數(shù)學七年級下學期1.18 平行線幾何模型-M模型

專題1.18平行線幾何模型-M模型（培優(yōu)篇）（專項練習）一、單選題1．如圖，已知直線、被直線所截，，E是平面內任意一點（點E不在直線、、上），設，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④2．如圖，AB∥CD，點E，P在直線AB上（P在E的右側），點G在直線CD上，EF⊥FG，垂足為F，M為線段EF上的一動點，連接GP，GM，∠FGP與∠APG的角平分線交與點Q，且點Q在直線AB，CD之間的區(qū)域，下列結論：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，則3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，則∠AEF∠MGC＝90°．正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、解答題3．（1）已知：如圖1，直線AC∥BD，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）如圖2，如果點P在AC與BD之內，線段AB的左側，其它條件不變，那么會有什么結果？并加以證明；（3）如圖3，如果點P在AC與BD之外，其他條件不變，你發(fā)現(xiàn)的結果是（只寫結果，不要證明）．4．如圖所示，，是兩直線內部一點.（1）與的平分線交于點，探究和之間的的數(shù)量關系.（2）如圖所示，，，與之間又有何數(shù)量關系？（3）若，，與之間又有又有何數(shù)量關系？5．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當點B在點A的右側時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）6．綜合與探究（問題情境）王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關系的數(shù)學活動（1）如圖1，，點、分別為直線、上的一點，點為平行線間一點，請直接寫出、和之間的數(shù)量關系；（問題遷移）（2）如圖2，射線與射線交于點，直線，直線分別交、于點、，直線分別交、于點、，點在射線上運動，①當點在、（不與、重合）兩點之間運動時，設，．則，，之間有何數(shù)量關系？請說明理由．②若點不在線段上運動時（點與點、、三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出，，之間的數(shù)量關系．7．已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．8．如圖1，點、分別在直線、上，，.（1）求證：；（提示：可延長交于點進行證明）（2）如圖2，平分，平分，若，求與之間的數(shù)量關系；（3）在（2）的條件下，如圖3，平分，點在射線上，，若，直接寫出的度數(shù)．9．已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的角分線相交于點F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，且∠BED＝100°，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度數(shù)；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，請直接寫出∠M與∠BED之間的數(shù)量關系10．已知直線AM、CN和點B在同一平面內，且AM∥CN，AB⊥BC．（1）如圖1，求∠A和∠C之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，若BD⊥AM，垂足為D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，已知點D、E、F都在直線AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，請直接寫出∠EBC的度數(shù)．11．已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F(xiàn)．（1）請在橫線上填上合適的內容，完成下面的解答：如圖1，當點P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是；所以∠C＝（），所以∠APC＝（）+（）＝∠A+∠C＝97°．（2）當點P，Q在線段EF上移動時（不包括E，F(xiàn)兩點）：①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立嗎？請說明理由；②如圖3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，請直接寫出∠M，∠A與∠C的數(shù)量關系．12．如圖1，直線ABCD，點P在兩平行線之間，點E在AB上，點F在CD上，連接PE，PF．（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，請求出∠EPF．（請寫出必要的步驟，并說明理由）（2）如圖2，若點P，Q在直線AB與CD之間時，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，請求出∠4=．（不需說明理由，請直接寫出答案）（3）如圖3，在圖1的基礎上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若設∠PEB＝x°，∠PFD＝y(tǒng)°，則∠P1=（用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，則∠Pn＝．（用含x，y的式子表示）13．如圖1，點在直線上，點在直線上，點在，之間，且滿足．（1）證明：；（2）如圖2，若，，點在線段上，連接，且，試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，若（為大于等于的整數(shù)），點在線段上，連接，若，則______．14．如圖，，點A、B分別在直線MN、GH上，點O在直線MN、GH之間，若，．（1）=；（2）如圖2，點C、D是、角平分線上的兩點，且，求的度數(shù)；（3）如圖3，點F是平面上的一點，連結FA、FB，E是射線FA上的一點，若，，且，求n的值．15．如圖1，//，點、分別在、上，點在直線、之間，且．（1）求的值；（2）如圖2，直線分別交、的角平分線于點、，直接寫出的值；（3）如圖3，在內，；在內，，直線分別交、分別于點、，且，直接寫出的值．16．已知，AB∥CD，點E在CD上，點G，F(xiàn)在AB上，點H在AB，CD之間，連接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，F(xiàn)E⊥HE，垂足為E．（1）如圖1，求證：HG⊥HE；（2）如圖2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于點M，求證：∠GHE＝2∠GME；（3）如圖3，在（2）的條件下，F(xiàn)K平分∠AFE交CD于點K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度數(shù)．17．已知，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一動點．（1）如圖1所示時，試問，，滿足怎樣的數(shù)量關系?并說明理由．（2）除了（1）的結論外，試問，，還可能滿足怎樣的數(shù)量關系?請畫圖并證明（3）當滿足，且，分別平分和，①若，則__________°．