第10講 三角形全等的判定“角邊角與角角邊”（6種題型）（解析版）

第10講三角形全等的判定“角邊角與角角邊”（6種題型）【知識梳理】一、全等三角形判定——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.二、全等三角形判定——“角角邊”1.全等三角形判定——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.【考點剖析】題型一：用“角邊角”直接證明三角形全等例1.如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點O．求證：△AEC≌△BED；【詳解】∵AE和BD相交于點O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，∴△AEC≌△BED（ASA）．【變式1】如圖，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求證：△ABC≌△ADE．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B，∵DA平分∠BDE．∴∠ADE＝∠ADB，∴∠ADE＝∠B，在△ABC和△ADE中，∠ADE=∴△ABC≌△ADE（ASA）．【變式2】如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要證BC＝CD，證明中判定兩個三角形全等的依據(jù)是（）A．角角角 B．角邊角 C．邊角邊 D．角角邊【分析】已知兩角對應(yīng)相等，且有一公共邊，利用全等三角形的判定定理進行推理即可．【解答】解：在△ABC與△ADC中，∠1=則△ABC≌△ADC（ASA）．∴BC＝CD．故選：B．【變式3】（2022?長安區(qū)一模）已知：點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∠B=∴△ABC≌△DEF（ASA）．題型二：用“角邊角”間接證明三角形全等例2.如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．【詳解】證明：∵AB//CD，∴∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（ASA），∴AF＝DE．【變式1】已知：如圖，E，F(xiàn)在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求證：AE＝CF．【答案與解析】證明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF與△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）∴AF＝CE，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【變式2】如圖，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求證：BD＝CE.【詳解】∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD.又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD＝CE.【變式3】如圖，要測量河兩岸相對兩點A、B間的距離，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延長線于點E，垂足為點D．（DE≠CD）（1）線段的長度就是A、B兩點間的距離（2）請說明（1）成立的理由．【解答】解：（1）線段DE的長度就是A、B兩點間的距離；故答案為：DE；（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD∴△ABC≌△CDE（ASA）∴AB＝DE．【變式4】如圖，G是線段AB上一點，AC和DG相交于點E.請先作出∠ABC的平分線BF，交AC于點F；然后證明：當(dāng)AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG時，DE＝BF.【答案與解析】 證明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE與△BCF中∴△DAE≌△BCF（ASA）∴DE＝BF【變式5】已知：如圖，在△MPN中，H是高MQ和NR的交點，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.【答案】證明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN【變式6】如圖，已知，平分，且于點D，則________．【答案】12【詳解】解：如圖，延長BD交AC于點E，∵平分，，∴，．∵，∴．∴．∴，．∴．即．∵，∴．故答案為：12．【變式7】（2022秋?蘇州期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點，連接BE，CF，且BE∥CF．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，試求DE的長．【解答】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．題型三：用“角角邊”直接證明三角形全等例3.如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．【解答】證明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE與△CAB中，∠DAE=∴△ADE≌△CAB（AAS）．【變式】（2022秋?泗陽縣期中）王強同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）求兩堵木墻之間的距離．【解答】（1）證明：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由題意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：兩堵木墻之間的距離為20cm．題型四：用“角角邊”間接證明三角形全等例4、已知：如圖，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求證：AD＝AC．【答案與解析】證明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC＝AD【變式】已知：如圖，，，是經(jīng)過點的一條直線，過點、B分別作、，垂足為E、F，求證：.【答案與解析】證明：∵，∴∴∵∴∴在和中∴≌（）∴【總結(jié)升華】要證，只需證含有這兩個線段的≌.同角的余角相等是找角等的好方法.題型五：“邊角邊”與“角角邊”綜合應(yīng)用例5．如圖，，、分別平分、，與交于點O．（1）求的度數(shù)；（2）說明的理由．【答案】（1）120°；（2）見解析【詳解】解：（1）∵AD，BC分別平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，∴∠OAB+∠OBA=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°；（2）在AB上截取AE=AC，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=AB．【變式】如圖（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E．（1）求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，DE、AD、BE又怎樣的關(guān)系？并加以證明．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）DE=AD-BE，證明見解析．【詳解】解：（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．（2）成立．證明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．題型六：尺規(guī)作圖——利用角邊角或角角邊做三角形例6、已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個三角形已知：∠α，∠β和線段c，如圖4－4－21所示．圖4－4－21求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.作法：(1)作∠DAF＝∠α；圖4－4－22圖4－4－23(2)在射線AF上截取線段AB＝c；圖4－4－24(3)以B為頂點，以BA為一邊，在AB的同側(cè)作∠ABE＝∠β，BE交AD于點C.△ABC就是所求作的三角形．[點析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等．例7.已知：角α，β和線段a，如圖4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.圖4－4－29[解析]本題所給條件是兩角及其中一角的對邊，可利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C，再利用兩角夾邊作圖．解：如圖4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作線段BC＝a；(3)分別以B，C為頂點，以BC為一邊作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ；(4)射線BM，CN交于點A.△ABC就是所求作的三角形．圖4－4－30【變式】（2022春·陜西·七年級陜西師大附中校考期中）尺規(guī)作圖已知：，和線段a，求作，使，，．要求：不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母．【詳解】解：如圖，△ABC即為所求．．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習(xí)）如圖，小明把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（

