第二十三章 旋轉(zhuǎn)（壓軸題專練）（原卷版）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（人教版）

第二十三章旋轉(zhuǎn)（壓軸題專練）一、填空題1．（2023春·河北保定·八年級保定十三中?？计谀┤鐖D，兩塊完全相同的含角的直角三角板和疊合在一起，將三角板繞直角頂點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，有以下四個結(jié)論：①當(dāng)時，與的交點恰好為中點；②當(dāng)時，恰好經(jīng)過；③在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時刻，使得④在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在；共中結(jié)論正確的有多少個（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·遼寧阜新·阜新實驗中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為；第二次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為；第三次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為……依此規(guī)律，則第2023年等腰三角形中，點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┤鐖D，是正內(nèi)一點，，，，將線段以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論：可以由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到；點與的距離為；；；，其中正確的結(jié)論是（）

A． B． C． D．4．（2023春·江蘇揚州·八年級高郵市南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，，若點在對角線上運動，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、．點在上，且．給出以下四個結(jié)論：

①，②，③線段的最小值是，④面積的最大是16．其中正確的是（

）

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④5．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知四邊形是邊長為1的正方形，點E、點F分別在邊、上，，連接，連接分別交、于點G、點H．下列結(jié)論：①；②；③；④的面積的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號是?（）?A．①④ B．②③④ C．①③④ D．②④二、填空題6．（2023春·貴州黔東南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形中，，E是邊上一點，且是邊上的一個動點，將線段繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值是．

7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點E為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是．8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，，點P在內(nèi)，且，，，則的長為．

9．（2023春·江蘇淮安·八年級?？计谀┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，已知，，為軸正半軸上一個動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，則線段的最小值是．

10．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對角線和交于點O，，，在的延長線上有一動點E，連接，將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最小值為．

11．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，得到，使，我們稱是的“旋補三角形”，的中線叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．下列結(jié)論正確的有．①與面積相同；②；③若，連接和，則；④若，，，則．三、解答題12．（2022秋·山西大同·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）綜合與探究問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師提出了這樣一個問題：如圖，正方形的對角線和相交于點，點是正方形內(nèi)的一點，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點，的對應(yīng)點分別為點，，直線經(jīng)過點．特例探究：（1）如圖2，當(dāng)點與點重合時，判斷和的數(shù)量關(guān)系并證明；操作探究：（2）如圖1，當(dāng)點與點不重合時，判斷，和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；類比探究：（3）如圖3，將“正方形”改為“菱形”，將“繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到”改為“繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到”，其余條件不變，請直接寫出，和之間的數(shù)量關(guān)系．

13．（2023春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）將一副直角三角板和如圖（1）放置，此時四點在同一條直線上，點A在邊上，其中，，．

(1)求的度數(shù)；(2)將圖（1）中的三角板繞點A以每秒的速度，按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，記為三角板，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖（2）時，此時，求a的值；②若在旋轉(zhuǎn)過程中，三角板的某一邊恰好與所在的直線平行，直接寫出t的值．14．（2023秋·山西大同·九年級大同一中?？计谀┤鐖D①在正方形中，連接，點E是邊上的一點，交于點F，點P是的中點，連接．

(1)如圖①，探究與有何關(guān)系，并說明理由；(2)若將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖②，連接，取的中點P，連接，請問在該條件下，①中的結(jié)論是否成立，并說明理由；(3)如果把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)180°，得到圖③，同樣連接，取的中點P，連接，請你直接寫出與的關(guān)系．15．（2023春·湖南衡陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，有一副直角三角板如圖放置（其中，），，與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．

(1)在圖1中，______；(2)①如圖2，若三角板保持不動，三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，轉(zhuǎn)動一周三角板就停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為多少時，有成立；②如圖，在圖基礎(chǔ)上，若三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，同時三角板的邊從處開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，當(dāng)轉(zhuǎn)到與位置重合時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求旋轉(zhuǎn)的時間是多少？16．（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，在研究三角形的旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)下列問題：如圖，在中，，，，分別為，邊上一點，連接，且，將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．

(1)觀察猜想若，將繞點旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，則與的數(shù)量關(guān)系為______；(2)類比探究若，將繞點旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，，相交于點，猜想，滿足的位置關(guān)系，并說明理由；(3)拓展應(yīng)用如圖，在的條件下，連結(jié)，分別取，，的中點，，，連結(jié)，，，若，，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中面積的最大值．17．（2022秋·安徽合肥·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在等邊中，點，在直線上，為邊上的一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段與的數(shù)量關(guān)系是______，線段與直線所夾銳角的度數(shù)是______【類比探究】（2）如圖2，在等邊中，點，在直線上，若為延長線上的一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，上述兩個結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在正方形中，點，在直線上，為直線上的任意一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若正方形的邊長為2，連接，當(dāng)時，求線段的長．18．（2023春·江蘇無錫·八年級無錫市東林中學(xué)?？计谀┮阎叫蔚倪呴L為4．

