第10課 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版）

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）A． B． C． D．【答案】A【分析】原價為100萬元，一年后的價格是100×（1-x），二年后的價格是為：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，則函數(shù)解析式求得．【解析】解：由題意得：二年后的價格是為：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，則函數(shù)解析式是：y=100（1-x）2．故選A．【點睛】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的知識，需注意第二年的價位是在第一年的價位的基礎(chǔ)上降價的．2．長為，寬為的矩形，四個角上剪去邊長為的小正方形，然后把四邊折起來，作成底面為的無蓋的長方體盒子，則y與x的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用現(xiàn)有一塊長20cm、寬10cm的矩形，將它的四個角各剪去一個邊長為xcm的小正方形，則底面長與寬均減少2xcm，表示出無蓋的長方體盒子底邊的長，進(jìn)而得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【解析】解：設(shè)小正方形邊長為xcm，由題意知：現(xiàn)在底面長為（20-2x）cm，寬為（10-2x）cm，則y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5），故選：C．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，表示出長方體盒子底邊的長與寬是解題關(guān)鍵．3．重裝專賣店銷售一種童裝，若這種童裝每天獲利y（元）與銷售單價x（元）滿足關(guān)系，則要想獲得最大利潤每天必須賣出（

）A．25件 B．20件 C．30件 D．40件【答案】A【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點式后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．【解析】解：∵y=-x2+50x-500=-（x-25）2+125，∴當(dāng)x=25時，y取得最大值，最大值為125，即銷售單價為25元時，銷售利潤最大，故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練將二次函數(shù)的一般式化為頂點式的能力及掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．4．在中考體育訓(xùn)練期間，小宇對自己某次實心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系式為，由此可知小宇此次實心球訓(xùn)練的成績?yōu)椋ǎ〢．米 B．8米 C．10米 D．2米【答案】B【分析】小宇此次實心球訓(xùn)練的成績就是拋物線，與x軸交點的橫坐標(biāo)，即當(dāng)y＝0時，求x的值即可．【解析】解：當(dāng)y＝0時，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次實心球訓(xùn)練的成績?yōu)?米，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達(dá)的實際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．5．如圖，某農(nóng)場擬建一間矩形奶牛飼養(yǎng)室，打算一邊利用房屋現(xiàn)有的墻（墻足夠長），其余三邊除大門外用柵欄圍成，柵欄總長度為50m，門寬為2m．若飼養(yǎng)室長為xm，占地面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52） B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）【答案】A【分析】直接根據(jù)題意表示出垂直與墻飼養(yǎng)室的一邊長，再利用矩形面積求法得出答案．【解析】解：y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y（50+2﹣x）xx2+26x（2≤x＜52）．故選：A．【點睛】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系，正確表示出另一邊長是解題關(guān)鍵．6．下表所列為某商店薄利多銷的情況，某商品原價為元，隨著不同幅度的降價，日銷量（單位為件）發(fā)生相應(yīng)的變化．如果售價為元時，日銷量為（

