專題23.1 圖形的旋轉【十大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）

專題23.1圖形的旋轉【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1生活中的旋轉現(xiàn)象】 1【題型2判斷一個圖形旋轉而成的圖案】 3【題型3找旋轉中心、旋轉角、對應點】 5【題型4利用旋轉的性質(zhì)證明】 8【題型5利用旋轉的性質(zhì)求解】 15【題型6判斷旋轉對稱圖形】 21【題型7作圖-旋轉變換】 23【題型8求饒某點旋轉后坐標】 30【題型9旋轉中的規(guī)律探究】 35【題型10旋轉中的最值問題】 38【知識點1旋轉的定義】在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素?！绢}型1生活中的旋轉現(xiàn)象】【例1】（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期中）下列現(xiàn)象：①地下水位逐年下降，②傳送帶的移動，③方向盤的轉動，④水龍頭的轉動；其中屬于旋轉的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據(jù)旋轉的概念解答即可．【詳解】解：①地下水位逐年下降，不是旋轉現(xiàn)象；②傳送帶的移動，不是旋轉現(xiàn)象；③方向盤的轉動，是旋轉現(xiàn)象；④水龍頭的轉動，是旋轉現(xiàn)象，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的判斷，解題的關鍵是掌握旋轉的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某一個定點轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉．【變式1-1】（2023春·江蘇·九年級期中）將數(shù)字“6”旋轉180°，得到數(shù)字“9”，將數(shù)字“9”旋轉180°，得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“689”整體旋轉180°，得到的數(shù)字是【答案】689【分析】直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)結合“689”的特點得出答案．【詳解】解：將數(shù)字“689”整體旋轉180°，得到的數(shù)字是：689．故答案為：689．【點睛】此題主要考查了生活中的旋轉現(xiàn)象，能夠想象出旋轉后的圖形是解題關鍵．【變式1-2】（2021春·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）“玉兔”在月球表面行走的動力主要來自太陽光能，要使接收太陽光能最多，就要使光線垂直照射在太陽光板上．現(xiàn)在太陽光如圖照射，那么太陽光板繞支點A逆時針最小旋轉（

）可以使得接收光能最多．A．46° B．44° C．36° D．54°【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義和旋轉方向，計算可得．【詳解】解：由題意可得：若要太陽光板于太陽光垂直，則需要繞點A逆時針旋轉90°-（180°-134°）=44°，故選：B．【點睛】本題考查了實際生活中的垂直的定義，旋轉的定義，解題的關鍵是理解旋轉分為順時針和逆時針．【變式1-3】（2020秋·九年級課時練習）摩天輪上以等間隔的方式設置36個車廂，車廂依順時針方向分別編號為1號到36號，且摩天輪運行時以逆時針方向等速旋轉，旋轉一圈花費30分鐘，若圖2表示21號車廂運行到最高點的情形，則此時經(jīng)過多少分鐘后，3號車廂才會運行到最高點？（

）A．14分鐘 B．20分鐘 C．15分鐘 D．452【答案】C【分析】先求出從21號旋轉到3號旋轉的角度占圓大小比例，再根據(jù)旋轉一圈花費30分鐘解答即可．【詳解】解：36-21+336所以經(jīng)過20分鐘后，3號車廂才會運行到最高點．故選C．【點睛】本題主要考查了生活中的旋轉現(xiàn)象，理清題意，得出從21號旋轉到3號旋轉的角度占圓大小比例是解答本題的關鍵．【知識點2旋轉的性質(zhì)】（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前后的圖形全等。理解以下幾點：（1）圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。（2）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。【題型2判斷一個圖形旋轉而成的圖案】【例2】（2020春·山西晉城·九年級統(tǒng)考期末）如果齒輪A以逆時針方向旋轉，齒輪E旋轉的方向（）A．順時針 B．逆時針C．順時針或逆時針 D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)圖示進行分析解答即可．【詳解】齒輪A以逆時針方向旋轉，齒輪B以順時針方向旋轉，齒輪C以逆時針方向旋轉，齒輪D以順時針方向旋轉，齒輪E以逆時針方向旋轉，故選B．【點睛】此題考查旋轉問題，關鍵是根據(jù)圖示進行解答．【變式2-1】（2022秋·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，圖2是由圖1經(jīng)過平移得到的，圖2還可以看作是由圖1經(jīng)過怎樣的變換得到的？現(xiàn)給出兩種變換方式：①2次旋轉；②2次軸對稱．下面說法正確的是（

）A．①②都不可行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行【答案】B【分析】根據(jù)旋轉和軸對稱的概念判斷即可．【詳解】如圖，圖1繞點A旋轉180°得到右邊倒著的圖1，然后把此圖繞點B旋轉180°得到圖2；如圖，把圖1沿著直線AB對稱得到右邊的圖1，然后把此圖沿直線CD對稱得到圖2故選：B．【點睛】本題考查了旋轉和軸對稱變換，掌握旋轉和軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式2-2】（2022秋·上海浦東新·九年級校聯(lián)考期末）圖2是由圖1經(jīng)過某一種圖形的運動得到的，這種圖形的運動是（

