2021年初中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

2021初中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

2019年上半年中小學(xué)教師資格考試真題試卷

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力（初級(jí)中學(xué)）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.下列選項(xiàng)中，運(yùn)算結(jié)果一定是無(wú)理數(shù)的是（）

A.有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和B.有理數(shù)與有理數(shù)的差

C.無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和D.無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的差

2人

xacost,

2.在空間直角坐標(biāo)系中，由參數(shù)方程yasin2t,0t2所確定的曲線的一

zasin2t

般方程是（）

xyaxya,

A.2B.2

z2xyz4xy

2222o2

Xya.xy2a,

C.2D.2

Z2xyz4xy

3.已知空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的變換公式為

Xcoscos,

ycossin,0,,——?則在球坐標(biāo)系中，一表

223

zsin

示的圖形是()

A.柱面B.圓面

C.半平面D.半錐面

4.設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過(guò)若干次初等行變換得到的矩陣，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.AB|B.AB

二若以o,則一定有IBOD.若Ao,則一定有B|o

n112n1?,、

5.已知fX1X?則f（1）=（）

n12n1!

A.-1B.0C.1D.

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111

6.若矩陣Ax4y有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，2是A的二重特征

335

根，則（）

A.x=-2,y=2B.x=1,y=-1

C.x=2,y=-2D.x=-1,y=1

7.下列描述為演繹推理的是（）

A.從一般到特殊的推理

B.從特殊到一般的推理

C.通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)論的推理

D.通過(guò)觀察猜想得到結(jié)論的推理

8.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）從四個(gè)方面闡述了課程目標(biāo)，這個(gè)

四個(gè)目標(biāo)是O

A.知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度

B.基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、問(wèn)題解決、情感態(tài)度

C.基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思考、情感態(tài)度

D.知識(shí)技能、問(wèn)題解決、數(shù)學(xué)創(chuàng)新、情感態(tài)度

二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）

9.一次實(shí)踐活動(dòng)中，某班甲、乙兩個(gè)小組各20名同學(xué)在綜合實(shí)踐基地脫玉米粒,

一天內(nèi)每人完成脫粒數(shù)量（千克）的數(shù)據(jù)如下：

甲組：57,59,63,63,64,71,71,71,72,75

75,78,79,82,83,83,85,86,86,89

乙組:50,53,57,62,62,63,65,65,67,68

69,73,76,77,78,85,85,88,94,96

問(wèn)題：（1）分別計(jì)算甲、乙兩組同學(xué)脫粒數(shù)量（千克）的中位數(shù)；（2分）

（2）比照甲、乙兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)你給出2種信息，并說(shuō)明實(shí)際意義。（5分）

10.試判斷過(guò)點(diǎn)Pi（2,0,1）,P2（4,3,2）,P3（-2,1,1）的平面與平面

-x2y7z30的位置關(guān)系，并寫(xiě)出一個(gè)與平面垂直的方程。

2

11.已知方程x5+5x4+5x3-5x2-6x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為1與-2,試求該方程的全部實(shí)

數(shù)解。

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12.用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程主要包括哪些步驟？

13.評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)采用多樣化的方式，請(qǐng)列舉四種不同類(lèi)型的評(píng)價(jià)方式。

三、解答題(本大題1小題，10分)

14.設(shè)R2為二維歐式平面，F(xiàn)是R2到R2的映射，如果存在一個(gè)實(shí)數(shù),01,

使得對(duì)于任意的P,QGR2,有d(F(P),F(Q))Wd(P,Q)(其中d(P,Q)表示P,Q兩

點(diǎn)間的距離)，則稱(chēng)F是壓縮映射。

設(shè)映射T：R2-*R2,

112

Tx,y_x，-y,x,yR?

(1)證明：映射T是壓縮映射；(4分)

(2)設(shè)Po=Po(xo,yo)為R2中任意一點(diǎn)，令Pn=T(Pn-i),n=1,2,3,,求！imPn。

(6分)

四、論述題(本大題1小題，15分)

15.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線，請(qǐng)結(jié)合實(shí)例談?wù)勅绾斡煤瘮?shù)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)中學(xué)

數(shù)學(xué)課程中的方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容。

五、案例分析題(本大題1小題，20分)

16.案例：

甲、乙兩位數(shù)學(xué)教師均選用如下素材組織了探究活動(dòng)，如圖1所示，這是一個(gè)

三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為50cm、25cm和15cm。A和B是這

個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，B點(diǎn)上有一只螞蟻，想到A點(diǎn)去吃食物。請(qǐng)你想一想，

這只螞蟻從B點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到A點(diǎn)，最短路線是什么？

（圖1）

兩位教師的教學(xué)過(guò)程如下:

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甲教師：用大屏幕展示問(wèn)題情境，組織小組討論，學(xué)生開(kāi)始讀題，教師巡視過(guò)

程中看到有的同學(xué)把臺(tái)階畫(huà)出來(lái)，與教學(xué)預(yù)設(shè)不符，立即中止了大家的討論，

指著題目說(shuō)：“同學(xué)們請(qǐng)注意讀題，是'沿著臺(tái)階面’，你們把這張圖畫(huà)出來(lái)

有什么用？”

在接下來(lái)的討論中，教師又遇到新情況，有的學(xué)生畫(huà)展開(kāi)圖，卻把尺寸弄錯(cuò)了，

于是教師終止思考。

乙教師：展示情境，將問(wèn)題進(jìn)行分析，出示了一張臺(tái)階模樣的紙片，邊說(shuō)邊將

紙片拉直，如圖2所示，然后讓大家研究。很快，有同學(xué)說(shuō)出答案，教師解釋

了下，同學(xué)們都明白了。

（圖2）

甲、乙教師課后交流：兩個(gè)教師在教學(xué)中均有探究。

問(wèn)題：

?）《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出，”有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)是

