二階系統(tǒng)時域響應(yīng)

3.1典型輸入信號3.2控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)3.3一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)3.5高階系統(tǒng)的時域分析3.6線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性和勞斯判據(jù)3.7控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第三章時域分析法2021/5/912021/5/922021/5/93

閉環(huán)傳遞函數(shù)：

閉環(huán)特征方程：

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：

為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，為阻尼系數(shù)，為無阻尼自然振蕩角頻率或固有頻率。2021/5/94RLCur(t)uc(t)例1：RLC電路的傳遞函數(shù)為可見：二階系統(tǒng)的參數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)式的參數(shù)之間有著對應(yīng)的關(guān)系。2021/5/952021/5/96①當(dāng)時，零阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)兩個共軛虛根：

此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱為無阻尼振蕩角頻率。2021/5/97

二階系統(tǒng)兩個共軛復(fù)根：②當(dāng)時，欠阻尼系統(tǒng)：阻尼角阻尼振蕩角頻率2021/5/98s域輸出響應(yīng)：2021/5/99時域響應(yīng)：2021/5/910

欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（

0<ζ<1

）系統(tǒng)響應(yīng)的暫態(tài)分量為振幅隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律衰減的周期函數(shù)，其振蕩頻率為：③當(dāng)

=1時，臨界阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)兩個負(fù)實重根：

臨界阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)(

=1)

輸出響應(yīng)無振蕩和超調(diào)。ζ=1時系統(tǒng)的響應(yīng)速度比ζ>1

時快。④當(dāng)時：過阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)兩個不等負(fù)實根：過阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)(

>1)系統(tǒng)輸出無振蕩和超調(diào)，輸出響應(yīng)最終趨于穩(wěn)態(tài)值1。

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根（閉環(huán)極點）、特征根分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示：單位階躍響應(yīng)特征根分布特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負(fù)實根單調(diào)上升一對負(fù)實重根

衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面）

等幅振蕩一對共軛虛根

2021/5/914隨著阻尼系數(shù)ζ的增加，y(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當(dāng)ζ>1時y(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)。★最佳阻尼比，系統(tǒng)響應(yīng)較快、超調(diào)不大。二階系統(tǒng)的阻尼響應(yīng)曲線ζ值越大，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好；ζ值越小，輸出響應(yīng)振蕩越強(qiáng)。2021/5/915閉環(huán)極點坐標(biāo)與阻尼比的關(guān)系：2021/5/9162021/5/917(1)上升時間trtr

d-z

n

n2021/5/918(2)峰值時間tptp峰值時間=阻尼振蕩周期的一半ζ一定時，ωn越大，tp越小；ωn一定時，ζ越大，tp越大。(3)超調(diào)量

%tp2021/5/921%的大小完全取決于ζ，ζ越小，%越大；反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性,ζ越大，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。ζ=0.4~0.8

%=25.4%~1.5%。2021/5/922(4)調(diào)整時間ts包絡(luò)線按定義：或當(dāng)ζ由零增大時，ωnts先減小后增大，?=5%，ωnts的最小值出現(xiàn)在ζ＝0.69處；?=2%，ωnts的最小值出現(xiàn)在ζ＝0.78處；出現(xiàn)最小值后，ωnts隨ζ幾乎線性增加。2021/5/924結(jié)論：當(dāng)ζ增加到0.69或0.78時，調(diào)整時間ts為最小。設(shè)計二階系統(tǒng)，一般選ζ=0.707(β=45°),為最佳阻尼比,此時不但調(diào)整時間ts為最小,而且超調(diào)量也不大。ζ=0.707

%=4.32%≈5%。ts

≈3/(ζωn)。2021/5/925典型二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts與阻尼比和自然振蕩頻率ωn的乘積成反比。閉環(huán)極點離虛軸越遠(yuǎn)，ts越短，系統(tǒng)響應(yīng)越快。2021/5/926(5)振蕩次數(shù)NN僅與

有關(guān):

