2021春北師大版九年級數(shù)學下冊知識歸納與課時練習:第三章 圓_第1頁
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文檔簡介

圓同步練習

一、選擇題

1.圓的直徑為13cm,如果圓心與直線的距離是d,則()

A.當d=8cm,時,直線與圓相交

11當£1=4.5011時,直線與圓相離

C.當d=6.5cm時,直線與圓相切

D.當d=13cm時,直線與圓相切

2.如圖,在。0中,AB為直徑,點C為圓上一點,將劣弧左C沿弦AC翻折交AB于點D,

連接CD.如果NBAC=20°,則NBDC=()

A.80°B.70°C.60°D.50°

3.如圖是一個正八邊形,圖中空白部分的面積等于20,則陰影部分的面積等于()

A.1072B.20C.18D.20&

4.如圖,△陋內(nèi)接于。0,且NABC=70°,則NA0C為()

(A)140°(B)120°(C)90°(D)35°

5.。。的半徑為5cm,點A到圓心0的距離0A=3cm,則點A與圓0的位置關(guān)系為()

A.點A在圓上B.點A在圓內(nèi)C.點A在圓外D.無法確定

6.(3分)在。0中,圓心0至IJ弦AB的距離為AB長度的一半,則弦AB所對圓心角的大小為

()

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.(3分)(2015?牡丹江)如圖,4ABD的三個頂點在。0上,AB是直徑,點C在。0上,

且/ABD=52°,則/BCD等于().

A.32°B.38°C.52°D.66°

8.已知一塊圓心角為300。的扇形鐵皮,用它做一個圓錐形的煙囪帽(接縫忽略不計),圓

錐的底面圓的直徑是80cm,則這塊扇形鐵皮的半徑是()

A.24cmB.48cmC.96cmD.192cm

二、填空題

9.用半徑為6cm的半圓圍成一個圓錐的側(cè)面,則圓錐的底面半徑等于cm.

10.一個幾何體的三視圖如圖,根據(jù)圖示的數(shù)據(jù)計算該幾何體的表面積為.(結(jié)

果保留")

主視圖左視圖

11.如果一個扇形的圓心角為120°,半徑為6,那么該扇形的弧長是.

12.如圖,在。0中,N0AB=45°,圓心0至I」弦AB的距離0E=2cm,則弦AB的長為cm.

13.(3分)用一個圓心角為90。,半徑為4的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面,該圓錐底面圓的

半徑.

14.(3分)邊長為1的正三角形的內(nèi)切圓半徑為.

15.(3分)(2015?郴州)已知圓錐的底面半徑是1cm,母線長為3cm,則該圓錐的側(cè)面積為

cm2.

16.(4分)如圖,AD是。。的直徑,弦BCLAD于E,AB=BC=12,則00.

三、解答題

17.如圖,已知AB是。0的直徑,AP是。。的切線,A是切點,BP與。0交于點C,若AB=2,

ZP=30°,求AP的長(結(jié)果保留根號).

己知:如圖,AB為(DO的直徑,AD為弦,ZDBC=ZA.

18.求證:BC是。。的切線;

19.若OC〃AD,0c交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的長.

20.如圖,已知。0與BC相切,點C不是切點,A0±0C,Z0AC=ZAB0,且AC=B0,判斷直

線AB與。0的位置關(guān)系,并說明理由.

21.已知,如圖,直線MN交。0于A,B兩點,AC是。。的直徑,DE切。0于點D,且DEJ_

(1)求證:AD平分NCAM.

(2)若DE=6,AE=3,求。。的半徑.

22.(10分)如圖,已知AB是。0的直徑,點C,D在。。上,點E在。0外,ZEAC=ZB.

/E

(1)求證:直線AE是。。的切線;

(2)若ND=60°,AB=6時,求劣弧AC的長(結(jié)果保留n).

參考答案

1.C

2.B.

3.B.

4.A

5.B.

6.D.

7.B.

8.B.

