山東省微山縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬 數(shù)學(xué)試題（含解析）

高二上學(xué)期期中模擬試題一、單選題（每小題5分）1.若在直線(xiàn)l上，則直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再根據(jù)方向向量的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由共線(xiàn)向量可知與共線(xiàn)的非零向量都可以作為直線(xiàn)l的方向向量，又，所以是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量.故選：B.2.某同學(xué)口袋中共有個(gè)大小相同?質(zhì)地均勻的小球其中個(gè)編號(hào)為，個(gè)編號(hào)為，現(xiàn)從中取出個(gè)小球，編號(hào)之和恰為的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依題意得出滿(mǎn)足條件的情況，再根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可.【詳解】編號(hào)之和恰為,則需要3個(gè)球中個(gè)編號(hào)為,個(gè)編號(hào)為，設(shè)個(gè)編號(hào)為的小球?yàn)锳BC，個(gè)編號(hào)為的小球?yàn)閍b，則從5個(gè)球中取出3個(gè)，共有：，共10種，其中滿(mǎn)足題意得情況有：共6種，則編號(hào)之和恰為的概率為.故選:D.3.已知直線(xiàn)與直線(xiàn)，若，則（）A.2或 B.或5 C.5 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行直線(xiàn)的判斷方法求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D4.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由題意求出切線(xiàn)長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題可知圓的圓心為，半徑為，設(shè)，則，有，得，當(dāng)時(shí)，.故選：C.5.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A表示“第一枚正面朝上”，事件B表示“兩枚硬幣朝上的面相同”，則A與B（）A.是互斥事件也是相互獨(dú)立事件 B.不互斥但相互獨(dú)立C.是對(duì)立事件 D.既不互斥也不相互獨(dú)立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件，對(duì)立事件，獨(dú)立事件的概念判斷.【詳解】分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，樣本空間＝{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件A＝{(正,正),(正,反)}，事件B＝{(正,正),(反,反)}，顯然A與B不互斥，也不是對(duì)立事件，故A，C錯(cuò)誤；∵，∴，∴A與B相互獨(dú)立，故B正確，D錯(cuò)誤.故選：B6.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】分截距不為0和截距為0兩種情況，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)方程為，將代入，可得，解得，故直線(xiàn)方程為，即；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)方程為，將代入，，解得，故直線(xiàn)方程為，即，故直線(xiàn)方程為或.故選：B7.過(guò)點(diǎn)作圓C：的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線(xiàn)長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，兩方程作差后計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)，則有，作差變形可得：；即直線(xiàn)的方程為.故選：B.8.若過(guò)定點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】二、多選題（每題5分）9.若直線(xiàn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后與圓相切，則的值為（）A.14 B.12 C. D.【答案】AD【解析】【分析】首先求得直線(xiàn)平移之后的方程，再利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，得到關(guān)于的方程，從而得解.【詳解】將直線(xiàn)，即向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線(xiàn)方程為，即.由直線(xiàn)與圓相切，而圓心為，半徑為，得，即，所以或.故選：AD.10.下列說(shuō)法正確的是（

）A.設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則B.若，則事件與事件相互獨(dú)立C.一個(gè)人連續(xù)射擊2次，事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件D.從中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是【答案】BD【解析】【分析】由互斥事件可判斷A；由相互獨(dú)立事件可判斷B；由對(duì)立事件可判斷C；由古典概率可判斷D.【詳解】對(duì)于A(yíng)，是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，當(dāng)互斥時(shí)，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，，所以事件與事件相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C，事件“至多一次擊中”包括：兩次均未擊中和兩次擊中一次，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，從中任取2個(gè)不同的數(shù)，可能的情況有：，取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的情況有：，所以其概率為：，故D正確.故選：BD.11.垂直于直線(xiàn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線(xiàn)在軸上的截距是（）A.4 B. C.3 D.【答案】CD【解析】【分析】先設(shè)出垂直直線(xiàn)，再根據(jù)和坐標(biāo)軸圍成的面積求出參數(shù)，最后求出截距.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)垂直于直線(xiàn)，可令直線(xiàn)，所以直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，所以與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以，所以在軸上的截距為，故選：CD12.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)，Q是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)D，C），則下列說(shuō)法正確的是()A.存在點(diǎn)Q，使得B.存在點(diǎn)Q，使得異面直線(xiàn)與所成的角為C.三棱錐體積的最大值是D.當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的平面角先變小后變大【答案】AD【解析】【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和異面直線(xiàn)所成角的向量求法可確定m是否有解，從而知正誤；利用，設(shè)，可求得的最大值，由此可求得體積的最大值，知C錯(cuò)誤；利用向量法求二面角余弦關(guān)于參數(shù)m的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷二面角的變化情況，判斷D．【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)閤，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，對(duì)于A(yíng)，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，又，∴，解得，即點(diǎn)Q與D重合時(shí)，，A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線(xiàn)與所成的角為，∵，，∴，方程無(wú)解，∴不存在點(diǎn)Q，使得異面直線(xiàn)與所成的角為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，設(shè)，∵，∴當(dāng)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，取得最大值2，又點(diǎn)N到平面AMQ的距離，∴，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由上分析知：，，若是平面的法向量，則，令，則，而平面的法向量，所以，令，則，而，由Q從D到C的過(guò)程，m由小變大，則t由大變小，即由小變大，所以先變大，后變小，由圖知：二面角恒為銳角，故二面角先變小后變大，D正確．