2021初中數(shù)學(xué)2-3 二次函數(shù)綜合題填空題（解析版）(一)

決勝2021年中考最難壓軸題大挑戰(zhàn)

稹塊二填空典篇

專題2-3二次函數(shù)綜合題

1、二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相聯(lián)合問(wèn)題

解決此類問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的

符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特點(diǎn)，則吻合所有特點(diǎn)的圖象即為正確選項(xiàng).

2、二次函數(shù)與方程、幾何常識(shí)的綜合應(yīng)用

將函數(shù)常識(shí)與方程、幾何常識(shí)有機(jī)地聯(lián)合在一路.這類試題一樣難度較大.解這類問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于操縱幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的常識(shí)，并注重挖掘問(wèn)題中的一些

隱含前提.

3、二次函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用題

從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中解析變量之間的關(guān)系，創(chuàng)立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于察看、解析、創(chuàng)建，創(chuàng)立直角坐標(biāo)系

下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形聯(lián)合解決問(wèn)題，需要我們注重的是自變量及函數(shù)的取值范疇要使現(xiàn)實(shí)問(wèn)題有

意義.

海幽凝確

1.(2021?西湖區(qū)校級(jí)模擬)已知直線y=2x-5與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)8,拋物線)，=-/+云+,的極

點(diǎn)M在線AB上，且拋物線與直線AB的另一個(gè)交點(diǎn)為N.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，則拋物線的解析式為y=-/+5x-竽：

(2)當(dāng)拋物線^=-/+fcc+c的極點(diǎn)”在直線AB上平移時(shí)，若△OMN與△AOB相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

(2,-1)、(4,3).

備用圖

【點(diǎn)睛】(1)拋物線的極點(diǎn)為：§0),則拋物線的表達(dá)式為：尸-(x-1)2,即可求解；

(2)當(dāng)NOMN=90°時(shí)，則直線OM表達(dá)式中的左值為一1:即2-m--—--5=一一1，即可求解；當(dāng)NONM=90°

zm2

2m—5m—2

時(shí),，同理可得：點(diǎn)例(4,3)；當(dāng)/加。7=90°時(shí)，證明tan/GMO=tanN"ON,即：-----=------.即

m9-2m

可求解.

【試題解答】解：(1)直線y=2r-5與x軸和)，軸分別交于點(diǎn)4和點(diǎn)及

則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：得0)、(0,-5),

則拋物線的極點(diǎn)為(|.0),則拋物線的表達(dá)式為：y=-(x-1)2,

則拋物線的表達(dá)式為：y=-7+5x-竽，

故答案為：y=-7+5》—竽；

(2)設(shè)點(diǎn)M(m,2m-5),點(diǎn)、N(x,y),

將拋物線表達(dá)式與直線表達(dá)式聯(lián)立并整理得：

-(x-m)2+2m-5=2x-5,

/+(2-2m)x+m2-2m=0,

(x-m)(x-m+2)=0,

則x=m或-2,故點(diǎn)N(-2,2m-9),

則MN=26貝ijAB=竽.

①當(dāng)NOMN=90°時(shí),

則直線。加表達(dá)式中的《值為-/，

2nl—51

即-----=解得：m=2,

m2

故點(diǎn)例、N的坐標(biāo)分別為：（2,-I）、（0,-5）,

則OM=V5,ON=5,

ABOMMN

履歷證：——=——=—,滿足△OMN與△A08相似，

ONOAOB

故點(diǎn)M（2,-I）；

②當(dāng)NONM=90。時(shí)，

同理可得：點(diǎn)M（4,3）；

③當(dāng)/用ON=90。時(shí)，

過(guò)點(diǎn)例、N分別作y軸的垂線交于點(diǎn)G、H,

VZGMO+ZGOM=90o,NGOM+/HON=9G：

：.4GMO=ZHON=a,則tan/GMO=tan/HON,

?2?n-5m-2…0

即：=解得：吁工

故點(diǎn)M（3,1）（△OWN為等腰直角三角形，故舍去）；

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（2,-1）、（4,3）,

故答案為：（2,-1）、（4,3）.

2.（2021?余杭區(qū)模擬）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，將八個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形并排組成矩形。48C,相鄰

兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上.現(xiàn)將矩形OABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落到x軸的

正半軸上（如圖2）,設(shè)拋物線），=4/+法+（:（aVO）,參加拋物線同時(shí)經(jīng)由點(diǎn)0、B、C:

②“關(guān)于〃的關(guān)系式是_a=-、一_?