9.3

10.24兀,

11.4n.

12.4.

13.1.

15.3n.

16.4G.

17.2百.

18.證明:(1);AB為。。的直徑

.,.ZD=90°,ZA+ZABD=90°

VZDBC=ZA

.?.ZDBC+ZABD=90"

BC±AB

.?.BC是。0的切線

19.VOC/7AD,ND=9O°,BD=6

/.OC1BD

ABE=-BD=3

2

是AB的中點

.*.AD=2EO-

VBC±AB,OC±BD

/.△CEB^ABEO,:.BE?=CE-OE

-9

CE=4.OE=—

4

,9

.".AD=-

2

20.直線AB與。0的位置關(guān)系是相離.理由見解析.

21.(1)證明見解析;(2)。。的半徑為7.5.

22.(1)證明見試題解析;(2)2n.

圓綜合練習題

一、與圓有關(guān)的中檔題:與圓有關(guān)的證明(證切線為主)和計算(線段長、面積、

三角函數(shù)值、最值等)

1.如圖,為。。的直徑,AC為弦,AB=AC,AO交8。于£,AE=2,ED=4.

(1)求證:AABE^AADB,并求A8的長;

(2)延長。B到尸,使BF=BO,連接E4,判斷直線E4與。。的位置關(guān)系,并說明理

由.

1.解:AB^AC,:.ZABC^ZC.

/C=/D,:./ABC=/D.

又NBAE=NDAB,

ARA

.△ABEsAADB.——=——

ADA

:.AB2=ADFAE=(AE+ED)A£=(2+4)x2=12.

:.AB=2班(舍負).

(2)直線E4與。相切.

連接。4.BD為0的直徑,,ZBAD=90.

在用ZUBO中,由勾股定理,得+W=J12+(2+4)2=例=4技

BF=BO=LBD='X46=26

22

AB=Z6:.BF=BO=AB.

(或;.AAOB是等邊三角形,NF二ZBAF.

?.NO6A=NOAB=60°,ZF=Zfi4F=30°.)

:.ZOAF^90.OALAF.

又點A在圓上,.?.直線E4與O相切.

2.已知:如圖,以等邊三角形ABC一邊A8為直徑的。。與邊AC、BC分別交于點D、E,過

點、D作DF,BC,垂足為F.

(1)求證:OF為。。的切線;

(2)若等邊三角形A8C的邊長為4,求。F的長;

(3)求圖中陰影部分的面積.

2.(1)證明:連接DO.

?;AABC是等邊三角形,.?./C=60°,/A=60°,

?:OA=OD,△。4£)是等邊三角形..../4)。=60°.

,:DFLBC,:.ZCDF=30°.

:.ZFDO=180°-N400-NCDF=90°.JDF為。。的切線.

(2):八。4。是等邊三角形,,CD=AD=AO=LA8=2.

2

RtAC。/7中,ZCDF=30°,:.CF=-CD=1.:.DF=7CZ)2-CF2=73.

2

(3)連接。E,由(2)同理可知E為CB中點,CE=2.

':CF=\,:.EF=\.

1Q巧

,,S直角梯形如£=+OD)-DF=

,_60^-x22_2

扇形皿=飛廠=鏟?

.&_3百2

,,J直角梯形「。OEJ扇形。0E23兀,

3、如圖,已知圓0的直徑AB垂直于弦CD于點E,連接CO并延長交于點尸,且

CF±AD.

(1)請證明:E是06的中點;

(2)若AB=8,求CD的長.

3、(1)證明:連接AC,如圖

CF1AD,AEJ_CD且CF,AE過圓心。

:.AC=AD,AC=C。,,△ACO是等邊三角形.;.NFCD=30

在Rt^COE中,OE=,OC,,0£;=_1。6.?.點£為03的中點

22

(2)解:在RfAOCE中AB=8,/.0C」A5=4

2

又BE=OE,:.OE=2B

CE=Y1OC2-OE2=716-4=2A/3:.CD=2CE=A6

4.如圖,AB是。。的直徑,點C在。。上,ZBAC=60°,P是。8上一點,過P作AB的垂

線與AC的延長線交于點Q,連結(jié)。C,過點C作8LOC交

(1)求證:ACOQ是等腰三角形;

(2)如果△CDQ絲△COB,求BP.PO的值.