故選：AD．三、填空題（每題5分）13.若直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量，且直線(xiàn)平面，則實(shí)數(shù)的值是______.【答案】-1【解析】【分析】利用法向量的定義和向量共線(xiàn)的定理即可.【詳解】直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量，直線(xiàn)平面，必有，即向量與向量共線(xiàn)，，∴，解得；故答案為：-1.14.已知一動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A(-4，0)的距離是它到點(diǎn)B(2，0)的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是_____________________________.【答案】x2+y2-8x=0【解析】【分析】由題意可得|MA|=2|MB|，設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，代入兩點(diǎn)間距離公式，化簡(jiǎn)整理，即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則|MA|=2|MB|，即=2，整理得x2+y2-8x=0.故所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-8x=0.故答案為：x2+y2-8x=0.【點(diǎn)睛】本題考查求圓的軌跡問(wèn)題，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬基礎(chǔ)題.15.若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題可知曲線(xiàn)，表示圓心為，半徑，在直線(xiàn)及右側(cè)的半圓，作出直線(xiàn)與半圓，利用數(shù)形結(jié)合即得．【詳解】方程是恒過(guò)定點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)，曲線(xiàn)，即，表示圓心為，半徑，在直線(xiàn)及右側(cè)的半圓，半圓弧端點(diǎn)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線(xiàn)與半圓)，如圖，當(dāng)直線(xiàn)與半圓C相切時(shí)，得，且，解得，又，所以或，所以或．故答案為：．16.在棱長(zhǎng)是的正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)和間的距離是______【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)與異面直線(xiàn)和都垂直向量為，則，令，則，又，故異面直線(xiàn)和間的距離是，故答案為：四、解答題（每題5分）17.已知的頂點(diǎn)分別為，，．（1）求邊上的中線(xiàn)及其垂直平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出邊上的中點(diǎn)與垂直于的直線(xiàn)的斜率，再利用直線(xiàn)的兩點(diǎn)式與點(diǎn)斜式即可得解；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得，再利用兩點(diǎn)式與點(diǎn)線(xiàn)距離公式求得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，從而利用三角形面積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】因，，，所以邊上的中點(diǎn)為，，所以邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，整理得，而邊上的垂直平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為，故其直線(xiàn)方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由題意可得，而直線(xiàn)的方程為，即，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以的面積為.18.已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，圓E恒被直線(xiàn)平分；（1）求圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓E相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件確定圓心、半徑，寫(xiě)出圓的方程即可；（2）由題意知，易知點(diǎn)M落在以EP為直徑且在圓E內(nèi)部的一段圓弧，再寫(xiě)出軌跡方程，注意范圍.【小問(wèn)1詳解】由直線(xiàn)方程知：，故直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，因?yàn)閳AE恒被直線(xiàn)平分，所以圓E圓心為，因?yàn)樵趫A上，故圓的半徑，綜上，圓E的方程為：；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，E為圓心，根據(jù)垂徑定理得：，所以點(diǎn)M落在以EP為直徑的圓上，且點(diǎn)M在圓E的內(nèi)部，即點(diǎn)M的軌跡為以EP為直徑的圓落在圓E內(nèi)的一段弧．因?yàn)?、，以EP為直徑的圓的方程為，由，所以M的軌跡方程為：，.19.盒子中有個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為，從中有放回地任意抽取兩球．（1）用集合的形式寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；（2）求抽到的兩個(gè)球的編號(hào)和大于的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列舉出所有基本事件即可得到樣本空間；（2）確定所有滿(mǎn)足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】從編號(hào)為的四個(gè)球中，有放回的任意抽取兩球，將抽取的結(jié)果記為，則樣本空間.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：基本事件總數(shù)為個(gè)，其中抽到的兩個(gè)球的編號(hào)大于的基本事件有：，共個(gè)，抽到的兩個(gè)球的編號(hào)大于的概率.20.已知圓經(jīng)過(guò)，且圓心在直線(xiàn)上.（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)反射后恰好平分圓的圓周，求反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求的垂直平分線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程可得圓心坐標(biāo)，然后可得半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，結(jié)合反射光線(xiàn)原理可得其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題知中點(diǎn)為，，所以的垂直平分線(xiàn)方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心為，所以圓的半徑為，故圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則直線(xiàn)與垂直，且的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，則，解得，由題意知反射光線(xiàn)過(guò)圓心，故，即.21.已知圓與圓（1）求經(jīng)過(guò)圓與圓交點(diǎn)的直線(xiàn)方程：（2）求圓與圓的公共弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）判斷兩圓相交，將兩圓的方程相減，即可得答案；（2）確定圓的圓心和半徑，求得圓心到兩圓公共弦所在直線(xiàn)的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)的幾何求法即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】圓的圓心為，半徑為，圓即，圓心為，半徑為，則，故圓與圓相交；將圓與圓的方程相減，得，即經(jīng)過(guò)圓與圓交點(diǎn)的直線(xiàn)方程為；【小問(wèn)2詳解】圓的圓心為，半徑為1，到直線(xiàn)的距離為，故圓與圓的公共弦長(zhǎng)為.22.如圖，四棱錐中，底面是正方形，底面，且分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）方法一：取的中點(diǎn)，利用中位線(xiàn)性質(zhì)證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得，由線(xiàn)面平行判定定理即可證明；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，由即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，易得平面的一個(gè)法向量為，平面的法向量為，由法向量夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】方法一：取的中點(diǎn)，連接，如圖（1）