(1)如圖1，點P在直線上運動，連接，將線段繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．①若點P與A重合，則___________．②若，求的長．(2)如圖2，點P在邊上（P不與A，D重合）運動，且，連接、．將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)，，求關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．19．（2022秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）如圖，邊長分別為和的兩個等邊三角形紙片和，連接，．

(1)若點、、在同一直線上，如圖，請直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系．___________(2)操作：不動，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖，（1）中的結(jié)論是否還成立，若成立，僅就圖的情形證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．(3)根據(jù)（2）的操作過程，若，請你猜想當(dāng)為多少度時，線段的長度最大，最大長度是多少？當(dāng)為多少度時，線段的長度最小，最小長度是多少？20．（2019秋·廣東廣州·九年級廣州市第七十五中學(xué)校考期中）如圖，已知，點是直線上的動點．

(1)請作出線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段；(2)①當(dāng)恰好落在軸上，求出此時的坐標(biāo)．②已知點的橫坐標(biāo)為，請直接寫出點的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）．③在②的基礎(chǔ)上，求出縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式．④求線段的最小值．21．（2022秋·遼寧鞍山·九年級校聯(lián)考期中）將矩形繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，其中點與點，點與點分別是對應(yīng)點，連接．

(1)如圖，若點，，第一次在同一直線上，與交于點，連接．①求證：平分．②取的中點，連接，求證：．③若，，求的長．(2)若點，，第二次在同一直線上，，，直接寫出點到的距離．22．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)校考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得（點A與點C對應(yīng)，點B與點D對應(yīng)），直線交直線于點G．

(1)求直線的解析式；(2)點P為y軸上一動點，若，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，直線，交x軸，y軸于F，E兩點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點．若以A，E，F(xiàn)、N為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)．23．（2023秋·遼寧遼陽·九年級統(tǒng)考期末）已知線段是正方形的一條對角線，點E在射線上運動，連接，將線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．

（1）如圖1，若點E在線段上，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，若點E在線段的延長線上運動，請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【模型遷移】（3）如圖3，已知線段是矩形的一條對角線，，，點E在射線上運動，連接，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，在上截取線段，連接，若，直接寫出線段EF的長．24．（2022秋·湖北十堰·九年級十堰市實驗中學(xué)校考期中）和都是等腰直角三角形，且，．(1)如圖①，若的頂點A在的斜邊上，求證：；(2)將繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置，點B在線段上，連，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請給出正確結(jié)論并說明理由．(3)在繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A、E、B三點在同一條直線上時，若，，請直接寫出的長．25．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，點，以、為邊作，點為中點，連接、．

(1)分別求出線段和線段所在直線解析式；(2)點為線段上的一個動點，作點關(guān)于點的中心對稱點，設(shè)點橫坐標(biāo)為，用含的代數(shù)式表示點的坐標(biāo)（不用寫出的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，①當(dāng)點移動到的邊上時，求點坐標(biāo)；②為中點，為中點，連接、．請利用備用圖探究，直接寫出在點的運動過程中，周長的最小值和此時點的坐標(biāo)．26．（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在中，過點作于，過點作于，交于，．

(1)求證：：(2)如圖2，過點作射線，在射線上取一點，使，連接，若平分，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，將繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)時間為，當(dāng)與重合時停止，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)倪吪c的某一邊平行時，直接寫出此時的值．27．（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點D是邊上一動點，連接．把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

(1)求證：；(2)若，時，求的長；(3)在點D運動的過程中，線段上存在一點P，使的值最小，設(shè)的長為m，直接寫出的最小值（用含m的式子表示）．28．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）定義共弦、共弦角如下：共弦：將正多邊形繞某頂點順時針旋轉(zhuǎn)得到的新正多邊形與原正多邊形相交于一點，連接旋轉(zhuǎn)中心與交點，把這條線段叫做正多邊形的共弦；圖以正四邊形為例，圖以正五邊形為例，線段即為正四（五）邊形的共弦．共弦角：共弦與離原正多邊形最近的邊組成的角叫做共弦角；如圖1，是共弦角，因此

