2021春北師大版九年級數(shù)學下冊知識歸納與課時練習：第三章 圓

圓同步練習

一、選擇題

1.圓的直徑為13cm,如果圓心與直線的距離是d,則（）

A.當d=8cm,時，直線與圓相交

11當￡1=4.5011時，直線與圓相離

C.當d=6.5cm時，直線與圓相切

D.當d=13cm時，直線與圓相切

2.如圖，在。0中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧左C沿弦AC翻折交AB于點D,

連接CD.如果NBAC=20°,則NBDC=()

A.80°B.70°C.60°D.50°

3.如圖是一個正八邊形，圖中空白部分的面積等于20,則陰影部分的面積等于（）

A.1072B.20C.18D.20&

4.如圖，△陋內(nèi)接于。0,且NABC=70°,則NA0C為()

（A）140°（B）120°（C）90°（D）35°

5.。。的半徑為5cm,點A到圓心0的距離0A=3cm,則點A與圓0的位置關(guān)系為（）

A.點A在圓上B.點A在圓內(nèi)C.點A在圓外D.無法確定

6.（3分）在。0中，圓心0至IJ弦AB的距離為AB長度的一半，則弦AB所對圓心角的大小為

（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.（3分）（2015?牡丹江）如圖，4ABD的三個頂點在。0上，AB是直徑，點C在。0上,

且/ABD=52°,則/BCD等于（）.

A.32°B.38°C.52°D.66°

8.已知一塊圓心角為300。的扇形鐵皮，用它做一個圓錐形的煙囪帽（接縫忽略不計），圓

錐的底面圓的直徑是80cm,則這塊扇形鐵皮的半徑是（）

A.24cmB.48cmC.96cmD.192cm

二、填空題

9.用半徑為6cm的半圓圍成一個圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面半徑等于cm.

10.一個幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖示的數(shù)據(jù)計算該幾何體的表面積為.（結(jié)

果保留"）

主視圖左視圖

11.如果一個扇形的圓心角為120°,半徑為6,那么該扇形的弧長是.

12.如圖，在。0中，N0AB=45°,圓心0至I」弦AB的距離0E=2cm,則弦AB的長為cm.

13.（3分）用一個圓心角為90。，半徑為4的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，該圓錐底面圓的

半徑.

14.（3分）邊長為1的正三角形的內(nèi)切圓半徑為.

15.（3分）（2015?郴州）已知圓錐的底面半徑是1cm,母線長為3cm,則該圓錐的側(cè)面積為

cm2.

16.（4分）如圖，AD是。。的直徑，弦BCLAD于E,AB=BC=12,則00.

三、解答題

17.如圖，已知AB是。0的直徑，AP是。。的切線，A是切點，BP與。0交于點C,若AB=2,

ZP=30°,求AP的長(結(jié)果保留根號).

己知：如圖，AB為(DO的直徑，AD為弦，ZDBC=ZA.

18.求證：BC是。。的切線；

19.若OC〃AD,0c交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的長.

20.如圖，已知。0與BC相切，點C不是切點，A0±0C,Z0AC=ZAB0,且AC=B0,判斷直

線AB與。0的位置關(guān)系，并說明理由.

21.已知，如圖，直線MN交。0于A,B兩點，AC是。。的直徑，DE切。0于點D,且DEJ_

(1)求證：AD平分NCAM.

(2)若DE=6,AE=3,求。。的半徑.

22.(10分)如圖，已知AB是。0的直徑，點C,D在。。上，點E在。0外，ZEAC=ZB.

/E

(1)求證：直線AE是。。的切線；

(2)若ND=60°,AB=6時，求劣弧AC的長(結(jié)果保留n).

參考答案

1.C

2.B.

3.B.

4.A

5.B.

6.D.

7.B.

8.B.

9.3

10.24兀,

11.4n.

12.4.

13.1.

15.3n.

16.4G.

17.2百.