）

A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．①②③都帶去【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定可進行求解【詳解】解：第①塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據(jù)來配一塊一樣的玻璃．故選：A．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學(xué)生將所學(xué)的知識運用于實際生活中，要認真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法．2．（2023春·廣東佛山·七年級校考期中）如圖，在用尺規(guī)作圖得到過程中，先作，再作，從而得到，其中運用的三角形全等的判定方法是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得，，再加上公共邊，根據(jù)，即可判斷．【詳解】解：∵得，，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了作一個角等于已知角，全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶一中?？计谀┤鐖D，平分，點是射線上一點，于點，點是射線上的一個動點，連接，若，則的長度不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，過點P作于H，證明得到，由垂線段最短可知，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點P作于H，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，由垂線段最短可知，∵，∴，∴四個選項中，只有D選項符合題意，故選：D．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短，實數(shù)比較大小，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，的平分線與的平分線相交于點P，作于點E，若，則點P到與的距離之和為（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】如圖所示，過點P作與F，延長交于G，先證明，由角平分線的定義得到，進而證明得到，同理可得，則，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點P作與F，延長交于G，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∴，∴點P到與的距離之和為8，故選C．

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，平行線間的距離等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·福建福州·七年級福建省福州第十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，，點是的中點，平分，且，則點到線段的最小距離為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點M作于E，證明，得到，再根據(jù)線段中點的定義得到，根據(jù)垂線段最短可知點到線段的最小距離為4．【詳解】解：如圖所示，過點M作于E，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∵點是的中點，，∴，∴點到線段的最小距離為4，故選：C．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂線段最短等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點E在外部，點D在的邊上，交于F，若，，則（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到，，然后根據(jù)證明．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴在和中，，∴，故選：D．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．7．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊）你認為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶（

）

A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．①②③都帶去【答案】B【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對應(yīng)三角形全等判定的條件進行驗證．【詳解】解：①、③、④塊玻璃不同時具備包括一完整邊在內(nèi)的三個證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)ィ挥械冖趬K有完整的兩角及夾邊，符合，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故選：B．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個包含的條件符合某個判定．判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、．8．（2023春·浙江寧波·七年級校考期末）如圖，的兩條高和相交于點E，，，，則的長為（

）

A． B． C． D．13【答案】A【分析】先證明，可得，，而，再由等面積法可得答案．【詳解】解：∵的兩條高AD和BF相交于點E，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，而，由等面積法可得：，解得：；故選A【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等面積法的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵．9．（2023春·遼寧沈陽·七年級沈陽市第一二六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀敵人的碉堡，需要測出我軍陣地與敵人碉堡的距離．我軍戰(zhàn)士想到一個辦法，他先面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點B；然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時視線落在了我軍陣地的點E上；最后，他用步測的辦法量出自己與E點的距離，從而推算出我軍陣地與敵人碉堡的距離，這里判定的理由可以是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵士兵的視線通過帽檐正好落在碉堡的底部點B，然后轉(zhuǎn)過身保持剛才的姿勢，這時視線落在了我軍陣地的點E上，∴，∵，，∴，∵，∴判定的理由是．故選C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，分析題意找到相等的角和邊判定三角形的全等是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·四川達州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知是的平分線，，若，則的面積（

）

A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】延長交于點C，根據(jù)題意，易證，因為和同高等底，所以面積相等，根據(jù)等量代換便可得出．【詳解】如圖所示，延長，交于點D，

，∵，∴，∵是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴,∴，∵和同底等高，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的角平分線和全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運用三角形的角平分線和全等三角形的判定．二、填空題11．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補充一個條件______后，可用“”判斷．

【答案】或【分析】由于兩個三角形已經(jīng)具備，，故要找邊的條件，只要不是這兩對角的夾邊即可．【詳解】解：∵，，∴若用“”判斷，可補充的條件是或；故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·廣東揭陽·七年級期末）如圖，在中，，AD平分，則的根據(jù)是______．

