專題02 與三角形有關的角（知識串講+7大考點）解析版

專題02與三角形有關的角考點類型知識串講（一）三角形內(nèi)角（和）（1）內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。（2）推論：①直角三角形的兩個銳角互余。②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。（二）三角形外角（1）概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角（2）性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。（3）三角形的外角與內(nèi)角的關系：①三角形的一個外角與它相鄰的內(nèi)角互補；②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；③三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。（三）三角形內(nèi)、外角角平分線模型如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A．考點訓練考點1：三角形內(nèi)角和定理的證明典例1：（2023春·江蘇·七年級專題練習）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”時，飛翔班的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的是（

）A．延長BC至D過C作CE∥AB B．過A作DE∥BCC．過D作DE∥BC D．過P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC【答案】C【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】A、∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∠B=∠ECD，由∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，得∠BCA+∠BAC+∠B=180°，故A不符合題意；B、∵DE∥BC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，由∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°，得∠B+∠BAC+∠C=180°，故C、∵DE∥BC，∠B=∠ADE，∠C=∠AED，無法證得三角形的內(nèi)角和等于180°，故D、如圖，∵DE∥BC，∴∠B=∠AOE=∠BOP，∠C=∠AMP，∵∠A+∠AMP=∠AOP，∴∠A+∠C=∠AOP，∵∠BOP+∠AOP=180°，∴∠BOP+∠A+∠C=180°∴∠A+∠B+∠C=180°，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)的知識點，熟悉以上知識點是解題關鍵．【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習）定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．已知：△ABC的三個內(nèi)角為∠A，∠B，∠C．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證法1證法2如圖1，延長BC到點D，則∠ACD=∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）．∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）．如圖2，過點C作DE∥AB，∵DE∥∠2=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角定義），∴∠A+∠ACB+∠B=180°（等量代換）．下列說法正確的是（

）A．證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理B．證法1用合理的推理證明了該定理C．證法2還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明過程才完整D．證法2用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明的常見思路去判斷即可．【詳解】三角形外角和性質(zhì)是建立在三角形內(nèi)角和定理的基礎上的，不能循環(huán)證明，故A、B都不符合題意；證法2用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理，故不需要分三角形的形狀，故C不符合題意；D符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，熟練掌握嚴謹?shù)亩ɡ碜C明是解題的關鍵．【變式2】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤缦聢D所示，能利用圖中作法：過點A作BC的平行線，證明三角形內(nèi)角和是180°的原理是（

）A．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，同位角相等【答案】B【分析】根據(jù)題意得，EF∥BC，則∠EAB=∠CBA，∠FAC=∠BCA，根據(jù)平角的性質(zhì)得【詳解】解：根據(jù)題意得，EF∥∴∠EAB=∠CBA，∠FAC=∠BCA，∵∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°，∴∠CBA+故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解決本題的關鍵．【變式3】（2023春·江蘇·七年級專題練習）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時，綜合實踐小組的同學作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△ABC的內(nèi)角和是180°”的有（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題運用轉(zhuǎn)化的思想作出相應的平行線，把三角形的內(nèi)角進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．【詳解】解：①．由EF∥AB，則∠ECA=∠A，∠②．由CE∥AB，則∠A=∠FCE，∠③．由CD⊥AB于D，則∠ADC④．由DF∥AC，得∠EDF=∠AED，∠A=∠FDB．由ED∥BC，得共有：①②④符合條件，故選：C．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本題的關鍵．考點2：三角形內(nèi)角和定理的應用——平行線典例2：（2023春·安徽黃山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°，給出以下結論：①∠2=∠EAB；②AC平分∠DAB；③∠1+∠2=90°；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】先由∠CAB=30°、∠C=90°得到∠ABC=60°，從而得到∠ABE+∠2=120°，再利用平行線的性質(zhì)得到∠2=∠EAB；再結合∠CAB=30°、∠DAE=120°得到∠EAB+∠1=90°，進而得到∠1+∠2=90°；由∠1+∠EAB=90°得到∠1=90°-∠EAB，然后由∠EAB的度數(shù)不固定得到∠1不一定等于30°，即∠1=∠BAC不一定成立，進而得到CA不一定平分∠DAB；同理可知∠2=60°不一定成立．【詳解】解：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°，∴∠ABE+∠2=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∵AD∥BE，∴∠ABE=∠BAD，∵∠DAE=120°，∴∠BAD+∠EAB=120°，即∠ABE+∠EAB=120°，∴∠2=∠EAB，故①正確，符合題意；∵∠BAC=30°，∠DAE=120°，∴∠EAB+∠1=90°，∵∠EAB=∠2，∴∠1+∠2=90°，故③正確，符合題意；∵∠1+∠EAB=90°，∴∠1=90°-∠EAB，∴∠1的大小隨∠EAB的大小變化而變化，∵∠EAB的度數(shù)不固定，∴∠1=30°不一定成立，即∠1=∠BAC不一定成立，∴AC不一定平分∠DAB，故②錯誤，不符合題意；同理可知，∠2=60°不一定成立，∴BC∥AE不一定成立，故故有①③正確，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟知平行線的性質(zhì)．【變式1】（2023·湖北荊門·校聯(lián)考一模）如圖，直線l1∥l2，∠1=40°，A．70° B．65° C．60° D．55°【答案】B【分析】先由平行線性質(zhì)得出∠4的度數(shù)，∠3=180°-∠1-∠4即可．【詳解】解：因為直線l1所以∠4=∠2=75°，所以∠3=180°-∠1-∠4=180°-40-75°=65°．故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練應用性質(zhì)是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）將一副三角板的直角頂點重合按如圖放置，小明得到下列結論：①如果∠2=30°，則AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，則∠2=30°；④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．其中正確的結論有（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)角和定理逐個判斷即可．【詳解】解：∵∠2=30°，∠CAB=90°，∴∠1=60°，∵∠E=60°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故①正確；∵∠CAB=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠CAD=90°-∠1+90°+∠1=180°，故②正確；∵BC∥AD，∠B=45°，∴∠3=∠B=45°，∵∠2+∠3=∠DAE=90°，∴∠2=45°，故③錯誤；∵∠CAD=150°，∠BAE+∠CAD=180°，∴∠BAE=30°，∵∠E=60°，∴∠BOE=∠BAE+∠E=90°，∴∠4+∠B=90°，