18.證明：（1）;AB為。。的直徑

.,.ZD=90°,ZA+ZABD=90°

VZDBC=ZA

.?.ZDBC+ZABD=90"

BC±AB

.?.BC是。0的切線

19.VOC/7AD,ND=9O°,BD=6

/.OC1BD

ABE=-BD=3

2

是AB的中點

.*.AD=2EO-

VBC±AB,OC±BD

/.△CEB^ABEO,:.BE?=CE-OE

-9

CE=4.OE=—

4

,9

.".AD=-

2

20.直線AB與。0的位置關(guān)系是相離.理由見解析.

21.(1)證明見解析；(2)。。的半徑為7.5.

22.(1)證明見試題解析；(2)2n.

圓綜合練習題

一、與圓有關(guān)的中檔題：與圓有關(guān)的證明(證切線為主)和計算(線段長、面積、

三角函數(shù)值、最值等)

1.如圖，為。。的直徑，AC為弦，AB=AC,AO交8。于￡,AE=2,ED=4.

(1)求證：AABE^AADB,并求A8的長；

(2)延長。B到尸，使BF=BO,連接E4,判斷直線E4與。。的位置關(guān)系，并說明理

由.

1.解：AB^AC,:.ZABC^ZC.

/C=/D,:./ABC=/D.

又NBAE=NDAB,

ARA

.△ABEsAADB.——=——

ADA

:.AB2=ADFAE=(AE+ED)A￡=(2+4)x2=12.

:.AB=2班(舍負).

(2)直線E4與。相切.

連接。4.BD為0的直徑，,ZBAD=90.

在用ZUBO中，由勾股定理，得+W=J12+(2+4)2=例=4技

BF=BO=LBD='X46=26

22

AB=Z6:.BF=BO=AB.

(或;.AAOB是等邊三角形,NF二ZBAF.

?.NO6A=NOAB=60°,ZF=Zfi4F=30°.)

:.ZOAF^90.OALAF.

又點A在圓上，.?.直線E4與O相切.

2.已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊A8為直徑的。。與邊AC、BC分別交于點D、E,過

點、D作DF，BC,垂足為F.

(1)求證：OF為。。的切線；

(2)若等邊三角形A8C的邊長為4,求。F的長;

(3)求圖中陰影部分的面積.

2.(1)證明：連接DO.

?；AABC是等邊三角形，.?./C=60°,/A=60°,

?：OA=OD,△。4￡)是等邊三角形..../4)。=60°.

,：DFLBC,：.ZCDF=30°.

：.ZFDO=180°-N400-NCDF=90°.JDF為。。的切線.

(2)：八。4。是等邊三角形，，CD=AD=AO=LA8=2.

2

RtAC。/7中，ZCDF=30°,：.CF=-CD=1.：.DF=7CZ)2-CF2=73.

2

(3)連接。E,由(2)同理可知E為CB中點，CE=2.

'：CF=\,：.EF=\.

1Q巧

,,S直角梯形如￡=+OD)-DF=

,_60^-x22_2

扇形皿=飛廠=鏟?

.&_3百2

—

,,J直角梯形「。OEJ扇形。0E23兀，

3、如圖，已知圓0的直徑AB垂直于弦CD于點E,連接CO并延長交于點尸，且

CF±AD.

(1)請證明：E是06的中點；

(2)若AB=8,求CD的長.

3、(1)證明：連接AC,如圖

CF1AD,AEJ_CD且CF,AE過圓心。

:.AC=AD,AC=C。，,△ACO是等邊三角形.;.NFCD=30

在Rt^COE中，OE=，OC,，0￡；=_1。6.?.點￡為03的中點

22

(2)解：在RfAOCE中AB=8,/.0C」A5=4

2

又BE=OE,：.OE=2B

CE=Y1OC2-OE2=716-4=2A/3:.CD=2CE=A6

4.如圖，AB是。。的直徑，點C在。。上，ZBAC=60°,P是。8上一點，過P作AB的垂

線與AC的延長線交于點Q,連結(jié)。C,過點C作8LOC交

(1)求證：ACOQ是等腰三角形;

(2)如果△CDQ絲△COB,求BP.PO的值.