教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一”，教師應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。

請(qǐng)說(shuō)明兩位教師的教學(xué)是否符合要求。（6分）

0）兩位教師組織的探究活動(dòng)各自存在什么問(wèn)題？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明并簡(jiǎn)述理由。

（6分）

。）組織數(shù)學(xué)探究活動(dòng)需要注意哪些事項(xiàng)？請(qǐng)說(shuō)明。（8分）

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題（本大題1小題，30分）

17.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）附錄中給出了兩個(gè)例子：

例1：計(jì)算15*15,25X25,,95X95,并探索規(guī)律。

例2：證明例1所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

很明顯例1計(jì)算所得到的乘積是一個(gè)三位數(shù)或者四位數(shù)，其中后兩位數(shù)為25,

而百位和千位上的數(shù)字存在這樣的規(guī)律：1X2=2,2X3=6,3X4=12,，這

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是“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”的過(guò)程，在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，需要嘗試用語(yǔ)言符號(hào)表達(dá)規(guī)律，

實(shí)現(xiàn)“提出問(wèn)題”，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)“分析問(wèn)題”和“解決問(wèn)題”。

請(qǐng)根據(jù)上述內(nèi)容，完成下列任務(wù)：

。）分別設(shè)計(jì)例1、例2的教學(xué)目標(biāo)；（8分）

0）設(shè)計(jì)“提出問(wèn)題”的主要教學(xué)過(guò)程；（8分）

0）設(shè)計(jì)“分析問(wèn)題”和“解決問(wèn)題”的主要教學(xué)過(guò)程；（7分）

?。┰O(shè)計(jì)推廣例1所探究的規(guī)律的主要教學(xué)過(guò)程。（7分）

2019年上半年中小學(xué)教師資格考試

數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)寫(xiě)教學(xué)能力試題（初級(jí)中學(xué)）參考答案及解析

一、單項(xiàng)選擇題

1.A【解析】①有理數(shù)與有理數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）均為有理數(shù)。

②一個(gè)有理數(shù)和一個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差均為無(wú)理數(shù)；一個(gè)非零有理數(shù)與一個(gè)無(wú)理

數(shù)的積、商（除數(shù)不為0）為無(wú)理數(shù)。③無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和、差、積、商可

能是有理數(shù)，也可能是無(wú)理數(shù)。故選Ao

xacost,

2

2.B【解析】由vasint,可得x+y=acos2t+asin2t=a,

zasin2t

22222

za2sintcost4asintacost4xy,所以將參數(shù)方程化為一般方程為

xya,

z4xy。

X-cos，①

Xcoscos,2

3.D【解析】將一代入到vcossin,得到y(tǒng)'sin,②聯(lián)立①②消

32

2

去得24X?y2,由于0,所以2&y2,將其代入③中得

z而1―f,而z7s/—3/是由yOz平面上的射線z6y（z>0）繞z軸旋

轉(zhuǎn)得到的，它表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以射線z6y（z>0）為母線，以z軸為中心

軸的半錐面。故選Do

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4.C【解析】初等變換不改變矩陣的秩，故若A0,則一定有舊0,C正確。

矩陣的初等變換包括以下三種：①互換兩行（列）；②以數(shù)乘某一行（列）；

③用一個(gè)數(shù)乘某一行（列），加到另一行（列）上。若方陣A經(jīng)過(guò)初等變換化

為方陣B,則經(jīng)過(guò)變換①，AB;經(jīng)過(guò)變換②，AkB;經(jīng)過(guò)變換③，

AB。故A、B、D均不一定成立。故選C。

5.B【解析】根據(jù)Sinx的泰勒展開(kāi)式，

x3x52n1

SinXX——[n1xnCOSX2n1

1------------X

3!5!2n1!2n1!2n1!，

n112n1

所以tX1xsinx,f1sin0。故選Bo

2n1!

6.C【解析】A有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且2是A的二重特征根，所以

屬于2的線性無(wú)關(guān)的特征向量有2個(gè)，即方程組2EAx0有兩個(gè)線性無(wú)

關(guān)的解，則有3r2EA2,r2EA1O

111111

2EAx2yx2y要使r2EA1,則工」,，解

x2y

333000

得x=2,y=-2o故選Co

7.A【解析】演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理

等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理，是由一般到特殊的推理。故選

A。

8.A【解析】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出，義務(wù)教育階段數(shù)

學(xué)課程目標(biāo)分為總目標(biāo)和學(xué)段目標(biāo)，從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感

態(tài)度四個(gè)方面加以闡述。

二、簡(jiǎn)答題

9.【解析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義可知，甲組同學(xué)脫粒數(shù)量（千克）的中位數(shù)

是75，乙組同學(xué)脫粒數(shù)量（千克）的中位數(shù)是￡8~6968.5o

22

（2）甲組同學(xué)脫粒數(shù)量（千克）的平均數(shù)x甲746極差為89-57=32,

乙組同學(xué)脫粒數(shù)量（千克）的平均數(shù)x乙71.65,極差為96-50=46。

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根據(jù)分析可知：①甲組同學(xué)脫粒數(shù)量的平均數(shù)大于乙組，故甲組同學(xué)脫粒速度

更快；②根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的情況與極差可以發(fā)現(xiàn)甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，而乙組數(shù)據(jù)波