∵∠B=45°，∴∠4=45°，∵∠C=45°，∴∠4=∠C，故④正確；所以其中正確的結論有①②④．故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．【變式3】（2023春·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分別是BA,CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．下列結論：①AB//CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】先根據(jù)AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，由三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)即可得出結論．【詳解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯誤；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的計算，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關鍵．考點3：三角形內(nèi)角和定理的應用——角平分線典例3：（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點G，則下列結論①∠CEG=2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=12∠A；A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷結論①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷結論③；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出∠BFC=180°-12∠ABC+∠ACB=135°，即可判斷結論【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD，∵EG∥BC∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故結論①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥BC∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GCD，故結論③正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC，∴∠BFC=180°-12∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，∴∠DFB=12∠A，故結論∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故結論⑤正確；若CA平分∠BCG，而∠BCG=90°=∠EGC，∴∠ECG=∠ACB=45°，與題干條件不相符，故結論②錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟知平行線的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分別平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于點G，則下列結論①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠DFB=12∠A；④∠ADC=∠GCD；⑤CAA．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷①；只需要證明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判斷④；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出∠BFC=135°，即可判斷②③；根據(jù)現(xiàn)有條件無法推出【詳解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵EG∥∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正確；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故④正確；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠FBC=1∴∠BFC=∴∠DFB=180°-∠BFC=45°，∴∠DFB=12∠A∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故②錯誤；根據(jù)現(xiàn)有條件，無法推出CA平分∠BCG，故⑤錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關鍵．【變式2】（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面結論：①△ABE的面積=△BCE的面積；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF其中正確的結論是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定△ABE和△BCE的面積關系以及求出AD的長度．【詳解】解：∵BE是△ABC的中線，∴AE=EC，∴△ABE的面積等于△BCE的面積，故①正確；∵∠BAC=90°，AD是△ABC的高，∴∠AFG+∠ACG=90°，∠DCG+∠DGC=90°，∵CF是△ABC的角平分線，∴∠ACG=∠DCG，∴∠AFG=∠DGC，又∵∠DGC=∠AGF，∴∠AFG=∠AGF，故②正確；

∵∠FAG+∠DAC=∠DAC+∠ACD=90°，∴∠FAG=∠ACD，∵∠ACD=∠ACF+∠DCF=2∠ACF，∴∠FAG=2∠ACF，故③正確；∵S△ABC∴AD=AB?ACBC=綜上分析可知，正確的有①②③④，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的中線、高、角平分線，余角的性質(zhì)，三角形面積的計算，靈活運用三角形的中線、高、角平分線的性質(zhì)是解決本題的關鍵．【變式3】（2022春·重慶榮昌·七年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠DAB＝70°，∠DAB的平分線交CD于點M，連接BM，若∠CBM＝38°，則∠AMB的度數(shù)是（）A．51 B．73 C．75 D．90【答案】B【分析】由平行線的性質(zhì)可求出∠CBA=110°，從而可求出∠MBA=72°．由角平分線的定義可求出∠BAM=12∠DAB【詳解】∵AD∥BC，∠DAB＝70°，∴∠CBA=180°-70°=110°，∴∠MBA=∠CBA-∠CBM＝110°-38°=72°．∵∠DAB的平分線交CD于點M，∴∠BAM=∴∠AMB＝180°-∠BAM-∠MBA=180°-35°-72°=73°．故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握上述知識，并利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．考點4：三角形內(nèi)角和定理的應用——折疊問題典例4：（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED內(nèi)點A'的位置∠A=35°，則∠1+∠2的度數(shù)是（

A．80° B．70° C．45° D．35°【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADE+∠AED的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠ADA'+∠AE【詳解】解：∵∠A=35°，∴∠ADE+∠AED=180°-∠A=145°，∵折疊，∴∠ADA∴∠1+∠2=180°-∠ADA故選B．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折痕是角平分線，三角形的內(nèi)角和是180°，是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·貴州黔西·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，將∠B，∠C按如圖方式折疊，點B，C均落在BC邊上的點G處，線段MN，EF為折痕．若∠A=85°，則∠MGE的度數(shù)為（