4.(1)證明：由已知得/ACB=90°,ZABC=30°,

：.ZQ=30°,ZBCO=ZABC=30°.

VCD±OC,：.ZDCQ=ZBCO=30a,

.,-ZDCQ=ZQ,.?.△CDQ是等腰三角形.

(2)解：設(shè)。。的半徑為1,則AB=2,OC=1,AC=-AB=\,

2

;等腰三角形CDQ與等腰三角形COB全等，...CQ=BC=K.

；AQ=AC+CQ=l+5AP=-AQ=^^-,

22

BP=AB-AP=2-]+"=3一百PO=AP-AO=1+石-1=,

2222

...BP:P0=6

5.已知:如圖，B。是半圓。的直徑,4是B。延長線

上的一點，BC±AE,交AE的延長線于點C,交半圓

。于點E,且E為。尸的中點.

(1)求證：AC是半圓。的切線；

(2)若AD=6,AE=6五,求6c的長.

5.解：(1)連接?！辏篍為。尸的中點，=ZOBE=ZCBE.

,?OE=OB,：.NOEB=NOBE.：.ZOEB=ZCBE.：.0E//BC.

"：BC1AC,；.4=90°.，ZAEO=ZC=90Q.B|JOE1AC.

又OE為半圓。的半徑，，AC是半圓。的切線.

(2)設(shè)。的半徑為X,

VOE±AC,*+6)2—(6揚2=W.Ax=3.AAB=AD+OD+OB=12.

\r)OFQ3

???OE〃BC,AAAOE^AABC,即二=,ABC=4.

ABBC12BC

6.如圖，△ABC內(nèi)接于。0,過點A的直線交。0于點P,交的延長線于點。，且

AB2=AP?AD

(1)求證：AB^AC；

(2)如果N/LBC=60，。。的半徑為1,且P為弧AC的中點,

求AD的長.

6.解：(1)證明：聯(lián)結(jié)BP.

ABAD

2

AB=AP-AD,AP=AB'

,//BAD=/PAB,AABD^AAPB,

ZABC=ZAPB,VZACB=ZAPB,

ZABC=ZACB.AB=AC.

(2)由(1)知AB=AC.VZABC=60°,.?.△ABC是等邊三角形.

1

/.ZBAC=60°,為弧AC的中點，/.ZABP=ZPAC=2ZABC=30°,

1

NBAP=90°,BP是。0的直徑，；.BP=2,AP=^BP=1,

AB2

在RtZ^PAB中，由勾股定理得AB2=BP2-AP2=3,人口=而=3.

7.如圖，在△ABC中，NC=90°,A。是NBAC的平分線，。是AB上一點，以O(shè)A為半徑的

。。經(jīng)過

點D.

(1)求證：BC是。。切線；

(2)若BD=5,DC=3,求AC的長.

7.(1)證明：如圖1,連接OD.

'：0A=OD,AD平分NBAC,

ZODA=ZOAD,ZOAD^ZCAD.

：.ZODA=ZCAD.

：.OD//AC.

：.ZODB=ZC=90°.

BC是。。的切線.

(2)解法一：如圖2,過。作。￡，/18于￡

NAED=NC=90°.

又；AD=AD,ZEAD=ZCAD,

：.△AED絲△ACD.

BDC

AE=AC,DE=DC=3.

在RtaBE。中，/8ED=90。,由勾股定理，得

BE=^BDZ-DE-=4.圖2

設(shè)AC=x(x>0),則AE=x.

在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=BD+DC=8,AB=x+4,由勾股定理，得x2+82=(x+4)2.

解得x=6.即AC=6.

解法二：如圖3,延長AC至使得AE=AB.