【點(diǎn)睛】①當(dāng)〃=3時(shí)，OC=1,BC=3,設(shè)所求拋物線解析式為y=ax2+bx,過(guò)C作CO_LO8于點(diǎn)D.則

RtAOCD^RtACBD.得出OD:CO=OC:BC=1:3,設(shè)。。=f,則CQ=3f,根據(jù)勾股定理

求出f.得出C的坐標(biāo)，把從C坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得到方程組，求出。即可；

②根據(jù)。=2、4和①總結(jié)規(guī)律，可以得到答案.

【試題解答】解:①如圖當(dāng)〃=3時(shí)，OC=1,2c=3,

設(shè)所求拋物線解析式為y=ax1+bx,

過(guò)C作COJ_08于點(diǎn)3,

則RtAOCD^RtAOBC,

,OD0C1

"CD~BC~3'

設(shè)OD=t,則CD=3t,

'：OD1+CD2=OC2,

?，-⑶）2+H?"=耳=噂

V103/—,—

/.c（—，—V10）?又B（V10,0）,

0=10a+V10/7

??.把3、。坐標(biāo)代入拋物線解析式，得3rrzr1J10,

喘屈=而0+而b

解得：a=一

故答案為：--

②當(dāng)〃=2時(shí)，OC=1,BC=2,

：.0B=V5,

.\1X2=V5CD,B(V5,0)

."。=答

：.OD=

AC咨

55

2

設(shè)所求拋物線解析式為y=aX+hx,

[0=5a+V56

.?悻$+Q

解得：a--~

同理當(dāng)n=4時(shí)，a=一半；

可以得出。關(guān)于〃的關(guān)系式是：a=-牛卜1

K

故答案為：一緣，。=一正更.

3.(2021?衢州模擬)在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?-4?x+2(a>0)交y軸于點(diǎn)A,點(diǎn)8是點(diǎn)4關(guān)于對(duì)稱

軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線的極點(diǎn)，則：

(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線》=2；

(2)若△ABC的外接圓經(jīng)由原點(diǎn)O,則。的值為丑丑

-4

【點(diǎn)睛】(1)根據(jù)對(duì)稱軸方程*=-名解答；

(2)先求得極點(diǎn)坐標(biāo)，然后操縱待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，即求得。的值.

【試題解答】解：(1)拋物線)=/-4利+2的對(duì)稱軸為直線為=一者=2,即x=2.

(2)毗鄰08交對(duì)稱軸于點(diǎn)O'.

?拋物線的對(duì)稱軸x=2,A(0,2),A,8關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

：.B(4,2),

「△A8C的外接圓經(jīng)由原點(diǎn)O.

...外接圓的圓心是線段08的中點(diǎn)0',

：.O'(2,1),

?.0B=y/22+42=2V5,

：.O'C=V5,

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,1-V5),

1—V5=4a-8a+2,

V5+1

??〃=

4

訴+1

故答案是：2；

4

4.(2021?和平區(qū)模擬)己知拋物線丫二公2-4ax+4〃-1.

(I)該拋物線的對(duì)稱軸是x=2；

(II)該拋物線與x軸交于點(diǎn)4點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),若此拋物線的對(duì)稱

軸上的點(diǎn)尸滿足則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)〃的取值范疇是〃>2+函或“<-2.

【點(diǎn)睛】(I)拋物線的對(duì)稱軸為：戶-名=2；

(II)當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，ZAPB=ZACB,點(diǎn)P在圓外時(shí)，ZAPB<ZACB,即可求解.

【試題解答】解：(I)拋物線的對(duì)稱軸為：x=-/=2,

故答案為：2；

(II)將點(diǎn)4的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得:a=\,

故拋物線的表達(dá)式為：y=?-4x+3,

則點(diǎn)4、B、C的坐標(biāo)分別為：(1,0)、(3,0)、(0,3),

過(guò)點(diǎn)A、B、C作△ABC的外接圓M(2,m),

當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，ZAPB=ZACB,點(diǎn)尸在圓外時(shí)，ZAPB<ZACB,

則MA=MC,即4+(m-3)2=\+m2,解得：〃?=2,

則圓的半徑為：V5,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2,2+V5）,

則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P（2,-2-V5）,

故答案為：〃>2+遙或n<-2-V5.

5.（2021?張店區(qū)模擬）已知拋物線）=--2辦+。（a<0）的圖象過(guò)點(diǎn)A（3,m）.

（1）當(dāng)a=-l,?i=0時(shí)，求拋物線的極點(diǎn)坐標(biāo)（L4）;

（2）如圖，直線/:y=h+ca<0）交拋物線于8,C兩點(diǎn)，點(diǎn)。（x,y）是拋物線上點(diǎn)8,C之間的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作軸交直線/于點(diǎn)2作QEL），軸于點(diǎn)E,毗鄰設(shè)NQE￡>=B，當(dāng)2WxW4時(shí)，0恰好

滿足30°W|JW60°,a—_-.