(1)如圖1，四邊形是正方形．求證：，并求出的值；(2)依照（1）的方法，有人求出了以下正多邊形的共弦角：正五邊形：正六邊形：正七邊形：請你根據(jù)以上結(jié)論，猜想任意正邊形的共弦角的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）？并寫出這樣猜想的理由．(3)請審視以上數(shù)學(xué)問題、問題解決以及猜想過程，提出至少兩個與之有關(guān)的、你認(rèn)為需要進(jìn)一步探究的的數(shù)學(xué)問題．29．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）課題學(xué)習(xí)：三角形旋轉(zhuǎn)問題中的“轉(zhuǎn)化思想”【閱讀理解】由兩個頂角相等且有公共頂角頂點的特殊多邊形組成的圖形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，是三角形旋轉(zhuǎn)中的一個重要的“基本圖形”，這個模型稱為“手拉手模型”．當(dāng)發(fā)現(xiàn)題目的圖形“不完整”時，要通過適當(dāng)?shù)妮o助線將其補完整．將“非基本圖形”轉(zhuǎn)化為“基本圖形”．【方法應(yīng)用】

(1)如圖1，在等腰中，，，點D在內(nèi)部，連接，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，，．請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系：__________，位置關(guān)系：__________；(2)如圖2，在等腰中，，，，連接，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，取中點M，連接．①當(dāng)點D在內(nèi)部，猜想并證明與數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當(dāng)B，M，E三點共線時，請直接寫出的長度．30．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點O是等邊內(nèi)一點．將繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得，使得，連接．已知，設(shè)．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：發(fā)現(xiàn)的大小不變?yōu)椋?2)分析問題：當(dāng)時，分析判斷的形狀是三角形．(3)解決問題：請直接寫出當(dāng)為度時，是等腰三角形．31．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在中，，，將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．連接，延長交于點F．

(1)當(dāng)時，如圖1，①求的度數(shù)；②求證：．(2)當(dāng)時，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究與是否仍然相等，若相等，請說明理由；若不相等，請求出它們的數(shù)量關(guān)系．32．（2023春·江蘇南通·八年級南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）【初步感知】（1）已知，在中，．如圖1，將邊，同時繞著點分別按逆時針、順時針方向旋轉(zhuǎn)，得、，連接，，求證：；【類比探究】（2）如圖2，在，，若，，將邊繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，得，連接，求的長．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A為第二象限內(nèi)一點，且，點B坐標(biāo)為，若將邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得，點D恰好在y軸上．將邊繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得，求點C坐標(biāo)．

33．（2022秋·山西朔州·九年級?？茧A段練習(xí)）我們已經(jīng)認(rèn)識了圖形的軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)．這是圖形的三種基本變換，圖形經(jīng)過這樣的變換，雖然位置發(fā)生了改變，但圖形的形狀與大小都不發(fā)生變化，反映了圖形之間的全等關(guān)系．這種運用動態(tài)變換研究圖形之間的關(guān)系的方法，是一種重要而且有效的方法，同學(xué)們學(xué)完了這些知識后，王老師在黑板上給大家出示了這樣一道題目：如圖，與為正三角形，點為射線上的動點，作射線與射線相交于點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到射線，射線與射線相交于點．

(1)如圖1，點，O與點重合時，點分別在線段上，求證：；(2)當(dāng)同學(xué)們把這道題領(lǐng)會感悟后，王老師又在上題基礎(chǔ)上追加了一問：如圖2，當(dāng)點，在的延長線上時，分別在線段的延長線和線段的延長線上，請寫出三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．34．（2023秋·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐

(1)如圖，在中，，，將邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，是邊上的一點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，則與的數(shù)量關(guān)系為___________，位置關(guān)系為____________；(2)若是延長線上的任意一點，其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請用圖證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖在(2)的條件下，當(dāng)點落在的邊上時，求的長．35．（2022秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）綜合與探究問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師提出了這樣一個問題：如圖，正方形的對角線和相交于點O，點E是正方形內(nèi)的一點，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點B，E的對應(yīng)點分別為點D，F(xiàn)，直線EF經(jīng)過點O．特例探究：（1）如圖2，當(dāng)點O與點E重合時，判斷和的數(shù)量關(guān)系并證明；操作探究：（2）如圖1，當(dāng)點O與點E不重合時，判斷，和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；類比探究：（3）如圖3，將“正方形”改為“菱形”，將“繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到”改為“繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到”，其余條件不變，請直接寫出，和之間的數(shù)量關(guān)系．

36．（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，為等邊三角形，點E是邊上任意一點（），將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，將三角板的30°角按如圖所示方式放置，與邊交于點D，E．連接．

請直接寫出結(jié)果：①＝°；②與的數(shù)量關(guān)系是；類比探究：（2）如圖2，在中，，，點E是邊上的任意一點（），將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到．將一個含45°角的三角板按如圖所示方式放置，與邊交于點D，E．①求的度數(shù)；②若，，試求的長．37．（2023春·河南信陽·八年級?？计谥校┩ㄟ^類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖，點、分別在正方形的邊、上，，連接，則，試說明理由．

(1)梳理，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合．，，點、、共線．根據(jù)，易證，得．(2)引申如圖，四邊形中，，點、分別在邊、上，，