）A．平移 B．翻折 C．旋轉 D．以上三種都不對【答案】C【詳解】解：根據(jù)圖形可知，這種圖形的運動是旋轉而得到的，故選：C．【點睛】本題考查了圖形的旋轉，熟記圖形的旋轉的定義（把一個平面圖形繞平面內(nèi)某一點轉動一個角度，叫做圖形的旋轉）是解題關鍵．【變式2-3】（2023春·九年級課時練習）如圖，下列的圖案是由什么基本圖案經(jīng)怎樣的旋轉得到的，把它畫出來？【答案】見解析【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；以上基本圖案繞著對稱軸旋轉一周得到．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，根據(jù)旋轉的性質(zhì)正確作圖是解本題的關鍵．【題型3找旋轉中心、旋轉角、對應點】【例3】（2023春·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在7×5方格紙中，格點三角形甲經(jīng)過旋轉后得到格點三角形乙，則其旋轉中心是（

）

A．點M B．點N C．點P D．點Q【答案】A【分析】先確定點A與點E為對應點，點B和點F為對應點，則根據(jù)旋轉的性質(zhì)得旋轉中心在AE的垂直平分線上，也在BF的垂直平分線上，所以作AE的垂直平分線和BF的垂直平分線，它們的交點即為旋轉中心．【詳解】解：∵甲經(jīng)過旋轉后得到乙，∴點A與點E為對應點，點B和點F為對應點，∴旋轉中心在AE的垂直平分線上，也在BF的垂直平分線上，作AE的垂直平分線和BF的垂直平分線，它們的交點為M點，如圖，

即旋轉中心為M點．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．【變式3-1】（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，ΔABC和ΔADC都是等邊三角形.（1）ΔABC沿著______所在的直線翻折能與ΔADC重合；（2）如果ΔABC旋轉后能與ΔADC重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉中心的點是______；（3）請說出2中一種旋轉的旋轉角的度數(shù)______.【答案】（1）AC；（2）.點A、點C或者線段AC的中點；（3）60°【分析】(1)因為ΔABC和ΔADC有公共邊AC，翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；（2）將△ABC旋轉后與ΔADC重合，可以以點A、點C或AC的中點為旋轉中心；（3）以點A、點C為旋轉中心時都旋轉60°，以AC中點旋轉時旋轉180°.【詳解】(1)∵ΔABC和ΔADC都是等邊三角形，∴ΔABC和ΔADC是全等三角形，∴△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.故填AC;(2)將△ABC旋轉后與ΔADC重合，則可以以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°或以點C為旋轉中心順時針旋轉60°，或以AC的中點為旋轉中心旋轉180°即可；（3）以點A、點C為旋轉中心時都旋轉60°，以AC中點旋轉時旋轉180°.【點睛】此題考查平移的對稱軸確定的方法、旋轉中心確定的方法，依照平移、旋轉的性質(zhì)來確定即可.【變式3-2】（2022秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD旋轉后能與正方形CDEF重合，那么點A，B，C，D中，可以作為旋轉中心的有個．【答案】2．【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)，分類討論確定旋轉中心．【詳解】解：把正方形ABCD繞點D逆時針旋轉90°能與正方形CDEF重合，則旋轉中心為點D；把正方形ABCD繞點C順時針旋轉90°能與正方形CDEF重合，則旋轉中心為點C；綜上，可以作為旋轉中心的有2個．故答案為：2．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．【變式3-3】（2023春·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點A、B都在格點上．線段AB繞著某一定點順時針旋轉一個角度α0°<α<180°后，得到線段A'B'（點A'、B'分別是A、

【答案】90°【分析】首根據(jù)旋轉的性質(zhì)確定旋轉中心為點O，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AA',BB',∴點O為旋轉中心，∴∠AOA'=90°

故答案為：90°．【點睛】本題主要考查了旋轉角度的確定，畫出圖形能快速解決問題．【題型4利用旋轉的性質(zhì)證明】【例4】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，點D為△ABC內(nèi)一點，連接AD、CD．