）A．45° B．55° C．85° D．95°【答案】C【分析】根據(jù)圖形對折的性質(zhì)，找到相等的角，然后利用平角的定義計算即可．【詳解】解：由題意知：∠B=∠MGN，∵∠A=180°-∠B+∠C∠MGE=180°-∠MGN-∠EGF=180°-∠B+∠C∴∠MGE=∠A，∵∠A=85°，∴∠MGE=85°；故選：C．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊圖形中對應角相等是解題的關鍵．【變式2】（2023春·江蘇·七年級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、A．22° B．21° C．20° D．19°【答案】C【分析】根據(jù)∠A＝20°，∠B＝60°，點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、B與點【詳解】因為∠A＝20°，∠B＝60°，點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點所以∠A=因為∠ACB=所以100°=解得∠NCF=故選C．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關鍵．【變式3】（2023·山東濟南·模擬預測）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，將四邊形沿對角線AC折疊，使點B落在點B'處，若∠1=∠2=44°A．66° B．104° C．114° D．124°【答案】C【分析】由平行線得到∠BAB'=∠1=44°，由折疊得到∠BAC=∠【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BAB由折疊得，∠BAC=∠B∴∠BAC=∠B∵∠2=44°，∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，解題的關鍵是利用平行線的性質(zhì)求得∠BAB考點5：三角形內(nèi)角和定理的綜合應用典例5：（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，分別將三角板ABC與ADE的一邊AB與AE放置在直線l上，邊AC與AD所在直線重合．現(xiàn)將三角板ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，三角板ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)．當AB與AE第一次重合時，三角板停止運動．在旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法不正確的是（

）A．當AB與DE垂直時，∠BAE=150° B．當BC與DE平行時，∠BAE=120°C．當AC與DE垂直時，∠BAE=60° D．當BC與AE平行時，∠BAE=45°【答案】B【分析】畫出各選項對應的圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理進行求解判斷即可．【詳解】解：當AB與DE垂直時，如圖1，由題意知∠AFE=90°，∴∠EAF=180°-∠AFE-∠E=30°，∴∠BAE=180°-∠EAF=150°，∴A正確，故不符合要求；當BC與DE平行時，如圖2，過A作FQ∥BC，則FQ∥DE，∴∠QAE=∠E=60°，∠BAQ=∠B=45°，∴∠BAE=∠QAE+∠BAQ=105°，∴B錯誤，故符合要求；當AC與DE垂直時，如圖3，∴AB∥DE，∴∠BAE=∠E=60°，∴C正確，故不符合要求；當BC與AE平行時，如圖4，∴∠BAE=∠B=45°，∴D正確，故不符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識．解題的關鍵在于正確的作圖求解．【變式1】（2023·江西·模擬預測）如圖，從A點發(fā)出的光線AB，AD經(jīng)平面鏡l反射后得到反射光線BC，DE，m，n為法線，設∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之間的數(shù)量關系是（

）A．α+β=γ B．2α+β=γ C．α+2β=γ D．α+2β=2γ【答案】B【分析】根據(jù)光的反射定律，求出∠CBD=12180°-β°【詳解】解：由題意可得：∠CBD=12180°-β°∵∠ADB+∠ABD+∠A=180°，即∠ADB+∠ABC+∠CBD+∠A=180°∴90°-∴2α+β=γ故選：B．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，光的反射定律，熟練掌握查三角形內(nèi)角和定理和光的反射定律是解題的關鍵，注意跨學科之間的聯(lián)系．【變式2】（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=55°．當∠MAC為（

