廣西壯族自治區(qū)防城港市2023屆高三下學(xué)期4月第三次聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題（含答案解析）

2023年4月高中畢業(yè)班第三次聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）2023.04注意事項：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡指定位置上．3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．4．請按題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運算即可解出．【詳解】因為，，所以．故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【詳解】試題分析：，對應(yīng)的點為，在第一象限考點：復(fù)數(shù)運算3.一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)（左）視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】從正視圖和側(cè)視圖上分析，去掉的長方體的位置應(yīng)該在的方位，然后判斷俯視圖的正確圖形．【詳解】由正視圖可知去掉的長方體在正視線的方向，從側(cè)視圖可以看出去掉的長方體在原長方體的右側(cè)，由以上各視圖的描述可知去掉的長方體在原長方體的右上方，其俯視圖符合C選項．

故選C．

點評：本題考查幾何體的三視圖之間的關(guān)系，要注意記憶和理解“長對正、高平齊、寬相等”的含義．考點：三視圖．4.某學(xué)校組建了演講，舞蹈?航模?合唱，機器人五個社團，全校名學(xué)生每人都參加且只參加其中一個社團，校團委從這名學(xué)生中隨機選取部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的兩個統(tǒng)計圖：則選取的學(xué)生中參加機器人社團的學(xué)生數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)演講人數(shù)，求得本次調(diào)查的人數(shù)為人，進而求得機器人所占的比例，即可求解.【詳解】由題意，本次調(diào)查的人數(shù)為人，其中合唱比賽所占的比例為，所以機器人所占的比例為，所以選取的學(xué)生中參加機器人社團的學(xué)生數(shù)為人.故選：B.5.甲、乙兩人各進行1次射擊,如果兩人擊中目標(biāo)概率分別為0.8和0.4,則其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率是()A.0.32 B.0.56C.0.44 D.0.68【答案】B【解析】【分析】利用獨立事件和互斥事件的概率公式即可得到結(jié)果.【詳解】恰好有1人擊中，表示甲擊中乙沒有擊中或甲沒有擊中乙擊中，這兩個是互斥事件，根據(jù)相互獨立事件和互斥事件的概率公式可得.故選：B.6.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個零點，則（）A. B.0 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)、函數(shù)零點的定義，列式求解作答.【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，則，于是，即，而函數(shù)是奇函數(shù)，則有，所以.故選：D7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】易得，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較.【詳解】，，，，故，.故選：C.8.已知圓：，直線：，則當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時，直線被圓所截的弦長的最小值為，則的取值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線過定點，結(jié)合圓的對稱性以及勾股定理得出的取值.【詳解】直線：恒過點，由于直線被圓所截的弦長的最小值為，即當(dāng)直線與直線垂直時（為原點），弦長取得最小值，于是，解得.故選：C9.中國的古建筑往往是美學(xué)和哲學(xué)的完美體現(xiàn).下圖是某古建筑物及其剖面圖，是桁，是脊，是相等的步，相鄰桁的脊步的比分別為，，，，若是公差為0.15的等差數(shù)列，，則（）A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項.【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：C.10.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運算列式，再借助方程思想求解作答.【詳解】依題意，，于是，所以.故選：A11.已知是邊長為2的等邊三角形，，當(dāng)三棱錐體積取最大時，其外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出三棱錐體積取最大時的幾何體特征，再確定球心位置，求出球半徑作答.【詳解】取中點，連接，如圖，在中，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，最大，的面積最大，令直線與平面所成角為，則點到平面的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此三棱錐體積，即當(dāng)最大，三棱錐體積最大，因此當(dāng)三棱錐體積最大時，且平面，而平面，即有，正中，，，則平面，令正的外接圓圓心為，等腰的外接圓圓心為，則分別在上，令外接球球心為，于是平面，平面，有，即四邊形是矩形，而，，在中，，因此球的半徑，所以三棱錐外接球的體積，故選：C12.定義平面凸四邊形為平面上每個內(nèi)角度數(shù)都小于的四邊形．已知在平面凸四邊形中，，，，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理可求得，從而得到，結(jié)合凸四邊形定義可求得的范圍；利用正弦定理表示出，由角的范圍可求得正弦值的取值范圍，由此可得結(jié)果.【詳解】在中，由余弦定理得：，且，，，，，，，；在中，由正弦定理得：，；當(dāng)時，，，又，，即的取值范圍為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解三角形中的邊長取值范圍的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域的求解問題，從而通過確定角的范圍來確定所求邊長的取值范圍.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.在的展開式中，常數(shù)項為__________．【答案】【解析】【分析】利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令的指數(shù)為零，求解并計算得到答案.【詳解】的展開式的通項令，解得，故常數(shù)項為．故答案為：.14.若，則______．【答案】【解析】【分析】利用降冪公式，將所求式子化簡，再結(jié)合已知條件，即可求出答案.【詳解】解：由降冪公式得：，又∵∴.故答案為：【點睛】本題考查了降冪公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.15.寫出一個值域為，在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)______．【答案】【解析】【分析】綜合考慮值域與單調(diào)性即可寫出滿足題意的函數(shù)解析式.【詳解】，理由如下：為上的減函數(shù)，且，為上的增函數(shù)，且，，故答案：．16.如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點.，歷時m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點歷時n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則_____________.【答案】##0.375【解析】【分析】由離心率比求得長半軸與實半軸的比，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求兩種裝置中光線路程之比即得．【詳解】設(shè)橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，焦距，由，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點F1，則有，，兩式相減得，將裝置中的去掉，則有，所以故答案為：．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.從①前項和，②，③且，這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并完成解答．