(1)把△ACD逆時針旋轉得到了△CBE如圖1，旋轉中心是點______，旋轉角是______．(2)在（1）的條件下，延長AD交BE于F，求證：AF⊥BE．(3)在圖1中，若∠CAD=30°，把△ACD繞C點逆時針旋轉得到△ECB，如圖2，若旋轉一周，當旋轉角是多少度時，DE∥【答案】(1)C，90°(2)證明見解析(3)30°或210°【分析】（1）根據(jù)圖形旋轉的概念回答即可；（2）由旋轉的性質(zhì)可得∠CAD=∠CBE，對頂角∠AMC=∠FMB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出∠AFB=∠ACB=90°，結論即可得證；（3）結合圖形，由平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：在圖1中，點C是三角形ACD的旋轉中心，旋轉角為90°；故答案為：C，90°（2）證明：由△ACD逆時針旋轉得到了△CBE可知，∠CBE=∠CAD在△CAM中，∠ACB=180°-∠CAD-∠AMC，在△FMB中，∠MFB=180°-∠CBE-∠FMB，而∠AMC=∠FMB∴∠MFB=∠ACB=90°，即AF⊥BE（3）解：如圖，依題意得∠CED=30°，當點D在△ABC內(nèi)部時，∵DE∥AC，∴∠ACE=∠CED=30°，當點D'在△ABC∵D'E'∥AC，∴∠ACE∴△D'CE'繞點C旋轉360°-∠ACE綜上所述，當△ACD旋轉角是30°或210°時，DE∥故答案為：30°或210°

【點睛】本題考查了圖形的旋轉及性質(zhì)，垂直定義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，正確理解相關的概念及性質(zhì)是解決本題的關鍵．【變式4-1】（2023秋·山西陽泉·九年級?？计谀┌褍蓚€全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，現(xiàn)將三角板EFG繞點O按順時針方向旋轉（旋轉角α滿足條件：0°<α<90°），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角形的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉過程中．

(1)BH與CK有怎樣的數(shù)量關系?(2)四邊形CHGK的面積有何變化?請證明你的發(fā)現(xiàn)．【答案】(1)BH=CK(2)四邊形CHGK的面積在旋轉過程中沒有變化，始終為4，證明見解析【分析】（1）先由ASA證出△CGK≌△BGH，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK．（2）四邊形CHGK的面積不變，面積為4．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）解：結論：BH=CK．理由：∵點O是等腰直角三角板ABC斜邊中點，∴∠B=∠GCK=45°，BG=CG，由旋轉的性質(zhì)，知∠BGH=∠CGK，∴△BGH≌△CGK(ASA∴BH=CK．（2）四邊形CHGK的面積不變，面積為4．理由：∵△BGH≌△CGK，∴S∴S【點睛】此題是幾何變換的綜合題，主要考查了全等三角形的判定，解答本題的關鍵是掌握旋轉的性質(zhì)：對應點到旋轉中心的距離相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變．【變式4-2】（2023秋·山西晉城·九年級統(tǒng)考期末）綜合與探究在△ABC中，AB=AC，∠CAB的角度記為α．(1)操作與證明；如圖①，點D為邊BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉角度α至AE位置，連接DE，CE．求證：BD=CE；(2)探究與發(fā)現(xiàn)：如圖②，若α=90°，點D變?yōu)锽C延長線上一動點，連接AD將線段AD繞點A逆時針旋轉角度α至AE位置，連接DE，CE．可以發(fā)現(xiàn)：線段BD和CE的數(shù)量關系是___________；(3)判斷與思考；判斷（2）中線段BD和CE的位置關系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)BD=CE(3)BD⊥CE，理解見解析【分析】（1）由旋轉的性質(zhì)得AD=AE，∠DAE=∠CAB，從而證明△BAD≌△CAE，即可得到結論；（2）同第（1）小題的方法，證明△BAD≌△CAE，即可得到結論；（3）由（2）可得△BAD≌△CAE，從而得∠B=∠ACE=45°，進而即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵線段AD繞點A逆時針旋轉角度α至AE位置，∠CAB=α，∴AD=AE，∠DAE=∠CAB=α，∴∠CAB-∠CAD=∠DAE-∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE．（2）解：∵α=90°，由旋轉可知：AD=AE，∠DAE=∠CAB=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE．故答案為：BD=CE．（3）BD⊥CE，理由如下：∵∠CAB=α=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，由（2）可得：△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE．【點睛】本題考查旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．掌握三角形全等的證明是解題的關鍵．【變式4-3】（2022秋·上海靜安·九年級上海市民辦揚波中學校考期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，將△ABC繞點B

(1)當C轉到AB邊上點C'位置時，A轉到A'，（如圖1所示）直線CC'和AA'相交于點D，試判斷線段AD和線段A'D之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)將Rt△ABC繼續(xù)旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)AD=A'D，理由見詳解(2)仍然成立，理由見詳解【分析】（1）易證△BCC'和△BAA'都是等邊三角形，從而可以求出∠AC'D=∠BAD=60°，∠DC'A'=∠DA'C'=30°，進而可以證到AD=DC'=A'D；（2）過點A作AE∥A'C'，交CD的延長線于點E，由“ASA”可證△ADE≌△A'DC'，可得AD=A【詳解】（1）AD=A'D．理由如下：如圖1，∵Rt△A'BC'≌∴BC=BC'，BA=BA'，∵∠A'BC'=∠ABC=60°，∴△BCC'和△BAA'都是等邊三角形，∴∠BAA'=∠BC'C=60°，∵∠A'C'B=90°，∴∠DC'A'=30°，∵∠AC'D=∠BC'C=60°，∴∠ADC'=60°，∴∠DA'C'=30°，∴∠DAC'=∠DC'A，∠DC'A'=∠DA'C'，∴AD=DC'，DC'=DA'，∴AD=A'D；（2）仍然成立：AD=A'D，如圖2：過點A作AE∥A'C'，交CD的延長線于點E，則∠1=∠2，∠E=∠3，