【點(diǎn)睛】（1）操縱待定系數(shù)法求得拋物線解析式，然后操縱配方式將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為極點(diǎn)式，可以直

接得到答案；

（2）將點(diǎn)。（x,y）代入拋物線解析式得到:y=a--2ar+c.聯(lián)合一次函數(shù)解析式推知：。（x,kx+c）.則

由兩點(diǎn)間的間隔公式知。。二出？-2ox+c-（依+c）=a>?-（2a+k）x.在RtZkQED中，由銳角三角函數(shù)的定

義推知tan0=器=酬二等止=辦-2a7.所以tanp隨著x的增大而減小.聯(lián)合已知前提列出方程組

2a—2aa—k=y/3

心，解該方程組即可求得〃的值.

4a-2a-k=?

【試題解答】解：（1）當(dāng)a=7,加=0時(shí)，y=-x2+2r+c,A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）,

-9+6+c=0.

解得c=3.

???拋物線的表達(dá)式為y=-/+2x+3.

即y=-(x-1)2+4.

???拋物線的極點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,

故答案為：（1,4）.

（2）..?點(diǎn)。（x,y）在拋物線上，

.".y=axi-2ax+c.

又???。。_1_》軸交直線I:y^kx+c（*<0）于點(diǎn)D

二。點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,fcr+c）.

又；點(diǎn)Q是拋物線上點(diǎn)氏C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

'.QD=a）r-2ax+c-（kx+c）=OJC-（2a+k）x.

'：QE=x,

.?.在RtZXQEQ中，tan0=器=運(yùn)二號(hào)=or-2a-E

；.lanB是關(guān)于x的一次函數(shù)，

Va<0,

Atanp隨著x的增大而減小.

又???當(dāng)2WxW4時(shí)，p恰好滿足30°W0W6O。，且tan0隨著0的增大而增大，

.,.當(dāng)x=2時(shí)，0=60°；當(dāng)x=4時(shí):0=30°.

2a—2a—k=V3

,舟

4Q—2a—/c=一

k=—y/3

解得后

（a--■3-

故答案為：-苧.

6.（2021?柯橋區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線>=亮/一,》一3與》軸交于點(diǎn)4、B（A

在B左側(cè)），與），軸交于點(diǎn)C,經(jīng)由點(diǎn)A的射線AF與y軸正半軸訂交于點(diǎn)E,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為F,

4E1

—=點(diǎn)。是點(diǎn)。關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且N4FP=ND4氏則點(diǎn)尸的坐

EF3

標(biāo)是(0,6)或P(0，----y—1

【點(diǎn)睛】過(guò)點(diǎn)尸作產(chǎn)用Lc軸，垂足為M.設(shè)七(0,/),則?！?/,則/(6,40,將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入

拋物線的解析式可求得/的值，末了，依據(jù)cot/布旌器的值；然后求得cotZDAB=I，則NMB=N

DAB.當(dāng)點(diǎn)P在A尸的上方時(shí)可證明P/〃A8,從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在A尸的下方時(shí)，設(shè)FP

與x軸交點(diǎn)為G("1,0),則NP硼=/用8,可得到FG=AG,從而可求得加的值，然后再求得P尸的

解析式，從而可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【試題解答】解：過(guò)點(diǎn)尸作尸MLr軸，垂足為M.

設(shè)E(0,t),則OE=f.

?.4E_1

'EF~3"

eAOOE1

''AM~FM~4

：.F(6,4r).

將點(diǎn)F(6.4?)代入y=lx2-*-3得：=X6?-(3X6-3=0,解得Q1

.".cotZE4B=器=

*/y=1x2——3=|(x+2)(x-4).

?"(-2,0),8(4,0).

易得拋物線的對(duì)稱軸為x=\,C(0,-3)

丁點(diǎn)。是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，

：.D(2,-3).

4

.*.cotZDAB=手

：.ZFAB=ZDAB.

如下圖所示：

當(dāng)點(diǎn)尸在的上方時(shí)，NPFA=NDAB=NFAB,

???PF//AB,

??yp=y/r=6.

由(1)可知:/(6,4r),U宗

：.F(6,6)?

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,6).

當(dāng)點(diǎn)P在AF的下方時(shí)，如下圖所示:

設(shè)FP與x軸交點(diǎn)為G。幾0）,則/巴弘=NFAB,可得到FG=AG,

/.（6-m）2+62=（加+2）2,解得：6=學(xué)，

17

：.G（―0）.

4

(6k+b=6

設(shè)PF的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得：（12卜+

=0'

解得：仁竽，6=-半.

：.P（0,-苧.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,6）或P（0,一半）.

