題.

（二）色散的解釋

求解電子作阻尼振蕩的方程[7]，得表征介質(zhì)折射率與外界入射光頻率ω的變化(色散)關(guān)系式（9-87）m電子的質(zhì)量q電子的電荷ω0電子振動的固有頻率介質(zhì)折射率γ阻尼系數(shù)入射光頻率N單位體積內(nèi)相同原子的數(shù)目記復折射率為

（1）寫出一般的吸收介質(zhì)中沿x方向行進的平面波E的表示式又κ衰減系數(shù)上式的第一個指數(shù)項表示平面波振幅的衰減(吸收)，κ稱為衰減系數(shù)，它與的虛部相對應。因此，對于透明區(qū)，不考慮電偶極子作受迫振動中所受阻力，可視γ=0，此時是實數(shù)。由式(9-87)可知，折射率隨入射光波頻率ω的增大而減少，出現(xiàn)正常色散。

（2）在共振頻率附近的選擇吸收區(qū)，即當入射光頻率處于ω≈ω0的吸收帶附近時，表達式中因極化引起的γ項不能忽略，此時是個復數(shù)，可寫成（9-88）比較式(9-88)與式(9-87)的實部和虛部，得

圖9-28是用波長代替頻率時給出的其吸收波長λi附近折射率的實部n及虛部nκ的形狀。圖中，在λi處，nκ顯示極大值，有吸收峰；在λi附近，n隨λ的增大而變大，為反常色散區(qū)；在遠離吸收波長λi的位置，n隨波長λ增大而減小，出現(xiàn)正常色散。并且反常色散與吸收帶相對應，得到與實驗相符的結(jié)果。（9-88）（9-87）（9-89）（9-90）圖9-28吸收波長λi附近的折射率

如果物質(zhì)中帶有（mj，qj，ωj，γj）特性的帶電粒子有Nj個，此時式(9-87)可寫成

此時，每一個共振頻率ω=ωj附近，對應一個吸收帶和相應的反常色散區(qū)，而這些區(qū)域以外，則屬正常色散區(qū)，將出現(xiàn)一系列的反常色散和正常色散區(qū)，相應地有一系列吸收帶。（9-91）

對于原子密度較大的介質(zhì)(如液體和固體)，每一個原子還受到其他原子的電場作用。可以證明，介質(zhì)的復折射率方程為（9-92）

此式稱為洛倫茲一洛侖茨(Lorentz-Lorenz)公式，是研究色散現(xiàn)象的重要公式。

三、光的散射

光的散射：由于物質(zhì)(氣體、液體或固體)中存在的微小粒子對光束的作用，使光波偏離原來的傳播方向而四周散開的現(xiàn)象。

對于光通過物質(zhì)被減弱的現(xiàn)象，一般情況應同時考慮吸收和散射的影響。吸收是入射光轉(zhuǎn)化為物質(zhì)內(nèi)其他形式的能量，散射是光能量的空間分布被改變。

（一）瑞利散射和米氏散射1、瑞利(Rayleigh)散射

瑞利(Rayleigh)散射——散射粒子線度比波長小得多的粒子對光波的散射。

例如，▲大氣中的灰塵、煙、霧等懸浮微粒所引起的散射?！诩儍舻牧黧w或氣體中，由于分子熱運動造成的密度的局部漲落所引起的散射(稱為分子散射)也屬于瑞利散射。

一般懸浮微粒的散射很強，例如牛奶可以把入射光全部散射掉，而使其本身變得不透明。比較起來，分子散射的光強是十分微弱的。

利用電偶極子振蕩模型解釋散射現(xiàn)象：

瑞利散射定律表明：散射光中短波長的光占優(yōu)勢。天空呈蔚藍色，是因為大氣強烈散射太陽光中的紫光和藍光；而在清晨和傍晚，由于藍、紫光的強烈散射，穿過厚厚大氣層看到的旭日、夕陽是紅色。另外，正是紅外線比紅光有更強的穿透力，因而更適用于遠距離紅外攝影或遙感技術(shù)。