動(dòng)大，從而可知，甲組同學(xué)的脫玉米能力差不多，而乙組同學(xué)的脫玉米能力存

在很大的個(gè)體差異性，可以理解為，甲組同學(xué)在實(shí)踐活動(dòng)中的參與性和積極性

要高于乙組。

10.【解析】由題意知，P,P22,3,1,PR4,1,0，則平面的法向量

ijk1

nP,P2P1P32311,4,14。平面-x2y7Z30的法向量

2

410

m1,2,72n，故n〃m。又點(diǎn)P42,0,1)不在平面lx2y7z30

22

上，故平面與平面1xy7z0平行。

223

設(shè)與平面垂直的平面為其法向量為nio

由向量積的定義可知，RR,PF3均與nPRRP3垂直，貝iJm=RP2為平面1的

一個(gè)法向量，故可設(shè)?的方程為2x+3y+z+d=0,將點(diǎn)Pi(2,0,1)代入可得d=-5,

所以平面1的方程為2x+3y+z-5=01,

11.【解析】由原方程易知x=0也是其解，則方程x5+5x4+5x3-5xJ6x=0存在實(shí)數(shù)

解0,1與-2,故多項(xiàng)式x5+5x4+5x3-5x2-6x能被x(x-1)(x+2)整除，作除法運(yùn)算可

得原方程等價(jià)于x(x-1)(x+2)(x2+4x+3)=x(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)=0,故可得原方程

的全部實(shí)數(shù)解為-3,-2,-1,0,1。

12.【參考答案】統(tǒng)計(jì)是一個(gè)包括數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析和推斷的完整

過(guò)程，在統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中，學(xué)生要經(jīng)歷收集、整理、描述和數(shù)據(jù)分析這些活動(dòng)，這

些活動(dòng)不僅能幫助學(xué)生了解數(shù)據(jù)處理的過(guò)程，而且能讓學(xué)生學(xué)會(huì)制作扇形統(tǒng)計(jì)

圖、畫(huà)頻數(shù)直方圖；不僅能讓學(xué)生體會(huì)抽樣的方法和必要性、掌握用扇形統(tǒng)計(jì)

圖直觀、有效地描述數(shù)據(jù)，用頻數(shù)直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，而且能讓學(xué)

生掌握抽樣與數(shù)據(jù)分析的基本方法。

用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程主要包含以下步驟：

。)建立數(shù)學(xué)模型。分析實(shí)際問(wèn)題，由實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型。

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0）收集數(shù)據(jù)。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題設(shè)計(jì)調(diào)查表，或選擇其他適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ占瘮?shù)據(jù)。

在收集數(shù)據(jù)的過(guò)程中，可以全面觀測(cè)所有總體并得到數(shù)據(jù)，這一過(guò)程稱(chēng)為普查；

選取適當(dāng)抽樣方法從總體數(shù)據(jù)中抽取部分樣本進(jìn)行觀測(cè)并得到數(shù)據(jù)的過(guò)程叫作抽

樣調(diào)查。

0）整理數(shù)據(jù)。對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行審核、校正、整理，從而使之系統(tǒng)化、

條理化，并用文字、圖畫(huà)、表格等方式表示數(shù)據(jù)。其中，可運(yùn)用條形統(tǒng)計(jì)圖、扇

形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等直觀地表示數(shù)據(jù)。

④）分析數(shù)據(jù)。運(yùn)用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等數(shù)字特征，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,

并進(jìn)一步估計(jì)出總體的數(shù)字特征。

6）解釋數(shù)據(jù)。結(jié)合總體數(shù)字特征，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行解讀。

0）得出實(shí)際問(wèn)題的相關(guān)結(jié)論。

13.【參考答案】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）在評(píng)價(jià)建議中指出，

評(píng)價(jià)方式多樣化體現(xiàn)在多種評(píng)價(jià)方法的運(yùn)用，包括書(shū)面測(cè)驗(yàn)、口頭測(cè)驗(yàn)、開(kāi)放

式問(wèn)題、活動(dòng)報(bào)告、課堂觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、成長(zhǎng)記錄，等等。在

條件允許的地方，也可以采用網(wǎng)上交流的方式進(jìn)行評(píng)價(jià)。每種評(píng)價(jià)方式都具有

各自的特點(diǎn)，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)方式。

下面列舉幾種不同的評(píng)價(jià)方式。

①口頭測(cè)驗(yàn)，是指在教學(xué)過(guò)程中教師通過(guò)與學(xué)生之間的言語(yǔ)互動(dòng)，及時(shí)地了解

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，找出問(wèn)題并及時(shí)糾正。

②書(shū)面測(cè)驗(yàn)，是指教師對(duì)學(xué)生的作業(yè)或者其他測(cè)驗(yàn)報(bào)告所做的書(shū)面性的評(píng)價(jià)。

這種評(píng)價(jià)方式可以幫助教師了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)以及其知識(shí)掌握水平。

③課后訪談，是指教師通過(guò)課后與學(xué)生的溝通交流，了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的

一種評(píng)價(jià)方式。這種評(píng)價(jià)方式可以幫助教師更直接地了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況。

④建立成長(zhǎng)記錄袋，是指將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行有效記錄而形成的書(shū)面存檔。

這種評(píng)價(jià)方式既可以幫助師生隨時(shí)了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成長(zhǎng)經(jīng)歷，也可以有效