故答案是：（0,6）或P（0,--y—）.

7.（2021?金堂模擬）如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（1,4）和（4,4）,拋物線y=a（x-ni）2+n的極

點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于C、。兩點(diǎn)（C在。的左側(cè)），點(diǎn)。的橫坐標(biāo)最小值為-3,則點(diǎn)D

的橫坐標(biāo)最大值為8.

F1

GUODVt

【點(diǎn)睛】當(dāng)C點(diǎn)橫坐標(biāo)最小時(shí)，拋物線極點(diǎn)必為A（1,4）,根據(jù)此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸，可判斷出CD間的

間隔；

當(dāng)。點(diǎn)橫坐標(biāo)最大時(shí)，拋物線極點(diǎn)為8（4,4）,再根據(jù)此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸及CZ）的長(zhǎng)，可判斷出。點(diǎn)

橫坐標(biāo)最大值.

【試題解答】解：當(dāng)點(diǎn)C橫坐標(biāo)為-3時(shí):拋物線極點(diǎn)為A（l,4）,對(duì)稱軸為x=l,此時(shí)。點(diǎn)橫坐標(biāo)為5,

則CD=8；

當(dāng)拋物線極點(diǎn)為8（4,4）時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為x=4,故C（0,0）,D（8,0）；

因?yàn)榇藭r(shí)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)最大，

故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為8；

故答案為：8.

8.（2021?常州模擬）二次函數(shù)y=|/的圖象如圖所示，點(diǎn)Ao位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4,A2,A3,…，出021在y

軸的正半軸上，點(diǎn)Bi,B2,83,—,B2021在二次函數(shù)＞=|/位于第一象限的圖象上，若△AoBiAi,

AA1B2A2,AA2B3A3,…，△42（）21比（）2自2021都為等邊三角形，則△AZOZIBZOZIAMI的邊長(zhǎng)=2021.

【點(diǎn)睛】分別過(guò)81,比，協(xié)作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C,設(shè)AM=?,4A2=44加=?則

ABy=^-a,BB2Hb.儂=挈再根據(jù)所求正三角形的邊長(zhǎng)，分別示意以，歷，明的縱坐標(biāo)，漸漸代

入拋物線），=|）中，求“、b、c的值，得出規(guī)律.

【試題解答】解：分別過(guò)Bi,胡作），軸的垂線，垂足分別為A、B、C,

設(shè)AM=”，A\A2—b,A2A3—C,則882=苧6,CB?,=^-c,

一—qV3a

在正△4）814中，B\（—6/,—）,

代入）=!?中，得;解得“=],即4M=],

5234

^3人

在正△4BM2中，比（一b,1+引，

2乙

代入尸莪中，得l+"|x+2,解得〃=2,即4A2=2,

73C

在正△A233A3中，B3（―C,3+引,

2

代入產(chǎn)|/中，得3+尹|x|C）,解得c=3,即仙3=3,

依此類推由此可得△A2021B2021A2021的邊長(zhǎng)=2021,

故答案為:2021.

9.（2021?成都模擬）如圖，已知拋物線和x軸交于兩點(diǎn)A、B,和y軸交于點(diǎn)C,已知A、8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)

325

分別為-1,4,ZVIBC是直角三角形，NACB=90°,則此拋物線極點(diǎn)的坐標(biāo)為（:七）.

28

【點(diǎn)睛】根據(jù)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)求出04、08的長(zhǎng)，再根據(jù)AAOC和△COB相似，操縱相似三角形對(duì)應(yīng)邊

成比例列式求出OC的長(zhǎng)度，然后寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線解析式為），="（x+1）（x-4）,把點(diǎn)

C的坐標(biāo)代入求出〃的值，再整理成極點(diǎn)式形式，然后寫出極點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【試題解答】解：；A、8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為7,4,

，OA=1,08=4,

VZACB=90°,

???NC45+NABC=90°,

VC0±AB,

JNABC+N3co=90°,

：?/CAB=NBC0,

又?.?乙40。=/30。=90°,

J△NOS△COB、

.AO0C

9,0C~OB'

口r10C

即一=一,

0C4

解得OC=29

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),

:A、3兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-1,4,

.,?設(shè)拋物線解析式為G+l)(x-4),

把點(diǎn)。的坐標(biāo)代入得，a(0+1)(0-4)=2,

解得a=-

.\y=(x+1)(x-4)=-；(/-3x-4)=一；(%—1)2+等

3?5

...此拋物線極點(diǎn)的坐標(biāo)為(；，—).

28

325

故答案為：([—).

28

y

x

10.如圖，二次函數(shù)尸殺2一竽x+b的圖象交x軸于點(diǎn)A,8（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），交），軸于點(diǎn)C.