4.(1)證明:由已知得/ACB=90°,ZABC=30°,

:.ZQ=30°,ZBCO=ZABC=30°.

VCD±OC,:.ZDCQ=ZBCO=30a,

.,-ZDCQ=ZQ,.?.△CDQ是等腰三角形.

(2)解:設(shè)。。的半徑為1,則AB=2,OC=1,AC=-AB=\,

2

;等腰三角形CDQ與等腰三角形COB全等,...CQ=BC=K.

;AQ=AC+CQ=l+5AP=-AQ=^^-,

22

BP=AB-AP=2-]+"=3一百PO=AP-AO=1+石-1=,

2222

...BP:P0=6

5.已知:如圖,B。是半圓。的直徑,4是B。延長線

上的一點,BC±AE,交AE的延長線于點C,交半圓

。于點E,且E為。尸的中點.

(1)求證:AC是半圓。的切線;

(2)若AD=6,AE=6五,求6c的長.

5.解:(1)連接?!辏篍為。尸的中點,=ZOBE=ZCBE.

,?OE=OB,:.NOEB=NOBE.:.ZOEB=ZCBE.:.0E//BC.

":BC1AC,;.4=90°.,ZAEO=ZC=90Q.B|JOE1AC.

又OE為半圓。的半徑,,AC是半圓。的切線.

(2)設(shè)。的半徑為X,

VOE±AC,*+6)2—(6揚2=W.Ax=3.AAB=AD+OD+OB=12.

\r)OFQ3

???OE〃BC,AAAOE^AABC,即二=,ABC=4.

ABBC12BC

6.如圖,△ABC內(nèi)接于。0,過點A的直線交。0于點P,交的延長線于點。,且

AB2=AP?AD

(1)求證:AB^AC;

(2)如果N/LBC=60,。。的半徑為1,且P為弧AC的中點,

求AD的長.

6.解:(1)證明:聯(lián)結(jié)BP.

ABAD

2

AB=AP-AD,AP=AB'

,//BAD=/PAB,AABD^AAPB,

ZABC=ZAPB,VZACB=ZAPB,

ZABC=ZACB.AB=AC.

(2)由(1)知AB=AC.VZABC=60°,.?.△ABC是等邊三角形.

1

/.ZBAC=60°,為弧AC的中點,/.ZABP=ZPAC=2ZABC=30°,

1

NBAP=90°,BP是。0的直徑,;.BP=2,AP=^BP=1,

AB2

在RtZ^PAB中,由勾股定理得AB2=BP2-AP2=3,人口=而=3.

7.如圖,在△ABC中,NC=90°,A。是NBAC的平分線,。是AB上一點,以O(shè)A為半徑的

。。經(jīng)過

點D.

(1)求證:BC是。。切線;

(2)若BD=5,DC=3,求AC的長.

7.(1)證明:如圖1,連接OD.

':0A=OD,AD平分NBAC,

ZODA=ZOAD,ZOAD^ZCAD.

:.ZODA=ZCAD.

:.OD//AC.

:.ZODB=ZC=90°.

BC是。。的切線.

(2)解法一:如圖2,過。作。£,/18于£

NAED=NC=90°.

又;AD=AD,ZEAD=ZCAD,

:.△AED絲△ACD.

BDC

AE=AC,DE=DC=3.

在RtaBE。中,/8ED=90。,由勾股定理,得

BE=^BDZ-DE-=4.圖2

設(shè)AC=x(x>0),則AE=x.

在RtZ\ABC中,ZC=90°,BC=BD+DC=8,AB=x+4,由勾股定理,得x2+82=(x+4)2.