越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。阻尼振蕩周期2021/5/927(6)穩(wěn)態(tài)誤差ess根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的定義欠阻尼二階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差:2021/5/9281、二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由ωn和ζ決定。2、增加ζ

降低振蕩，減小超調(diào)量%和振蕩次數(shù)N，

系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；3、ζ一定，ωn越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、tp、ts越小。4、%

、N僅與ζ有關(guān)，而tr、tp、與ζ、ωn有關(guān)，通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定ζ。ζ一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整ωn以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時間。[總結(jié)]2021/5/929阻尼系數(shù)是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但長。當(dāng)時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。[總結(jié)]在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到與有關(guān)，所以一般根據(jù)來選擇。

越大，（當(dāng)一定時）為了限制超調(diào)量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調(diào)量在25%~1.5%之間。2021/5/930過阻尼二階系統(tǒng)其性能指標(biāo)只有調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)誤差。(2)穩(wěn)態(tài)誤差的計算：(1)調(diào)節(jié)時間是根據(jù)特征根中絕對值小的來近似計算：±5%誤差帶±2%誤差帶2.過阻尼二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)設(shè)當(dāng)時，，這時可用一階系統(tǒng)來近似。2021/5/931四、二階系統(tǒng)對其他典型輸入信號的響應(yīng)若y(t)為單位階躍響應(yīng)，則系統(tǒng)r(t)y(t)單位脈沖響應(yīng)單位速度（斜坡）響應(yīng)單位加速度（拋物線）響應(yīng)過阻尼：

>1欠阻尼：0<<1臨界阻尼：

=1無阻尼：

=0二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)(t0)2021/5/933由以上分析歸納出二階系統(tǒng)性能分析要點：主要由ζ決定。1）平穩(wěn)性：超調(diào)量

%振蕩次數(shù)Nζ↑→σ%↓,N↓→平穩(wěn)性↑。ζ一定時，ωn↑→ωd↑→平穩(wěn)性↓。ζ=0時，等幅振蕩，不能穩(wěn)定工作。2021/5/934ωn一定時，若ζ較小，ζ↓→

ts↑→快速性↓；ζ>0.707之后，ζ↑→

ts↑→快速性↓。所以ζ太小或太大，快速性均變差。2）快速性：由ζ和ωn決定。(1)上升時間tr(2)峰值時間tp(3)調(diào)整時間ts綜合考慮系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性，一般取ζ=0.707為最佳。2021/5/9353）準(zhǔn)確性：由ζ和ωn決定。穩(wěn)態(tài)誤差ess單位階躍響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)誤差ess單位速度響應(yīng)：ζ的增加和ωn的減小雖然對系統(tǒng)的平穩(wěn)性有利，但使得系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差增加。以欠阻尼為例。2021/5/936例1.

已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)K=2,K=4

時，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和性能指標(biāo)σ%,ts

。Ф(s)=s2+3s+KK解：(1)K=2ζ=1.06>1C(s)=2s(s+1)(s+2)Ф(s)=s2+3s+222=2ωn2ωnζ=3c(t)=1-2e-t+e-2t1=ss+1-21s+2+tc(t)01系統(tǒng)性能指標(biāo)ts=3T1=3(2)K=4Ф(s)=s2+3s+44ζ=0.75<12=4ωn2ωnζ=3c(t)=1-t+)eζωnt-21-

ζdωsin(β=1-1.5e-1.5tsin(1.32t+41.4o)σ%=100%e-ζζπ1-2=2.8%ts=ζ4ωn=2.6732.672021/5/937例2.