V3

（1）若在拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使△4CP周長(zhǎng)最小，則f點(diǎn)坐標(biāo)為（2,7）；

（2）現(xiàn)有一長(zhǎng)為2的線段QE在直線）=坐上移動(dòng)，且在移動(dòng)過(guò)程中，線段OE上始終存在點(diǎn)P,使

得三條線段B4,PB,PC能與某個(gè)等腰三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等.若線段。E左端點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為r,則f

的取值范疇是一打后2.

-L-------------

【點(diǎn)睛】（1）先求出點(diǎn)A,點(diǎn)反點(diǎn)C坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)C,點(diǎn)P,點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，八46周長(zhǎng)最小，由待定

系數(shù)法可求BC解析式，即可求點(diǎn)尸坐標(biāo)；

（2）分三種情況會(huì)商，由兩點(diǎn)間隔公式和三角形三邊關(guān)系可求解.

【試題解答】解：（1）如圖1,毗鄰8P,

,.〉=苧丫2-竽X+百的圖象交X軸于點(diǎn)4,B,交y軸于點(diǎn)C.

...點(diǎn)4(1,0),點(diǎn)8(3,0),點(diǎn)C(0,V3),對(duì)稱軸為x=2,

?.?點(diǎn)A,點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸直線x=2對(duì)稱，

：.AP=PB,

AP+CP+AC=PB+CP+AC,且AC是定值，

...當(dāng)點(diǎn)C,點(diǎn)P,點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，ZXACP周長(zhǎng)最小，

設(shè)直線8c解析式為:y=kx+h,

(b=V3

lo=3k+b

(,V3

解得：卜=一1"

b=V3

直線BC解析式為：y=-苧式+百，

當(dāng)x=2時(shí)，y=停

V3

???點(diǎn)尸坐標(biāo)(2,―),

故答案為：(2,日)；

(2)如圖2,

??,線段OE上始終存在點(diǎn)只使得三條線段布,PB,PC能與某個(gè)等腰三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等,

：.PA^PB,或P8=PC,或PC=%,

*；DE在直線y=亨上移動(dòng)，

.?.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y,

設(shè)點(diǎn)P(%,?),

若胡=PC,

(x)2+(我一易2=(X-1)2+(y)2,

.1

..x=》

1V3

.,.點(diǎn)Pl],—),

：.PA^PC=\,PC=V7,

■:PA+PBCyH

不合題意舍去；

若PB=PC,

：.(x)2+(V3-^y)2=(x-3)2+(y)2,

.3

??x=2

3V3

點(diǎn)尸(],—),

：.PB=PC=V3,PA=\,

"：PA+PB>PC

：.PA,PB,PC能組成三角形；

若以=尸8,

/.(x-1)2+(y)2=(…)2+(易2,

?.x=2,

.?.點(diǎn)P(2,y),

:.PA=PB=?改=組

,：PA+PB>PC,

PB.PC能組成三角形；

；點(diǎn)尸在長(zhǎng)為2的線段OE上，

線段QE左端點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為r的取值范疇為：|-2W/W2,

線段。E左端點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為，的取值范疇為：—：9W2,

1

故答案為：—

II.拋物線y=/-2x-3與x軸交于點(diǎn)A、8(點(diǎn)4在點(diǎn)B的左邊)，點(diǎn)尸在拋物線上.

(1)點(diǎn)C是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，四邊形ACP。是正方形，則滿足前提的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(-1,-3)或

(-1,5)或(2,3)或(4,-5);

(2)連結(jié)AP,以AP為一條對(duì)角線作平行四邊形AMPN,使點(diǎn)M在以點(diǎn)(1,0),(0,1)為端點(diǎn)的

線段上，則當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)取最小值時(shí)，N的坐標(biāo)為(0,-5).

【點(diǎn)睛】(1)先求出點(diǎn)4,點(diǎn)8坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C(x,0),由正方形的性質(zhì)C4=CP=42=QP,可得|x+l|

=A?-2x-3,可求點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求點(diǎn)Q坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)例(皿-m+\),由平行四邊形的性質(zhì)可得4V=PMAN//MP,當(dāng)時(shí)，，且在x軸下

方上，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)有最小值，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【試題解答】解：(1)令y=0,則0=？-2x-3,

?.Xi=3,X2=~1,

.,.點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(3,0),

如圖1,若AC為邊，設(shè)點(diǎn)C(x,0),

.?.C4=k+l|

?.?四邊形4CP。是正方形，

：.CA=CP=AQ=QP,NQAC=90°,

.,.Lr+l|=|?-2x-3\,

；.x+l=/-2x-3或-x-]=7-2x-3

.".xi=-1（不合題意舍去），X2=2,刈=4,

.?.點(diǎn)C（2,0）或（4,0）

，AC=AQ=3或5,

；?點(diǎn)。（T,-3）或（-1,5）；

x+1

若AC為對(duì)角線，則AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（空一，0）

.?.C4=W+1|

???正方形的對(duì)角線彼此垂直平分且相等，

|X+1|X+1%+1

.,?L—1=1（―）92-2X嬰-3|,

.X+1x+122cx+1x+1產(chǎn)+1、2Cx+1°

..--2-=（---2-）-2x^52——3或——52-=（--2-）-2x^52—3

?,.Xi=-1（不合題意舍去），X2=5,X3=9.