瑞利研究了線度遠小于波長的微粒的散射現(xiàn)象，得出散射現(xiàn)象的主要特點：

（1）散射光強與入射波長(頻率)的四次方成反比(正比)，即

當光波射入介質(zhì)中，會激發(fā)起介質(zhì)中電子作受追振蕩，從而發(fā)出次級電磁波。對于均勻介質(zhì)，這些次波相互疊加的結(jié)果使光波沿著反射和折射定律方向傳播，而在其他方向上，次波干涉完全相消，因而不發(fā)生散射現(xiàn)象。若介質(zhì)非均勻，介質(zhì)內(nèi)有懸浮微?；蛴忻芏葷q落，這時入射波激發(fā)的次波的振幅和相位不完全相同，由于次波干涉的結(jié)果，在非透射方向上不能完全抵消而造成散射光。（9-93）瑞利散射定律

（2）散射光強隨觀察方向而變。散射光強的角分布為這里，I(θ)是與入射光方向成θ角方向上的散射光強；I0是θ=π/2方向上的散射光強。（9-94）

（3）散射光具有偏振性，并與θ角有關(guān)

自然光入射各向同性媒質(zhì)中：

▲在垂直于入射方向上的散射光是線偏振光；

▲在原入射光方向及其逆方向上，散射光仍是自然光；

▲在其他方向上，散射光是部分偏振光，偏振程度與θ有關(guān).

而在各向異性媒質(zhì)中，散射光在與入射光垂直方向上是部分偏振光。2、米氏(G.Mie)散射

（二）喇曼散射和布里淵散射

瑞利散射規(guī)律適用于微粒線度在λ/10以下極小微粒的情況。

米氏(G.Mie)散射：粒子線度大于10λ的較大微粒散射。此時，散射光強幾乎與波長無關(guān)。如觀察白云對陽光的散射，各波長的光都大致均等地被散射，所以晴空的云是白色的。浪花呈白色也是同樣的道理。

米氏散射不同于瑞利散射呈對稱狀分布，而是前向散射的成分增多，被用于大氣中滴粒分布的研究。

利用光的散射可研究膠狀溶液、渾濁介質(zhì)和高分子物質(zhì)的物理化學性質(zhì)，測定散射微粒的大小和運動速度，這在生物學、高分子化學和膠體化學等方面都有應用。

瑞利散射和米氏散射是散射光的頻率與入射光頻率相同的散射現(xiàn)象。此后，在研究純凈液體和晶體內(nèi)的散射時，發(fā)現(xiàn)散射光中出現(xiàn)與入射光頻率不同的成分，稱這種散射為喇曼(C.V.Raman)散射。喇曼散射的主要特征：

（1）在與入射光頻率ω0相同的散射譜線(瑞利散射線)兩側(cè)，對稱地分布著頻率為ω0±ω1，ω0±ω2，…強度較弱的散射譜線，長波一側(cè)(ω0-ω1，ω0-ω2，…)的譜線稱為斯托克斯線；短波一側(cè)(ω0+ω1，ω0+ω2，…)的譜線稱為反斯托克斯線。

電磁理論對喇曼散射的解釋：散射物質(zhì)的極化率與分子的固有振動頻率有關(guān)，于是以固有振動頻率ω1，ω2，…振動的分子，以此頻率調(diào)制了極化率，從而以相同的頻率調(diào)制了折射率，導致了對入射光波的相位調(diào)制，使得在散射光中產(chǎn)生了這些頻率的譜線。

（2）頻率差ω1，ω2，…與散射物質(zhì)中分子的固有振動頻率一致，而與入射光頻率無關(guān)。

喇曼散射和布里淵散射是研究物質(zhì)分子結(jié)構(gòu)、分子和分子動力學的重要方法，常用于分子光譜分析中。特別是激光出現(xiàn)后，由于有高亮度強激光束的激勵，產(chǎn)生了受激喇曼散射，用于揭示光與分子相互作用更深層的非線性效應。受激布里淵散射則被用于產(chǎn)生相位共軛光，在光通信、光信息處理等激光光學和現(xiàn)代光學中有著新的應用[7]。

布里淵(L·Brillouin)散射：通常在晶體中發(fā)生。光通過由熱波產(chǎn)生聲波的介質(zhì)，散射光頻譜中除包含了原來的人射光頻率外(瑞利散射)，其兩側(cè)還有頻譜線，稱為布里淵雙重線，它類似于喇曼散射。但由于聲子比光子能量小得多，因而其頻移量很小，大多在微波波段中。導致布里淵散射的原因可用被運動物體產(chǎn)生多普勒頻移來解釋。第四節(jié)光波的疊加