由旋轉可得，AC=A'C'，BC=BC'，∴∠4=∠5，∵∠ACB=∠A'C'B=90°，∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，∴∠3=∠6，∴∠E=∠6，∴AE=AC=A'C'，在△ADE與△A'DC'中，∠1=∠2AE=∴△ADE≌△A'DC'(ASA∴AD=A'D；【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．【題型5利用旋轉的性質(zhì)求解】【例5】（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，正方形ABCD中，E為DC邊上一點，且DE=2．將AE繞點E逆時針旋轉90°得到EF，連接AF，F(xiàn)C．則線段FC的長度是（

）

A．2 B．22 C．2 D．【答案】B【分析】延長DC，過點F作FH⊥DC于點H，證明△ADE≌△EHF，得出FH=DE=2，AD=EH，證明CH=DE，根據(jù)勾股定理求出CF=C【詳解】解：延長DC，過點F作FH⊥DC于點H，如圖所示：

則∠H=90°，根據(jù)旋轉可知，AE=EF，∠AEF=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D=90°，AD=CD，∴∠AED+∠FEH=∠FEH+∠EFH=90°，∴∠AED=∠EFH，∵∠D=∠H=90°，∴△ADE≌△EHF，∴FH=DE=2，AD=EH，∵AD=CD，∴EH=CD，∴DC-EC=EH-EC，∴CH=DE，∴在Rt△CFH中，根據(jù)勾股定理得：CF=故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形，證明△ADE≌△EHF．【變式5-1】（2022秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，將△ABC繞點A順時針旋轉度得到△ADE，當點B的對應點D恰好落在BC邊上時，則CD的長為（

A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2【答案】B【分析】根據(jù)旋轉變換的性質(zhì)得到AD=AB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：由旋轉的性質(zhì)可知，AD=AB，∵∠B=60°，∴△ADB為等邊三角形，∴BD=AB=2，∴CD=CB-BD=1.6，故選：B．【點睛】本題考查的是旋轉變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握旋轉前、后的圖形全等是解題的關鍵．【變式5-2】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AD=BD=4，BD⊥AD，點E為對角線AC上一動點，連接DE，將DE繞點D逆時針旋轉90°得到DF，連接BF．

(1)求證BF=AE；(2)若BF所在的直線交AC于點M，求OM的長度；(3)如圖2，當點F落在△OBC的外部，構成四邊形DEMF時，求四邊形DEMF的面積．【答案】(1)見解析(2)2(3)16【分析】（1）由“SAS”可證△ADE≌△BDF，可得BF=AE；（2）過D作DN⊥AO于N，由“AAS”可證△DON≌△BOM，可得OM=ON，由勾股定理可求AO的長，由面積法可求DN的長，由勾股定理可求解；（3）將△DEN繞點D逆時針旋轉90°得到△DFG，通過證明四邊形DNMG為正方形，即可求解．【詳解】（1）解：證明：∵DE繞點D逆時針旋轉90°得到DF，∴DE=DF，∠EDF=90°，∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠ADE=∠BDF，∵AD=BD，∴△ADE≌△BDF(SAS∴BF=AE；（2）如圖，過D作DN⊥AO于N，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO=2，∵△ADE≌△BDF，∴∠DAE=∠DBF，∵∠ADB=90°，∠AOD=∠BOC，∴∠DAE+∠AOD=∠DBF+∠BOC=90°，∴∠BMO=90°，∵∠DNO=∠BMO=90°，∠DON=∠BOM，BO=DO，∴△DON≌△BOM(AAS∴OM=ON，∵AD=4，DO=2，∠ADB=90°，∴AO=A∵S∴DN=2×4∴NO=D∴OM=ON=2（3）如圖，過D作DN⊥AO于N，將△DEN繞點D逆時針旋轉90°得到△DFG，