地幫助學(xué)生確立今后的學(xué)習(xí)目標(biāo)與方向。

三、解答題

14.【解析】（1）證明：設(shè)P（xby1）,Q（X2?2）是R2上任意兩點(diǎn)，則

11

TPTX],%-X1-y,TQTx2,y2—xr,y2。

2323

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dTP,TQ111112

—Xi—X2-yi-y2一yiy2

22339

IdP,Q,即存在滿(mǎn)足題

2

意的1,所以映射T是壓縮映射。

2

(2)設(shè)0(0,0)為歐式平面的原點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)Po是原點(diǎn)時(shí)，顯然Pn(O.O),則

limPOo

nn

當(dāng)點(diǎn)Po不是原點(diǎn)時(shí)，因?yàn)門(mén)(O)=O,依據(jù)(1)有dPQ1dP,0,記

n-n1

2

n

1r

dPn,0rr0,則dPn,0-r。對(duì)任意0,存在Nlog2-?當(dāng)

n

n>N時(shí)，有dPnO-r,所以由柯西收斂準(zhǔn)則知limpn。。

2

n

綜上得limpo。

nn

四、論述題

15.【參考答案】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線，它貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，

方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容均與函數(shù)有非常密切的聯(lián)系。

①函數(shù)與方程。中學(xué)數(shù)學(xué)課程中方程的求解問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化成求對(duì)應(yīng)函數(shù)的零

點(diǎn)問(wèn)題。例如，求一元一次方程ax+b=0(aW0)的根，可以轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)

y=ax+b(aWO)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題。由此可以看出，方

程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題。

利用函數(shù)的整體性質(zhì)可以研究方程根的性質(zhì)，判斷根的個(gè)數(shù)，并估計(jì)根所在的

區(qū)間。

②函數(shù)與不等式。用函數(shù)的觀點(diǎn)看，不等式的解集就是使函數(shù)圖象y=f(x)在x

軸上方或下方的x的取值。中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的不等式的求解問(wèn)題，可以借助函

數(shù)的圖象進(jìn)行解決。例如，求一元二次不等式的解集，可以借助二次函數(shù)的圖

象，如求不等式x2一5x+6>0的解集，可以通過(guò)畫(huà)出函數(shù)f(x)=x2-5x+6的圖象，找

到使函數(shù)值大于0的所有x的取值集合，這個(gè)集合就是不等式X2-5X+6>0的解

集。

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2021初中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

③函數(shù)與數(shù)列。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，是一列有序的數(shù)，它的定義域是正整

數(shù)集或其子集，而數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)的函數(shù)解析式。數(shù)列是離散的函數(shù)，

表現(xiàn)在坐標(biāo)系中是一些離散的點(diǎn)的集合。中學(xué)數(shù)學(xué)課程主要涉及等差數(shù)列與等

比數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看作關(guān)于n的一次函數(shù)的離散化，等差數(shù)列

的前n項(xiàng)和是二次函數(shù)的離散化：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是指數(shù)

函數(shù)的離散化，因此可以借助函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究數(shù)列。例如，求等差數(shù)列的前

n項(xiàng)和Sn=n2-4n在第幾項(xiàng)取得最小值，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=x2-4x的頂點(diǎn)橫坐

標(biāo)。

五、案例分析題

16.【參考答案】（1）甲老師的教學(xué)，在落實(shí)課標(biāo)這一理念的過(guò)程中缺乏對(duì)實(shí)

際情況的應(yīng)急應(yīng)變，且其設(shè)置的為引導(dǎo)學(xué)生思考的問(wèn)題的目的性不強(qiáng)。具體如

下：甲老師在教學(xué)過(guò)程中，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，這體現(xiàn)了教師的組織者角

色，但是討論的例題，對(duì)于學(xué)生而言有一定難度，需要教師設(shè)置一定的鋪墊問(wèn)

題，并給與指導(dǎo)，而該教師沒(méi)有做相應(yīng)措施，這表現(xiàn)為該教師作為組織者和引

導(dǎo)者角色的不足與缺失。另外，當(dāng)學(xué)生討論的結(jié)論與教師預(yù)設(shè)的不同時(shí)，該教

師也意識(shí)到學(xué)生進(jìn)入了思維誤區(qū)，終止了學(xué)生的思考，但是其終止之后并沒(méi)有

設(shè)計(jì)教學(xué)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生走出思維誤區(qū)只是一味的批評(píng)學(xué)生的錯(cuò)誤思路，導(dǎo)致出

現(xiàn)第二次的終止討論。這是該教師身為合作者和引導(dǎo)者做的不足之處。

乙老師的教學(xué)，在落實(shí)課標(biāo)這一理念的過(guò)程中其引導(dǎo)者的作用得到了充分的體

現(xiàn)，但是學(xué)生主體地位的體現(xiàn)有些缺失，教師的合作者以及組織者的角色落實(shí)

不到位。具體如下：在教學(xué)過(guò)程中，乙老師能夠引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，引

領(lǐng)學(xué)生突破知識(shí)的難點(diǎn)，這體現(xiàn)了教師的引導(dǎo)者角色的發(fā)揮。但是講解的過(guò)于

詳細(xì)，沒(méi)有體現(xiàn)以學(xué)生為主體，限制了學(xué)生的思維。同時(shí)，在學(xué)生討論的過(guò)程

中，沒(méi)有做好明確分組，也沒(méi)有進(jìn)行巡視指導(dǎo)參與到學(xué)生的討論當(dāng)中去，缺少

教師的組織與合作。

0）甲教師存在的問(wèn)題：①討論的問(wèn)題即為例題，該題目對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)有一定

的困難，需要教師有一定的引導(dǎo)，并給出鋪墊問(wèn)題，如對(duì)最短路線的探討、何

為最短路線、螞蟻爬過(guò)的路徑如何進(jìn)行計(jì)算等。

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②在學(xué)生探究之初僅僅只是因?yàn)榕c教學(xué)預(yù)設(shè)不符就開(kāi)始質(zhì)疑學(xué)生，中止討論，