）度時，AM與CB平行．A．55 B．65 C．75 D．80【答案】B【分析】先根據(jù)平行的公理得出AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABC=∠BCD=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ACB=65°，根據(jù)∠ACB=∠MAC時AM與CB，得出【詳解】解：∵AB∥l，∴AB∵∠BCD=60°，∴∠ABC=∠BCD=60°，∵∠BAC=55°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-55°=65°，∵要使AM與CB平行，則有∠ACB=∠MAC，∴∠MAC=65°，故B正確．故答案為：B．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關鍵．【變式3】（2022秋·八年級單元測試）如圖所示，考古學家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響管道，準備在B和C處開工挖出“V”字形通道，如果∠DBA=120°，∠ECA=125°，則∠A的度數(shù)是（）A．65° B．80° C．85° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)鄰補角的定義求得△ABC的兩個內(nèi)角∠ABC、∠ACB的度數(shù)；然后利用△ABC的內(nèi)角和是180°，求∠A的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠DBA=120°，∠ECA=125°，∴∠ABC=180°-∠DBA=60°，∠ACB=180°-∠ECA=55°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-60°-55°=65°，即∠A=65°．故選A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理．解答該題時，先利用了鄰補角的性質(zhì)求得△ABC的兩個內(nèi)角∠ABC、∠ACB的度數(shù)，然后由三角形內(nèi)角和定理求得的∠A的度數(shù)．當然了，也可以利用三角形外角的性質(zhì)來求∠A的度數(shù)．考點6：直角三角形的兩個銳角互余典例6：（2023春·安徽·七年級期中）如圖，直線a∥b，△ABC是直角三角形，∠C=90°，頂點A在直線b上，邊AB交直線a于點D，邊BC交直線a于點E，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為()A．100° B．105° C．110° D．120°【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形兩個銳角互余得出∠AFC=90°-∠1=70°，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對頂角的性質(zhì)得出∠2=∠DEC=110°，即可求解．【詳解】解：延長BC交直線b于點F，如圖所示：∵∠ACB=90°，∴∠ACF=90°，∵∠1=20°，∴∠AFC=90°-∠1=70°，∵直線a∥b，∴∠DEC+∠AFC=180°，∴∠DEC=180°-70°=110°，∴∠2=∠DEC=110°，故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【變式1】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）將含30°角的直角三角板ABC如圖放置，使其三個頂點分別落在三條平行直線上，其中∠ACB=90°．若∠1=50°，則∠ABQ的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．150° D．160°【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出∠CBD=40°，再根據(jù)題意，得出∠CAB=30°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出∠CBA=60°，再根據(jù)角之間的數(shù)量關系，得出∠DBA=20°，再根據(jù)鄰補角互補，計算即可得出答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°,∠1=50°，∴∠CBD=90°-50°=40°，∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠CAB=30°，∴∠CBA=90°-∠CAB=60°，∴∠DBA=∠CBA-∠CBD=60°-40°=20°，∴∠ABQ=180°-∠DBA=180°-20°=160°．故選：D．【點睛】此題考查了直角三角形兩銳角互余、鄰補角互補，解題的關鍵在理清角之間的數(shù)量關系．【變式2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）一副三角形板如圖放置，DE∥BC，∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，則∠ABD的度數(shù)為（A．5° B．15° C．20°【答案】B【分析】根據(jù)∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°可得∠EDB=45°，∠ABC=60°，結合DE∥BC，即可得到【詳解】解：∵∠C=∠DBE=90°，∠E=45°，∠A=30°，∴∠EDB=45°，∠ABC=60°，∵DE∥∴∠EDB=∠DBC=45°，∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-45°=15°，故選B．【點睛】本題考查平行線性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是根據(jù)直角三角板得到相應的角度．【變式3】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶市南渝中學校?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，若∠B=48°，∠C=68°，則∠DAE的度數(shù)是（）A．10° B．12° C．14° D．16°【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義求出∠EAC，求出∠DAC，再求出答案即可．【詳解】解：∵∠B=48°，∠C=68°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=64°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=1∵AD是△ABC的BC邊上的高，∴∠ADC=90°，∵∠C=68°，∴∠DAC=90°-∠C=22°，∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=32°-22°=10°，故選：A．【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握三角形內(nèi)角和有關性質(zhì)．考點7：三角形外角的定義與性質(zhì)典例7：（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）如圖，AB∥CD，∠B=72°，∠D=48°，則∠F的度數(shù)是（

）A．24° B．30° C．40° D．60°【答案】A【分析】由AB∥CD，∠B=72°，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得∠CEF的度數(shù)，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求得∠F的度數(shù)．【詳解】解：∵AB∥CD，∠B=72°，∴∠CEF=∠B=72°，∵∠CEF=∠D+∠F，∠D=48°，∴∠F=∠CEF-∠D=72°-48°=24°．故選：A．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握兩直線平行，同位角相等定理的應用，注意數(shù)形結合思想的應用．【變式1】（2023·山東濱州·模擬預測）如圖，CD∥EF，直線AB與直線CD,EF分別相交于點G，H，GM平分∠CGH交EF于點M．若∠GME=150°，則∠GHF的度數(shù)為（A．100° B．80° C．60° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可得∠GMH=30°，再由平行線的性質(zhì)可得∠CGM=∠GMH=30°，然后根據(jù)GM平分∠CGH，可得∠CGM=∠HGM=30°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵∠GME=150°，∴∠GMH=30°，∵CD∥∴∠CGM=∠GMH=30°，∵GM平分∠CGH，∴∠CGM=∠HGM=30°，∴∠GHF=∠GMH+∠HGM=60°．故選：C【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·云南德宏·八年級統(tǒng)考期末）已知AD、AE分別為△ABC的角平分線、高線，若∠B:∠BAC=2:3，∠C=60°，則∠ADB的度數(shù)為（A．96° B．100° C．106° D．110°【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠B+∠BAC=120°，再由∠B:∠BAC=2:3，可得∠BAC=72°，然后根據(jù)AD為△ABC的角平分線，可得∠CAD=1【詳解】解：∵∠C=60°，∴∠B+∠BAC=180°-60°=120°，∵∠B:∠BAC=2:3，∴∠B=2∴23解得：∠BAC=72°，∵AD為△ABC的角平分線，∴∠CAD=1∴∠ADB=∠CAD+∠C=96°．故選：A【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，有關角平分線的計算，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．【變式3】（2023春·江蘇宿遷·七年級?？计谥校┤鐖D，l1∥l2A．∠α+∠β-∠γ=180° B．∠α+∠β+∠γ=180° C．∠α+∠β=2∠γ D．∠α+∠β=∠γ【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠1，再根據(jù)鄰補角，用∠α表示出∠2，最后根據(jù)三角形的外角即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵l1∴∠α=∠1，∵∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1=180°-∠α，∵∠β是外角，即∠β=∠γ+∠2，∴∠β=∠γ+180°-∠α，∴∠α+∠β-∠γ=180°，故選：A．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，鄰補角，三角形的外角的綜合，掌握平行線的性質(zhì)，三角形的外角和定理是解題的關鍵．考點8：三角形內(nèi)外角角平分線規(guī)律典例8：（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BI，CI分別平分∠ABC,∠ACB，且∠BIC=140°，BM,CM分別平分∠ABC,∠ACB的外角，則∠BMC的度數(shù)是（