解得x=6.即AC=6.

解法二:如圖3,延長AC至使得AE=AB.

AD=AD,NEAD=NBAD,

:.Z\AED四△A8D.

二ED=BD=5.

在RtZ\DCE中,ZDCE=90°,由勾股定理,得

CE=-DC2=4...........................................5分

E

在Rt/LABC中,ZACB=90°,BC=BD+DC=S,由勾股定理,WAC2+BC2=AB2.

即/+82=(41+4)2.解得AC=6.

8.如圖,A8是。。的直徑,8是。。的一條弦,且CD_LAB于E,連結(jié)AC、OC、BC.

(1)求證:ZACO=ZBCD;

(2)若BE=2,CD=8,求AB和AC的長.

8、證明:(1)連結(jié)BD,「AB是。。的直徑,CD±AB,

BC=BD.ZA=Z2.

又:OA=OC,Z1=NA.

Z1=Z2.即:ZACO=ZBCD.

解:(2)由(1)問可知,NA=N2,NAEC=NCEB.

AACE-ACBE.

CEAE,

——=——CE2=BE-AE.

BECE

又CD=8,J.CE=DE=4.AE=8.,AB=10.

AC=7AE2+CE2=V80=4A/5.

9.如圖,已知BC為。O的直徑,點A、F在。。上,AD±BC,垂足為。,交A。

于E,且AE=BE.

(1)求證:AB=AF;

(2)如果sinZF8C=|,A6=46,求AO的長.Q《\\

B\DO/C

第23題

9.解:(1)延長AD與。。交于點G.

■:直徑BC_L弦AG于點D,

--■、

AB=GB.

,NAFB=NBAE.

":AE=BE,:.NABE=NBAE.

:.ZABE=ZAFB.:.AB=AF.

ED3

(2)在Rt/\EDB中,sinZFBC=——=-

BE5

設(shè)ED=3x,BE=5x,則AE=5x,A0=8x,在RtZkEOB中,由勾股定理得8D=4x.

在RtAADB中,由勾股定理得BD2+AD2=AB2.

V48=4V5,(4以+(8x)2=0⑹2.

...x=l(負舍)....AD=3x=8.

10.如圖,已知直徑與等邊AA8C的高相等的圓。分別與邊AB、BC相切于點D、E,邊AC

過圓心。與圓。相交于點F、G,

(1)求證:DEAC;

(2)若AABC的邊長為a,求AECG的面積.

10.(1)八4^。是等邊三角形,.?./B=6tf,NA=60‘

AB.8c是圓。的切線,。、E是切點,,8。=8£

NBDE=60°,ZA=60°,有陽/AC.

(2)分別連結(jié)。D、0E,作EH_LAC于點H.

AB.BC是圓。的切線,D.E是切點,。是圓心,

ZADO=ZOEC=90Q-OD=OE,AD=EC.

:.MDO三△CEO,有AO=OC=-a.

2

圓。的直徑等于AABC的高,得半徑OG=@CG=OC+OG==a+也a.

424

EH±OC,ZC=60°ZCOE=30°,E,=—a.

8

]15/31G

?4,

.o_32

…°AECG---ci+旦、三"

643264

11.如圖,在^ABC中,ZBCA=90°,以8c為直徑的。。交A8于點P,Q是AC的中點.

(1)請你判斷直線PQ與。。的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)若NA=30。,AP=2V3,求。。半徑的長.

11、解:(1)直線PQ與。。相切.

連結(jié)。P、CP.

':BC是。。的直徑,;.ZBPC=90°

又:Q是AC的中點,:.PQ=CQ=AQ.

:.Z3=N4.

ZBC4=90°,;.Z2+Z4=90°.

...Z1=Z2,;.Z1+Z3=90°.

即ZOPQ=90°.

直線PQ與。。相切.

(2)NA=30°,AP=2V3,

,在RtAAPC中,可求AC=4.

在RtZ\ABC中,可求BC=—6.