AD=AD,NEAD=NBAD,

：.Z\AED四△A8D.

二ED=BD=5.

在RtZ\DCE中，ZDCE=90°,由勾股定理，得

CE=-DC2=4...........................................5分

E

在Rt/LABC中，ZACB=90°,BC=BD+DC=S,由勾股定理，WAC2+BC2=AB2.

即/+82=(41+4)2.解得AC=6.

8.如圖，A8是。。的直徑，8是。。的一條弦，且CD_LAB于E,連結(jié)AC、OC、BC.

(1)求證：ZACO=ZBCD；

(2)若BE=2,CD=8,求AB和AC的長.

8、證明：(1)連結(jié)BD,「AB是。。的直徑，CD±AB,

BC=BD.ZA=Z2.

又：OA=OC,Z1=NA.

Z1=Z2.即：ZACO=ZBCD.

解：(2)由(1)問可知，NA=N2,NAEC=NCEB.

AACE-ACBE.

CEAE,

——=——CE2=BE-AE.

BECE

又CD=8,J.CE=DE=4.AE=8.，AB=10.

AC=7AE2+CE2=V80=4A/5.

9.如圖，已知BC為。O的直徑，點A、F在。。上，AD±BC,垂足為。，交A。

于E,且AE=BE.

(1)求證：AB=AF；

(2)如果sinZF8C=|,A6=46，求AO的長.Q《\\

B\DO/C

第23題

9.解：(1)延長AD與。。交于點G.

■:直徑BC_L弦AG于點D,

--■、

AB=GB.

，NAFB=NBAE.

"：AE=BE,：.NABE=NBAE.

：.ZABE=ZAFB.：.AB=AF.

ED3

(2)在Rt/\EDB中，sinZFBC=——=-

BE5

設(shè)ED=3x,BE=5x,則AE=5x,A0=8x,在RtZkEOB中，由勾股定理得8D=4x.

在RtAADB中，由勾股定理得BD2+AD2=AB2.

V48=4V5,(4以+(8x)2=0⑹2.

...x=l(負舍)....AD=3x=8.

10.如圖，已知直徑與等邊AA8C的高相等的圓。分別與邊AB、BC相切于點D、E,邊AC

過圓心。與圓。相交于點F、G,

(1)求證：DEAC；

(2)若AABC的邊長為a,求AECG的面積.

10.(1)八4^。是等邊三角形，.?./B=6tf,NA=60‘

AB.8c是圓。的切線,。、E是切點，,8。=8￡

NBDE=60°,ZA=60°，有陽/AC.

(2)分別連結(jié)。D、0E,作EH_LAC于點H.

AB.BC是圓。的切線，D.E是切點，。是圓心,

ZADO=ZOEC=90Q-OD=OE,AD=EC.

：.MDO三△CEO,有AO=OC=-a.

2

圓。的直徑等于AABC的高,得半徑OG=@CG=OC+OG==a+也a.

424

EH±OC,ZC=60°ZCOE=30°,E，=—a.

8

]15/31G

?4,

.o_32

…°AECG---ci+旦、三"

643264

11.如圖，在^ABC中，ZBCA=90°,以8c為直徑的。。交A8于點P,Q是AC的中點.

(1)請你判斷直線PQ與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若NA=30。，AP=2V3,求。。半徑的長.

11、解：(1)直線PQ與。。相切.

連結(jié)。P、CP.

'：BC是。。的直徑，；.ZBPC=90°

又：Q是AC的中點,:.PQ=CQ=AQ.

：.Z3=N4.

ZBC4=90°,；.Z2+Z4=90°.

...Z1=Z2,；.Z1+Z3=90°.

即ZOPQ=90°.

直線PQ與。。相切.

(2)NA=30°,AP=2V3,

,在RtAAPC中，可求AC=4.

在RtZ\ABC中，可求BC=—6.

3

B0=2g..?.G)O半徑的長為26.