）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】D【分析】BI，CI分別平分∠ABC,∠ACB，BM,CM分別平分∠ABC,∠ACB的外角，可求出BI⊥BM,CI⊥CM，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，∠ABC+∠DBC=180°，∠ACB+∠ECB=180°，∵BI，CI分別平分∠ABC,∠ACB，BM,CM分別平分∠ABC,∠ACB的外角，∴∠IBC=12∠ABC，∠CBM=12∴∠IBC+∠CBM=1同理，∠ICB+∠BCM=90°，在四邊形IBMC中，∠BIC=140°，∠IBM=∠ICM=90°，∴∠BMC=360°-140°-90°-90°=40°，故選：D．【點睛】本題主要考查角平分線，四邊形內(nèi)角和定理的綜合，理解并掌握角平分線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠BAC=128°，P1是△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點；P2是△BP1C的內(nèi)角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分線CA．2° B．4° C．8° D．16°【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義得∠PBC＝12∠ABC，∠PCE＝12∠ACE，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠PCE＝∠PBC＋∠P，于是得到12（∠A＋∠ABC）＝∠PBC＋∠P＝12∠ABC＋∠P，然后整理可得∠P＝【詳解】解：∵△ABC的內(nèi)角平分線BP與外角平分線CP1交于P1，∴∠P1BC＝12∠ABC，∠P1CE＝12∠∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC＋∠P1，∴12（∠A＋∠ABC）＝∠P1BC＋∠P1＝12∠ABC＋∠P∴∠P1＝12∠A＝12×128°＝同理∠P2＝12∠P1＝32°∴∠P6＝2°，故選：A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關鍵．【變式2】（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，它們相交于點O，∠AOB=125°，則∠CAD的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．45° D．50°【答案】A【分析】根據(jù)∠AOB=125°和三角形內(nèi)角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度數(shù)，再根據(jù)AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，即可得到∠BAC+∠ABC的度數(shù)，進而得到∠C的度數(shù)，再根據(jù)AD是BC邊上的高，即可得到∠CAD的度數(shù)．【詳解】解：∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=55°，∵AE，BF分別是∠BAC和∠ABC的角平分線，它們相交于點O，∴∠BAC+∠ABC=2（∠OAB+∠OBA）=110°，∴∠C=70°，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=20°，即∠CAD的度數(shù)是20°．故選：A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答．【變式3】（2023秋·黑龍江·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，則∠BDC=（）A．45° B．60° C．50° D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)∠A得出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC+∠DCB的度數(shù)，從而利用三角形內(nèi)角和定理得到結果．【詳解】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∵∠ABC和∠ACB的外角平分線相交于點D，∴∠DBC+∠DCB=12∠EBC+1=12（180°-∠ABC）+12（=180°-12（∠ABC+∠ACB=180°-12（180°-∠A=90°+12=130°∴∠BDC=180-（∠DBC+∠DCB）=50°，故選C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，根據(jù)題意得出∠DBC+∠DCB的度數(shù)是解題的關鍵．同步過關一、單選題1．（2023春·七年級單元測試）如圖，把一副常用三角板如圖所示拼在一起，延長ED交AC于F，那么圖中∠AFE的度數(shù)是（

）度．A．75 B．90 C．100 D．105【答案】A【分析】由題意可得：∠E=30°,∠C=45°，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖所示的圖形是把一副常用三角板拼在一起，所以∠E=30°,∠C=45°，所以∠AFE=∠E+∠C=30°+45°=75°．故選：A．【點睛】本題以三角板為載體，主要考查三角形的外角性質(zhì)，熟知三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和是解題的關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，BC⊥AE于點C，CD//AB，∠B=60°，則∠ECD的度數(shù)是（A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得∠A，再結合平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=30°，∵CD//AB，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余及平行線的性質(zhì)，熟練掌握基本結論且靈活運用是解題關鍵．3．（2022秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（

）A．135° B．145° C．150° D．165°【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外角定理可得∠2=∠3+∠4=135°，進而得出∠α=∠1+∠2，即可得出結論．【詳解】解：如圖：∵∠3=45°,∠4=90°，∴∠2=∠3+∠4=135°，∵∠1=30°，∴∠α=∠1+∠2=135°+30°=165°，故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形的外角定理，解題的關鍵是掌握三角板的內(nèi)角度數(shù)，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．4．（2023春·全國·七年級專題練習）一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的兩條直角邊DE，DF恰好分別經(jīng)過點B，C，已知∠DBA+∠DCA=50°，則∠A的度數(shù)是（

）A．50° B．40° C．45° D．44°【答案】B【分析】在△DBC和△ABC中分別使用三角形內(nèi)角和定理，即可得出答案．【詳解】∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBA+∠DCA+∠DBC+∠DCB+∠A=180°，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠DBA+∠DCA+∠A=∠D．∵∠D=90°，∴∠A=90°-∠DBA+∠DCA∵∠DBA+∠DCA=50°，∴∠A=90°-∠DBA+∠DCA故選：B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練使用三角形內(nèi)角和定理進行導角是解本題的關鍵．5．（2023·浙江杭州·八年級專題練習）如圖，AD是∠CAE的平分線，∠B=30°,∠DAE=60°，那么∠ACD等于（

）A．90° B．60° C．80° D．100°【答案】A【詳解】解：根據(jù)AD平分∠CAE，且∠DAE=60°，可得∠CAE=120°，然后根據(jù)鄰補角的意義可知∠CAB=60°，再根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，可直接求得∠ACD=90°．故選A．【點睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和和外角性質(zhì)，解題關鍵是明確三角形的內(nèi)外角的關系，然后可求解．三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°；三角形的外角：三角形的一個外角大于不相鄰兩內(nèi)角的和．6．（2023春·福建三明·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，AB∥OC，CD與OA交于點E，已知∠A=30°，則∠DEO的度數(shù)為（