3

B0=2g..?.G)O半徑的長為26.

33

12.如圖,已知點A是。。上一點,直線MN過點A,點B是/WN上的另一點,點C是。8

的中點,AC^-OB,

2

若點P是。。上的一個動點,且NOBA=30,AB=26時,求△APC的面積的最大值.

12、解:連結(jié)0A.

由C是。B的中點,且AC=‘OB,可證得Z0X18=90°.

2

則ZO=60°.可求得0A=AC=2.

過點。作。E_LAC于E,且延長E。交圓于點F.

則P仞E是的AC邊上的最大的高.

在△0AE中,OA=2,ZAOE=300,

解得OE=y/3.所以PE=2+6

故S?.c=-AC-PE=-x2x(2+V3).

22

即SPAC=2+6.

13.如圖,等腰AABC中,AB=AC=13,BC=10,以AC為直徑作。。交BC于點D,交AB于

點G,過點。作0。的切線交AB于點E,交AC的延長線與點F.

(1)求證:EFA.AB;

(2)求cos/F的值.

13.證明:

(1)聯(lián)結(jié)。。

0C=0D:.Z0DC=Z0CD

5C':AB=AC:.Z0CD=ZB

:.Z0DC=ZB:.0D//AB

:E。是。。的切線,0。是。。的半徑

A0DA.EF:.AB1EF

(2)聯(lián)結(jié)AD、CG

':AD是。。的直徑

ZADC=ZAGC=90°

':ABkEF:.DE//CG

:.ZF=ZGCA

':AB=AC:.DC=—BC^5

2

MADC中,AD=VAC2-CD2=12

':ADBC=ABCG

ADBC120

:.CG=------------=——

AB13

RfCGA中,c°s/GCA=^=圖

AC169

120

cosZF=-----

169

14.(應用性問題)已知:如圖,為了測量一種圓形零件的精度,在加工流水線上設(shè)計了用

兩塊大小相同,且含有30。的直角三角尺按圖示的方式測量.

⑴若。。分別與AE、AF交于點、B、C,且A8=AC,若。。與AF相切.

求證:。。與AE相切;

(2)在滿足⑴的情況下,當B、。分別為AE、AF的三分之一點時,

且AF=3,求的弧長.

14.解:(1)證明:連結(jié)。8、OA,OC.

根據(jù)題意,/OCA=90°.

在△AB。與△AC。中,

AB=AC,OA=OA,OB=OC,

所以△AB。也△AC。.

所以ZOCA=ZOBA=90".則AE是圓的切線.

(2)因/OCA=NOBA=90°,且NEAD=/FAG=30°,

則ZBAC=120°.

又AC=,AF=1,/OAC=60°,故OC=百.

3

所以BC的長為B兀.

3

15.已知:如圖,。。的內(nèi)接△ABC中,/BAC=45°,ZABC=15°,AD〃OC并交8c的延

長線于D,

OC交A8于E.

(1)求ND的度數(shù);/

(2)求證:AC2=ADCEi(、

(3)求好的值.。\I

15.(1)解:如圖3,連結(jié)OB.

,:。。的內(nèi)接△ABC中,N8AC=45°,

ZBOC=2ZBAC=90°.

":OB=OC,ZOBC=ZOCB=45°.

??AD//OC,ZD=ZOCB=45°.

(2)證明:ZBAC=45°,ZD=45°,

ZBAC=ZD.

':AD//OC,ZACE=ZDAC.

:.AACEsgAC.

ACCE

AC2^ADCE.

DAAC

(3)解法一:如圖4,延長8。交DA的延長線于F,連結(jié)。A.

/AD//OC,ZF=ZBOC=90°.

:ZABC=15°,

ZOBA=ZOBC-ZABC=30°.

:OA=OB,

ZFOA=ZOBA+ZOAB=60°,ZOAF=30°.

??OF=-OA.

2

:AD//OC,;?ABOCS/\BFD.