）件．降價（元）日銷量（件）A．1200 B．750 C．1110 D．1140【答案】C【分析】由題意根據(jù)表中的數(shù)據(jù)分析得，每降元，銷售量增加件，就可求出降元時的銷售量，以此進(jìn)行分析即可．【解析】解：由表中數(shù)據(jù)得，每降元，銷售量增加件，即每降元，銷售量增加件，降元時，銷售量為（件）．故答案為：．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用：在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解答此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式．7．一位運動員在距籃筐正下方水平距離處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當(dāng)球運行的水平距離為時，達(dá)到最大高度，然后準(zhǔn)確落入籃筐．如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，已知籃筐中心到地面的距離為，該運動員身高，在這次跳投中，球在頭頂上方處出手，球出手時，他跳離地面的高度是()A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+3.5，依題意可知圖象經(jīng)過的坐標(biāo)，由此可得a的值，設(shè)球出手時，他跳離地面的高度為hm，則可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5．【解析】∵當(dāng)球運行的水平距離為時，達(dá)到最大高度，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線的解析式為．由題意知圖象過點，∴，解得，拋物線的解析式為．設(shè)球出手時，他跳離地面的高度為．∵拋物線的解析式為，球出手時，球的高度為．∴，∴．故選：A．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，建立合適的平面直角坐標(biāo)系是解決本題的突破點，求得二次函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=3m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀先向上至最高點后落下，若最高點距水面4m，P距拋物線對稱軸1m，則為使水不落到池外，水池半徑最小為（）A．1 B．1.5C．2 D．3【答案】D【分析】首先建立坐標(biāo)系，然后利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，然后令y=0，即可求解．【解析】如圖建立坐標(biāo)系：拋物線的頂點坐標(biāo)是（1，4），設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-1）2+4，把（0，3）代入解析式得：a+4=3，解得：a=-1，則拋物線的解析式是：y=-（x-1）2+4，當(dāng)y=0時，-（x-1）2+4=0，解得：x1=3，x2=-1（舍去），則水池的最小半徑是3米．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是本題的關(guān)鍵．9．小明周末前往游樂園游玩，他乘坐了摩天輪，摩天輪轉(zhuǎn)一圈，他離地面高度與旋轉(zhuǎn)時之間的關(guān)系可以近似地用來刻畫．如圖記錄了該摩天輪旋轉(zhuǎn)時和離地面高度的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可以推斷出：當(dāng)小明乘坐此摩天輪離地面最高時，需要的時間為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把已知點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得b，c的值，可得函數(shù)解析式，再由二次函數(shù)求最值．【解析】解：把（160，60），（190，67.5）分別代入，可得，解得：，則，∵，∴當(dāng)時，有最大值，∴當(dāng)小明乘坐此摩天輪離地面最高時，需要的時間為s，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，是基礎(chǔ)題．10．一人一盔安全守規(guī)，一人一帶平安常在！某商店銷售一批頭盔，售價為每頂80元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進(jìn)價為每頂50元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為（）元．A．60 B．65 C．70 D．75【答案】C【分析】根據(jù)題意，可以先設(shè)出每頂頭盔降價x元，利潤為w元，然后根據(jù)題意可以得到w與x的函數(shù)關(guān)系式，再將函數(shù)解析式化為頂點式，即可得到降價多少元時，w取得最大值，從而可以得到該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價．【解析】解：每頂頭盔降價x元，利潤為w元，由題意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴當(dāng)x＝10時，w取得最大值，此時80﹣x＝70，即該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為70元，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．加工爆米花時，爆開且不糊的顆粒的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時間（單位：）滿足函數(shù)表達(dá)式，則最佳加工時間為________．【答案】3.75【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式直接計算即可．【解析】解：∵的對稱軸為（min），故：最佳加工時間為3.75min，故答案為：3.75．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及求頂點坐標(biāo)、對稱軸方程等，記住拋物線頂點公式是解題關(guān)鍵．