并且當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤太多時(shí)終止思考，這些行為都反映出老師對(duì)于課堂的一些

突發(fā)情況缺乏應(yīng)急應(yīng)變能力。

③沒(méi)有讓學(xué)生在討論探索中去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，也沒(méi)有做到充分的引導(dǎo)，沒(méi)有真正落

實(shí)課標(biāo)提出的課堂要交給學(xué)生，以學(xué)生為探究的主體。

④措辭不當(dāng)。當(dāng)看到學(xué)生把臺(tái)階畫(huà)出來(lái)時(shí)，該教師直接終止討論，指著題目說(shuō)

“畫(huà)圖有什么用”，顯得不夠尊重學(xué)生，沒(méi)有平等的對(duì)待學(xué)生，在探究式學(xué)習(xí)

中，老師需要降低自己的“姿態(tài)”，將自己定位為一名學(xué)習(xí)者，與學(xué)生一起體

會(huì)曲折的學(xué)習(xí)過(guò)程，感受學(xué)習(xí)中遇到的失敗和成功的喜悅。

乙教師存在的問(wèn)題：①引導(dǎo)太多，從而讓學(xué)生失去主體性，臺(tái)階模樣的紙片，

紙片的拉直都是由老師完成，學(xué)生完全在被動(dòng)的接受，是一個(gè)沒(méi)有學(xué)生參與、

學(xué)生思維沒(méi)有得到碰撞和啟發(fā)的一個(gè)探究活動(dòng)。

兩位老師的活動(dòng)設(shè)計(jì)雖然設(shè)置的都是探究活動(dòng)，但忽略了探索活動(dòng)是為了發(fā)展

學(xué)生綜合應(yīng)用的能力，都只注重基本知識(shí)，而不關(guān)注數(shù)學(xué)的方法的呈現(xiàn)及學(xué)生

在活動(dòng)中的體驗(yàn)，同時(shí)也忽略了對(duì)學(xué)生學(xué)情的思考。對(duì)探究活動(dòng)是發(fā)展學(xué)生的

語(yǔ)言表達(dá)能力、自主探究能力、反思能力和自身的學(xué)習(xí)能力目的沒(méi)有深入了解。

0）組織數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，需要注意以下事項(xiàng)：

①探究活動(dòng)內(nèi)容的選擇要合適。要使探究活動(dòng)更有效，探究?jī)?nèi)容的選擇是否得

當(dāng)是很重要的。同時(shí)，探究?jī)?nèi)容要有激發(fā)性，也就是說(shuō)，問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生的探

究欲望，問(wèn)題的設(shè)置要在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。

②探究活動(dòng)的指導(dǎo)要合理。探究活動(dòng)中，教師所扮演的應(yīng)該是一個(gè)組織者、引

導(dǎo)者和合作者的角色，要扮演好這個(gè)角色，首先，要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究的情境，

其次，要保證學(xué)生有探究的時(shí)間，再次，探究活動(dòng)并不是讓學(xué)生毫無(wú)節(jié)制的大

討論，而是精心編制的教學(xué)活動(dòng)，教師不能孤立于學(xué)生之外，要及時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)。

之后要對(duì)學(xué)生的探究做出合理的評(píng)價(jià)。

③探究的過(guò)程中，正確處理教師的“引”和學(xué)生的“探”的關(guān)系。在探究式學(xué)

習(xí)過(guò)程中，學(xué)生作為探究的主體，需要通過(guò)自己的探究去發(fā)現(xiàn)新事物。而為了

順利地完成這個(gè)任務(wù)，作為引導(dǎo)者的老師，要發(fā)揮指向燈的作用，既要在學(xué)生

脫離主題的時(shí)候，適時(shí)地引導(dǎo)方向，不放任學(xué)生不著邊際地亂探究，同時(shí)又不

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2021初中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

能過(guò)分地牽制學(xué)生的思想，造成“偽探究”的現(xiàn)象。成功的探究式教學(xué)離不開(kāi)

學(xué)生的主動(dòng)參與，要注重全體參與，讓每個(gè)學(xué)生體驗(yàn)成功的樂(lè)趣。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題

17.【參考答案】(1)例1的教學(xué)目標(biāo)：①通過(guò)計(jì)算并觀察結(jié)果與乘數(shù)的關(guān)系，

發(fā)現(xiàn)規(guī)律。②通過(guò)觀察計(jì)算，掌握必需的獨(dú)立探究、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與分析問(wèn)題的能力。

③在探索學(xué)習(xí)的過(guò)程中，感受此乘法運(yùn)算中的有趣規(guī)律，發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，

樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

例2的教學(xué)目標(biāo)：①初步了解證明的方法，掌握規(guī)律證明的思維過(guò)程，會(huì)通過(guò)

一般性的證明來(lái)驗(yàn)證自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。②經(jīng)歷由具體數(shù)值計(jì)算到符號(hào)公式表達(dá)

的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)證明由特殊到一般的過(guò)程，形成數(shù)學(xué)思維，并培養(yǎng)提出問(wèn)題、

分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。③在證明規(guī)律的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，增加

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

0)“提出問(wèn)題”的主要教學(xué)過(guò)程：

①發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：觀察這些式子中的數(shù)字，想想15,25,,95可以拆分成什么？

生：15=1X10+5,25=2X20+5,,95=9X10+5。

師：由此我們可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生：這些式子中的因數(shù)都等于該因數(shù)十位上的數(shù)字乘以10再加上5。