.BCBO.BCBOOAr即生的值為2.

>?===2

…~BD~~BFCDOFOFCD

解法二:作OM_L8A于M,設(shè)。。的半徑為r,可得BM=—r,OM=-,ZMO石=30。,

22

ME=OMtan30°=—r,BE=—r,AE=—r,所以生=殷=2.

633CDEA

16.如圖⑴,。。的直徑為AB,過半徑。4的中點G作弦C£J_AB,在&取一點。,

分別作直線CD、ED,交直線A6于點/、M.

⑴求ACOX和ZFDM的度數(shù);

⑵求證:"DMs\COM;

⑶如圖⑵,若將垂足G改取為半徑08上任意一點,點。改取朝上,仍作直線

CD、ED,分別交直線AB于點足試判斷:此時是否仍有"7加6八。0加成立?

(2)

16.解:⑴:AB為直徑,CE±AB,AAC=AE,CG=EG.

在RtACOG中,:OG=l0C,ZOCG=30°.AZCOA=60\

2

1cc

又NCDE的度數(shù)=已CAE的度數(shù)=AC的度數(shù)=NCOA的度數(shù)=60°,

2

ZFDM=180°-ZCDE=120°.

(2)證明::/COM=180°-ZCOA=120°,;.ZCOM=ZFDM.

,,,GM=GM

在RtACGM和RtAEGM中,(,

CG=EG

RtACGM絲RtAEGM.ZGMC=ZGME.

又-r8MF=NGME,:.ZOMC=ZDMF.

:.MDMsbCOM

(3)結(jié)論仍成立.證明如下:

ZFDA/=180°-ZCDE,

1CC

又?;NCDE的度數(shù)=—CAE的度數(shù)=CA的度數(shù)=NCOA的度數(shù),

2

ZFDM=180°—ZCOA=ZCOM.

;AB為直徑,CE±AB,

在RtACGM和RtAEGM中,

GM=GM

CG=EG'

RtACGM絲RtAEGM.

ZGMC=ZGME.:.\FDMsNCOM.

三、圓與三角函數(shù)綜合

17.已知G)。過點D(4,3),點H與點D關(guān)于y軸對稱,過H作。。的切線交y軸于點A

(如圖1)。

⑴求。。半徑;

⑵求sinNHAO的值;

⑶如圖2,設(shè)O0與y軸正半軸交點P,點E、F是線段OP上的動點(與P點不重合),

聯(lián)結(jié)并延長DE、DF交。。于點B、C,直線BC交y軸于點G,若AOEE是以EF為底的等

腰三角形,試探索sinNCGO的大小怎樣變化?請說明理由。

17.⑴點0(4,3)在。O上,。。的半徑廠=8=5。

(2)如圖1,聯(lián)結(jié)HD交0A于Q,則HD_LOA。聯(lián)結(jié)OH,則OH_LAH。

ZHAO=ZOHQ(>sinZ.HA0-sinZ.OHQ—~°

(3)如圖2,設(shè)點D關(guān)于y軸的對稱點為H,聯(lián)結(jié)HD交OP于Q,則HD_LOP。

又DE=DF,二DH平分/BDC。

sinZCGO=sinZOHQ=-

OH5

四、圓與二次函數(shù)(或坐標系)綜合

18、如圖,OM的圓心在X軸上,與坐標軸交于A(0,G)、B(-1,0),拋物線

y旦2+法+<:經(jīng)過人、B兩點.

3

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)設(shè)拋物線的頂點為P.試判斷點P與。M的位置關(guān)系,并說明理由;

(3)若。M與y軸的另一交點為D,則由線段PA、

線段PD及弧ABD圍成的封閉圖形PABD的面積

是多少?

18.解:⑴:拋物線經(jīng)過點A、B,

網(wǎng)=c,

nV3,

0=-----------b+c.

3

⑵由哈+百

得y=—*_l)2+乎

???頂點P的坐標為(1,—),

3

在RtAAOM中,MA2—MO2=OA2,OA=0,OB=1,

22

MA—(MA-1)=3Z;.MA=2.

