備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)解讀專題01角平分線四大模型在三角形中的應(yīng)用

專題01角平分線四大模型在三角形中的應(yīng)用（知識(shí)解讀）【專題說明】角平分線在幾何中占有重要地位，是解決許多問題的橋梁和紐帶，角平分線把一個(gè)角分成相等的兩個(gè)部分，其“軸承對(duì)稱功能”衍生出“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”以及“等腰三角形三線合一”、“三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等”等性質(zhì)，而角平分線與平行線相結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形，也常在解題中給我們帶來幫助，本專題介紹四種?？冀忸}方法?！痉椒记伞磕Ｐ?角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B。結(jié)論：PB=PA?！灸Ｐ头治觥坷媒瞧椒志€的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口。模型2截取構(gòu)造對(duì)稱全等如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，在ON上截取OB=OA，連接PB。結(jié)論：△OPB≌△OPA。【模型分析】利用角平分線圖形的對(duì)稱性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形，可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是∠MO的平分線上一點(diǎn)，AP⊥OP于P點(diǎn)，延長(zhǎng)AP于點(diǎn)B。結(jié)論：△AOB是等腰三角形?！灸Ｐ头治觥繕?gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。模型4角平分線+平行線如圖，P是∠MO的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥ON，交OM于點(diǎn)Q。結(jié)論：△POQ是等腰三角形?！灸Ｐ头治觥坑薪瞧椒志€時(shí)，常過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系?！镜淅治觥俊灸Ｐ?角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線】【典例1】（2019秋?江北區(qū)期末）如圖，D是∠EAF平分線上的一點(diǎn)，若∠ACD+∠ABD＝180°，請(qǐng)說明CD＝DB的理由．【變式1-1】（2020秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C＝180°．【變式1-2】已知，如圖，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，求證：CM平分∠BCD．（提示：需過點(diǎn)M作CD的垂線段）【典例2】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度數(shù)．【變式2】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【模型2截取構(gòu)造對(duì)稱全等】【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由．【變式3-1】已知：如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的長(zhǎng)．【變式3-2】已知，如圖AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求證：BC＝AB+CD．【變式3-3】如圖，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分線．延長(zhǎng)BD至E，使DE＝AD，連接EC（1）直接寫出∠CDE的度數(shù)：∠CDE＝；（2）猜想線段BC與AB+CE的數(shù)量關(guān)系為，并給出證明．【模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形】【典例4】如圖所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，求證：BD＝2CE．【變式4-2】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足為E．（1）求∠EAC的度數(shù)；（2）用等式表示線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式4-3】如圖．在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D，求證：∠2＝∠1+∠C．【模型4角平分線+平行線】【典例5】如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．（2）如圖2，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？并說明理由．（3）如圖3，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．【變式5-1】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N．若BM+CN＝7，則MN的長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式5-2】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，（1）請(qǐng)判斷△BME與△ECN的形狀，并說明理由？（2）若BM+CN＝9，求線段MN的長(zhǎng)．【變式5-3】如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．【變式5-4】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點(diǎn)E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．專題01角平分線四大模型在三角形中的應(yīng)用（知識(shí)解讀）【專題說明】角平分線在幾何中占有重要地位，是解決許多問題的橋梁和紐帶，角平分線把一個(gè)角分成相等的兩個(gè)部分，其“軸承對(duì)稱功能”衍生出“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”以及“等腰三角形三線合一”、“三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等”等性質(zhì)，而角平分線與平行線相結(jié)合構(gòu)造出等腰三角形，也常在解題中給我們帶來幫助，本專題介紹四種?？冀忸}方法?！痉椒记伞磕Ｐ?角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B。結(jié)論：PB=PA。【模型分析】利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口。模型2截取構(gòu)造對(duì)稱全等如圖，P是∠MON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，在ON上截取OB=OA，連接PB。結(jié)論：△OPB≌△OPA?！灸Ｐ头治觥坷媒瞧椒志€圖形的對(duì)稱性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱全等三角形，可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。利用對(duì)稱性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是∠MO的平分線上一點(diǎn)，AP⊥OP于P點(diǎn)，延長(zhǎng)AP于點(diǎn)B。結(jié)論：△AOB是等腰三角形。【模型分析】構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起來。模型4角平分線+平行線如圖，P是∠MO的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥ON，交OM于點(diǎn)Q。結(jié)論：△POQ是等腰三角形?！灸Ｐ头治觥坑薪瞧椒志€時(shí)，常過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系?！镜淅治觥俊灸Ｐ?角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線】【典例1】（2019秋?江北區(qū)期末）如圖，D是∠EAF平分線上的一點(diǎn)，若∠ACD+∠ABD＝180°，請(qǐng)說明CD＝DB的理由．