②猜想與的數(shù)量關系．（直接寫出結論）18．如圖1，由線段組成的圖形像英文字母，稱為“形”．（1）如圖1，形中，若，則______；（2）如圖2，連接形中兩點，若，試探求與的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，且的延長線與的延長線有交點，當點在線段的延長線上從左向右移動的過程中，直接寫出與所有可能的數(shù)量關系．19．已知，直角的邊與直線a分別相交于O、G兩點，與直線b分別交于E，F(xiàn)點，且．（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則________；（2）將直角如圖2位置擺放，N為上一點，，請寫出與之間的等量關系，并說明理由；（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長交直線b于點Q，點P是射線上一動點，探究與的數(shù)量關系，請直接寫出結論．20．已知．（1）如圖1，求的大小，并說明理由．（2）如圖2，與的角平分線相交于點．①若，，則________．②試探究與的數(shù)量關系，并說明你的理由．如圖3，與的角平分線相交于點，過點作交于點，若，求的度數(shù)．21．為更好地理清平行線與相關角的關系，小明爸爸為他準備了四根細直木條、，、，做成折線，如圖1，且在折點B、C、D處均可自由轉出．（1）如圖2，小明將折線調節(jié)成，判別是否平行于，并說明理由；（2）如圖3，若，調整線段、使得，求出此時的度數(shù)，要求畫出圖形，并寫出計算過程．（3）若，求出此時的度數(shù)，要求畫出圖形，直接寫出度數(shù)，不要求計算過程．22．如圖1，，E是、之間的一點．（1）判定，與之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；（2）如圖2，若、的兩條平分線交于點F．直接寫出與之間的數(shù)量關系；（3）將圖2中的射線沿翻折交于點G得圖3，若的余角等于的補角，求的大?。?3．同一平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．（1）如圖，若，點在、外部，我們過點作、的平行線，則有，則，，之間的數(shù)量關系為_________．將點移到、內部，如圖，以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則、、之間有何數(shù)量關系？請證明你的結論．（2）迎“”科技節(jié)上，小蘭制作了一個“飛旋鏢”，在圖中，將直線繞點逆時針方向旋轉一定角度交直線于點，如圖，他很想知道、、、之間的數(shù)量關系，請你直接寫出它們之間的數(shù)量關系：__________．（3）設交于點，交于點，已知，，直接寫出的度數(shù)為_______度，比大______度．24．問題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是過點作，通過平行線性質來求．（1）按照小明的思路，寫出推算過程，求的度數(shù)．（2）問題遷移：如圖2，，點在射線上運動，記，，當點在、兩點之間運動時，問與、之間有何數(shù)量關系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，當點在線段上時，請直接寫出與、之間的數(shù)量關系．參考答案1．D【分析】由題意根據(jù)點E有6種可能位置，分情況進行討論，依據(jù)平行線的性質以及三角形外角性質進行計算求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=β-α．（2）如圖2，過E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∴∠AE2C=α+β．（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=α-β．（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°-α-β．（5）（6）當點E在CD的下方時，同理可得∠AEC=α-β或β-α．綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．故選：D．【點撥】本題主要考查平行線的性質的運用，解題時注意兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等以及分類討論．2．A【分析】①過點F作FH∥AB，利用平行線的性質以及已知即可證明；②利用角平分線的性質以及平行線的性質得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，結合①的結論即可證明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，結合①的結論即可證明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，結合①的結論即可證明．【詳解】解：①過點F作FH∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正確；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正確；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=390°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正確；④∵∠MGF＝n∠CGF，∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，∵∠AEF+∠CGF=90°，∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正確．綜上，①②③④都正確，共4個，故選：A．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義等知識點，作輔助線求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此題的關鍵．3．（1）見解析；（2）∠APB+∠PBD+∠PAC=360°，證明見解析；（3）∠APB=∠PBD﹣∠PAC．【分析】（1）過P作PM∥AC，根據(jù)平行線的性質得出∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，即可得出答案；（2）過P作PM∥AC，根據(jù)平行線的性質得出∠1+∠PAC=180°，∠2+∠PBD=180°，相加即可；（3）過P作PM∥AC，根據(jù)平行線的性質得出∠MPA=∠PAC，∠MPB=∠PBD，即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：如圖1，過P作PM∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥BD∥PM，∴∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD（2）∠APB+∠PBD+∠PAC=360°，證明：如圖2，過P作PM∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥BD∥PM，∴∠1+∠PAC=180°，∠2+∠PBD=180°，∴∠1+∠PAC+∠2+∠PBD=360°，即∠APB+∠PBD+∠PAC=360°；（3）∠APB=∠PBD﹣∠PAC，證明：過P作PM∥AC，如圖3，∵AC∥BD，∴AC∥BD∥PM，∴∠MPA=∠PAC，∠MPB=∠PBD，∴∠APB=∠MPB﹣∠MPA=∠PBD﹣∠PAC，∴∠APB=∠PBD﹣∠PAC．