,MB=2,MO=1,即點。的坐標為(1,0).

4月

.--MP=—>2.二頂點P在圓外;

3

(3)連結(jié)OD,;點M在拋物線的對稱軸上,

,,MP〃y軸,?*S^OAD=SAPAD.

:.由線段PA、線段PD及弧ABD形成的封閉圖形PABD的面積=扇形OAD的面積.

?.?在RtAAOM中,sinNAMO=@,,ZAM0=60°

2

...封閉圖形PABD的面積=坦史-MM=—

3603

19.如圖,在平面直角坐標系中,。是原點,以點C(L1)為圓心,2為半徑作圓,交x

軸于A,B兩點,開口向下的拋物線經(jīng)過點A,B,且其頂點P在。C上.

(1)求NAC8的大??;

(2)寫出A,8兩點的坐標;

(3)試確定此拋物線的解析式;

(4)在該拋物線上是否存在一點D,使線段OP與CD互相平分?若存在,求出點D的

坐標;若不存在,請說明理由.

19.解:(1)作CH_Lx軸,〃為垂足.

■:CH=1,半徑CB=2,

:.NHBC=30°.

NBCH=60°.

NACB=120°.

(2)VCH=1,半徑CB=2,

HB=6故41一百,0),6(1+V3,0).

(3)由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為(1,3).

設(shè)拋物線解析式為y=a(x—l)2+3,把點3(1+6,0)代入解析式,

解得。=一1.所以y=-/+2x+2.

(4)假設(shè)存在點。使線段。尸與CD互相平分,則四邊形OCPO是平行四邊形.

所以,PC〃OD且PC=OD.

PC軸,.?.點。在y軸上.

,:PC=2,:.OD=2,即0(0,2).

。(0,2)滿足y=—爐+2尤+2,

二點。在拋物線上.

...存在。(0,2)使線段OP與8互相平分.

20.(以圓為幌子,二次函數(shù)為主的代幾綜合題)如圖,半徑為1的。01與x軸交于A、B

兩點,圓心。?的坐標為(2,0),二次函數(shù)丁=一/+法+。的圖象經(jīng)過A、B兩點,其頂點

為尸.

(1)求。c的值及二次函數(shù)頂點F的坐標;

(2)將二次函數(shù)>=-/+加+。的圖象先向下平移1個單位,再向左平移2個單位,設(shè)平

移后圖象的頂點為C,在經(jīng)過點B和點。(0,—3)的直線/上是否存在一點P,使A24C的

周長最小,若存在,求出點尸的坐標;若不存在,請說明理由.

20.W:(1)由題意得,A(1,0),8(3,0).

一l+b+c=0,。二4

則有<解得1

-9+3Z?+c=0.

二次函數(shù)的解析式為y=—V+4x-3=—(x—2)?+l....頂點廠的坐標為(2,1).

(2)將y=—(x—21+1平移后的拋物線解析式為y=—其頂點為C(0,0).

?.?直線/經(jīng)過點B(3,0)和點。(0,-3),.?.直線/的解析式為y=x—3.

作點A關(guān)于直線/的對稱點A',連接84'、CA',

.??44,直線/,設(shè)垂足為£,則有A'£=AE,

由題意可知,ZABE=45°,AB=2,

AZEBA=45°,A'B=AB=2.AZCBA'=90°.

過點4作CO的垂線,垂足為F,...四邊形CE4'B為矩形.

E4'=O8=3.A'(3,-2).