∴DG=DN，∠DNE=∠DGF=90°，∠DEN=∠DFG，∵∠EDF=∠FME=90°，∴∠DEM+∠DFM=180°，∴∠DFG+∠DFM=180°，∴點G，點F，點M三點共線，∵∠DGF=∠DNM=∠FMN=90°，∴四邊形DNMG是矩形，又∵DN=DG，∴四邊形DNMG為正方形，∴S【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．【變式5-3】（2022秋·北京大興·九年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，點B的對應點為E，點A的對應點D落在線段AB上，連接BE．下列結論：①DC平分∠ADE；②∠BDE=∠BCE；③BD⊥BE；④BC=DE．其中所有正確結論的序號是【答案】①②③【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉不變性得出∠A=∠CDA，∠A=∠CDE，得出∠CDA=∠CDE，即可判斷①，設BC,DE交于點F，根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠BFE=∠FCE+∠FEC=∠FDB+∠FBD，根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出∠ABC=∠DEC，進而即可判斷②，根據(jù)旋轉的的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，證明∠DBE+∠DCE=180°，即可判斷③，根據(jù)旋轉的性質(zhì)，DE=AB，而AB≠BC，即可判斷④，即可求解．【詳解】解：∵△DCE是由△ACB旋轉得到，∴CA=CD，∴∠A=∠CDA，∴∠CDA=∠CDE，∴CD平分∠ADE；故①正確，如圖，設BC,DE交于點F，∴∠BFE=∠FCE+∠FEC=∠FDB+∠FBD∵旋轉，∴∠ABC=∠DEC，∴∠BDE=∠BCE，故②正確；由旋轉的性質(zhì)可知，∠ACD=∠BCE，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB，∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB=180°，∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE=180°，∴∠DCE+∠DBE=180°，∵∠DCE=90°，∴∠DBE=90°，∴BE⊥AB；由旋轉的性質(zhì)，DE=AB，而AB≠BC，∴BC≠DE，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合運用以上知識是解題的關鍵．【題型6判斷旋轉對稱圖形】【例6】（2020秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期中）閱讀理解并解決問題：一般地，如果把一個圖形繞著一個定點旋轉一定角度α（α小于360°）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，α叫做這個旋轉對稱圖形的一個旋轉角．請依據(jù)上述定義解答下列問題：（1）請寫出一個旋轉對稱圖形，這個圖形有一個旋轉角是90°，這個圖形可以是______；（2）為了美化環(huán)境，某中學需要在一塊正六邊形空地上分別種植六種不同的花草，現(xiàn)將這塊空地按下列要求分成六塊：①分割后的整個圖形必須既是軸對稱圖形又是旋轉對稱圖形；②六塊圖形的面積相同；請你按上述兩個要求，分別在圖中的兩個正六邊形中畫出兩種不同的分割方法（只要求畫圖正確，不寫作法）．【答案】（1）正方形(答案不唯一，例如正八邊形、圓等)；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉對稱圖形的定義解答即可；（2）先作出正六邊形的旋轉中心，再根據(jù)圖形既是軸對稱圖形又是旋轉對稱圖形進行作圖即可．【詳解】解：(1)正方形(答案不唯一，例如正八邊形、圓等)；故答案為：正方形(答案不唯一，例如正八邊形、圓等)；(2)如圖所示：【點睛】本題考查了軸對稱圖形和旋轉對稱圖形的定義及作圖，正確理解題意、熟練掌握基本知識是解題的關鍵．【變式6-1】（2018春·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）某校在暑假放假之前舉辦了交通安全教育圖片展活動．下列四個交通標志圖中，旋轉對稱形是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)旋轉對稱形和各圖形的特點即可求解A、B、C無論旋轉多少度都不能與原圖形重合，只有D旋轉60°能夠和原來的圖形重合，故選D.點睛：本題考查了旋轉對稱形：繞一個頂點旋轉某一個度數(shù)后，仍然與原來的圖形重合，解題的關鍵是充分理解旋轉對稱形的性質(zhì).【變式6-2】（2018秋·上海松江·九年級統(tǒng)考期末）在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形這四種圖形中，是旋轉對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)旋轉對稱圖形的定義：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角，解答即可．【詳解】解：在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形，只有等邊三角形、正方形、正五邊形是旋轉對稱圖形，共3個．故選C【點睛】本題考查旋轉對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角．