33

12.如圖，已知點A是。。上一點，直線MN過點A,點B是/WN上的另一點，點C是。8

的中點，AC^-OB,

2

若點P是。。上的一個動點，且NOBA=30,AB=26時，求△APC的面積的最大值.

12、解:連結(jié)0A.

由C是。B的中點，且AC=‘OB，可證得Z0X18=90°.

2

則ZO=60°.可求得0A=AC=2.

過點。作。E_LAC于E,且延長E。交圓于點F.

則P仞E是的AC邊上的最大的高.

在△0AE中，OA=2,ZAOE=300,

解得OE=y/3.所以PE=2+6

故S?.c=-AC-PE=-x2x(2+V3).

22

即SPAC=2+6.

13.如圖，等腰AABC中，AB=AC=13,BC=10,以AC為直徑作。。交BC于點D,交AB于

點G,過點。作0。的切線交AB于點E,交AC的延長線與點F.

(1)求證：EFA.AB；

(2)求cos/F的值.

13.證明：

(1)聯(lián)結(jié)。。

0C=0D：.Z0DC=Z0CD

5C'：AB=AC：.Z0CD=ZB

：.Z0DC=ZB：.0D//AB

：E。是。。的切線，0。是。。的半徑

A0DA.EF：.AB1EF

(2)聯(lián)結(jié)AD、CG

'：AD是。。的直徑

ZADC=ZAGC=90°

'：ABkEF：.DE//CG

：.ZF=ZGCA

'：AB=AC：.DC=—BC^5

2

MADC中，AD=VAC2-CD2=12

'：ADBC=ABCG

ADBC120

：.CG=------------=——

AB13

RfCGA中，c°s/GCA=^=圖

AC169

120

cosZF=-----

169

14.(應用性問題)已知：如圖，為了測量一種圓形零件的精度，在加工流水線上設(shè)計了用

兩塊大小相同，且含有30。的直角三角尺按圖示的方式測量.

⑴若。。分別與AE、AF交于點、B、C,且A8=AC,若。。與AF相切.

求證：。。與AE相切；

(2)在滿足⑴的情況下，當B、。分別為AE、AF的三分之一點時，

且AF=3,求的弧長.

14.解：(1)證明：連結(jié)。8、OA,OC.

根據(jù)題意，/OCA=90°.

在△AB。與△AC。中，

AB=AC,OA=OA,OB=OC,

所以△AB。也△AC。.

所以ZOCA=ZOBA=90".則AE是圓的切線.

(2)因/OCA=NOBA=90°,且NEAD=/FAG=30°,

則ZBAC=120°.

又AC=，AF=1,/OAC=60°,故OC=百.

3

所以BC的長為B兀.

3

15.已知：如圖，。。的內(nèi)接△ABC中，/BAC=45°,ZABC=15°,AD〃OC并交8c的延

長線于D，

OC交A8于E.

(1)求ND的度數(shù)；/

(2)求證：AC2=ADCEi(、

(3)求好的值.。\I

15.(1)解：如圖3,連結(jié)OB.

,：。。的內(nèi)接△ABC中，N8AC=45°,

ZBOC=2ZBAC=90°.

"：OB=OC,ZOBC=ZOCB=45°.

??AD//OC,ZD=ZOCB=45°.

(2)證明：ZBAC=45°,ZD=45°,

ZBAC=ZD.

'：AD//OC,ZACE=ZDAC.

：.AACEsgAC.

ACCE

AC2^ADCE.

DAAC

(3)解法一：如圖4,延長8。交DA的延長線于F,連結(jié)。A.

/AD//OC,ZF=ZBOC=90°.

：ZABC=15°,

ZOBA=ZOBC-ZABC=30°.

：OA=OB,

ZFOA=ZOBA+ZOAB=60°,ZOAF=30°.

??OF=-OA.

2

：AD//OC,；?ABOCS/\BFD.

.BCBO.BCBOOAr即生的值為2.