；.AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,（4,0）,

.?.點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2,3）或（4,-5）

故答案為（-1,-3）或（-1,5）或（2,3）或（4,-5）；

（2）?.?四邊形ANPM是平行四邊形，

對(duì)角線彼此平分，

.".yA+yp=yM+yN,

'.yN—O+x1-2x-3-yM,

...當(dāng)/-2r-3取最小值，取最大值時(shí)，加有最小值，

Vx2-2x-3=（x-1）2-4,

...當(dāng)x=l時(shí)，/-〃-3最小值=-4,點(diǎn)P（1,-4）

???OMMWI,

最大值=1

二刈最小值=-4-1=-5.

故答案為：（0,-5）.

12.在平面直角坐標(biāo)系》0），中拋物線、=0?-2奴-34-1的極點(diǎn)為點(diǎn)A

（1）寫出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l;

（2）若拋物線的極點(diǎn)A在第一象限，直線y=-1與此拋物線交于8、C兩點(diǎn)，當(dāng)AABC為等腰直角三角

形，求出此拋物線的解析式；

（3）設(shè)直線y=-1關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為直線，〃當(dāng)拋物線與直線，〃交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間間隔不小于6時(shí)，求

。的取值范疇.

【點(diǎn)睛】（1）由拋物線的解析式，操縱二次函數(shù)的性質(zhì)即可找出拋物線的對(duì)稱軸；

（2）操縱配方式可找出極點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入y=-l可求出點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)，由等腰直角三角形的性質(zhì)

可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a的值，再將其代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論：

（3）由（2）可得出BC=3,進(jìn)而可得出a<0不吻合題意，當(dāng)a>0時(shí)，由拋物線與直線m兩交點(diǎn)的間

隔不小于6,可得出點(diǎn)（4,1）在拋物線內(nèi)或拋物線上，再操縱二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得出

關(guān)于“的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論.

【試題解答】解：(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線工=一段=1.

故答案為:x=l.

(2)9?y=CD?-2ax-3a-I—a(x-1)-4a-1,

???極點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-4a-1).

當(dāng)y=-1時(shí)，有〃(尤-1)2-4a-1=-I,即(x-1)2=4,

解得：用=-1,X2=3,

，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-1,-1),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,-1).

???△A3C為等腰直角三角形，

-4a-1-(-1)=1[3-(-1)],

._1

??。一一2，

...當(dāng)△ABC為等腰直角三角形，此拋物線的解析式為y=—#+x+；.

(3)由⑵可知BC=3,

當(dāng)a<0時(shí)，不吻合題意.

當(dāng)”>0時(shí)，如圖2所示.

?.?拋物線與直線m交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間間隔不小于6,

.?.i7X42-2?X4-3?-1^1,

解得:a<|,

2

：.0<a<I，

.?.當(dāng)拋物線與直線，"交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間間隔不小于6時(shí)，”的取值范疇為0<aw|.

13.已知拋物線Ci：y=-7+23+1（機(jī)為常數(shù)，且mWO）的極點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)C；拋物線C2與拋物線

G關(guān)于y軸對(duì)稱，其極點(diǎn)為B.若點(diǎn)尸是拋物線Ci上的點(diǎn)，使得以A、B、C、P為極點(diǎn)的四邊形為

菱形，則m的值為+V3.

【點(diǎn)睛】拋物線G、C2關(guān)于y軸對(duì)稱，那么它們的極點(diǎn)A、3也關(guān)于），軸對(duì)稱，所以48〃x軸；若以A、B、

C、P為極點(diǎn)的四邊形為菱形，那么CP也必須與x軸平行，即點(diǎn)C、尸的縱坐標(biāo)一樣，代入拋物線。

的解析式中，就能確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，此時(shí)能發(fā)覺(jué)4B=CP,即四邊形APCB中，A3、CP平行且相等，即

該四邊形APCB是平行四邊形，只要再滿足AP=CP（即一組鄰邊相等），就能判斷該四邊形是菱形，是以

先用表達(dá)出4P、CP的長(zhǎng)，再列等式求出的值.

