新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)突破練習(xí)微專題11 導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題（含解析）

微專題11導(dǎo)數(shù)解答題之極最值問題【秒殺總結(jié)】1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極最值問題．解題方法是利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系確定單調(diào)區(qū)間，從而求得極最值．只是對(duì)含有參數(shù)的極最值問題，需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次討論，對(duì)導(dǎo)函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導(dǎo)，確定單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性及唯一性等，由于零點(diǎn)的存在性與參數(shù)有關(guān)，因此對(duì)函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求值、證明等操作．【典型例題】例1．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（為非零常數(shù)），記，.(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，取得最小值，證明：且所有點(diǎn)在一條定直線上；(3)若函數(shù)，，都存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由，，令，，時(shí)，，時(shí)，∴在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，∴，∴，即的最大值為；（2），∴，，，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴時(shí)，取得最小值，且，∴為在定直線上運(yùn)動(dòng)；（3），，均存在極小值，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不存在極小值，舍去，當(dāng)時(shí)，令，且在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，，，，要使存在極小值，則，此時(shí)，∴在上有唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴存在極小值，當(dāng)時(shí)，考察極值情形，，令，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，，∴在上有唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，符合條件，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.例2．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）若,函數(shù)的定義域?yàn)?則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，而,則曲線在點(diǎn)處切線的方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí),由,且此時(shí),可得，令,解得或,函數(shù)為減函數(shù)，令,解得，且,所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為②當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,，無單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)時(shí),由,所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，無單調(diào)增各區(qū)間，③當(dāng)時(shí),此時(shí).令,解得或,但,所以當(dāng),時(shí),函數(shù)為減函數(shù);令,解得,函數(shù)為增函數(shù).所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，綜上所述，時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，無單調(diào)增各區(qū)間，時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（3）①當(dāng)時(shí),由（2）問可知,函數(shù)在上為減函數(shù),所以不存在極值點(diǎn);②當(dāng)時(shí),由（2）可知,在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn),則,解得或,所以.綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn).例3．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，求證；函數(shù)的圖象與軸相切于原點(diǎn)；(2)若函數(shù)在區(qū)間，各恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）證明：因?yàn)?，，；又，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程為，所以函數(shù)的圖象與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn).（2）先證明不等式恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極小值，也是最小值，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，令，，令，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，，所以為增函數(shù)，故，所以為減函數(shù)，故函數(shù)在無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)，因?yàn)闉闇p函數(shù)，，，故必存在，使得，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，而，故，又因?yàn)樗员卮嬖?，，且?dāng)，，為減函數(shù)，當(dāng)，，為增函數(shù)，故在區(qū)間上有一個(gè)極小值點(diǎn)，令，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以總存在使，且?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，且，故必存在，使得，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)，，即，又因?yàn)椋蚀嬖?，使得，且?dāng)，，為減函數(shù)，當(dāng)，，為增函數(shù)，故在區(qū)間有一個(gè)極小值點(diǎn)，所以若函數(shù)在區(qū)間，各恰有一個(gè)極值點(diǎn)，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】的定義域?yàn)?，令，又因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)不等正實(shí)數(shù)根，由于，二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸為，，且，從而，由不等式恒成立,可得恒成立，，令，，當(dāng)時(shí)，，故恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，例5．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．(1)當(dāng)a≤e時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性：(2)若函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求的最大值．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），，當(dāng)a≤0時(shí)，恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜a≤e時(shí)，令，則ex﹣ax＝0，設(shè)g（x）＝ex﹣ax，則，易知，當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞lna時(shí)，，g（x）單調(diào)遞增，∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，∴，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)a≤e時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（2）依題意，，則，兩式相除得，，設(shè)，則t＞1，x2＝tx1，，∴，，∴，設(shè)，則，設(shè)，則，∴在（1，+∞）單調(diào)遞增，則，∴，則h（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增，又x1+x2≤2ln3，即h（t）≤2ln3，h（3）＝2ln3，∴t∈（1，3]，即的最大值為3．例6．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，記的最小值為，求的最大值．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù),所以所以,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;所以當(dāng)時(shí),,所以恒成立,所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè).當(dāng)時(shí),,所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)當(dāng)時(shí),且，若，則，而當(dāng)時(shí)，，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)當(dāng)時(shí),且，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故.所以當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在定理可得此時(shí)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)（2）當(dāng)時(shí),由(1)知有唯一零點(diǎn),即有,即.當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.則令當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;所以,即例7．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,求的最大值;(2)若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)和,若,求的最大值.【解析】（1）解:由題知,,因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增,所以在上恒成立,即在上恒成立,記,即,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,故,故,即的最大值為2;（2）因?yàn)樵诙x域上有兩個(gè)極值點(diǎn)和,即在定義域上有兩個(gè)不相等的實(shí)根和,故有,即有兩個(gè)不相等的實(shí)根和,即,移項(xiàng)可得:,因?yàn)?所以,令,聯(lián)立,解得,所以,解得,所以,令,,所以,令,,所以,,所以在上單調(diào)遞減,所以,因?yàn)?即,在上單調(diào)遞減,所以,即在恒成立,當(dāng)時(shí),,即,即在上單調(diào)遞減,所以,即,故,所以的最大值為.例8．（2023秋·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期末）已知．(1)求證：恒成立；(2)令，討論在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）證明：由,得的定義域?yàn)?,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減,∴，即恒成立.（2），,,①當(dāng),單調(diào)遞增，單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞增，又，,所以在上有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)故在上有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)單調(diào)遞增，在這一區(qū)間內(nèi)無極值點(diǎn)；③當(dāng)，令，，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所從在有1個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以有1個(gè)極值點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以這一區(qū)間內(nèi)無極值點(diǎn)，結(jié)合③④可知也是的一個(gè)極值點(diǎn)，綜上在上有3個(gè)極值點(diǎn).【過關(guān)測(cè)試】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中a為大于0的常數(shù)，若．(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若在取得極小值，求的最小值．【解析】（1），求導(dǎo)，由，令，得，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)和時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在R上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)和時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，即，則，其中令，即求求導(dǎo)令，得，即當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；故在處取得極小值，即最小值所以的最小值為.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的所有零點(diǎn)；(2)若，證明函數(shù)不存在極值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，且設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)x＞1時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．即當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．所以函數(shù)在單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)槭呛瘮?shù)唯一的零點(diǎn)．所以若，則函數(shù)的所有零點(diǎn)只有1．（2）證明：因?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，且．?dāng)a時(shí)，，由（1）知．即當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．所以不存在極值．證法2：因?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，且設(shè)，則．設(shè)，則與同號(hào)．當(dāng)時(shí)，由，解得．可知當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由（1）知．則所以，即在定義域上單調(diào)遞增．所以不存在極值．3．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：(2)若函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，記極大值和極小值分別為M、m，求證：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，令或，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2），因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)為且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，即，，于是有，因?yàn)椋?，所以，而，所以，設(shè)，，則，令或，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，因此有，即.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為常數(shù)，且在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，求的范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有二不等的正實(shí)根，從而得，解得，所以的取值范圍是；(2)由(1)知，而，則，，令，則，，從而得在上單調(diào)遞增，即有，的值域是，所以的范圍是.5．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)設(shè)函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且為的唯一極值點(diǎn)，求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的極小值為，無極大值.（2），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上遞增，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的極小值點(diǎn)為，，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，，則，對(duì)于函數(shù)，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，所以在上恒成立.則，所以不妨設(shè)，由，得，令，即，整理得，要證，即證，即證，即證，即證，即證.設(shè)函數(shù)，，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，所以.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．①求m的取值范圍；②若，求的取值范圍．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，所以的增區(qū)間是，，減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，所以的增區(qū)間是，，減區(qū)間是；（2）①，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，則，當(dāng)時(shí)，，單減，當(dāng)時(shí)，，單增，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以只需即可，所以；②由已知，則，令，得，，令，，則，令，則，所以函數(shù)在上遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上遞增，由洛必達(dá)法則，，所以的范圍是.7．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【解析】（1）由于，則.