▲光波疊加原理表明了光波傳播的獨立性。一個光波的作用不會因為其他光波的存在而受到影響。譬如兩個光波在相遇后又分開，各自保持原有的特性(頻率、波長、振動方向等)，按照原來的傳播方向繼續(xù)前進。

問題：兩個(或多個)光波在空間某一區(qū)域相遇時的疊加。

一、波的疊加原理

波的疊加原理——幾個波在相遇點產(chǎn)生的合振動是各個波單獨在該點產(chǎn)生的振動的矢量和。

疊加原理是波動光學的基本原理。如果有n個光波E1、E2、…、En在空間P點相遇，P點的合振動為（9-95）

▲光波疊加原理是介質(zhì)對光波電磁場作用的線性響應的一種反映。實際上，它是波動微分方程的必然結(jié)果。這是由于波動方程的線性性質(zhì)保證了其解的疊加性。

可以說，解的疊加性構(gòu)成了光波疊加原理的基礎(chǔ)。注意兩個或多個滿足波動方程的光波同時存在時，總的光波場就是這些光波的直接疊加。波動方程的線性性質(zhì)反過來限制了疊加原理只在入射光強度較弱的情況下成立，而當光波的強度很大（例如光強達1012V/m的激光）時，介質(zhì)將產(chǎn)生非線性效應，這時介質(zhì)對光波的響應是非線性的，上述線性疊加原理不再適用。

二、兩個頻率相同、振動方向相同的單色光波的疊加

如圖9-29，設(shè)兩個頻率相同、振動方向相同的單色光波分別發(fā)自光源S1和S2。它們在空間某一點P相遇，P點到S1和S2的距離分別為r1

和r2。兩光波各自在P點產(chǎn)生的光振動為（9-97）（9-96）圖9-29兩光波在P點的疊加在P點的振幅若令α1=kr1，α2=kr2，P點的合振動

可見，P點的合振動也是一個簡諧振動，其振動頻率和振動方向都與兩單色光波相同，而振幅A和初相位α分別由式(9-99)和式(9-100)決定。

（9-97）（9-96）利用三角公式，P點合振動的表示為（9-98）（9-99）（9-100）若a1=a2=a，I0=a2，δ=α2-α1表示兩光波在點的相位差，則有

兩光波在P點的相位差可寫成（9-101）（9-102）（9-103）（9-104）光程差式(9-104)給出了光程差和由它引起的相位差之間的關(guān)系，是分析光波在某點疊加時合振動強度變化的重要物理量。（9-104a）（9-104b）P點光強最?。篜點光強最大：

干涉現(xiàn)象：兩光波在空間相遇，如果它們在源點發(fā)出時的初相位相同，則光波在疊加區(qū)相遇點的強度將取決于兩光波在該點的光程差或相位差。若在考察時間內(nèi)，兩光波的初相位保持不變，光程差也恒定，則該點的強度不變，疊加區(qū)內(nèi)各點的強度也不變，那么在疊加區(qū)內(nèi)將看到強弱穩(wěn)定的強度分布，這就是干涉現(xiàn)象。

三、駐波

同頻、同振動方向、傳播方向相反的兩個單色光波，例如垂直入射到兩介質(zhì)分界面的單色光波和反射波的疊加將形成駐波.

設(shè)反射面是z=0的平面(見圖9-30)，并假定反射比很高，即假設(shè)入射波和反射波振幅相等，則入射波和反射波表示為（9-105）圖9-30駐波

對于z方向上的每一點，隨時間的振動是頻率為ω的簡諧振動，振幅隨z而變：（9-105）

極大值和極小值的位置不隨時間而變。振幅最大值的位置稱為波腹，其振幅等于兩疊加光波的振幅之和；振幅為零的位置稱為波節(jié)。波腹和波節(jié)的位置由下式?jīng)Q定：（9-106a）（9-106b）波腹位置：波節(jié)位置：

相鄰波節(jié)(或波腹)間的距離為λ/2，而相鄰波節(jié)和波腹間的距離為λ/4。波腹、波節(jié)的位置不隨時間而變。

如果兩個波的振幅不等，則合成波除駐波外還有一個行波，波節(jié)處振幅不再為零，并且由于行波存在，將伴隨著能量傳播。

光的駐波現(xiàn)象在光學中是普遍存在的，它的應用也是多方的。例如，激光器的諧振腔中經(jīng)多次反射形成的光波，可以看成是兩個沿相反方向傳播的光波經(jīng)疊加后形成的駐波。在激光理論中，稱這種穩(wěn)定的駐波圖樣為縱模。另外，在全反射現(xiàn)象中，分析在入射波和反射波的疊加區(qū)內(nèi)（見圖9-31）的合成波，可知，合成波在界面法線方向上具有駐波的特點，在與法線垂直的z方向上具有行波的特點。這一性質(zhì)有助于理解介質(zhì)光波導的原理（見第十章）。