【答案】【分析】由、平分、可得出兩個三角形對應(yīng)的兩個角及其夾邊相等，于是可以利用判定這兩個三角形全等．【詳解】∵，∴．∵平分，∴．在與中，∴．故答案為：【點睛】本題考查了三角形全等的判定條件，解題的關(guān)鍵是找到兩個三角形對應(yīng)的邊角相等．13．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，且，連接，于點，于點．若，，，則的長為________．【答案】9【分析】只要證明，可得，，推出即可得出答案．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，故答案為：9．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．14．（2023春·山東棗莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A，B兩個建筑物分別位于河的兩岸，為了測量它們之間的距離，可以沿河岸作射線，且使，在上截取，過D點作，使在一條直線上，測得米，則A，B之間的距離為______米．【答案】16【分析】根據(jù)已知條件可得，從而得到，從而得解．【詳解】∵，∴°，∵，∴，∴．又∵米，∴，即之間的距離為16米．【點睛】此題主要考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定方法．15．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，點、、、在同一直線上，，，添加一個條件，使，這個條件可以是______．（只需寫一種情況）

【答案】或或或（答案不唯一）【分析】先證明及，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．【詳解】解∶或或或，理由是∶∵，∴，∵，∴即，當(dāng)時，有，則，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，故答案為∶或或或．【點睛】本題考查了對全等三角形的判定定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理有，，，是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·上海虹口·七年級上外附中?？计谀┤鐖D，有一種簡易的測距工具，為了測量地面上的點M與點O的距離（兩點之間有障礙無法直接測量），在點O處立豎桿PO，并將頂端的活動桿PQ對準點M，固定活動桿與豎桿的角度后，轉(zhuǎn)動工具至空曠處，標記活動桿的延長線與地面的交點N，測量點N與點O的距離，該距離即為點M與點O的距離．此種工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．

【答案】兩個角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進行分析，即可得到答案．【詳解】解：在和中，，，判定理由是兩個角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，故答案為：兩個角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．17．（2023春·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）直線經(jīng)過的頂點，．、分別是直線上兩點，且．若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且、在射線上，請解決下面兩個問題：①如圖1，若，，則____（填“”，“”或“”號）；②如圖2，若，若使①中的結(jié)論仍然成立，則與應(yīng)滿足的關(guān)系是_________________．

【答案】=【分析】①求出，，根據(jù)證，推出，即可得出結(jié)果；②求出，由證，推出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：①，，，，，在和中，，，，，，②與應(yīng)滿足，在中，，，，，，在和中，，，，，，故答案為：，．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積計算、三角形的外角性質(zhì)等知識；解題的關(guān)鍵是判斷出．18．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，，為的角平分線，過點作交的延長線與點，若，則的長為______．

【答案】4【分析】延長與的延長線相交于點，利用證明和全等，進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖，延長與的延長線相交于點，

，，，在和中，，，，是的平分線，．在和中，，，，，．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，理解題意、靈活運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，過點C作，垂足為D．在射線上截取，過點E作，交的延長線于點F．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）首先根據(jù)垂直判定，得到，再利用證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再利用線段的和差計算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，在和中，，∴；（2）∵，∴，，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準條件，證明三角形全等．20．（2023春·陜西西安·七年級西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，A，C，D三點共線，和落在的同側(cè)，，，．求證：．

【答案】見解析【分析】證明，得出，，即可證明結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法證明．21．（2022秋·八年級課時練習(xí)）已知和線段a（下圖），用直尺和圓規(guī)作，使．【答案】見解析【分析】先作出線段，再根據(jù)作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖方法作即可得到答案．【詳解】解：作法如下圖．1．作一條線段．2．分別以A，B為頂點，在的同側(cè)作，與相交于點C．就是所求作的三角形．【點睛】本題主要考查了三角形的尺規(guī)作圖，熟知相關(guān)作圖方法是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知，請根據(jù)“ASA”作出，使．【答案】見解析【分析】先作，再在上截取，在上截取，從而得到．【詳解】解：如圖，為所作．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．23．（2023春·山西太原·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，已知，，，試說明：．

【答案】見解析【分析】利用ASA定理證明三角形全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴，在和中∴，∴．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．24．（2020秋·廣東廣州·八年級海珠外國語實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知：，，．求證：．

【答案】見解析【分析】先求出，再利用“角邊角”證明和全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．【詳解】證明：∵，∴，即．在和中，∵，∴．∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．25．（2023春·福建寧德·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在直線l上（F，C之間不能直接測量），點A，D在l異側(cè)，測得，，．

(1)求證：；(2)若，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由，得，而，，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，則，即可求得的長度．【詳解】（1）解：證明：∵，∴，在和中，∴；（2）解：由（1）知，∴，∴，∴，∵，∴，∴的長度是4．【點睛】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．26．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，連接，，且．

(1)求證：；(2)若，，試求