師：在拆分后的式子里，我們能發(fā)現(xiàn)哪些是變化的？哪些是不變的？

生：變的是與10相乘的數(shù)，不變的是再加上的數(shù)。

師：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了用字母表示數(shù)，你能用字母來(lái)表示嗎？

生：可以用a表示變化的數(shù)，即1,2,9,這些因數(shù)可以表示成ax10+5

(a=1,2,9)o

②提出猜想

師：因數(shù)我們用字母表示出來(lái)了，那么大家能用完整的式子表示出例1的算式

及其計(jì)算結(jié)果嗎？

生：(aX10+5)x(aX10+5)=a(a+1)x100+25(a=1,2,9)。

師：假設(shè)a代表所有小于10的任意正整數(shù)，那么例1中的乘法運(yùn)算就可以一般

華為一個(gè)公式，即(aX10+5)X(aX10+5)=a(a+1)X100+25(a=1,2,,9)。這個(gè)

公式就是我們通過(guò)分析例1的運(yùn)算規(guī)律得出的猜想。

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2021初中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

。“分析問(wèn)題”和“解決問(wèn)題”的主要教學(xué)過(guò)程：

①分析問(wèn)題

師：觀察等號(hào)左邊的式子，能發(fā)現(xiàn)什么？

生：等號(hào)左邊實(shí)際是一個(gè)完全平方式。

②解決問(wèn)題

師：大家回憶一下完全平方公式。

生：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2?

師：運(yùn)用完全平方公式，能知道(ax10+5產(chǎn)等于什么嗎？

22

生：(aX10+5)=aX100+2aX10X5+25o

師：進(jìn)一步運(yùn)算可以得到什么？

生：最終結(jié)果等于a(a+1)X100+25(a=1,2,,9)。

師：我們可以看到，運(yùn)算的最終結(jié)果是等號(hào)兩邊的式子相等，即公式得證。

@)推廣例1所探究的規(guī)律的主要教學(xué)過(guò)程：

【發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律】師：繼續(xù)觀察例1中的算式，還能有什么發(fā)現(xiàn)呢？請(qǐng)大家觀

察每個(gè)式子中的兩個(gè)因數(shù)。

預(yù)設(shè)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)式子中的兩個(gè)因數(shù)都是一樣的，而且個(gè)位上的數(shù)字之和為

10o

師：大家計(jì)算下面幾個(gè)式子，看看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律。

38X32,43X47,81X89

師：這些式子中的因數(shù)有什么特點(diǎn)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生思考直到學(xué)生能夠答出：這些式子中的兩個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)相同，個(gè)

位上的數(shù)相加。

師：這三個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果分別是38X32=1216,43X47=2021,81X89=7209,

結(jié)合我們剛才得到的結(jié)論，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？

引導(dǎo)學(xué)生思考直到學(xué)生能夠答出：計(jì)算結(jié)果中的后兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位上

的數(shù)的乘積，前兩位數(shù)是因數(shù)的十位上的數(shù)加一乘以十位上的數(shù)本身。

師：結(jié)合例1中的計(jì)算過(guò)程，請(qǐng)大家補(bǔ)全下列算式。(板書(shū)展示)

38X32=SSS=1216,43X47=SSS=2021,8IX89=SSS=7209

師：我們用代數(shù)式怎么表示這個(gè)算式呢？

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2021初中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

引導(dǎo)學(xué)生思考直到學(xué)生能夠答出：可以用10+b表示其中一個(gè)因數(shù)，用10a+

(10七)表示另一個(gè)因數(shù)，并通過(guò)觀察得出猜想：(10a+b)[10a+(10七)]=a

(a+1)x100+b(10-b)。

【驗(yàn)證規(guī)律】師：這里的a是正整數(shù)，大家知道b要取什么數(shù)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生思考直到學(xué)生能夠答出：小于10的正整數(shù)。

師：下面請(qǐng)大家用我們剛才學(xué)過(guò)的知識(shí)證明一下這個(gè)算式。

預(yù)設(shè)；教師觀察學(xué)生的計(jì)算過(guò)程，并找兩位學(xué)生在黑板上板演，結(jié)合學(xué)生的板

演進(jìn)行講解，以深化大家的理解。

2

板演過(guò)程：(10a+b)[10a+(10-b)]=100a+i0a(10-b)+1Oab+b(10-b)

=100a2+100a-10ab+10ab+b(10-b)=a(a+1)x100+b(10-b)

【練習(xí)】口算下列算式：

@17X13：②24X26；③3X37④45X45；⑤51X59。

師(小結(jié))：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們可以快速口算出兩個(gè)數(shù)相乘，其中兩個(gè)

因數(shù)十位上的數(shù)相同，個(gè)位上的數(shù)相加等于10的算式。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，我們

先通過(guò)一些算式找出規(guī)律，并報(bào)據(jù)這些規(guī)律歸納猜想出對(duì)應(yīng)的公式，最后經(jīng)過(guò)

嚴(yán)格的證明險(xiǎn)證我們的猜想，我們稱(chēng)這一過(guò)程所貫穿的思維方法為歸納推理。

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2021初中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

2019年下半年教師資格證初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題

(時(shí)間120分鐘滿(mǎn)分150分)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

1.在利用導(dǎo)數(shù)定義證明的過(guò)程中用到的極限是()

1X

A.lim別》1B.lim1_eC.lim3r1D.limqx0,0q1

x0Xxxxx

2.設(shè)M,X,丫為n階方陣，則下列命題一定正確的是()