【變式6-3】（2018·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期中）實踐與操作：一般地，如果把一個圖形繞著一個定點旋轉一定角度α（α小于360°）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，α叫做這個旋轉對稱圖形的一個旋轉角，請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）請寫出一個有一個旋轉角是90°旋轉對稱圖形，這個圖形可以是；（2）尺規(guī)作圖：在圖中的等邊三角形內(nèi)部作出一個圖形，使作出的圖形和這個等邊三角形構成的整體既是一個旋轉對稱圖形又是一個軸對稱圖形（作出的圖形用實線，作圖過程用虛線，保留痕跡，不寫做法）．【答案】正方形（或正八邊形或圓等）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)一個圖形繞著一個定點旋轉90°后，能夠與原來的圖形重合，進行判斷即可；（2）先作出正三角形的旋轉中心，再根據(jù)圖形既是一個旋轉對稱圖形，又是一個軸對稱圖形進行作圖即可．試題解析：（1）有一個旋轉角是90°旋轉對稱圖形，這個圖形可以是正方形或正八邊形或圓等（答案不唯一），（2）如圖所示，（答案不唯一）點睛：如果某一個圖形圍繞某一點旋轉一定的角度（小于360°）后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做旋轉對稱圖形．常見的旋轉對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等．【知識點3利用旋轉性質(zhì)作圖】旋轉有兩條重要性質(zhì)：任意一對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；對應點到旋轉中心的距離相等，它就是利用旋轉的性質(zhì)作圖的關鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心；②轉：即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）③截：即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，的到各點的對應點；④接：即連接到所連接的各點?！绢}型7作圖-旋轉變換】【例7】（2023秋·甘肅隴南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．(1)請畫出△ABC繞原點旋轉180°的△A(2)在x軸上求作一點P，使△PAB的周長最小，并直接寫出點P的坐標．【答案】(1)見解析，坐標為：A2(-1,-1)，B2(2)(2,0)【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B、C關于原點的對稱點A2、B2、（2）找出點A關于x軸的對稱點A'，連接A'B與x軸相交于一點，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，然后利用待定系數(shù)法求A'B的解析式，求出A【詳解】（1）∵△ABC繞原點旋轉180°得到△A2B2C2，即點A、B、C關于原點的對稱點為又A1,1，B4,2，∴A2-1,-1，B2如圖：順次鏈接A2、B2、C2（2）如圖，作點A1,1關于x軸的對應點A'1,-1，連接A'B，點P即為A'B設A'B的解析式為y=kx+b，過點A'-1=k+b2=4k+b解得k=1b=-2A'B的解析式為當y=0時，x-2=0，解得x=2．此時點P坐標為2,0．【點睛】本題考查了利用旋轉變換作圖，利用平移變換作圖，軸對稱確定最短路線問題，待定系數(shù)法求直線解析式，熟練掌握網(wǎng)格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．【變式7-1】（2023春·山東棗莊·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示，（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）．(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個單位，畫出平移后得到的△(2)將△ABC繞著點A順時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的△AB(3)△AB2C2可看作由△A1B1C1繞P點旋轉而成，點A1，B1，【答案】(1)見解析(2)見解析(3)-2【分析】（1）先找到A、B、C對應點A1、B（2）先找到B、C對應點B2、C（3）根據(jù)點P一定在AA1的垂直平分線上，也在B1B2的垂直平分線上，可得到點P【詳解】（1）解：如圖所示，△A（2）解：如圖所示，△AB（3）解：由（1）（2）可知A1∵旋轉中心一定在AA1的垂直平分線上，也在∴點P即為AA1的線段垂直平分線和∴點P在直線x=-5+1設P-2∴PB∵PB∴4-m2∴m2解得m=-2，∴P-2故答案為：-2，【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化——平移和旋轉，畫旋轉圖形和平移圖形，找旋轉中心，勾股定理等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．【變式7-2】（2023春·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長都是1，小正方形的頂點稱作格點，△ABC的三個頂點都在格點上，把△ABC先向右平移6個單位，再向下平移4個單位得△A1B1C1，再將△A