12．如圖，小李推鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度y(米)關(guān)于水平距離x(米)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋x＋，那么鉛球運動過程中最高點離地面的距離為________米．【答案】2【分析】直接利用公式法求出函數(shù)的最值即可得出最高點離地面的距離.【解析】解:∵函數(shù)解析式為:y＝－x2＋x＋，∴y最值===2.故答案為:2.【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,屬于簡單題,正確記憶最值公式是解題關(guān)鍵.13．如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為便于進(jìn)出，開了3道寬為1米的門．設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達(dá)式為__；自變量x的取值范圍為__．【答案】

【分析】根據(jù)題意表示出長方形的長進(jìn)而得出函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合a的最大值得出x的取值范圍．【解析】解：設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達(dá)式為：；由題意可得：，解得：．故答案為：，．【點睛】本題主要考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是正確表示出長方形的長．14．在東京奧運會跳水比賽中，中國小花全紅嬋的表現(xiàn)，令人印象深刻．在正常情況下，跳水運動員進(jìn)行10米跳臺訓(xùn)練時，必須在距水面5米之前完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則容易出現(xiàn)失誤．假設(shè)某運動員起跳后第t秒離水面的高度為h米，且．那么為了避免出現(xiàn)失誤，這名運動員最多有_____秒時間，完成規(guī)定的翻騰動作．【答案】##1.5【分析】根據(jù)題意，令，解一元二次方程求解即可．【解析】依題意整理得即解得（不符合題意，舍）故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意將代入關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．15．如圖所示，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同．正常水位時，大孔水面寬度為，頂點M距水面（即），小孔頂點N距水面（即）．當(dāng)水位上漲到剛好淹沒小孔時，借助圖中的直角坐標(biāo)系，可以得出此時大孔的水面寬度是_________m．

【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求出大孔拋物線的解析式，然后根據(jù)NC的長即可求出點E、F的坐標(biāo)，從而求出結(jié)論．【解析】解：設(shè)大孔拋物線的解析式為，把點解析式，得，解得，因此大孔拋物線的解析式為；由，可知點F的縱坐標(biāo)為4，代入解析式，解得．所以，所以．故答案為：．【點睛】此題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握實際問題中的等量關(guān)系和利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解決此題的關(guān)鍵．16．如圖，點A、B的坐標(biāo)分別為和，拋物線的頂點在線段上，與軸交于，兩點（在的左側(cè)），點的橫坐標(biāo)最小值為，則點D的橫坐標(biāo)的最大值為____．【答案】8【分析】當(dāng)C點橫坐標(biāo)最小時，拋物線頂點必為A（1，4），根據(jù)此時拋物線的對稱軸和對稱性，可判斷出CD間的距離；當(dāng)D點橫坐標(biāo)最大時，拋物線頂點為B（4，4），再根據(jù)此時拋物線的對稱軸及CD的長，可判斷出D點橫坐標(biāo)最大值．【解析】解：當(dāng)點C橫坐標(biāo)為?3時，拋物線頂點為A（1，4），對稱軸為x=1，此時D點橫坐標(biāo)為5，則CD=8，當(dāng)拋物線頂點為B（4，4）時，拋物線對稱軸為x=4，故C（0，0），D（8，0），此時D點橫坐標(biāo)最大，故點D的橫坐標(biāo)最大值為8．故答案為：8．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的平移及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并明確CD的長度固定是解此題的關(guān)鍵．三、解答題17．圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面寬為4米時，拱頂距離水面2米；當(dāng)水面高度下降1米時，水面寬度為多少米？【答案】【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)通過把y=-1代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．【解析】解：建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)二次函數(shù)的解析式為(a≠0).∵圖象經(jīng)過點（2，-2），∴-2=4a，解得：.∴.當(dāng)y=-3時，.