【解答】解：過點(diǎn)D分別作AE，AF的垂線，交AE于M，交AF于N則∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分線，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．【變式1-1】（2020秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C＝180°．【解答】證明：過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過點(diǎn)D作DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于F，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD＝∠C，∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°．【變式1-2】已知，如圖，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，求證：CM平分∠BCD．（提示：需過點(diǎn)M作CD的垂線段）【解答】證明：作MN⊥CD于N，如圖所示：∵DM平分∠ADC，∠A＝90°，MN⊥CD，∴MA＝MN，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MA＝MB，∴MB＝MN，∵∠B＝90°，MN⊥CD，∴CM是∠BCD的平分線，即CM平分∠BCD．【典例2】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度數(shù)．【解答】解：在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABC+40°，∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，即∠CAB＝80°．作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，∴∠CAP＝∠CAE＝50°．【變式2】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故選：C．【模型2截取構(gòu)造對(duì)稱全等】【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由．【解答】解：PB+PC＞AB+AC（2分）如圖，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使AE＝AC，連接EP．（4分）由AD是∠BAC的外角平分線，可知∠CAP＝∠EAP，又AP是公共邊，AE＝AC，故△ACP≌△AEP（6分）從而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE（7分）而BE＝AB+AE＝AB+AC，（8分）故PB+PE＞AB+AC，所以PB+PC＞AB+AC（10分）【變式3-1】已知：如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，在BC上截取CE＝CA，連接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，在△ACD和△ECD中，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠CED，∵∠A＝2∠B，∴∠CED＝2∠B，∵∠CED＝∠B+∠BDE，∴∠BDE＝∠B，∴BE＝ED，∵AC＝6，AD＝2，∴AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8．【變式3-2】已知，如圖AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求證：BC＝AB+CD．【解答】證明：在線段BC上截取BE＝BA，連接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD．（SAS）∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE+EC＝AB+CD．【變式3-3】如圖，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分線．延長(zhǎng)BD至E，使DE＝AD，連接EC（1）直接寫出∠CDE的度數(shù)：∠CDE＝；（2）猜想線段BC與AB+CE的數(shù)量關(guān)系為，并給出證明．【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝20°∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE，故答案為：60°（2）BC＝AB+CE理由如下：如圖，在BC上截取BF＝AB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝BF，∴△ABD≌△FBD（SAS）∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD∴△CDF≌△CDE（SAS）∴CE＝CF，∴BC＝BF+CF＝AB+CE故答案為：BC＝AB+CE【模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形】【典例4】如圖所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，求證：BD＝2CE．【解答】證明：如圖所示，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，又∵AB＝AC，在Rt△ABD和Rt△ACF中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACF（ASA），∴BD＝CF，在Rt△FBE和Rt△CBE中，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝∠CBE，在Rt△FBE和Rt△CBE中，，∴Rt△FBE≌Rt△CBE（ASA），∴EF＝EC，∴CF＝2CE，∴BD＝2CE．【變式4-2】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足為E．（1）求∠EAC的度數(shù)；（2）用等式表示線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，∵AE⊥BD，∴∠E＝∠C＝90°，∵∠ADB＝∠E+∠EAC＝∠C+∠CBD，∴∠EAC＝∠CBD＝22.5°；（2）BD＝2AE，理由如下：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠EDA＝∠CDB，∴∠FAC＝∠DBC，在△AFC與DBC中，，∴△AFC≌△DBC（ASA），∴AF＝BD，在△ABE與△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD＝AF＝2AE，【變式4-3】如圖．在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D，求證：∠2＝∠1+∠C．【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F，∵BE是角平分線，AD⊥BE，∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，又∵∠AFB＝∠1+∠C，∴∠2＝∠1+∠C．【模型4角平分線+平行線】【典例5】如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．（2）如圖2，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？并說明理由．（3）如圖3，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．【解答】解：（1）EF與BE、CF之間的關(guān)系為：EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．（2）第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在，即EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．∴第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在．（3）圖中還存在等腰三角形△BEO和△CFO，此時(shí)EF＝BE﹣CF，理由：∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．∴△BEO是等腰三角形，同理可證△CFO是等腰三角形，∵BE＝EO，OF＝FC∴BE＝EF+FO＝EF+CF，∴EF＝BE﹣CF．【變式5-1】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N．若BM+CN＝7，則MN的長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN，∵BM+CN＝7，∴MN＝7，