(1)在平面直角坐標系中畫出△A1B(2)圖中的△A2B2C1能不能通過順時針旋轉△ABC得到？如果可以，請寫出旋轉中心【答案】(1)見解析(2)能，D1,-2，【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A1、B（2）利用旋轉方式分別作出A1、B1、（3）旋轉對應圖形對應點連線的中垂線的的交點即為旋轉中心，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：△A1B

（2）解：如圖所示，△ABC可以繞點D1,-2順時針旋轉90度得到△∴旋轉中心的坐標為D1,-2，旋轉角度α=90°【點睛】本題考查作圖—旋轉變換，平移變換等知識，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可知，對應角都相等，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形，對應點連線都交于一點，交點即為旋轉中心；確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離；作圖時要先找到圖形的關鍵點，分別把這幾個關鍵點按照平移的方向和距離確定對應點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形．解題的關鍵是掌握旋轉變換的性質(zhì)，平移變換的性質(zhì)．【變式7-3】（2022春·四川達州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知在平面直角坐標系內(nèi)有A-1,2，B-3,1，(1)畫出△ABC向右平移三個單位的△A1B1C(2)將△ABC繞C點逆時針方向旋轉90°后得到△A2B2C(3)求（1）中△ABC所掃過的面積．【答案】(1)圖見解析，B(2)圖見解析，B(3)12.5【分析】（1）直接將三角形向右平移三格，再根據(jù)圖中可直接得到答案；（2）將三角形繞C點逆時針轉90°，再根據(jù)圖中可直接得到答案；（3）由題意可得掃過的面積可表示為平行四邊形AA【詳解】（1）△A1B故答案為：0，（2）△A2B2C2即為故答案為：-2（3）由題意可得掃過的面積可表示為平行四邊形AA而三角形面積可用包圍住本身的一個正方形減去三個小三角形的面積，則面積為：3×3+3×3-∴△ABC掃過的面積：12.5．【點睛】本題考查的是作圖旋轉變換，熟知圖形旋轉的性質(zhì)是解答此題的關鍵．【題型8求饒某點旋轉后坐標】【例8】（2022秋·黑龍江牡丹江·九年級統(tǒng)考期末）菱形OABC如圖放置，點C坐標是(3，4)，先將菱形向左平移6個單位長度，向上平移1個單位長度，然后沿x軸翻折，最后繞坐標原點O旋轉90°得到菱形OABC的對角線交點的對應點為點P，則點P的坐標是．【答案】（-3，2）或（3，-2）【分析】先由菱形的性質(zhì)求出A點坐標，再由中點坐標公式求出對角線交點M坐標以及平移以后對應的點的坐標，最后根據(jù)繞坐標原點O旋轉90°求出P點坐標即可．【詳解】延長BC交y軸于N，連接OB、AC交于點M，∵點C坐標是(3，4)，∴ON=4,CN=3，∴OC=5，∵菱形OABC，∴OC=OA=5，M為AC中點，∴A點坐標（5,0），∴M點坐標(4,2)，∴將菱形向左平移6個單位長度，向上平移1個單位長度后M點對應坐標為(-2,3)，∴再把點(-2,3)沿x軸翻折后對應點坐標為(-2,-3)，∵在坐標平面內(nèi)繞點O旋轉90°，∴對應點橫縱坐標絕對值互換作為對應點的橫縱坐標絕對值，再根據(jù)所在象限確定對應點坐標∴若是順時針旋轉，則對應點在第二象限，坐標為（-3，2），若是逆時針旋轉，則對應點在第四象限，坐標為（3，-2），綜上所述，點P的坐標為（-3，2）或（3，-2），故答案為：（-3，2）或（3，-2）．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，坐標與圖形的變化，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及平移、旋轉變換的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式8-1】（2018·河北保定·九年級校聯(lián)考期末）正方形ABCD在坐標系中的位置如圖所示，將正方形ABCD繞D點順時針方向旋轉90°后，C點的坐標為（）A．（﹣1，2） B．（2，0） C．（2，1） D．（2，﹣1）【答案】D【分析】利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質(zhì)畫出正方形ABCD繞D點順時針方向旋轉90°后所得的正方形CEFD，則可得到C點的對應點的坐標.【詳解】如圖，正方形ABCD繞D點順時針方向旋轉90°后得到正方形CEFD，則C點旋轉后的對應點為F（2，﹣1），故選D．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉后的點的坐標．常見的是旋轉特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．【變式8-2】（2023春·遼寧錦州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將等邊△OAB放在平面直角坐標系中，A點坐標1，0，將△OAB繞點A順時針旋轉60°，則旋轉后點B的對應點B'的坐標為

【答案】3【分析】如圖所示，過點B作BH⊥OA于H，先由等邊三角形的性質(zhì)得到OA=OB=AB=1，∠OAB=∠AOB=60°，再由旋轉的性質(zhì)得到∠ABB'=∠AOB=60°，BB'【詳解】解：如圖所示，過點B作BH⊥OA于H．