【試題解答】解：由拋物線C：y=-7+2,nr+l知，點(diǎn)w2+l）、C（0,1）；

..?拋物線。、Q關(guān)于y軸時(shí)稱，

...點(diǎn)4、8關(guān)于y軸對(duì)稱，則A8〃x軸，且8（-肛/n2+l）,AB=\-2zn|；

若以A、B、C、尸為極點(diǎn)的四邊形為菱形，則AB//CP-,

在拋物線Cj:y=-/+2,nr+l中，當(dāng)y=l時(shí)，-/+2,nr+l=1,解得內(nèi)=0、垃=2見(jiàn)

點(diǎn)尸（2m,病+1）；

：.AB=CP=\lm\,又AB"CP、則四邊形APCB是平行四邊形；

若四邊形APCB是菱形，那么必須滿足4P=CP,即:

222

(2m)2=(WJ-o)+(/n+l-I),即：n?=3,

解得/n=±V3.

故答案為：±B.

14.(2021?碑林區(qū)校級(jí)模擬)如圖，拋物線y=-7+2x+3交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物

線的極點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E,點(diǎn)G,F分別在x軸和y軸上，則四邊形E0FG周

長(zhǎng)的最小值為+V58_.

【點(diǎn)睛】根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)0(1,4)、點(diǎn)E(2,3),作點(diǎn)。關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(-1,4)、

作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E'(2,-3),從而得四邊形EDFG的周長(zhǎng)=DE+O/;'+FG+G￡'=OE+。'

F+FG+GE',當(dāng)點(diǎn)力'、F、G、E'四點(diǎn)共線時(shí)，周長(zhǎng)最短,據(jù)此根據(jù)兩點(diǎn)間的間隔公式可得答案.

【試題解答】解：如圖,

在y=-/+2x+3中,當(dāng)x=0時(shí)，y=3,即點(diǎn)C(0,3),

?產(chǎn)-/+2x+3=-(x-1)2+4,

.,.對(duì)稱軸為x=l,極點(diǎn)。(1,4),

則點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,3),

作點(diǎn)。關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D'(-1,4),作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E'(2,-3),

毗鄰》、E',D'E'與x軸的交點(diǎn)G、與y軸的交點(diǎn)下即為使四邊形EQFG的周長(zhǎng)最小的點(diǎn),

四邊形EDFG的周長(zhǎng)=OE+。尸+FG+GE

=DE+D'F+FG+GE'

=DE+D'E'

=J(1-21+(4-3產(chǎn)+，(-1-2)2+(4+3-=V2+V58,

四邊形ECFG的周長(zhǎng)的最小值為：72+V58.

故答案是：V2+V58.

cY2

15.(2021?江陰市模擬)如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線yi=/(x20)與”=可(》20)于8、C

兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線交yi于點(diǎn)D,直線DE//AC,交”于點(diǎn)E,則77=_V3_.

【點(diǎn)睛】設(shè)4點(diǎn)坐標(biāo)為(0,。)，操縱兩個(gè)函數(shù)解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后求出8c的長(zhǎng)度，再根

據(jù)CZ)〃)，軸，操縱yi的解析式求出。點(diǎn)的坐標(biāo)，然后操縱”求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得到OE的長(zhǎng)度，然

后求出比值即可得解.

【試題解答】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（0,?）,（a>0）

則/="，解得x=Va,

%2

，點(diǎn)B（迎，a）,—=a,

則x=V3a,

???點(diǎn)C（V5^,a）,

BC=V3a—\[a,

???CD〃y軸，

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)一樣，為V3a,

?*.yi=(V3a)2=3〃，

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(后，3a).

'：DE//AC.

???點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為34

.X2

/.一=3”，

3

/.x=3y/a,

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3Va,3a),

DE—3)y/a-y/3a,

.DE3'/a.-y/3ar-

：'~BC=阮—-="3.

故答案是：V3.

16.（2021?廣南縣校級(jí)模擬）如圖（1）,在平面直角坐標(biāo)系中，梯形0ABe如圖放置，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,

m）,動(dòng)點(diǎn)尸從原點(diǎn)O出發(fā)，以1.2cm/s的速度沿OA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A中斷，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從原點(diǎn)4出發(fā)，以la“/s

的速度沿ABfBCfCO運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。中斷.設(shè)點(diǎn)P、。出發(fā)f秒時(shí)，△OPQ的面積為Scm2.已知S與1的函

數(shù)關(guān)系的圖象如圖（2）（曲線0。為拋物線的一部分）.

