【導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用5500字（論文）】

導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\h\u1引言 引言1.1選題的意義對(duì)于數(shù)學(xué)的公式解答來講，一般都會(huì)采用反證法、構(gòu)造法、歸納法、比較法等不同的方程式來解答當(dāng)前的問題，以此獲得相應(yīng)的答案。然而大部分人都會(huì)通過函數(shù)理念去了解不等式，然后將導(dǎo)數(shù)當(dāng)做解題工具與思路，對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)變，對(duì)其分析函數(shù)特點(diǎn)，并且導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是通過不等式和函數(shù)兩者的完善關(guān)系，把不等式或多或少的投射到函數(shù)中，在直接或類似的方式進(jìn)行等價(jià)改變之后，方程的結(jié)構(gòu)特征被合并在一起，并通過與函數(shù)相關(guān)的操作來呈現(xiàn)。利用導(dǎo)數(shù)作為證明不等式的工具，是目前比較有效的方式，可以使證明不等式的過程更加簡(jiǎn)單，并且可以通過該方式更容易處理問題。所以本文主要從單調(diào)性、最小值、最大值、函數(shù)凹凸性、微分中值定理、泰勒公式等方面分析了證明不等式的具體方法，闡述了不同方法、不同公式的適用范圍，并按照相應(yīng)的解答題目，對(duì)其結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理的公式帶入和使用相應(yīng)的公式進(jìn)行解題，以此獲得正確的觀點(diǎn)。1.2國內(nèi)外發(fā)展?fàn)顩r張?zhí)斓拢钣拢?012）世界各國為了加強(qiáng)自身國民的綜合教育，發(fā)展國力都普遍的實(shí)施了教育改革，并按照各自不同的國情對(duì)未來的國家教育發(fā)展提出了不同的政策和規(guī)劃。其中數(shù)學(xué)史對(duì)于微積分的出現(xiàn)過程中被人為是“人類精神的最高勝利”，由此可見微積分對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)度，而且微積分為現(xiàn)代數(shù)學(xué)開辟了一個(gè)新的發(fā)展階段，因?yàn)槲⒎e分可以通過各種方式來解答不同數(shù)學(xué)題的解題思路，從而為變量函數(shù)的分析提供了巨大的幫助，而且微積分被全世界的數(shù)學(xué)與教育界所看重，微積分已成為世界各地高中教育的一部分。幾何、符號(hào)運(yùn)算和操作以及形式定義以及證明都可以在微積分的計(jì)算中所運(yùn)用到，甚至微積分可以將上述的所講部分進(jìn)行相互的帶入，從而相互造成影響，形成不同的解題思路，這也是數(shù)學(xué)探究中，對(duì)微積分的不同組成方式解題的重要觀點(diǎn)。蔡子華（2013）數(shù)學(xué)函數(shù)是指使用認(rèn)知結(jié)構(gòu)的高級(jí)數(shù)學(xué)思維的出現(xiàn)，它創(chuàng)建了全新的視角，并開發(fā)了創(chuàng)建和擴(kuò)展以前定理的發(fā)展系統(tǒng)。個(gè)人的認(rèn)知情況，從早期到高級(jí)的數(shù)學(xué)思維，可以假設(shè)是由于對(duì)外部環(huán)境的觀察和行為，使用兩種平行的方式得到很好的發(fā)展：第一是從視覺空間到符號(hào)形式推測(cè)；第二個(gè)是持續(xù)的過程到概念的乘數(shù)與操作標(biāo)記刺激了基于正式目標(biāo)概念和系統(tǒng)證據(jù)的突破性思維。TimBozik（2015）指出：最好將初等數(shù)學(xué)的進(jìn)步視為一個(gè)單一的進(jìn)步，而不是通過其他視角將其視為一個(gè)獨(dú)立的、同時(shí)發(fā)展的存在。首先要將圖片作為視覺空間的象征，其次要將符號(hào)操作的過程當(dāng)做動(dòng)作的表現(xiàn)。2導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念2.1導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得增量時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)取得增量，如果極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為在處的導(dǎo)數(shù)，記為，，。如果記，則導(dǎo)數(shù)又可表示為。若極限存在，則該極限值稱為在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)，記作或若極限存在，則該極限值稱為在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)，記作或函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為的充要條件是。2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在()點(diǎn)處的切線斜率[1]。曲線在點(diǎn)的切線方程是。曲線在點(diǎn)的法線方程是(當(dāng)時(shí))。2.3函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)必連續(xù)，但是連續(xù)不一定可導(dǎo)。