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)二階系統(tǒng)的參數(shù)ζ和ωn；若K=16,T=0.25,試求：(3)欲使σ%=16%,當(dāng)T不變時K應(yīng)取何值？(2)暫態(tài)性能指標(biāo)σ%,ts

；2021/5/938例3：求如下隨動系統(tǒng)的特征參數(shù),分析與性能指標(biāo)的關(guān)系。+n-電壓放大器+-+-功放C-K1K2R若假設(shè)電樞電感La=0，則Ta=0，方程為當(dāng)只考慮Ua時，電動機(jī)的微分方程方程為電動機(jī)傳遞函數(shù)為電壓放大器和功放的傳遞函數(shù)分別為K1和K2，可得方框圖因所以2021/5/939瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)例子閉環(huán)傳遞函數(shù)為：⒈T不變，K↑下面分析瞬態(tài)性能指標(biāo)和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系(假設(shè)):→N↑?！鷝↓→

%↑→wn↑→wd↑→zwn=1/2T不變，ts幾乎不變總之，K增大振蕩加??；⒉K不變，T↑→N↑?！鷝↓→

%↑→wn↓→wd↓→zwn=1/2T↓→ts↑實際系統(tǒng)中T往往不能變，要使系統(tǒng)性能好，則K↓，這對控制精度不利。2021/5/9402021/5/941由圖可見:c2(t)使得c(t)比c1(t)響應(yīng)迅速且有較大超調(diào)量。2021/5/9422021/5/943

系統(tǒng)參數(shù)間的關(guān)系:2021/5/944可求得系統(tǒng)的性能指標(biāo):增加零點后,上升時間和峰值時間縮短,系統(tǒng)的初始響應(yīng)加快,系統(tǒng)的超調(diào)量增大，振蕩性增加。c(t)t01二階系統(tǒng)帶零點系統(tǒng)2021/5/945為了定量說明附加零點對二階系統(tǒng)性能的影響，用參數(shù)α表示附加零點與典型二階系統(tǒng)復(fù)數(shù)極點至虛軸距離之比，即零點從極點左側(cè)向極點越靠近，影響越大；當(dāng)零點距離虛軸很遠(yuǎn)時(α>5)，零點的影響可以忽略。2021/5/9462021/5/9471．誤差信號比例-微分控制(PD)

比例微分控制二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖開環(huán)傳遞函數(shù):閉環(huán)傳遞函數(shù):得R(s)C(s)比例微分控制使系統(tǒng)阻尼比增大,超調(diào)量將減少。若傳遞函數(shù)中增加的零點合適，將使得系統(tǒng)響應(yīng)加快。2021/5/948對二階系統(tǒng)性能的改善c(t)t01二階系統(tǒng)加比例微分2021/5/949比例-微分控制的實現(xiàn)RC比例-微分網(wǎng)絡(luò)運算放大器比例-微分網(wǎng)絡(luò)2021/5/950

比例微分控制二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖開環(huán)傳遞函數(shù):閉環(huán)傳遞函數(shù):得R(s)C(s)2．輸出量微分(測速)負(fù)反饋控制-加入微分負(fù)反饋，系統(tǒng)的阻尼比增大，超調(diào)量減少。2021/5/951c(t)t01二階系統(tǒng)加微分負(fù)反饋對二階系統(tǒng)性能的改善2021/5/952(3)比例+微分控制與速度反饋控制的關(guān)系--比例+微分控制相當(dāng)于分別對輸入信號和反饋信號進(jìn)行比例+微分。其中對反饋信號進(jìn)行比例+微分相當(dāng)于速度反饋。所以誤差的比例+微分控制相當(dāng)于輸出的速度反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)再串聯(lián)比例+微分環(huán)節(jié)。因此可以將其分別討論。-2021/5/9531、從物理本質(zhì)上講，測速反饋控制相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼，使系統(tǒng)的振蕩性得到抑制，超調(diào)量減小；比例-微分控制是一種早期控制，微分信號有超前性，相當(dāng)于系統(tǒng)的調(diào)節(jié)作用提前，阻止了系統(tǒng)的過調(diào)。對于理想的線性控制系統(tǒng)來說，兩種方法均可改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。然而，實際控制系統(tǒng)有許多必須考慮的因素，例如系統(tǒng)的具體組成、作用在系統(tǒng)上噪聲的大小及頻率等。比例微分控制與測速反饋控制的比較2、對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響：比例-微分控制相當(dāng)于在系統(tǒng)中加入實零點，可以加快上升時間。在相同阻尼比的條