則下列結(jié)論:

①OA=A8=5a”；②梯形048c的面積為18；③當(dāng)0WfW5時(shí)，S=j|t2；④線段EF的解析式為S=-

3r+36(8WfW12)

其中，對(duì)的結(jié)論有②⑶⑷.（把你認(rèn)為對(duì)的結(jié)論的序號(hào)都填上）

【點(diǎn)睛】根據(jù)圖(2)判斷出5秒時(shí)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A,點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B,然后求出OA、AB即可判斷出①錯(cuò)誤：

過(guò)點(diǎn)B作BF1OA于F,可得四邊形OFBC是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得OF=8C=3,然后求出AP

=3,操縱勾股定理列式求出BF,從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再操縱梯形的面積公式列式計(jì)算即可判斷出②正

確；操縱NOAB的正弦示意出點(diǎn)Q到0A的間隔，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得到S與1的關(guān)

系式，從而判斷出③正確；根據(jù)AB、BC、0C的長(zhǎng)度寫出點(diǎn)￡F的坐標(biāo)，設(shè)線段EF的解析式為S=

kt+b(30),操縱待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可判斷出④正確.

【試題解答】解：由圖(2)可知，5秒時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)4,點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)8,

???點(diǎn)P的速度是\.2cm/s,點(diǎn)。的速度是lcm/s,

，OA=1.2X5=6a”，AB=lX5=5cm,

J.OA^AB.故①錯(cuò)誤：

過(guò)點(diǎn)B作?F±OATF,則四邊形OFBC是矩形，

所以，0F=BC=cm3,

所以，AF=OA-0F=6-3=3cm,

由勾股定理得，BF=>JAB2-AF2=gw=4cm,

所以，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,4),

梯形0A8C的面積=<(8C+0A)?BF=1x(3+6)X4=18,故②正確；

0WW5時(shí)，點(diǎn)P在0A上，0P=l.2t,

點(diǎn)Q在A8上，點(diǎn)。到。4的間隔=AQ?sinN0AB=$,

所以，△0PQ的面積=}1.2廠7=1|尸，故③正確；

'：AB=5,BC=3,0c=4,

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8,12）,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（12,0）,

設(shè)線段EF的解析式為5=公+6（ZW0）,

把點(diǎn)E、尸代入得,修黑藍(lán)

解得宜肅

所以，線段所的解析式為S=-3什36（8＜店12）；

綜上所述，對(duì)的結(jié)論是@@（4）.

故答案為：②③④.

圖⑴

17.（2021?成都模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線產(chǎn)為常數(shù)）與拋物線產(chǎn)9-2交于A,8兩

點(diǎn)，且A點(diǎn)在y軸左側(cè)，尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,-4）,毗鄰%,P8.有以下說(shuō)法：

①PO^WPB；

②當(dāng)火＞0時(shí)，（南+AO）（PB-BO）的值隨上的增大而增大；

③當(dāng)k=一爭(zhēng)寸，BF^=B8BA；

④△公8面積的最小值為4遍.

其中對(duì)的是⑶⑷.（寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）

【點(diǎn)睛】起首得到兩個(gè)根基結(jié)論：

（I）設(shè)A（.m,km）,B（n,kn）,聯(lián)立兩個(gè)解析式，由根與系數(shù)關(guān)系得至！|:,"+"=3Z,mn=-6；

（II）直線PA、PB關(guān)于y軸對(duì)稱.

操縱以上結(jié)論，解決本題：

（1）說(shuō)法①錯(cuò)誤.如答圖1,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的時(shí)稱點(diǎn)為A',若結(jié)論①成立，則可以證明△POA'

PBO,得到NA0P=NP80.而/AOP是△PBO的外角，NAOP>NPBO,由此產(chǎn)生抵悟，故說(shuō)法①錯(cuò)

誤；

（2）說(shuō)法②錯(cuò)誤.如答圖2,可求得（%+AO）（PB-BO）=16為定值，故錯(cuò)誤；

（3）說(shuō)法③正確.聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，進(jìn)而求得BP、BO、BA,驗(yàn)證等式8戶=3。?區(qū)4成

立，故正確；

（4）說(shuō)法④正確.由根與系數(shù)關(guān)系得到：SA?AB=2A/9k2+24,當(dāng)無(wú)=0時(shí)，取得最小值為4V6,故正確.

【試題解答】解：設(shè)A（/?,km）,B（n,kn）,其中m<0,?>0.

聯(lián)立y=gx2-2與y=kx得：-x2-2=kx,即/-3履-6=0,

.??/〃+〃=3匕mn=-6.

設(shè)直線PA的解析式為y=ax+b.將尸（0,-4）,A（加，km）代入得：

b=-4Zm+4

解得a=-----.b=-4,

ma+b=km'm

km+4

x-4.

---m-----)

4m

令得x=

y