）A．45° B．60° C．70° D．75°【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)求出∠COA=30°，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出結論.【詳解】解：∵AB∥OC，∠A=30°，∴∠COA=30°，∴∠DEO=∠C+∠COE=45°+30°=75°；故選D.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)是解決問題的關鍵.7．（2022秋·全國·八年級專題練習）滿足條件2∠A=2∠B=∠C的△ABC是(

)A．銳角三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【詳解】解：設∠A=x，則∠B=x，∠C=2x．又∠A+∠B+∠C=180°，則x+x+2x=180，x=45，∴∠A=∠B=△ABC是等腰直角三角形．故選B．8．（2023春·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）把含有30°角的直角三角板（∠ABC=30°）如圖放置，若EF//MN，∠1=100°，則∠2=（

）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】先根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得到∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，∵∠1=∠4=100°，∠B=30°，∴∠3=∠B+∠4=130°，∵EF∥MN，∴∠2=∠3=130°，故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運用，解題時注意：兩直線平行，同位角相等．9．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是CA延長線上一點，∠B=40°，∠BAD=76°，則∠C的度數(shù)為（）A．36° B．116° C．26° D．104°【答案】A【詳解】解：∵∠BAD是△ABC的一個外角，∴∠BAD=∠B+∠C，∴∠C=∠BAD-∠B=76°-40°=36°.故選A.10．（2023·山東菏澤·中考真題）將一副三角板按圖中方式疊放，則角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】D【分析】利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和計算．【詳解】如圖，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，∴∠1=45°，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，∴∠α=∠1+30°=75°．故選：D．11．（2022春·山東東營·七年級統(tǒng)考期中）給出下列命題：（1）三角形的一個外角一定大于它的一個內(nèi)角（2）若一個三角形的三個內(nèi)角之比為1：3：4，它肯定是直角三角形（3）三角形的最小內(nèi)角不能大于60°（4）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和其中真命題的個數(shù)是(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】(1)三角形的任何一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，故(1)為假命題，(4)為真命題．(2)180°×41+3+4=180°×12=90°，故(3)若三角形的最小內(nèi)角大于60°，三角形三個角的和大于180°，則三角形的最小內(nèi)角不能大于60°，故(3)為真命題．故選C．12．（2023春·八年級課時練習）如圖，DE為△ABC的邊BC的垂直平分線，交BC于E，交AB于D，且∠B=40°，∠A=60°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．40°B．50°C．30°D．45°【答案】A【詳解】試題解析：∵∠B=40°，∠A=60°，

∴∠ACB=180°﹣60°﹣40°=80°，∵DE為△ABC邊BC的垂直平分線，∴∠BCD=∠B=40°，∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=80°﹣40°=40°．故選A．13．（2023·廣西百色·統(tǒng)考一模）如圖，AC∥BD，AD與BC相交于O，∠A＝45°，∠B＝30°，那么∠AOB等于（）A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】A【詳解】解：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和,由題,∵AC∥BD，∴∠C=∠B=30°,∵∠AOB是△AOC的一個外角,∴∠AOB=∠C+∠A=45°+30°=75°，選A．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形的外角．14．（2023秋·安徽馬鞍山·八年級統(tǒng)考期末）若三角形三個內(nèi)角度數(shù)之比為2：3：7，則這個三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°來計算出最大的內(nèi)角度數(shù),然后來判斷三角形的形狀.【詳解】解:∵三角形三個內(nèi)角度數(shù)之比為2：3：7,∴三角形最大的內(nèi)角為:180°×7∴這個三角形一定為鈍角三角形.故選:C.【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和180°,計算三角形最大內(nèi)角是解題關鍵.15．（2023秋·湖北孝感·八年級?？茧A段練習）四邊形ABCD兩組對邊AD，BC與AB，DC延長線分別交于點E，F(xiàn)，∠AEB，∠AFD的平分線交于點P，∠A=64°，∠BCD=136°，則下列結論中正確的是（