答：當(dāng)水面高度下降1米時，水面寬度為米.【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵，難度一般．18．如圖，一名壘球運動員進(jìn)行投球訓(xùn)練，站在點O開始投球，球出手的高度是2米，球運動的軌跡是拋物線，當(dāng)球達(dá)到最高點E時，水平距離EG=20米，與地面的高度EF=6米，擲出的球恰好落在訓(xùn)練墻AB上B點的位置，AB=3米．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)求點O到訓(xùn)練墻AB的距離OA的長度．【答案】(1)拋物線的關(guān)系式為y=-0.01（x-20）2+6；(2)點O到訓(xùn)練墻AB的距離OA的長度為（20+10）米．【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點設(shè)關(guān)系式為y=a（x-20）2+6，再根據(jù)點C的坐標(biāo)可得關(guān)系式；（2）把y=3代入可得答案．（1）解：由題意得，頂點E（20，6）和C（0，2），設(shè)拋物線的關(guān)系式為y=a（x-20）2+6，∴2=a（0-20）2+6，解得a=-0.01，∴拋物線的關(guān)系式為y=-0.01（x-20）2+6；（2）（2）當(dāng)y=3時，3=-0.01（x-20）2+6，解得x1=20+10，x2=20-10（舍去），答：點O到訓(xùn)練墻AB的距離OA的長度為（20+10）米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，利用待定系數(shù)法得到拋物線的關(guān)系式是解題關(guān)鍵．19．如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器，發(fā)射出去的石塊的運動軌跡是拋物線的一部分，且距離發(fā)射點20米時達(dá)到最大高度10米．將發(fā)石車置于山坡底部O處，山坡上有一點A，點A與點O的水平距離為30米，與地面的豎直距離為3米，AB是高度為3米的防御墻．若以點O為原點，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)求石塊運動軌跡所在拋物線的解析式；(2)試通過計算說明石塊能否飛越防御墻AB；(3)在豎直方向上，試求石塊飛行時與坡面OA的最大距離．【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）(2)能飛越，理由見解析(3)8.1米【分析】（1）設(shè)石塊運行的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣20）2+10，用待定系數(shù)法求得a的值即可求得答案；（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，與6作比較即可；（3）用待定系數(shù)法求得OA的解析式為y＝x，設(shè)拋物線上一點P（t，﹣t2+t），過點P作PQ⊥x軸，交OA于點Q，則Q（t，t），用含t的式子表示出d關(guān)于t的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（1）解：設(shè)石塊的運動軌跡所在拋物線的解析式為y＝a（x﹣20）2＋10．把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．（2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．∵7.5＞3＋3，∴石塊能飛越防御墻AB．（3）解：設(shè)直線OA的解析式為y＝kx（k≠0）．把（30，3）代入，得3＝30k，∴k＝．故直線OA的解析式為y＝x．設(shè)直線OA上方的拋物線上的一點P的坐標(biāo)為（t，﹣t2＋t）．過點P作PQ⊥x軸，交OA于點Q，則Q（t，t）．∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．∴當(dāng)t＝18時，PQ取最大值，最大值為8.1．答：在豎直方向上，石塊飛行時與坡面OA的最大距離是8.1米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1．如圖，矩形的寬比長少，在四個角處各剪去一個邊長為的正方形（圖中陰影部分），沿圖中虛線折疊得到一個無蓋的長方體．若原矩形的長為，折成的長方體的底面積是，則這個長方體的底面積與原矩形的長之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由原矩形的長為，矩形的寬比長少得矩形的寬為，根據(jù)矩形的面積公式即可得出函數(shù)關(guān)系式．【解析】解：原矩形的長，則寬為，∴在四個角處各剪去一個邊長為的正方形，沿圖中虛線折疊得到一個無蓋的長方體時，底面矩形的長為，寬為∴．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，則下列結(jié)論：①2a+b＝0；②2c>3b；③當(dāng)△ABC是等腰三角形時，a的值有2個；④當(dāng)△BCD是直角三角形時，a＝．其中正確的個數(shù)（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】由圖象可得對稱軸為直線，可得，可判斷①；將點坐標(biāo)代入解析式可得，可判斷②；由等腰三角形的性質(zhì)和兩點距離公式，可求的值，可判斷③；由直角三角形的性質(zhì)和兩點距離可求或，可判斷④，即可求解．