A.XY=YXB.M(X+Y)=MX+MY

C.若XY=O且XWO,則丫=OD.若MX=MY且MWO,則X=Y

3.下列定積分計(jì)算結(jié)果正確的是()

1xxxx

12ee11ee

A.xxdx0B.----------dx0C.Inx2dx0D.----------dx0

1121io

X2V2

__1,ab0>

4.將橢圓a2b2繞長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為()

z0

222?222

“xyZIByZ2222c222.2

A.2221C.xyzaD.xyzb

a2b2ba2ba

5.設(shè)向量組a,①和8,也是方程組AX=O的兩個(gè)不同的基礎(chǔ)解系，則下列結(jié)

論正確的是()

A.向量組02,自的秩小于向量組自,色的秩

B.向量組用a2,&的秩大于向量組目，歷的秩

C.向量組Q,02,向的秩等于向量組日,住的秩

D.向量組01,02,01的秩與向量組隹的秩無(wú)關(guān)

6.若三個(gè)非零向量共面，則下列結(jié)論不一定成立的是()

A.(aXb)?c=OB.a+b+c=OC.a,b,c線性相關(guān)D.(aXc)?b=0

7.在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形依次沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向分別平移2個(gè)單位

和3個(gè)單位后，得到的圖形與原來(lái)的圖形的關(guān)系不一定正確的是()

A.全等B.平移C.相似D.對(duì)稱(chēng)

1

第15頁(yè)

2021初中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

8.學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，“以人為本”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要理念，下列關(guān)于教師

角色的概述不正確的是O

A.組織者B.引導(dǎo)者C.合作者D.指揮者

二、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）

9.設(shè)XX1,YY1變換Y=AX+B,其中變換矩陣A=工.B=3,

X2丫2015

3

22y1

0）寫(xiě)出橢當(dāng)"”=1在該變換下Y滿(mǎn)足的曲線方程；

圓49y2

0）舉例說(shuō)明在該變換下什么性質(zhì)保持不變，什么性質(zhì)發(fā)生變化（例如距離、

斜率等）。

10.利用一元函數(shù)積分計(jì)算下列問(wèn)題：

K）求曲線y=sinx與y=x2-災(zāi)麗圍成平面圖形的面積；

2（）求曲線y=sinx,xe[0,“繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體體積。

11.一個(gè)袋子里有8個(gè)黑球，8個(gè)白球，隨機(jī)不放回地連續(xù)取球5次。每次取出1

個(gè)球，求最多取到3個(gè)白球的概率。

12.簡(jiǎn)述研究中學(xué)幾何問(wèn)題的三種主要方法。

13.簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的原則。

三、解答題（本大題共10分）

14.對(duì)于問(wèn)題：“已知函數(shù)f（x）在[0,1]上可導(dǎo)，且f（0）=0,對(duì)于任何xe[0,1],有

fxfx,求證：f（x）=0,xe[0,l]?！庇腥耸沁@樣做的：

fxf0f'x00x①，

f'ixf1x②，

IIIIII2

f1f0Xf'2IXf2x021x③，

II?II9II?II,

f2fOxf'32Xf32Xf3X0321X④。

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

?）寫(xiě)出步驟①的證明依據(jù)；

2

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2021初中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

0）寫(xiě)出步驟②的證明依據(jù)；

0）指出步驟③和步驟①的關(guān)系；

?）完成步驟④以后的證明。

四、論述題（本大題共15分）

15.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑，積極主動(dòng)和富有個(gè)性的過(guò)程，認(rèn)真聽(tīng)

講，積極思考，動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，合作交流等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式。請(qǐng)

談?wù)劷處熑绾卧诮虒W(xué)中幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

五、案例分析題（本大題共20分）

16.案例：下面是某個(gè)學(xué)生的作業(yè)：

解方程：」3

x22x

①移項(xiàng)得：1x13,②通分得：1*13;跳簡(jiǎn)得：-1=3；④矛盾,

x22xx2

原方程是不是無(wú)解。

問(wèn)題：（1）指出該學(xué)生解此方程時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并分析其原因；

0）給出上述方程的一般解法，幫助學(xué)生解除疑惑；

。）簡(jiǎn)述中學(xué)階段解方程常用的數(shù)學(xué)思想方法。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題（本大題共30分）

17.針對(duì)“角平分線的性質(zhì)定理”的內(nèi)容，請(qǐng)你完成下列任務(wù)：

0）敘述角平分線的性質(zhì)定理；

0）設(shè)計(jì)“角平分線的性質(zhì)定理”的教學(xué)過(guò)程，并說(shuō)明設(shè)計(jì)意圖。（只要求寫(xiě)出

新課導(dǎo)入、定理形成與證明過(guò)程）

G）借助“角平分線的性質(zhì)定理”，簡(jiǎn)述如何幫助學(xué)生積累認(rèn)識(shí)兒何圖形的數(shù)

學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3

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2021初中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

2019年下半年教師資格證初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題解析

一、單項(xiàng)選擇題

1.B

2.B【解析】選項(xiàng)A,若XY=E時(shí)，滿(mǎn)足交換律XY=YX,故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)C,

若XY=O,且XWO,則丫不一定是零矩陣，如X=11,Y=01,滿(mǎn)足

0001

XY=O,且XWO,貝UYWO,故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D,若M是可逆矩陣時(shí)，MX=MY

的兩邊同時(shí)左乘M"可得，X=Y,故D錯(cuò)誤。

XX

3.D【解析】由于被積函數(shù)e是奇函數(shù),奇函數(shù)在區(qū)間上的定積分為0,

2

故選Do

22

4.A【解析】因?yàn)樾D(zhuǎn)軸是x軸，所以在方程三41中，保留坐標(biāo)x不變，

ab

_________222

用獷下代替y,可得橢圓繞其長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)的曲面方程為今4彳1。

abb

5.C【解析】因?yàn)橄蛄拷M％,a2和目，也是方程組AX=O的兩個(gè)不同的基礎(chǔ)解系，

所以%,a2是線性無(wú)關(guān)的，0,&也線性無(wú)關(guān)，則該線性方程組的解B可由基礎(chǔ)

解系％,9線性表出，則外的自是線性相關(guān)的，且r(ig02,ft)=r(w/)=r(

&),故選C?