>?===2

…~BD~~BFCDOFOFCD

解法二:作OM_L8A于M,設(shè)。。的半徑為r,可得BM=—r,OM=-,ZMO石=30。，

22

ME=OMtan30°=—r,BE=—r,AE=—r,所以生=殷=2.

633CDEA

16.如圖⑴，。。的直徑為AB,過半徑。4的中點G作弦C￡J_AB,在&取一點。,

分別作直線CD、ED,交直線A6于點/、M.

⑴求ACOX和ZFDM的度數(shù);

⑵求證："DMs\COM；

⑶如圖⑵，若將垂足G改取為半徑08上任意一點，點。改取朝上，仍作直線

CD、ED,分別交直線AB于點足試判斷：此時是否仍有"7加6八。0加成立？

(2)

16.解：⑴：AB為直徑，CE±AB,AAC=AE,CG=EG.

在RtACOG中，：OG=l0C,ZOCG=30°.AZCOA=60\

2

1cc

又NCDE的度數(shù)=已CAE的度數(shù)=AC的度數(shù)=NCOA的度數(shù)=60°,

2

ZFDM=180°-ZCDE=120°.

(2)證明：：/COM=180°-ZCOA=120°,；.ZCOM=ZFDM.

,,,GM=GM

在RtACGM和RtAEGM中，(，

CG=EG

RtACGM絲RtAEGM.ZGMC=ZGME.

又-r8MF=NGME，:.ZOMC=ZDMF.

:.MDMsbCOM

(3)結(jié)論仍成立.證明如下：

ZFDA/=180°-ZCDE,

1CC

又?；NCDE的度數(shù)=—CAE的度數(shù)=CA的度數(shù)=NCOA的度數(shù),

2

ZFDM=180°—ZCOA=ZCOM.

；AB為直徑，CE±AB,

在RtACGM和RtAEGM中，

GM=GM

CG=EG'

RtACGM絲RtAEGM.

ZGMC=ZGME.：.\FDMsNCOM.

三、圓與三角函數(shù)綜合

17.已知G）。過點D（4,3）,點H與點D關(guān)于y軸對稱，過H作。。的切線交y軸于點A

（如圖1）。

⑴求。。半徑；

⑵求sinNHAO的值；

⑶如圖2,設(shè)O0與y軸正半軸交點P,點E、F是線段OP上的動點（與P點不重合），

聯(lián)結(jié)并延長DE、DF交。。于點B、C,直線BC交y軸于點G,若AOEE是以EF為底的等

腰三角形，試探索sinNCGO的大小怎樣變化？請說明理由。

17.⑴點0(4,3)在。O上，。。的半徑廠=8=5。

(2)如圖1,聯(lián)結(jié)HD交0A于Q,則HD_LOA。聯(lián)結(jié)OH,則OH_LAH。

ZHAO=ZOHQ(>sinZ.HA0-sinZ.OHQ—~°

(3)如圖2,設(shè)點D關(guān)于y軸的對稱點為H,聯(lián)結(jié)HD交OP于Q,則HD_LOP。

又DE=DF,二DH平分/BDC。

sinZCGO=sinZOHQ=-

OH5

四、圓與二次函數(shù)(或坐標系)綜合

18、如圖，OM的圓心在X軸上，與坐標軸交于A(0,G)、B(-1,0),拋物線

y旦2+法+<:經(jīng)過人、B兩點.

3

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)設(shè)拋物線的頂點為P.試判斷點P與。M的位置關(guān)系，并說明理由;

(3)若。M與y軸的另一交點為D,則由線段PA、

線段PD及弧ABD圍成的封閉圖形PABD的面積

是多少？

18.解：⑴:拋物線經(jīng)過點A、B,

網(wǎng)=c,

nV3,

0=-----------b+c.

3

⑵由哈+百

得y=—*_l)2+乎

???頂點P的坐標為（1,—）,

3

在RtAAOM中,MA2—MO2=OA2,OA=0,OB=1,

22

MA—(MA-1)=3Z；.MA=2.