∵A1，0∴OA=OB=AB=1，∠OAB=∠AOB=60°，由旋轉的性質(zhì)可得∠ABB∴∠ABB∴BB∵BH⊥OA，∴OH=AH=1∴BH=O∴B'1故答案為：32【點睛】本題主要考查了旋轉變換，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標與圖形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．【變式8-3】（2022秋·浙江金華·九年級?？计谥校┤鐖D所示，直線y=-43x+4與x軸，y軸分別交于A，B兩點，把△AOB繞點A旋轉90°后得到△AO'B'【答案】7,3【分析】先確定A3,0，B0,4得到OA=3,OB=4，根據(jù)旋轉性質(zhì)，得到O'【詳解】∵直線y=-43x+4與x軸，y軸分別交于A∴A3,0，B∴OA=3,OB=4，根據(jù)旋轉性質(zhì)，得到O'A=3,O∴O'作B'C⊥x軸，垂足為∴四邊形AO∴O'∴OC=OA+AC=4+3=7，∴點B'的坐標是7,3故答案為：7,3．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，旋轉的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，點的坐標，熟練掌握一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，旋轉的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．【題型9旋轉中的規(guī)律探究】【例9】（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形OABC的頂點O0,0，B2,2，若菱形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉45°，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為【答案】-1,-1【分析】轉動前根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得D的坐標，根據(jù)旋轉的性質(zhì)，可得轉動后D的坐標．【詳解】∵轉動前菱形OABC的頂點O0,0，B∴D的坐標1,1，每秒旋轉45°，則第60秒時得，45°×60=2700°，∵2700°÷360°=7.5周，∴OD與轉動前位置比，移動了半周，∴此時D的坐標為-1,-1．故答案為-1,-1．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，利用旋轉的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式9-1】（2020秋·黑龍江·九年級?？计谥校┤鐖D，將邊長為1的正三角形AOP沿x軸正方向作無滑動的連續(xù)反轉，點P依次落在點P1，P2，P3???P【答案】(2020,0)【分析】根據(jù)圖形的翻轉，分別得出P1、P2、【詳解】解：由題意可知P1、P2的橫坐標是1，P3的橫坐標是2.5，P4、P5的橫坐標是依此類推下去，P2017、P2018的橫坐標是2017，P2019的橫坐標是2018.5，P∴P2020的坐標是故答案為(2020,0)．【點睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)及坐標與圖形性質(zhì)，根據(jù)題意得出P1、P2、【變式9-2】（2021秋·廣東東莞·九年級東莞市光明中學校考期中）如圖，把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標系中，頂點A的坐標為（3，0），點P1,2在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉90°，第一次旋轉至圖①位置，第二次旋轉至圖②位置，…，則正方形鐵片連續(xù)旋轉2019次后，則點P的坐標為【答案】（6058，1）【分析】首先求出P1～P5的坐標，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題．【詳解】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…發(fā)現(xiàn)點P的位置4次一個循環(huán)，∵2019÷4=504…3，P2019的縱坐標與P3相同為1，橫坐標為12×504+10=6058，∴P2019（6058，1），故答案為（6058，1）．【點睛】本題考查坐標與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．【變式9-3】（2022秋·甘肅慶陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．現(xiàn)將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉，每次翻轉60°，連續(xù)翻轉2023次，點B的落點依次為B1,B【答案】2699【分析】連接AC，根據(jù)條件可以求出AC，畫出第5次、第6次、第7次翻轉后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每翻轉6次，圖形向右平移4，由于2023-1=337×6，因此點B1向右平移1348（即337×4），即可到達點B2023，根據(jù)點B1【詳解】解：連接AC，如圖所示：∵四邊形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB，∴AC=OA，∵OA=1，∴AC=1，畫出第5次、第6次、第7次翻轉后的圖形，如圖所示：由圖可知：每翻轉6次，圖形向右平移4，點B的縱坐標保持不變，∵2023-1=337×6，∴點B1向右平移1348(即337×4)到點B結合圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出B1的坐標為3∴B2023的坐標為1348+故答案為：26992【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，考查了操作、探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，發(fā)現(xiàn)“每翻轉6次，圖形向右平移4”是解決本題的關鍵．【題型10旋轉中的最值問題】【例10】（2023春·廣東深圳·九年級?？计谀﹩栴}情境：在學習《圖形的平移和旋轉》時，數(shù)學興趣小組遇到這樣一個問題：如圖1，點D為等邊△ABC的邊BC上一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到線段AE，連接CE．

(1)【猜想證明】試猜想BD與CE的數(shù)量關系，并加以證明；(2)【探究應用】如圖2，點D為等邊△ABC內(nèi)一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到線段AE，連接CE，若B、D、E三點共線，求證：EB平分∠AEC；(3)【拓展提升】如圖3，若△ABC是邊長為2的等邊三角形，點D是線段BC上的動點，將線段AD繞點D順時針旋轉60°得到線段DE，連接CE．點D在運動過程中，△DEC的周長最小值=__________（直接寫答案）【答案】(1)BD=CE，證明見解析(2)見解析(3)2+【分析】（1）由旋轉的性質(zhì)可得AD=AE，∠DAE=60°，由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得BD=CE；（2）由旋轉的性質(zhì)可得AD=AE，∠DAE=60°，由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得∠ADB=∠AEC=120°，從而求得∠AEB=∠BEC=60°，即可得出結論；（3）連接AE，由旋轉可得AD=DE，∠DDE=60°，則△ADE是等邊三角形，所以DE=AD，由（1）知BD=CE，所以△DCE的周長=CD+CE+DE=CD+BD+AD=BC+AD=2+AD，所以當AD最小時，△DCE的周長最小，最小值=2+AD，所以當AD⊥BC時，AD最小，此時△DCE的周長最小，由等邊三角形性質(zhì)求得BD=12BC=1【詳解】（1）解：BD=CE，證明：∵將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE；（2）證明：∵將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠ADE=∠AED=60°，∴∠ADB=120°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACESAS∴∠ADB=∠AEC=120°，∴∠BEC=60°，∴∠AEB=∠BEC，∴EB平分∠AEC．（3）解：連接AE，如圖，

由旋轉可得AD=DE，∠DDE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE=AD由（1）知BD=CE∴△DCE的周長=CD+CE+DE=CD+BD+AD=BC+AD=2+AD，∴當AD最小時，△DCE的周長最小，最小值=2+AD，∴當AD⊥BC時，AD最小，此時△DCE的周長最小，∵AD⊥BC，等邊△ABC，∴BD=1由勾股定理，得AD=∴△DCE的周長最小值=2+AD=2+3【點睛】本題是