【解析】解：二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，對稱軸為直線，，，故①正確，當(dāng)時，，，，，故②錯誤；二次函數(shù)，點，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)是等腰三角形時，的值有2個，故③正確；二次函數(shù)，頂點，，，，若，可得，，，若，可得，，，當(dāng)是直角三角形時，或，故④錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．3．2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產(chǎn)銷一種消毒液，設(shè)每天產(chǎn)銷量為x瓶，每日產(chǎn)銷這種消毒液的有關(guān)信息如下表：（產(chǎn)銷量指生產(chǎn)并銷售的數(shù)量，生產(chǎn)多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤y元，當(dāng)銷量x為多少時，該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤最大．（

）消毒液每瓶售價（元）每瓶成本（元）每日其他費用（元）每日最大產(chǎn)銷量（瓶）30181200＋0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．550【答案】D【分析】根據(jù)單日利潤=單日的銷售量×每瓶的利潤－每日其他費用即可列出函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的最值問題即可求解．【解析】解：根據(jù)題意，得∴，∴，∵，∴拋物線的開口向下，有最大值，又∵，∴當(dāng)時，，故選：D【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．4．某公司銷售一種藜麥，成本價為30元/千克，若以35元/千克的價格銷售，每天可售出450千克．當(dāng)售價每漲0.5元/千克時，日銷售量就會減少15千克．設(shè)當(dāng)日銷售單價為（元/千克）（，且是按0.5的倍數(shù)上漲），當(dāng)日銷售量為（千克）．有下列說法：①當(dāng)時，②與之間的函數(shù)關(guān)系式為③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應(yīng)定為42元/千克④若使日銷售利潤最大，銷售價格應(yīng)定為40元/千克其中正確的是（

）A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)題意求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)利潤的關(guān)系逐一判斷即可；【解析】當(dāng)時，，故①正確；由題意得：，故②正確；日銷售利潤為，由題意得：，整理得：，解得：，，∵銷售單價為38元/千克時的銷售量比銷售單價為42元/千克時大，∴不合題意，即若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應(yīng)定為38元/千克，故③錯誤；由上問可知：，即，∵，∴當(dāng)時，，即若使日銷售利潤最大，銷售價格應(yīng)定為40元/千克，故④正確；故正確的是①②④；故答案選B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，，，，垂足為點，動點從點出發(fā)沿方向以的速度勻速運動到點，同時動點從點出發(fā)沿射線方向以的速度勻速運動．當(dāng)點停止運動時，點也隨之停止，連接，設(shè)運動時間為，的面積為，則下列圖象能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出M在AD和在BD上時△MND的面積為S關(guān)于t的解析式即可判斷．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠B＝60°，，，∵CD⊥AB，∴，，，∴當(dāng)M在AD上時，0≤t≤3，，，∴，當(dāng)M在BD上時，3＜t≤4，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．6．如圖，拋物線為常數(shù)且與軸交于點，過點作軸的垂線，與交于點，點是的頂點.則下列說法；①當(dāng)時，射線經(jīng)過線段的一個端點；②當(dāng)時，射線經(jīng)過線段的一個四等分點；③當(dāng)時，射線會經(jīng)過線段的中點；④當(dāng)時，射線會經(jīng)過線段的一個四等分點.其中錯誤的是A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【分析】由求出，，分別求出的中點為，線段的四等分點坐標(biāo)為，，，，，頂點，直線的解析式為，再結(jié)合選項進(jìn)行判斷即可.【解析】解：①當(dāng)時，，對稱軸為直線，，令，則，，軸，，設(shè)直線的解析式為，，，當(dāng)時，，點在直線上，射線經(jīng)過線段的一個端點；故①不符合題意；②當(dāng)時，，，，可求直線的解析式為，當(dāng)時，，解得，直線上有一點，，令，則，解得或，，，線段的四等分點坐標(biāo)為，，，，，射線經(jīng)過線段的一個四等分點；故②不符合題意；③與軸的交點，令，則，解得或，，的中點為，的頂點為，直線的解析式為，將點代入，，，不存在，故③符合題意；④線段的四等分點坐標(biāo)為，，，，，直線的解析式為，將點，代入，可得；將點代入，可得；將點，代入，可得；，射線不會經(jīng)過線段的一個四等分點，故④符合題意；故選：B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線的解析式是解題的關(guān)鍵.