）①∠EPF=100°；②∠ADC+∠ABC=160°；③∠PEB+∠PFC+∠EPF=136°；④∠PEA+∠PFA=36°A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和證明結論②正確，再根據(jù)∠AEB=116°-∠ABC和∠AFD=116°-∠ADC結合結論②證明結論④正確，連接AP并延長至點G，根據(jù)外角和定理證明結論①正確，結論③也可以通過前面的證明得到．【詳解】解：∵∠A=64°，∠BCD=136°，∴∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠BCD=160°，故②正確，∵∠AEB=180°-∠A-∠ABC=116°-∠ABC，∠AFD=180°-∠A-∠ADC=116°-∠ADC，∴∠AEB+∠AFD=116°-∠ABC+116°-∠ADC=232°-∠ADC+∠ABC∵EP平分∠AEB，F(xiàn)P平分∠AFD，∴∠PEA=12∠AEB∴∠PEA+∠PFA=12∠AEB+∠AFD同理：∠PEB+∠PFC=36°，如圖，連接AP并延長至點G，∠EPF=∠EPG+∠FPG=∠EAP+∠AEP+∠FAP+∠AFP=∠EAF+∠AEP+∠AFP=64°+36°=100°，故①正確，∴∠PEB+∠PFC+∠EPF=36°+100°=136°，故③正確．故選：D．【點睛】本題考查角度關系求解，解題的關鍵是掌握角度和差關系的計算．二、填空題16．（2023·北京·九年級專題練習）在直角三角形中，其中一個銳角是22°，則另外一個銳角是_____．【答案】68°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【詳解】∵直角三角形一個銳角為22°，∴另一個銳角的度數(shù)=90°-22°=68°．故答案為68°．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．17．（2022秋·福建龍巖·八年級校考階段練習）若直角三角形的一個銳角為15°，則另一個銳角等于________．【答案】75°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：∵另一個銳角為15°，∴另一個銳角為180°-90°-15°=75°，故答案為：75°．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握直角三角形兩銳角互余．18．（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB∥CD，且AC⊥CB于點C，若∠BAC=35°，則∠BCD的度數(shù)為【答案】55°/55度【分析】先根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠ABC=∠BCD，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD．在△ABC中，∠BAC=35°，AC⊥CB，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-35°-90°=55°．∵∠ABC=∠BCD，∴∠BCD=55°．故答案為：55°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)是解答關鍵．19．（2022春·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝88°，則∠BOC＝_____．【答案】134°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及已知條件求出∠2+∠4=46°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出答案即可．【詳解】∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，∠A＝88°，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠4=46°，∵∠2+∠4+∠BOC=180°，∴∠BOC=180°-46°=134°，故答案為：134°．【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和為180°是解題的關鍵．20．（2023秋·重慶渝中·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，若∠B＝∠C＝2∠A，則∠C的度數(shù)為_____．【答案】72°【分析】利用三角形內(nèi)角和定理列方程即可得出答案．【詳解】解：∵∠B＝∠C＝2∠A，∴可以假設∠A＝x，則∠B＝∠C＝2x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝72°，故答案為72°．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．21．（2023秋·安徽安慶·八年級?？计谀┤鐖D，已知AB∥CD，∠A=25°，∠E=15°，則∠C等于_______.【答案】40°【分析】由于∠A=25°，∠E=15°，由此可以得到∠EFB=∠A+∠E=40°，又AB∥CD，由此可以求出∠C．【詳解】解：∵A=25°，∠E=15°，∴∠EFB=∠A+∠E=40°，又∵AB∥CD，∴∠EFB=∠C=40°．故答案為：40°．【點睛】本題應用的知識點為：三角形的外角與內(nèi)角的關系及兩直線平行，同位角相等．22．（2023春·七年級課時練習）已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分線交于點O，則∠AOC的度數(shù)為_________.【答案】135°【詳解】∵∠B=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∴∠AOC=180°?12(∠BAC+∠BCA)=180°?故答案為135°.23．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，AC⊥OB，BD⊥AO，若∠B＝50°，則∠A=_________.【答案】50°【詳解】已知AC⊥OB，BD⊥AO，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得∠A=90°-∠O=∠B=50°．故答案為50°．24．（2022秋·山西大同·八年級大同市第七中學校?？茧A段練習）如圖，P是△ABC的∠ABC和∠ACB的外角的平分線的交點，若∠P=40°，則∠A=__________．【答案】80°/80度【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，找出∠P與∠A的關系即可．【詳解】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，∵BP平分∠ABC，CP是∠ACE的角平分線，∴∠PBC=1∴∠P+12∴∠A=2∠P，∵∠P=40°∴∠A=80°故答案為80°．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，關鍵是運用三角形的外角性質(zhì)找到∠P與∠A的關系，根據(jù)已知條件計算∠A．25．（2022秋·八年級課時練習）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結論：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正確的結論有_____(寫出所有正確結論的序號)．【答案】①③④【分析】由內(nèi)錯角相等，兩直線平行可判斷①，由鄰補角的性質(zhì)可判斷②，如圖，延長EG交AB于K,先求解∠KEG=45°,從而可判斷③④，于是可得答案．【詳解】解：由題意得：∠GEF=60°,∠GFE=30°,∠EGF=90°=∠MPN,∠PMN=∠PNM=45°,∴∠MPG=∠EGP=90°,∴EG∥PM,故①符合題意；∵∠EFG=30°,∴∠EFN=180°?30°=150°,故②不符合題意；如圖，延長FG交AB于K,∵AB∥CD,∴∠GKE=∠PNM=45°,∴∠KEG=90°?45°=45°,∴∠BEF=180°?45°?60°=75°,∠AEG=∠PMN=45°,故③④符合題意；綜上：符合題意的有①③④故答案為：①③④．【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應用，平行線的判定與性質(zhì)，三角板中角度計算問題，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵．三、解答題26．（2023秋·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，直線AD和BC相交于O，AB∥CD，AD⊥BC于O，∠B=50°，求∠A和∠C．【答案】∠A=40°,∠C=50°．【分析】先根據(jù)垂直的定義可得∠AOB=90°，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得∠A的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠C的度數(shù)．【詳解】解：∵AD⊥BC于點O，∴∠AOB=90°，∵∠B=50°，∴∠A=90°-∠B=40°，∵AB//∴∠C=∠B=50°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、垂直、直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握各性質(zhì)和定義是解題關鍵．