2.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(2)(為實(shí)數(shù))(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)3導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用3.1利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式3.1.1函數(shù)的單調(diào)性大部分不等式和函數(shù)有關(guān)或整理之后和其產(chǎn)生緊密的關(guān)系。有關(guān)人員可通過導(dǎo)數(shù)方式證明單調(diào)性，通過導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性去驗(yàn)證不等式的方程，隨后利用函數(shù)的單調(diào)性再次驗(yàn)證一次不等式，從而保障結(jié)果的正確以下列公式為例來解析函數(shù)單調(diào)性就是將函數(shù)設(shè)為在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。若在內(nèi)，則在上單調(diào)增加；若在內(nèi)，則在上單調(diào)減少。3.1.2函數(shù)的單調(diào)性證明該方法使用于某區(qū)間上成立的函數(shù)不等式，一般地，證明區(qū)間上的不等式時(shí)，可以選擇作為輔助函數(shù)。對(duì)求導(dǎo)，判斷是大于或小于，判定的單調(diào)性，從而證明不等式。定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則在上遞增（遞減）的充要條件是。例1設(shè)，證明不等式成立。證明令，顯然當(dāng)時(shí)，有從而在內(nèi)嚴(yán)格遞增，又在處連續(xù)，所以，當(dāng)時(shí)，即設(shè)，則時(shí)，所以在內(nèi)遞減，又在處連續(xù)，故時(shí)，有即 由上可知，當(dāng)時(shí)，有。注待驗(yàn)證的不等函數(shù)驗(yàn)證方式比較復(fù)雜，因此需要利用輔助函數(shù)對(duì)其流程進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化，以此達(dá)到簡(jiǎn)化證明的效果。3.1.3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例1證明：當(dāng)時(shí)，。證明令，對(duì)其求導(dǎo)，得又在上連續(xù)，在內(nèi)，故在上嚴(yán)格增加。當(dāng)時(shí)，，即，故有例2證明：，證明令，且，，由于在上，，從而，則在是單調(diào)遞減函數(shù)，又，從而在恒成立，故有在上成立。例3證明：當(dāng)時(shí)，。證明：即需證，為此，構(gòu)造函數(shù)，此時(shí)，，已知當(dāng)時(shí)，亦即在內(nèi)，因此在內(nèi)單調(diào)增加，而，所以在內(nèi)有，即在內(nèi)單調(diào)增加，因而當(dāng)時(shí)，，即不等式得證。例4證明:證明：不妨設(shè)，原不等式可變形為，令，則上式可轉(zhuǎn)化為，或做輔助函數(shù)，則只需證。由于，，，因此在內(nèi)遞增，又，則為單調(diào)遞增函數(shù)，又，得即不等式得證。例5已知函數(shù)，且。求證:。分析要證明成立，需要分兩步進(jìn)行；證明，然后再證明。在本題中展現(xiàn)出的常數(shù)為未知，所以要將該函數(shù)當(dāng)做未知數(shù)，其余函數(shù)當(dāng)做常數(shù)的方式來對(duì)該函數(shù)進(jìn)行解析，以此達(dá)到求解的過程。證明因?yàn)椋?。設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；又因?yàn)?，且，所以，即。設(shè))-(x-a)ln2，則因此在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；又因?yàn)椋?，即。綜上所述，。例6已知:是正整數(shù)，且求證:分析要證成立，只要證成立，即要證成立。所以我們可以構(gòu)造函數(shù)，然后只要證在是減函數(shù)即可。證明要證只要證只要證設(shè)函數(shù)則因?yàn)?，，；所以所以在是減函數(shù)。又因?yàn)?，所以，即從而按照上述的函?shù)單調(diào)性證明不等式的表達(dá)方式，可以得出創(chuàng)建輔助函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化，隨后對(duì)該函數(shù)進(jìn)行解答，以此來獲得不等式的解答方式；先對(duì)兩邊的數(shù)值進(jìn)行“求差”，隨后按照“求差”值創(chuàng)建所需函數(shù)先對(duì)兩邊的數(shù)值開展合適“求商”隨后按“求商”值照創(chuàng)建所需函數(shù)；根據(jù)兩邊所需的函數(shù)以及當(dāng)前等式結(jié)構(gòu)，創(chuàng)建輔助函數(shù)以此來簡(jiǎn)化解答流程；如果不等式的形式伴隨著一個(gè)指數(shù)函數(shù)，那么指數(shù)形式必須事先變成一個(gè)容易證明的方法，通常使用對(duì)數(shù)，然后通過上述方法根據(jù)實(shí)際情況創(chuàng)建所需的函數(shù)。