4．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意，由側M圖ABEDC知，所以.（2）解題思路和（1）相似；（3）解題思路和（1）相似.【詳解】（1）.側M圖ABFDC知，由側M圖ABEDC知，所以.（2）.側M圖ABFDC知，因為，，所以，由側M圖ABEDC知，所以.（3）.側M圖ABFDC知，因為，，所以，由側M圖ABEDC知，所以.【點撥】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是熟悉并掌握平行線的性質，題目難度一般.5．（1）見解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質定理解答即可；（2）①如圖2，過點作，當點在點的左側時，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過點作，當點在點的右側時，，，根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，則有，，，，；（2）①如圖2，過點作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過點作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質．6．（1）；（2）①，理由見解析；②圖見解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行線的性質，即可得到答案；（2）①過作交于，由平行線的性質，得到，，即可得到答案；②根據(jù)題意，可對點P進行分類討論：當點在延長線時；當在之間時；與①同理，利用平行線的性質，即可求出答案．【詳解】解：（1）作PQ∥EF，如圖：∵，∴，∴，，∵∴；（2）①；理由如下：如圖，過作交于，∵，∴，∴，，∴；②當點在延長線時，如備用圖1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴；當在之間時，如備用圖2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴．【點撥】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行內錯角相等，從而得到角的關系．7．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質可求解；（2）根據(jù)（1）的結論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME，進而可求解．【詳解】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【點撥】本題主要考查平行線的性質及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關鍵．8．（1）見解析；（2），見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質求證即可；（2）根據(jù)三角形的內角和為180°和平角定義得到，結合平行線的性質得到，再根據(jù)角平分線的定義證得，結合已知即可得出結論；（3）分當在直線下方和當在直線上方兩種情況，根據(jù)平行線性質、三角形外角性質、角平分線定義求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，延長交于點，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）延長交于點，交于點，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，，∴；（3）當在直線下方時，如圖，設射線交于，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，即，解得：．當在直線上方時，如圖，同理可證得，則有，解得：．綜上，故答案為或．【點撥】本題考查平行線的判定與性質、角平分線的定義、三角形的外角性質、三角形的內角和定理、平角定義、角度的運算，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．9．（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°【分析】（1）首先作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，連結MF，利用平行線的性質可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=130°，從而得到∠BFD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質可求∠M的度數(shù)；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換即可求解；（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【詳解】解：（1）如圖1，作，，連結，，，，，，，，，，和的角平分線相交于，，，、分別是和的角平分線，，，，；（2）如圖1，，，，，與兩個角的角平分線相交于點，，，，，，；（3）由（2）結論可得，，，則．【點撥】本題主要考查了平行線的性質和四邊形的內角和，關鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補的性質．10．（1）∠A+∠C=90°；（2）見解析；（3）∠EBC=105°．【分析】（1）通過平行線性質和直角三角形內角關系求解．（2）畫輔助平行線找角的聯(lián)系．（3）利用（2）的結論，結合角平分線性質求解．【詳解】解：（1）如圖1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠A+∠C=90°，故答案為：∠A+∠C=90°；（2）如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵AM∥CN，∴CN∥BG，∴∠CBG=∠BCN，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，∵∠ABD=∠NCB，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∵BG∥DM，∴∠DFB=∠GBF=β，∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點撥】本題考查平行線性質，三角形內角和定理，角平分線的定義，畫輔助線，找到角的關系是求解本題的關鍵．11．（1）兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由見解答過程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質即可完成填空；（2）結合（1）的輔助線方法即可完成證明；（3）結合（1）（2）的方法，根據(jù)∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可證明∠PMQ，∠A與∠C的數(shù)量關系．【詳解】解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是兩直線平行，內錯角相等；因為AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；所以∠C＝（∠CPH），所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．