27．（2023秋·八年級課時練習）說出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：【答案】（1）∠1=40°，∠2=140°；（2）∠1=110°，∠2=70°；（3）∠1=50°，∠2=140°；（4）∠1=55°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°（3）根據(jù)直角三角形中兩銳角互余、鄰補角的定義計算就可得到正確答案；（4）根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°（5）由三角形外角的性質(zhì)，結合三角形內(nèi)角和定理，列式計算即可；（6）由直角三角形中兩銳角互余，結合對頂角，即可計算得到正確答案．【詳解】解：（1）∵∠1∴∠1=又∵∠1∴∠2=（2）∵∠1∴∠1又∵∠1∴∠2=（3）∵∠1∴∠1=又∵∠2∴∠2=（4）∵∠2∴∠2=又∵CE平分∠ACD∴2∠1∴∠1=（5）由三角形外角的性質(zhì)知∠1=又∵∠2∵∠2（6）設∠1的對頂角為∠3∵∠3+∴∠3∴∠1∴∠2【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，直角三角形中兩銳角互余等知識點，牢記相關內(nèi)容并結合圖形計算是解題關鍵．28．（2022秋·廣東江門·八年級校考階段練習）如圖所示，AD，AE是三角形ABC的高和角平分線，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAE的度數(shù)．【答案】20°【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠EAC的度數(shù)，然后根據(jù)Rt△ADC的內(nèi)角和定理求出∠DAC的度數(shù)，從而得出∠DAE的度數(shù)．【詳解】解：∵∠B=36°，∠C=76°，∴∠BAC=180°-36°-76°=68°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=68°÷2=34°，∵AD是高線，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC=180°－90°－76°=14°，∴∠DAE=∠EAC－∠DAC=34°－14°=20°．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．29．（2023秋·廣東·八年級?？茧A段練習）如圖，在ΔABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=54°，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，H是BE和CF的交點，HD是∠BHC的平分線，求∠ABE、∠ACF和∠CHD的度數(shù)．【答案】∠ABE=24°，∠ACF=【分析】根據(jù)已知角和垂線的定義即可得出∠BCF和∠CBE的度數(shù)，再根據(jù)角的和與差得出∠ABE、∠ACF的度數(shù)，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出∠BHC，最后根據(jù)角平分線的定義即可得出∠CHD的度數(shù)．【詳解】解：∵∠ABC=60°，∠ACB=54°，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，∴∠BCF=∠CBE=∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=∠ACF=∠ACB-∠BCF=∠BHC=∴∠CHD=【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和，熟練的根據(jù)圖形推導角度是解題的關鍵.30．（2023·重慶·中考真題）如圖，AB∥CD，△EFG的頂點F，G分別落在直線AB，CD上，GE交AB于點H，GE平分∠FGD，若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度數(shù)．【答案】20°【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠FGH=55°，再根據(jù)GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根據(jù)∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．【詳解】∵∠EFG=90°，∠E=35°，∴∠FGH=55°，∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，∵∠FHG是△EFH的外角，∴∠EFB=55°﹣35°=20°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，兩直線平行時，應該想到它們的性質(zhì)，由兩直線平行的關系得到角之間的數(shù)量關系，從而達到解決問題的目的．31．（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度數(shù)．【答案】20°【分析】設∠1=∠2=x，則∠3=∠4=2x，再由三角形內(nèi)角和定理求出x的值，進而可得出結論．【詳解】解：設∠1=∠2=x，則∠3=∠4=2x，∵∠BAC=60°，∠2+∠4+∠BAC=180°，∴∠2+∠4=180°-60°=120°，即x+2x=120°，解得x=40°，∴∠DAC=∠BAC-∠1=60°-40°=20°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關鍵．32．（2023秋·全國·八年級期末）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在直線PQ上運動，點B在直線MN上運動．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，點A，B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大?。?）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點A、B在運動的過程中，∠CED的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值．【答案】（1）不變，∠AEB=135°；（2）不變，∠CED=67.5°．【分析】（1）不變，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OAB+∠OBA=90°，根據(jù)AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，求得∠BAE+∠ABE=12∠OAB+∠ABO（2）不變，延長AD、BC交于點F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OAB+∠OBA=90°，進而得到∠PAB+∠MBA=270°，再根據(jù)AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，求得∠BAD+∠ABC=12∠PAB+∠ABM=135°，進而求得∠F=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠FDC+∠FCD=135°，即∠CDA+∠DCB=225°，最后根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，得到【詳解】（1）∠AEB的大小不變，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠BAE=12∠OAB∴∠BAE+∠ABE=1∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不變．延長AD、BC交于點F，如圖，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，∴∠BAD=12∠BAP∴∠BAD+∠ABC=1∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∵∠CDE+∠DCE+∠E=180°，∴∠E=67.5°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．33．（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期中）如圖，平面內(nèi)的直線有相交和平行兩種位置關系（1）如圖①，已知AB∥CD，求證：∠BPD＝∠B+∠D；（提示；可過點P作PO∥AB）（2）如圖②，已知AB∥CD，求證：∠B＝∠P+∠D．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過點P作PE∥AB，由平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出∠B＝∠BPE、∠D＝∠DPE，結合角之間的關系即可得出結論；（2）過點P作PE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠B＝∠BOD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠BOD＝∠BPE、∠D＝∠DPE，結合角之間的關系即可得出結論．【詳解】（1）過點P作PE∥AB，如圖1所示．∵AB∥PE，AB∥CD，AB∥PE∥CD．∴∠B＝∠BPE，∠