，MB=2,MO=1,即點。的坐標為(1,0).

4月

.--MP=—>2.二頂點P在圓外；

3

(3)連結(jié)OD,；點M在拋物線的對稱軸上，

,,MP〃y軸，?*S^OAD=SAPAD.

：.由線段PA、線段PD及弧ABD形成的封閉圖形PABD的面積=扇形OAD的面積.

?.?在RtAAOM中,sinNAMO=@，，ZAM0=60°

2

...封閉圖形PABD的面積=坦史-MM=—

3603

19.如圖，在平面直角坐標系中，。是原點，以點C（L1）為圓心，2為半徑作圓，交x

軸于A,B兩點，開口向下的拋物線經(jīng)過點A,B,且其頂點P在。C上.

（1）求NAC8的大??；

（2）寫出A,8兩點的坐標；

（3）試確定此拋物線的解析式；

（4）在該拋物線上是否存在一點D,使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的

坐標；若不存在，請說明理由.

19.解：（1）作CH_Lx軸，〃為垂足.

■:CH=1,半徑CB=2,

：.NHBC=30°.

NBCH=60°.

NACB=120°.

(2)VCH=1,半徑CB=2,

HB=6故41一百，0)，6(1+V3,0).

(3)由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為(1,3).

設(shè)拋物線解析式為y=a(x—l)2+3,把點3(1+6,0)代入解析式,

解得。=一1.所以y=-/+2x+2.

(4)假設(shè)存在點。使線段。尸與CD互相平分，則四邊形OCPO是平行四邊形.

所以，PC〃OD且PC=OD.

PC軸，.?.點。在y軸上.

,:PC=2,：.OD=2,即0(0,2).

。(0,2)滿足y=—爐+2尤+2,

二點。在拋物線上.

...存在。(0,2)使線段OP與8互相平分.

20.(以圓為幌子，二次函數(shù)為主的代幾綜合題)如圖，半徑為1的。01與x軸交于A、B

兩點，圓心。?的坐標為(2,0),二次函數(shù)丁=一/+法+。的圖象經(jīng)過A、B兩點,其頂點

為尸.

(1)求。c的值及二次函數(shù)頂點F的坐標；

(2)將二次函數(shù)＞=-/+加+。的圖象先向下平移1個單位，再向左平移2個單位，設(shè)平

移后圖象的頂點為C,在經(jīng)過點B和點。(0,—3)的直線/上是否存在一點P,使A24C的

周長最小，若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

20.W：(1)由題意得,A(1,0),8(3,0).

一l+b+c=0,。二4

則有＜解得1

-9+3Z?+c=0.

二次函數(shù)的解析式為y=—V+4x-3=—(x—2)?+l....頂點廠的坐標為(2,1).

(2)將y=—(x—21+1平移后的拋物線解析式為y=—其頂點為C(0,0).

?.?直線/經(jīng)過點B(3,0)和點。(0,-3),.?.直線/的解析式為y=x—3.

作點A關(guān)于直線/的對稱點A',連接84'、CA',

.??44，直線/,設(shè)垂足為￡,則有A'￡=AE,

由題意可知，ZABE=45°,AB=2,

AZEBA=45°,A'B=AB=2.AZCBA'=90°.

過點4作CO的垂線，垂足為F,...四邊形CE4'B為矩形.

E4'=O8=3.A'(3,-2).