2

二直線C4'的解析式為y=-.

rc/x=9

?,=一3''的解為5,直線CA與直線/的交點為點

五、以圓為背景的探究性問題

21.下圖中,圖⑴是一個扇形OAB,將其作如下劃分:

第一次劃分:如圖(2)所示,以0A的一半OAi的長為半徑畫弧交0A于點Ai,交0B于

點Bi,再作NAOB的平分線,交AB于點C,交44于點J,得到扇形的總數(shù)為6個,分

別為:扇形。AB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OAiBi、扇形。AiJ、扇形。GBi;

第二次劃分:如圖⑶所示,在扇形OCiBi中,按上述劃分方式繼續(xù)劃分,即以O(shè)Ci

的一半0A2的長為半徑畫弧交OCi于點A2,交OBi于點B2,再作NBQC1的平分線,交B£

于點Di,交&島于點D2,可以得到扇形的總數(shù)為11個;

第三次劃分:如圖⑷所示,按上述劃分方式繼續(xù)劃分;

依次劃分下去.

ccc

ooo0

圖⑴圖(2)第一次劃分圖⑶第二次劃分圖(4)第三次劃分

⑴根據(jù)題意,完成右邊的表格;

戈吩次數(shù)扇形總個數(shù)

⑵根據(jù)右邊的表格,請你判斷按上述劃分方式,能否得到扇形

16

的總數(shù)為2008個?為什么?

211

⑶若圖⑴中的扇形的圓心角/AOB=m°,且扇形的半徑OA的

3

長為R.我們把圖⑵第一次劃分的圖形中,扇形OAG(或扇4

??????

形OG四)稱為第一次劃分的最小扇形,其面積記為Si;把n

圖⑶第二次劃分的最小扇形面積記為S2;……,把第n次劃分的最小扇形面積記為Sn?

求工的值.

21.解:⑴

劃分扇形總個

次數(shù)數(shù)

16

211

316

421

.?????

n5n+l

(2)不能得到2008個扇形,因為滿足5n+l=2008的正整數(shù)n不存在;

S?,3603608

22.圓心角定理是“圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”,記作NAOBAB(如圖①);

圓心角定理也可以敘述成“圓心角度數(shù)等與它所對的弧及圓心角的對頂角所對的弧的和

的一半”,

記作NAOB-(AB+CD)(如圖①)請回答下列問題:

2

(1)如圖②,猜測NAPB與AB、CD有怎樣的等量關(guān)系,并說明理由;

(2)如圖③,猜測NAP3與A3、C怎怎樣的等量關(guān)系,并說明理由.

(提示:"兩條平行弦所夾的弧相等”可當定理用)

P

22.(1)g(AB+CD)

NPAB理由如下:

過0點分別作所BD交。于E、F、M、

ZAPB=/EOM

AE=CF,BM=DN,

AB+CD=EM+NF

ZEOMg(EM+NF)

NPAB;(AB+CO)

(2)NPABg(AB-C£)),理由如下:

過0點分別作EF挈C,MN8。交。于E、F、M、N,

ZAPB=ZEOM

AE=CF,BM=DN,

:.AB-CD=EM+NF

ZEOMg(EM+NF)???NPAB^(AB-CD)

23.已知:半徑為R的。O'經(jīng)過半徑為r的。。圓心,。O'與。。交于M、N兩點.

(1)如圖1,連接。0'交。。于點C,過點C作。。的切線交。O'于點A、B,求QO

的值;

(2)若點C為。。上一動點.

①當點C運動到。O'內(nèi)時,如圖2,過點C作。。的切線交。O'于A、B兩點.請你

探索。408的值與(1)中的結(jié)論相比較有無變化?并說明你的理由;

②當點運動到。外時,過點C作。。的切線,若能交。。'于A、B兩點.請你在圖

3中畫出符合題意的圖形,并探索Q408的值(只寫出。403的值,不必證明).

A

圖2圖3

23.解:(1)如圖1,延長。?!弧?于點D,連接AD.

V0D是。0'的直徑,/.ZDAO=90".

*/AB與。0相切于點C,.\0C±AB.

ZBCO=ZDAO=90°.

又ZB=ZD,,ABOC^ADOA.

.OBOC.

??----------.??0A*0B=0C*0D=2Rr.

ODOA

即0A?0B=2Rr.

(2)①答:0A?

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