在數(shù)列中，，_______，其中．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若成等比數(shù)列，其中，且，求的最小值．【答案】選擇①：（Ⅰ）；（Ⅱ）5．選擇②：（Ⅰ）；（Ⅱ）6．選擇③：（Ⅰ）；（Ⅱ）5．【解析】【分析】（Ⅰ）選擇①，由求得的值，再由可求得數(shù)列的通項公式；選擇②，可知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，進而可求得數(shù)列的通項公式；選擇③，可知數(shù)列是等差數(shù)列，求出公差的值，進而可求得數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）由可得出關(guān)于的表達式，進而可求得的最小值．【詳解】選擇①：（Ⅰ）當(dāng)時，由，得.當(dāng)時，由題意，得，所以．經(jīng)檢驗，符合上式，所以；（Ⅱ）由、、成等比數(shù)列，得，即．化簡，得，因為、是大于的正整數(shù)，且，所以當(dāng)時，有最小值．選擇②：（Ⅰ）因為，所以．所以數(shù)列是公差等差數(shù)列.所以；（Ⅱ）由、、成等比數(shù)列，得，即．化簡，得，因為、是大于的正整數(shù)，且，所以當(dāng)時，取到最小值；選擇③：（Ⅰ）由，得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為，又因為，，所以.所以；（Ⅱ）因為、、成等比數(shù)列，所以，即．化簡，得，因為、是大于的正整數(shù)，且，所以當(dāng)時，有最小值．【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式的求解，同時也考查了等差數(shù)列基本量的計算，考查計算能力，屬于中等題.18.如圖所示，在四棱錐中，，，，.（1）證明：；（2）求直線BC與平面PCD所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過構(gòu)造線面垂直的方法來證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線BC與平面PCD所成角的正弦值進而求得其余弦值.【小問1詳解】連接BD，設(shè)BD的中點為O，連接OA，OP.因為，所以，因為，所以，又平面，所以平面OAP，因為平面OAP，所以.【小問2詳解】因為，所以，又，所以，所以，又平面，所以平面ABCD.，，所以.如圖，以O(shè)為原點，OB，OP所在直線分別為x軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，，平面PCD的法向量分別為，所以，即，取，則，設(shè)與平面PCD所成的角為，則則直線BC與平面PCD的夾角余弦值為.19.某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下季度的前期廣告投人計劃，收集了近6個月廣告投入量（單位：萬元）和收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如表：月份123456廣告投入量24681012收益14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①，②分別進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值．7301464.24364（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型擬合？并說明理由；（2）殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除．（i）剔除異常數(shù)據(jù)后求出（1）中所選模型的回歸方程；（ii）若廣告投入量時，（1）中所選模型收益的預(yù)報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：【答案】（1）選擇模型①，理由見解析（2）（i）；（ii）62.04萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)殘差圖的分布比較可得結(jié)論；（2）（i）求出剔除異常數(shù)據(jù)后的平均數(shù)，即可求得和，即得回歸方程；（ii）將代入回歸直線方程，即可得答案.【小問1詳解】選擇模型①，因為模型①的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回歸方程的預(yù)報精度高．【小問2詳解】（i）剔除異常數(shù)據(jù)，即組號為3的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；，．．∴所選模型的回歸方程為；（ⅱ）若廣告投入量時，該模型收益的預(yù)報值是萬元．20.如圖：小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫板上面，把一塊三角板一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細繩的一端固定在三角板的頂點處，另一端固定在畫板上點處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細繩繃直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，這時筆尖在平面上畫出了圓錐曲線的一部分圖象．已知細繩長度為，經(jīng)測量，當(dāng)筆尖運動到點處，此時，，．設(shè)直尺邊沿所在直線為，以過垂直于直尺的直線為軸，以過垂直于的垂線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線的方程；（2）斜率為的直線過點，且與曲線交于不同的兩點，已知的取值范圍為，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在，使得【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線定義可知軌跡為拋物線，采用待定系數(shù)法，求得點坐標(biāo)后代入拋物線方程即可；（2）假設(shè)存在，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論，并將表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)值域求法可求得的范圍，由此可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【小問1詳解】由題意知：筆尖到點的距離與它到直線的距離相等，筆尖留下的軌跡為以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為，則，由，，可得：，，點坐標(biāo)為，代入拋物線方程得：，即，解得：或，軌跡的方程為．【小問2詳解】假設(shè)存在，使得，設(shè)，直線，由得：，則，，，；，，，，令，，，即，同向，，，解得：或，存在，使得.【點睛】思路點睛：本題考查拋物線定義的應(yīng)用、直線與拋物線綜合應(yīng)用中的存在性問題的求解；本題求解范圍的基本思路是結(jié)合韋達定理構(gòu)造出與有關(guān)的等量關(guān)系，將其表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，根據(jù)函數(shù)值域的求法構(gòu)造不等關(guān)系求得結(jié)果.21.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，求函數(shù)零點的個數(shù)．【答案】（1）（2）有且僅有個零點【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；（2）首先可得與是的兩個零點，再利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷即可；【小問1詳解】解：因為，所以，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立．令，，當(dāng)時，，所以恒成立．所以在上單調(diào)遞增，所以，所以【小問2詳解】解：由，則，．所以與是的兩個零點．因為，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，無零點．當(dāng)時，，，，無零點．當(dāng)時，，設(shè)，，在上遞增，又，，存在唯一零點，使得．當(dāng)時，，在上遞減；當(dāng)時，，在上遞增．又，，所以，函數(shù)在上有且僅有個零點．綜上，當(dāng)時，函數(shù)有且僅有個零點．【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題做答．如果多做，則按所做的第一題計分．22.在平面直角坐標(biāo)中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的普通方程；（2）若與有公共點，求的取值范圍．【答案】（1）（且）（2）【解析】【分析】（1）由曲線