6.B【解析】三個(gè)非零向量a,b,c共面的充要條件是(abc)=(axb)?c=(ax

c)-b=0,或者a,b,c線性相關(guān)，故A,C,D都正確。

7.D【解析】根據(jù)圖形平移的性質(zhì)可知，平移后的圖形一定與原圖形全等，相似，

但不一定是對(duì)稱(chēng)的，故選Do

8.D【解析】《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)指出，有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)

與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。

二、簡(jiǎn)答題

4

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11

?。XiYi-x,3-

9.【解析】（1）由Y=AX+B,得/。Y1.則有,解

01X25丫2VX+5，

2—2

33

得x,2y,6,將其代入橢圓方程得，

滿(mǎn)足此變換下的曲線方程為

x23y215，

22

yi3y251。

（2）以（1）中的橢圓方程為例，在該變換下得到新的方程是以（3,5）為圓心,

半徑為1的圓，其中圖形的大小、形狀、幾何中心的位置都發(fā)生了變化。

ysinx,

10.【解析】（1）將兩曲線方程聯(lián)立得2解得兩曲線的交點(diǎn)為（0Q），

yxx,

（Ji,0）則兩曲線圍成的平面圖形的面積為

21312

sinxx'xdx=sinxdxXxdx=cosx_XX

o0

0032

3

2——o

6

(2)旋轉(zhuǎn)體的體積為

22

.2,.2,1cos2x」1

sinxdxsinxdx---------dxcos2xd2x

000

11?【解析】根據(jù)題意得，不放回抽樣時(shí)，設(shè)取到白球的個(gè)數(shù)為X=0,1,2,3,

則有P（X=0）=m—，P（x=1）=&事A，P（X=2）=st姿14,

Ci678Ci639Ci639

*15141467

p（X=3）=C5cg14,故最多取到3個(gè)白球的概率為P+++

Ci6397839393978

12.【參考答案】研究中學(xué)兒何問(wèn)題的方法有數(shù)形結(jié)合、化歸思想、變換思想。

（D）中學(xué)幾何數(shù)學(xué)是比較抽象的，包括空間和數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合能夠幫助學(xué)

生將兩者進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，使抽象的知識(shí)更易于理解學(xué)習(xí)。在幾何學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)

合思想具有重要的作用，教師在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)缀螆D形用代

數(shù)的形式進(jìn)行表示，并利用代數(shù)的方式解決幾何問(wèn)題。例如，根據(jù)幾何性質(zhì)，建

立只限于平面的代數(shù)方程，或是根據(jù)代數(shù)方程確定點(diǎn)、線、面三者之間的關(guān)系。

5

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數(shù)形結(jié)合將幾何圖形與代數(shù)公式緊密地結(jié)合在一起，利用代數(shù)語(yǔ)言將幾何問(wèn)題簡(jiǎn)

化，使學(xué)生更容易解決問(wèn)題，是幾何教學(xué)的核心思想方法。

0）化歸思想是數(shù)學(xué)中普遍運(yùn)用的一種思想，在幾何教學(xué)中，教師常運(yùn)用這一

思想，基本的運(yùn)用方法就是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，利用代數(shù)知識(shí)將問(wèn)題解

決后，在返回到幾何中?；蚴窃趯?duì)空間曲線進(jìn)行研究時(shí)，將復(fù)雜的空間幾何圖形

轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的平面曲線，便于學(xué)生理解和解決。例如，在解決圓柱問(wèn)題時(shí)，

可以通過(guò)其對(duì)應(yīng)的軸截面進(jìn)行解決；在解決正棱錐問(wèn)題時(shí)，可以利用化歸思想將

這一問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)特征三角形和特征梯形的問(wèn)題進(jìn)行解決。

。）變換思想是能夠?qū)?fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的一種思想方法，變換思想在運(yùn)用時(shí)，

一般僅改變數(shù)量關(guān)系形式和相關(guān)元素位置，問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)沒(méi)有變化。在幾何教

學(xué)中，教師利用變換思想進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)二次曲線方程的化簡(jiǎn)，能夠通過(guò)方程運(yùn)

算準(zhǔn)確的將方程所表示的圖形展現(xiàn)出來(lái)，在降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度的同時(shí)，也為研究?jī)?/p>

何圖形性質(zhì)等提供了依據(jù)。

13.【參考答案】數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的

積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重

啟發(fā)式和因材施教。教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)關(guān)系，引

導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能,

體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、解答題

14.【參考答案】（1）拉格朗日中值定理。

（2）根據(jù)已知條件對(duì)于任何xe[0,1],有If，xfx?

（3）f1f0xf'210x,20,1i

f1f0xf2ix,fif0xf2x2,由0^口，在（0,x）

上利用拉格朗日中值定理，在（0,上，繼續(xù)使用拉格朗日中值定理可得③。

IIII

（4）Vfxf0f-x001x①，

2

由②得f1f0xf2x,021x③，

6

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?2II3

f2f0Xf3x,0321X(4),,

2n

|fXf0IIf1