3.2利用函數(shù)的凹凸性證明不等式3.2.1函數(shù)的凹凸性可以利用函數(shù)的凹凸性來對(duì)不等式進(jìn)行證明，凹凸點(diǎn)也很好判斷，如果曲線弧的切線點(diǎn)在曲線弧下方則為凹，反之亦然[12]。凹凸性判定法就是設(shè)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)具備二階導(dǎo)數(shù)。假如但是在任意子區(qū)間中不恒是零，那么曲線弧為凸的；假如然而在任意子區(qū)間不恒是零，那么曲線弧為凹。要全面掌握了解凹凸性也要了解拐點(diǎn)有關(guān)觀點(diǎn)。首先知道了曲線的凹凸弧分界點(diǎn)就是拐點(diǎn)，那么只需要根據(jù)拐點(diǎn)橫坐標(biāo)上的左右兩邊鄰近處就是異號(hào)，但是在拐點(diǎn)橫坐標(biāo)處就是零或沒有。拐點(diǎn)出現(xiàn)的必要條件是設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具備二階導(dǎo)數(shù)，那么點(diǎn)()為曲線的拐點(diǎn)的必要條件為只要掌握了凹凸性以及拐點(diǎn)的概念，就可以對(duì)拐點(diǎn)與凹凸區(qū)間進(jìn)行解析：1求解功能概念范圍或定義范圍和另一個(gè)導(dǎo)數(shù)。2求解所有的疑點(diǎn)與拐點(diǎn)(一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)、另一階導(dǎo)數(shù)不出現(xiàn)但函數(shù)有作用的點(diǎn))、邊界點(diǎn)和使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無意義的端點(diǎn)，在表2中按每個(gè)求值區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)正負(fù)標(biāo)注上述點(diǎn)。3.2.2凹凸性的定理若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上為下凸函數(shù)且可導(dǎo)，P(x0,y0)為其圖像上一點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的圖像必在P點(diǎn)處函數(shù)切線的上方;反之，若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上為上凸函數(shù)且可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)的圖像必在P點(diǎn)處函數(shù)切線的下方。3.2.3凹凸性的應(yīng)用例1證明:當(dāng)時(shí)，有證明設(shè)，有則函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線在(0，)內(nèi)為凸的。由于，可見，當(dāng)時(shí)，即。例2證明:當(dāng)x時(shí)，證明令，則因此在或上的曲線弧是凹的，于是即亦即例3設(shè)，，，證明不等式證明，，由于所以，在區(qū)間或，，是凹的，于是即所以原不等式例4設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明不等式證明設(shè)由于當(dāng)，對(duì)，所以，當(dāng)時(shí)，是上凸的。于是有即故原不等式成立。例5設(shè)，證明:證明設(shè)，，則所以在上是向上凹的。因此即所以例6設(shè)，，，證明不等式。證明，，由于，所以，在區(qū)間或，，是凹的，于是，即所以原不等式成立。例7設(shè)當(dāng)時(shí)，證明不等式證明設(shè)由于當(dāng)時(shí)，對(duì)，所以，當(dāng)時(shí)，是上凸的于是有，即，故原不等式成立3.3利用函數(shù)的最值證明不等式3.3.1函數(shù)的最值與極值函數(shù)的極值的定義為設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，如果恒有，則稱為的極大值，而稱為的極大值點(diǎn)；如果恒有，則稱為的極小值，而稱為的極小值點(diǎn)。極值分為極大值與極小值，且兩者都被統(tǒng)稱為極值點(diǎn)函數(shù)極值的必要條件為設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)取得極值，則必有極值的判別法有兩種，分別是第一判別法和第二判別法，分別是:（1）極值第一判別法設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且那么a若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則是的極大值。b若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則是的極小值。c若在的兩側(cè)，的符號(hào)相同，則不是極值。（2）極值第二判別法設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有二階導(dǎo)數(shù)，且則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)取得極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)取得極小值；了解了極值的判別法之后，我們就可以得出求極值的步驟為:第一，得出函數(shù)的所有極值疑點(diǎn)—駐點(diǎn)(的點(diǎn))以及意義的內(nèi)部點(diǎn)；隨后通過以下兩種方式，對(duì)其函數(shù)進(jìn)行評(píng)判：方法1：可以利用第一種充分的條件來取得導(dǎo)函數(shù)的數(shù)值且開展因式分解，依照極值疑點(diǎn)鄰近的符號(hào)評(píng)判。