故答案為：兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①如圖2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；②如圖3，過點P作直線PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．【點撥】考核知識點：平行線的判定和性質．熟練運用平行線性質和判定，添加適當輔助線是關鍵．12．（1）110°；（2）80°；（3）【分析】（1）過點P作PH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等即可證得；（2）同理依據(jù)兩直線平行，內錯角相等即可證得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；（3）利用（1）的結論和角平分線的性質即可寫出結論；【詳解】解：（1）如圖1，過點P作PH∥AB∥CD∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH而∠EPF=∠EPH+∠FPH∴∠EPF=∠1+∠2=110°；（2）過點P作,，,∴∠1+∠4=∠2+∠3，∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案為：80°（3）過點P作平分同理（用x，y的代數(shù)式表示）同理故答案為：，【點撥】本題考查了平行線性質的應用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．13．（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1【分析】（1）連接AB，根據(jù)已知證明∠MAB+∠SBA=180°，即可得證；（2）作CF∥ST，設∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根據(jù)AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到結論；（3）作CF∥ST，設∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分別表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．【詳解】解：（1）如圖，連接，，，，，（2），理由：作，則如圖，設，則．，，，，．即．（3）作，則如圖，設，則．，，，，，故答案為．【點撥】本題主要考查平行線的性質和判定，解題關鍵是角度的靈活轉換，構建數(shù)量關系式．14．（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如圖：過O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；（2）如圖：分別延長AC、CD交GH于點E、F，先根據(jù)角平分線求得，再根據(jù)平行線的性質得到；進一步求得，，然后根據(jù)三角形外角的性質解答即可；（3）設BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=，從而，又∠FKN=∠F+∠FAK，得，即可求n．【詳解】解：（1）如圖：過O作OP//MN，∵MN//GHl∴MN//OP//GH∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°∵∠NAO=116°，∠OBH=144°∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；（2）分別延長AC、CD交GH于點E、F，∵AC平分且，∴，又∵MN//GH，∴；∵，∵BD平分，∴，又∵∴；∴；（3）設FB交MN于K，∵，則；∴∵，∴，，在△FAK中，,∴，∴．經檢驗：是原方程的根，且符合題意.【點撥】本題主要考查平行線的性質及應用，正確作出輔助線、構造平行線、再利用平行線性質進行求解是解答本題的關鍵．15．（1）；（2）的值為40°；（3）．【分析】（1）過點O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線的性質可求解；（2）過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，由角平分線的定義可設∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，進而求解；（3）設直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K，根據(jù)平行線的性質即三角形外角的性質及，可得，結合，可得即可得關于n的方程，計算可求解n值．【詳解】證明：過點O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∴即∵∠EOF=100°，∴∠；（2）解：過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，F(xiàn)N平分∠CFO，設∵∴∴x-y=40°，∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∴=x-y=40°，故的值為40°；（3）如圖，設直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K，∵AB∥CD，∴∵∴∵∴即∵FK在∠DFO內，∴，∵∴∴即∴解得．經檢驗，符合題意，故答案為：．【點撥】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質是解題的關鍵．16．（1）見解析；（2）見解析；（3）40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質和判定解答即可；（2）過點H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質解答即可；（3）過點H作HP∥AB，根據(jù)平行線的性質解答即可．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）過點M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，過點H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，∵MQ∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵MQ∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）過點M作MQ∥AB，過點H作HP∥AB，由∠KFE：∠MGH＝13：5，設∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x，∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝∠AFE，即，解得：x＝5°，∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質定理以及靈活構造平行線是解題的關鍵．17．（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】（1）由于點是平行線，之間有一動點，因此需要對點的位置進行分類討論：如圖1，當點在的左側時，，，滿足數(shù)量關系為：；（2）當點在的右側時，，，滿足數(shù)量關系為：；（3）①若當點在的左側時，；當點在的右側時，可求得；②結合①可得，由，得出；可得，由，得出．