2

二直線C4'的解析式為y=-.

rc/x=9

?，=一3''的解為5,直線CA與直線/的交點為點

五、以圓為背景的探究性問題

21.下圖中，圖⑴是一個扇形OAB,將其作如下劃分：

第一次劃分：如圖(2)所示，以0A的一半OAi的長為半徑畫弧交0A于點Ai，交0B于

點Bi,再作NAOB的平分線，交AB于點C,交44于點J,得到扇形的總數(shù)為6個，分

別為：扇形。AB、扇形OAC、扇形OCB、扇形OAiBi、扇形。AiJ、扇形。GBi；

第二次劃分：如圖⑶所示，在扇形OCiBi中，按上述劃分方式繼續(xù)劃分，即以O(shè)Ci

的一半0A2的長為半徑畫弧交OCi于點A2,交OBi于點B2,再作NBQC1的平分線，交B￡

于點Di，交&島于點D2,可以得到扇形的總數(shù)為11個；

第三次劃分：如圖⑷所示，按上述劃分方式繼續(xù)劃分；

依次劃分下去.

ccc

ooo0

圖⑴圖(2)第一次劃分圖⑶第二次劃分圖(4)第三次劃分

⑴根據(jù)題意，完成右邊的表格；

戈吩次數(shù)扇形總個數(shù)

⑵根據(jù)右邊的表格，請你判斷按上述劃分方式，能否得到扇形

16

的總數(shù)為2008個？為什么？

211

⑶若圖⑴中的扇形的圓心角/AOB=m°,且扇形的半徑OA的

3

長為R.我們把圖⑵第一次劃分的圖形中，扇形OAG(或扇4

??????

形OG四)稱為第一次劃分的最小扇形，其面積記為Si；把n

圖⑶第二次劃分的最小扇形面積記為S2；……，把第n次劃分的最小扇形面積記為Sn?

求工的值.

21.解：⑴

劃分扇形總個

次數(shù)數(shù)

16

211

316

421

.?????

n5n+l

(2)不能得到2008個扇形，因為滿足5n+l=2008的正整數(shù)n不存在;

S?,3603608

22.圓心角定理是“圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”，記作NAOBAB(如圖①);

圓心角定理也可以敘述成“圓心角度數(shù)等與它所對的弧及圓心角的對頂角所對的弧的和

的一半”，

記作NAOB-(AB+CD)(如圖①)請回答下列問題：

2

(1)如圖②，猜測NAPB與AB、CD有怎樣的等量關(guān)系,并說明理由;

（2）如圖③，猜測NAP3與A3、C怎怎樣的等量關(guān)系,并說明理由.

（提示："兩條平行弦所夾的弧相等”可當定理用）

P

22.(1)g(AB+CD)

NPAB理由如下:

過0點分別作所BD交。于E、F、M、

ZAPB=/EOM

AE=CF,BM=DN,

AB+CD=EM+NF

ZEOMg(EM+NF)

NPAB；(AB+CO)

(2)NPABg(AB-C￡))，理由如下：

過0點分別作EF挈C,MN8。交。于E、F、M、N,

ZAPB=ZEOM

AE=CF,BM=DN,

:.AB-CD=EM+NF

ZEOMg(EM+NF)???NPAB^(AB-CD)

23.已知：半徑為R的。O'經(jīng)過半徑為r的。。圓心，。O'與。。交于M、N兩點.

（1）如圖1,連接。0'交。。于點C,過點C作。。的切線交。O'于點A、B,求QO

的值；

（2）若點C為。。上一動點.

①當點C運動到。O'內(nèi)時，如圖2,過點C作。。的切線交。O'于A、B兩點.請你

探索。408的值與（1）中的結(jié)論相比較有無變化？并說明你的理由；

②當點運動到。外時，過點C作。。的切線，若能交。。'于A、B兩點.請你在圖

3中畫出符合題意的圖形，并探索Q408的值（只寫出。403的值，不必證明）.

A

圖2圖3

23.解：(1)如圖1,延長。?！弧?于點D,連接AD.

V0D是。0'的直徑,/.ZDAO=90".

*/AB與。0相切于點C,.\0C±AB.

ZBCO=ZDAO=90°.

又ZB=ZD,，ABOC^ADOA.

.OBOC.

??----------.??0A*0B=0C*0D=2Rr.

ODOA

即0A?0B=2Rr.

(2)①答：0A?