備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)解讀專題05定角定高

專題05定角定高（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】定角定高問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，也是升入名?？疾榈臒狳c(diǎn)。此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，常常會(huì)與三角形，四邊形進(jìn)行結(jié)合起來(lái)，隱蔽性強(qiáng)。常應(yīng)用于求一類(lèi)三角形底邊長(zhǎng)的最小值，繼而求三角形面積的最小值，問(wèn)題的關(guān)鍵就在作這個(gè)動(dòng)三角形的外接圓，根據(jù)“半徑+弦心距≥定高”求出半徑的最小值，那底邊存在最小值，面積存在最小值。由于底邊的長(zhǎng)在變化，此外接圓“隱形圓”的大小也會(huì)發(fā)生變化，但是在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中于找到“隱形圓”半徑最小值，找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問(wèn)題就迎刃而解.【方法技巧】1.定角定高模型呈現(xiàn)：有一類(lèi)問(wèn)題滿足這樣的條件特征：如下圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角。則AD有最小值。又因?yàn)?，像探照燈一樣所以也叫探照燈模型?！镜淅治觥俊镜淅?】輔助圓之定角定高求解探究（1）如圖①，已知線段AB，以AB為斜邊，在圖中畫(huà)出一個(gè)直角三角形；（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為AB邊上的高，若CD＝4，試判斷AB是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出AB最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1-1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為．【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC邊上的高AD＝6，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為．【變式1-3】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，則△AEF面積的最小值為．【變式1-4】（2019?新城區(qū)校級(jí)一模）問(wèn)題提出：如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點(diǎn)O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是．問(wèn)題探究：如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點(diǎn)且∠EAF＝45°，請(qǐng)問(wèn)線段BE、DF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點(diǎn)E、F分別是射線CB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問(wèn)△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 專題05定角定高（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】定角定高問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，也是升入名?？疾榈臒狳c(diǎn)。此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，常常會(huì)與三角形，四邊形進(jìn)行結(jié)合起來(lái)，隱蔽性強(qiáng)。常應(yīng)用于求一類(lèi)三角形底邊長(zhǎng)的最小值，繼而求三角形面積的最小值，問(wèn)題的關(guān)鍵就在作這個(gè)動(dòng)三角形的外接圓，根據(jù)“半徑+弦心距≥定高”求出半徑的最小值，那底邊存在最小值，面積存在最小值。由于底邊的長(zhǎng)在變化，此外接圓“隱形圓”的大小也會(huì)發(fā)生變化，但是在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中于找到“隱形圓”半徑最小值，找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問(wèn)題就迎刃而解.【方法技巧】1.定角定高模型呈現(xiàn)：有一類(lèi)問(wèn)題滿足這樣的條件特征：如下圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角。則AD有最小值。又因?yàn)椋裉秸諢粢粯铀砸步刑秸諢裟Ｐ?。【典例分析】【典?】輔助圓之定角定高求解探究（1）如圖①，已知線段AB，以AB為斜邊，在圖中畫(huà)出一個(gè)直角三角形；（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為AB邊上的高，若CD＝4，試判斷AB是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出AB最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖①中，△ABC即為所求．（2）如圖②中，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．設(shè)OA＝OC＝2x．∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，∴OE＝OA＝x，AE＝x，∵OC+OE≥CD，∴3x≥4，∴x≥，∴x的最小值為，∵AB＝2x，∴AB的最小值為．（3）如圖③中，連接AC，延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于G，將△CDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CBH，作△CEH的外接圓⊙O．∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴S△ACD＝S△ACB，∵∠DAB＝45°，∴∠DCB＝135°，∴∠DCG＝45°，∵∠CDG＝90°，∴CD＝DG＝6，∴CG＝CD＝12，∴AB＝GB＝12+6，由（2）可知，當(dāng)△CEH的外接圓的圓心O在線段BC上時(shí)，△ECH的面積最小，此時(shí)四邊形AFCE的面積最大，設(shè)OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝r，∴r+r＝6，∴r＝6（2﹣），∴EH＝r＝12（2﹣），∴四邊形AFCE的面積的最大值＝2××（12+6）×6﹣×12（2﹣）×6＝144．【變式1-1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為．【答案】【解答】解：作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，∴△ABC的面積的最小值為，故答案為：．【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC邊上的高AD＝6，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為．【答案】12+12【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CB到E，使得BE＝BA，延長(zhǎng)BC到F，使得CD＝CA，連接AE，AF，作△AEF的外接圓⊙O，連接OE，OF，過(guò)點(diǎn)O作OJ⊥EF于點(diǎn)J，交⊙O于點(diǎn)T．∵BA＝BE，CA＝CF，∴∠BAE＝∠BEA，∠CAF＝∠CAF，∵∠ABC＝∠BAE+∠BEA，∠ACB＝∠CAF+∠CFA，∴∠AEF+∠AFE＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，∴∠EAF＝135°，∴∠EOF＝90°，∵OJ⊥EF，∴EJ＝JF，∴OJ＝EF，設(shè)OE＝OF＝r，則EF＝r，OJ＝r，∵AB+BC+AC＝EB+BC+CF＝EF，∴EF最小時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)最小，∵AD⊥BC，∴AD+OJ≤OT，∴6+r≤r，∴r≥12+6，∴EF≥12+12，∴AB+BC+AC≥12+12，∴△ABC的周長(zhǎng)的最小值為12+12，故答案為：12+12．【變式1-3】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，則△AEF面積的最小值為．【答案】36﹣36【解答】解：如圖，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH＝AE，∠BAH＝∠DAE，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝∠BAH+∠BAF＝45°，∴∠FAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AHF中，，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴FH＝EF，∴S△AEF＝S△AFH，設(shè)DE＝x，BF＝y(tǒng)，則BH＝DE＝x，EF＝BF+BH＝x+y，CE＝6﹣x，CF＝6﹣y，在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，∴（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，化簡(jiǎn)得：y＝＝﹣6+，∴S△AEF＝S△AFH＝FH?AB＝×6（x+y）＝3[x+（﹣6+）]＝3[（x+6）+﹣12]＝3[（﹣）2+12﹣12]，∴當(dāng)＝時(shí)，x＝6﹣6，S△AEF的最小值為36﹣36．故答案為：36﹣36．【變式1-4】（2019?新城區(qū)校級(jí)一模）問(wèn)題提出：如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點(diǎn)O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是．問(wèn)題探究：如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點(diǎn)且∠EAF＝45°，請(qǐng)問(wèn)線段BE、DF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點(diǎn)E、F分別是射線CB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問(wèn)△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）如圖1，作出△ABC的外接圓⊙O，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝10，∴OB＝sin45°×BC＝，故答案為：5．（2）EF＝BE+DF，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)EB，使BG＝DF，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝GE＝DF+BE，（3）存在最小值，如圖3，延長(zhǎng)CB，使BG＝DF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABG＝135°，∴∠ABG＝∠ADF，又∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