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，，，，，，；（2）如圖2，當點在的右側時，，，滿足數(shù)量關系為：；過點作，，，，，，；（3）①如圖3，若當點在的左側時，，，，分別平分和，，，；如圖4，當點在的右側時，，，；故答案為：或30；②由①可知：，；，．綜合以上可得與的數(shù)量關系為：或．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，平行公理和及推論等知識點，作輔助線后能求出各個角的度數(shù)，是解此題的關鍵．18．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由見解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）過M作MN∥AB，由平行線的性質即可求得∠M的值．（2）延長BA，DC交于E，應用四邊形的內角和定理與平角的定義即可解決問題．（3）分兩種情形分別求解即可；【詳解】解：（1）過M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；故答案為：50°；（2）∠A+∠C=30°+α，延長BA，DC交于E，∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°，∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α；（3）①如下圖所示：延長BA、DC使之相交于點E，延長MC與BA的延長線相交于點F，∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°由三角形的內外角之間的關系得：∠1=30°+∠2∠2=∠3+α∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A-∠C=30°+α．②如圖所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．綜上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．【點撥】本題考查了平行線的性質．解答該題時，通過作輔助線準確作出輔助線l∥AB，利用平行線的性質（兩直線平行內錯角相等）將所求的角∠M與已知角∠A、∠C的數(shù)量關系聯(lián)系起來，從而求得∠M的度數(shù)．19．（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）見解析【分析】（1）作CP//a，則CP//a//b，根據(jù)平行線的性質求解．（2）作CP//a，由平行線的性質及等量代換得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．（3）分類討論點P在線段GF上或線段GF延長線上兩種情況，過點P作a，b的平行線求解．【詳解】解：（1）如圖，作CP//a，∵a//b，CP//a，∴CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，∴∠BCP=180°-∠CEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：如圖，作CP//a，則CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，∵∠NEF+∠CEF=180°，∴∠BCP=∠NEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如圖，當點P在GF上時，作PN//a，連接PQ，OP,則PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，∴∠GOP=135°-∠POQ，∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．如圖，當點P在GF延長線上時，作PN//a，連接PQ，OP,則PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．【點撥】本題考查平行線的性質的應用，解題關鍵是熟練掌握平行線的性質，通過添加輔助線及分類討論的方法求解．20．（1）360°，理由見解析；（2）①60°；②∠A=2∠EFD，理由見解析；（3）54°【分析】（1）過作，判定，根據(jù)平行線的性質可求解；（2）①由（1）的結論可求解，利用角平分線的定義可求，，再結合平行線段的性質可求解；②可采用①的解題方法換算求解；（3）設，則，根據(jù)列方程，解方程即可求解．【詳解】解：（1）過作，，，，，，；（2）①由（1）知，，，，與的角平分線相交于點，，，，，，故答案為；②由（1）知，，與的角平分線相交于點，，，，，，即；（3）設，則，由題意得，解得，答：的度數(shù)為．【點撥】本題主要考查平行線的性質與判定，角平分線的定義，三角形的內角和定理，注意方程思想的應用．21．（1）AB∥DE，理由見解析；（2）25°或155°，畫圖見解析；（3）60°或120°或70°或110°【分析】（1）過點C作CF∥AB，利用平行線的判定和性質解答即可；（2）分別畫圖3和圖4，根據(jù)平行線的性質可計算∠B的度數(shù)；（3）分別畫圖，根據(jù)平行線的性質計算出∠B的度數(shù)．【詳解】解：（1）AB∥DE，理由是：如下圖，過點C作CF∥AB，∴∠B=∠BCF=50°，∵∠BCD=75°，∴∠DCF=25°，∵∠D=25°，∴∠D=∠DCF=25°，∴CF∥DE，∴AB∥DE；（2）如下圖，∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD=25°；如圖4：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°-25°=155°；（3）由（1）得：∠B=85°-25°=60°；如圖5，過C作CF∥AB，則AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=25°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-25°=60°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=120°；如圖6，∵∠C=85°，∠D=25°，∴∠CFD=180°-85°-25°=70°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=70°，如圖7，同理得：∠B=25°+85°=110°，綜上所述，∠B的度數(shù)為60°或120°或70°或110°．【點撥】本題主要考查了平行線的性質和三角形內角和的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造同位角以及內錯角，依據(jù)平行線的性質及三角形外角性質進行推導計算．22．（1），見解析；（2）；（3）60°【分析】（1）作EF//AB，如圖1，則EF//CD，利用平行線的性質得∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，從而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED；（2）如圖2，由（1）的結論得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAF＝∠BAE，∠CDF＝∠CDE，則∠AFD＝（∠BAE＋∠CDE），加上（1）的結論得到∠AFD＝∠AED；（3）由（1）的結論得∠AGD＝∠BAF＋∠CDG，利用折疊性質得∠