四、兩個頻率相同、振動方向互相垂直的單色光波的疊加P點處的合振動為

合振動的大小和方向隨時間變化，由式(9-107)和式(9-108)消去參數(shù)t，求得合振動矢量末端運動軌跡方程為

圖9-32，光源S1和S2發(fā)出兩個頻率相同、振動方向互相垂直的單色光波，其振動方向分別平行于x軸和y軸，并沿z軸方向傳播?？疾焖鼈冊趜軸方向上任一點P處的疊加。兩光波在該處產(chǎn)生的光振動可寫為（假定S1和S2光振動的初相位為零）（9-107）（9-108）（9-109）（9-110）α1=kz1α2=kz2

一般說來，這是一個橢圓方程式，表示在垂直于光傳播方向平面上，合振動矢量末端的運動軌跡為一橢圓。

橢圓長軸與x

軸的夾角為ψ：

▲把合矢量以角頻率ω周期旋轉(zhuǎn)，矢量末端運動軌跡為橢圓的光稱為橢圓偏振光。兩個頻率相同、振動方向互相垂直且具有一定相位差的光波的疊加，一般可得到橢圓偏振光。（9-111）

▲橢圓的形狀取決于兩光波的振幅比a2/a1和相位差δ=α2-α1

（1）δ=0或±2π的整數(shù)倍時，式(9-110)化為（9-112）圖9-34相位差δ不同取值時橢圓偏振光表示合矢量末端的運動沿著一條經(jīng)過坐標原點其斜率為a2/a1的直線進行，其合成光波是線偏振光，見圖9-34(a)

（2）δ=±π的奇數(shù)倍時，有（9-113）

表示其矢量末端運動經(jīng)過坐標原點，沿斜率為-a2/a1的直線進行，其合成光波也是線偏振光，見圖9-34(e)

（3）δ=±π/2的奇數(shù)倍時，有（9-114）

表示合成光波是橢圓偏振光，見圖9-34(c)、(g)。

若同時有a1=a2=a，則（9-115）

表示合成光波是圓偏振光。

（4）當δ取其他值，合成光波為任意取向的橢圓偏振光，參見圖9-34(b)、(d)、(f)、(h)、

▲橢圓(或圓)偏振光有右旋和左旋分。通常規(guī)定當對著光傳播方向(即沿-z方向)看去，合矢量順時針方向旋轉(zhuǎn)時為右選偏振光，反之為左旋偏振光。偏振光的旋向可由兩疊加光波的相位差來決定，即當sinδ<0時，為右旋；而當sinδ>0時為左旋。這可從分析式（9-107）、式（9-108）在相隔1/4周期時對應的值看出。【例題9-4】右旋圓偏振光在500角下入射到空氣-玻璃界面，試確定反射波和透射波的偏振態(tài)。【解】合成光的偏振態(tài)取決于兩個互相垂直的分量的振幅比和相位差。因此，入射的右旋圓偏振光可以表示為

這里Es相對于Ep的相位差為δ=-π/2。有sinδ<0。

因為入射角小于布儒斯特角（設(shè)玻璃的折射率n=1.5，布儒斯特角θB≈560），故反射光的兩分量為ES’相對于Ep’的相位差為+π/2，由菲涅爾公式易見|rp|≠|(zhì)rs|，又sinδ=sin(+π/2)>0，所以反射光應為左旋橢圓偏振光。

對于透射光，光矢量的兩分量為

由于ts≠tp，且Es’’相對于Ep’’的相位差為-π/2，即有sinδ=sin(-π/2)<0，故透射光為右旋橢圓偏振光。

五、兩個不同頻率的單色光波的疊加

兩個振幅相同、振動方向相同、同一方向傳播，但頻率接近的單色光波的疊加，其結(jié)果將產(chǎn)生光學上有意義的“拍”現(xiàn)象。

（一）光學拍

兩個不同頻率的單色光波由下式給出：

利用疊加原理，得合成波表示式為（9-116）式中（9-118）（9-117）（9-119）這是一個頻率為