方法二：用另一個(gè)充分條件，即如果是一個(gè)駐點(diǎn)，用上面點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)估計(jì)。(使用方法二的前提要注意的是該駐點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)不能為0，否則就要用其他方式對(duì)該數(shù)值進(jìn)行評(píng)判。在出現(xiàn)時(shí)，一般會(huì)因?yàn)槠鋸?fù)雜的評(píng)判方式而選擇方式一進(jìn)行評(píng)判。)最大與最小值的函數(shù)概念為：在上連續(xù)，在內(nèi)只有單獨(dú)極值點(diǎn)，那么假如是的極大值點(diǎn)，因此就是在上的最大值點(diǎn)；假如為的極小值點(diǎn)，因此就是在數(shù)值上的最小數(shù)值?？梢愿鶕?jù)下列方式來得出正確的函數(shù)值：1）根據(jù)該區(qū)間上的所有駐點(diǎn)與有意義的內(nèi)涵和函數(shù)進(jìn)行公式帶入，隨后將函數(shù)定義其數(shù)值邊界，最終得出相應(yīng)的函數(shù)值。2）對(duì)該區(qū)間上的函數(shù)數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，將最大與最小的函數(shù)值得出后進(jìn)行比較，從而得知該區(qū)間的最大值與最小值函數(shù)的具體數(shù)值。3.3.2最值在不等式中的應(yīng)用例1證明:若，則對(duì)于內(nèi)任意，有證明構(gòu)造輔助函數(shù)則令得從中求得在上只有一個(gè)駐點(diǎn)，又因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，即在上，曲線是凹的，且在處取得極小值，且為在上的最小值。又，，從而的最大值為1。因此，例2設(shè)是大于1的常數(shù)，且證明:對(duì)于任意，有證明令則令得。因?yàn)閯t所以當(dāng)時(shí)，取極小值，即最小值。從而當(dāng)時(shí)，有即例3設(shè)且證明:證明因?yàn)檫B續(xù)且具有一階導(dǎo)數(shù)，所以由知。又令，則。由于所以又由知，是的極小值和單調(diào)。故只有一個(gè)駐點(diǎn)，從而是的最小值。因此即例4求證:分析本題直接證明比較困難，如果構(gòu)造函數(shù)來證明不等式也非常困難。我們可以令則原不等式可變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于的一元二次不等式因此我們可構(gòu)造函數(shù)證明設(shè)構(gòu)造當(dāng)時(shí)，有。當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，有最小值。綜上所述，；所以成立。例5已知當(dāng)時(shí)，求證:。證明當(dāng)時(shí)，所以在上遞減。故在上的最大值為；函數(shù)的最小值為，所以在上的值域?yàn)?。所以，?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，例6設(shè)，當(dāng)時(shí)，試證，其中等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立。證明令且令，即是唯一駐點(diǎn)。又所以在時(shí)取得最大值于是當(dāng)時(shí)恒有其中僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。故成立。其中僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。例7求證:時(shí)，證明要證原式，即需證:時(shí)成立。設(shè)，則因?yàn)樗运栽谏鲜窃龊瘮?shù)，所以的最小值為所以，，時(shí)，，即時(shí)，成立。例8在上，，且在內(nèi)取得最小值，證明:證明由在內(nèi)取得最小值，設(shè)。因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo)。所以從而所以=例9證明:證明設(shè)，則令得，所以在處取得極小值。由于是唯一駐點(diǎn)，所以為函數(shù)的最小值。故對(duì)一切(且)，，，即例10設(shè)，求證:，其中為自然數(shù)。證明令，則令，則所以在取到(0，1)上的最大值:注意單調(diào)減少，且。于是。從而即例11證明:當(dāng)，為自然數(shù)時(shí)證明令則。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，除時(shí)外，均有故在單調(diào)上升，在單調(diào)減小，因此在上取最大值。于是有==。結(jié)論筆者通過對(duì)導(dǎo)數(shù)在不等式中的學(xué)習(xí)，從而得知了如何在不等式證明中使用導(dǎo)數(shù)，筆者也充分理解了上述題目具有明顯的分析任務(wù)，以及導(dǎo)數(shù)工具的范圍和有效性。而且從這篇文章中我們可以清楚地了解到，雖然用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法有很多種，但大部分都是用輔助函數(shù)。在文章中，筆者也強(qiáng)調(diào)了很多執(zhí)行輔助功能的方法，但對(duì)于導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的不等式證明方式都不全面，所