設(shè)，則，令，解得.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)、，不妨設(shè)，則,所以函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的范圍時(shí).（2）由（1）知，、為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，則，在上單調(diào)遞減.下面先證，只需證.由于，所以，所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，，所以.由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.要證，只需證，即證.設(shè)函數(shù),則.設(shè)，則,所以在上單調(diào)遞增，，即.所以在上單調(diào)遞增，.故當(dāng)時(shí)，,則,所以,即8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)極值（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）求極大值的取值范圍.(2)對(duì)于函數(shù)，都有，則稱在區(qū)間上是凸函數(shù).利用上述定義證明，當(dāng)時(shí)，在上是凸函數(shù).【解析】（1）（i）函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故舍去.當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)滿足函數(shù)有兩個(gè)極值，故的取值范圍是.（ii）設(shè)的極大值點(diǎn)，則，則，，，∴在上單調(diào)遞增.（2）要證，代入即證，，，.只要證：，即證：，令，即證非負(fù)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在遞減，遞增，結(jié)論成立.9．（2023秋·黑龍江綏化·高三?？计谀┮阎獙?shí)數(shù)，函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：存在極值點(diǎn)，并求的最小值.【解析】（1）（1）當(dāng)時(shí)，，則令，得；令，得；所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（2）（2）令，因?yàn)?，所以方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，又因?yàn)?，所以，令，列表如?-0+減極小值增所以存在極值點(diǎn).所以存在使得成立，所以存在使得，所以存在使得對(duì)任意的有解，因此需要討論等式左邊的關(guān)于的函數(shù)，記，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．所以需要，即需要，即需要，即需要因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以需要，故的最小值是e．10．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若為的導(dǎo)函數(shù)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，即．（2），則，令，則，由在上有兩個(gè)極值點(diǎn)知在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；②當(dāng)時(shí)，，令，則，由于，則，令，即，可得，即，當(dāng)時(shí)，，，則，所以，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，則，所以，在上單調(diào)遞減，所以，，又因?yàn)?，，要使在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則，解得.11．（2023·福建·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】（1）已知，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增減，在上單調(diào)遞增，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上無極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，顯然，則在上有一個(gè)極值點(diǎn)，又，令，故在上單調(diào)遞增，又，則，則在上有一個(gè)極值點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．（2）由（1）中知，則是方程的兩根，不妨令，則，令解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，大致圖像如圖所示，由圖像可知當(dāng)時(shí)，，，下先證（*）由，兩邊取對(duì)數(shù)得，作差得，（*）等價(jià)于證明，令，，故在上單調(diào)遞增，從而，即證得，所以，再證明，令，故在上單調(diào)遞減，則，所以，再令，則在上單調(diào)遞增，故，即證得．12．（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰好有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，?dāng)時(shí)，，，所以，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，的兩根為舍，，若，，若，，所以時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，的兩根為舍，(舍)，，所以，在上單調(diào)遞增；綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，，

，因?yàn)椋瑸榈牧泓c(diǎn)，要滿足題意，則只需方程有一個(gè)大于且不等于的根，令，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以或，即或，所以，?shí)數(shù)的取值范圍是.13．（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，且在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，切點(diǎn)為.，切線斜率為，所以所求切線方程為，即.（2），令，因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞減；又當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，使得.所以，因?yàn)?，所以，由題意.故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在處取得極大值，.令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.14．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則令，得，列表：+0↑極大值↓所以，無極小值.（2），當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，所以，是方程的兩根，則，，不妨設(shè)，則要證：，只要證：只要證：只要證：只要證：只要證：令，，，即證：，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，得證.15．（2023秋·河南開封·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】（1），定義域?yàn)椋?（?。┊?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，恒成立.解可得，（舍去），.當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即恒成立，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，解可得，（舍去），（舍去）.所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由已知可得，，.顯然，令.①因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，所以，，，使得，有，則有，，有，則有.若，則，此時(shí)，在上有恒成立，與前面推導(dǎo)結(jié)論矛盾，所以.又連續(xù)，所以必有，即.所以，是是函數(shù)的極小值點(diǎn)的必要條件；②當(dāng)時(shí)，顯然有，有連續(xù)，可知，，使得，有，則有，即在上單調(diào)遞減；，有，則有，即在上單調(diào)遞增.所以，是函數(shù)的極小值點(diǎn).所以是是函數(shù)的極小值點(diǎn)的充分條件.所以，a的取值范圍是.16．（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)若是的極值點(diǎn)，求a；(2)若，分別是的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】（1）因?yàn)樗匀羰呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，則，即，此時(shí)設(shè)，則，，所以存在，使得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn).（2）因?yàn)槿簦謩e是的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，所以，，，，所以當(dāng)時(shí)，，則，，即，，因?yàn)樗援?dāng)即時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，若，則只需證明，設(shè)，則，設(shè)，則為增函數(shù)，且，所以存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，所以，單調(diào)遞增，所以，等價(jià)于.設(shè)，