二、填空題7．小剛家裝有一種可調(diào)節(jié)淋浴噴頭高度的淋浴器，完全開啟后，水流近似呈拋物線狀，升降器AB和淋浴噴頭BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．剛開始時，OA＝140cm，水流所在的拋物線恰好經(jīng)過點A，拋物線落地點D和點O相距70cm．為了方便淋浴，淋浴器仍需完全處于開啟的狀態(tài)，且要求落地點和點O的距離增加10cm，則小剛應(yīng)把升降器AB向上平移____________cm．【答案】60【分析】過點C作延長線于點E，先求出BE的長，再以點O為原點，OA為y軸正方向，OD為x軸正方向，以1cm為一個單位，建立直角坐標(biāo)系，得出A、C、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再把拋物線向上平移k個單位，再把坐標(biāo)代入解析式求出k的值即可．【解析】解：過點C作延長線于點E，cm以點O為原點，OA為y軸正方向，OD為x軸正方向，以1cm為一個單位，建立直角坐標(biāo)系，則設(shè)此時拋物線解析式為：代入點得，，整理得，解得設(shè)小剛應(yīng)把升降器向上平移kcm，即將拋物線向上平移k個單位，則拋物線解析式為：將代入解析式得，即小剛應(yīng)把升降器向上平移60cm故答案為：60【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)實際情況建立直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求解析式．8．矩形ABCD中，點P從點A出發(fā)，沿AB邊以每秒1個單位的速度向B點運動，至B點停止；同時點Q也從A點出發(fā)，以同樣的速度沿A-D-C-B的路徑運動，至B點停止，在此過程中△APQ的面積y與運動時間t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，則m的值為________【答案】24【分析】根據(jù)△APQ的面積y與運動時間t的函數(shù)關(guān)系圖象先算出矩形ABCD中AD邊的長，然后根據(jù)最后運動時間為20s時，△APQ的面積為0，得出此時點Q運動到了點B上，得出，從而求出DC的長度，即可求出m的值．【解析】當(dāng)點Q在AD上時，△APQ的面積y與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式為：，根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)點Q運動到D上時，，即，解得，（不合題意舍去）∴，∵根據(jù)函數(shù)圖象可知，Q點運動到B點用的時間為20s，∴，∴，∴點P從A點運動到B點用的時間為：，∴，∴此時的面積為：，即．故答案為：24．【點睛】本題主要考查了動點圖象問題，涉及矩形的性質(zhì)，三角形面積的計算，解決本題的關(guān)鍵是弄清楚不同時段，圖象和圖形的對應(yīng)關(guān)系．9．一個玻璃杯豎直放置時的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線，為同一拋物線的一部分，，都與水平地面平行，當(dāng)杯子裝滿水后，，液體高度，將杯子繞傾斜倒出部分液體，當(dāng)傾斜角時停止轉(zhuǎn)動，如圖2所示，此時液面寬度________，液面到點所在水平地面的距離是________．【答案】

【分析】建立以拋物線對稱軸為y軸，以DC為x軸的平面直角坐標(biāo)系，作∠ABE=45°，交拋物線于E，交x軸于F點，過B作于M點．分別求出拋物線、直線BE的解析式，以及E點坐標(biāo)，利用長度公式及勾股定理，勾股逆定理即可得出答案．【解析】解：依題意建立如圖平面直角坐標(biāo)系，作∠ABE=45°，交拋物線于E，交x軸于F點，過B作于M點，依題意得：，BM=12，設(shè)拋物線的解析式為：把A、B、C點坐標(biāo)代入得：∴∴∴∵∴∵∴∴∵∴設(shè)直線BF的解析式為：把B、M點坐標(biāo)代入得：∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴又∵∴∴∴C到點BE的距離為：故圖2中液面到點所在水平地面的距離是故答案為：，【點睛】本題考查了二次函數(shù)與實際問題的應(yīng)用，計算量較大，需要學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，以及利用勾股逆定理來判別直角三角形．10．“水晶晶南潯”的美食文化中以特有的雙交畫出名，盛面的瓷碗截面圖如圖1所示，碗體DEC呈拋物線狀（碗體厚度不計），點E是拋物線的頂點，碗底高EF＝1cm，碗底寬AB＝2cm，當(dāng)瓷碗中裝滿面湯時，液面寬CD＝8cm，此時面湯最大深度EG＝6cm，將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，如圖2，當(dāng)∠ABK＝30°時停止，此時液面CH寬_____cm；碗內(nèi)面湯的最大深度是_____cm．【答案】

【分析】以F為原點，直線AB為x軸，直線EF為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得出E、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當(dāng)∠ABK=30時停止，所以旋轉(zhuǎn)前CH與水平方向的夾角為30°，即∠DCH=30°，求出CH與y軸的交點坐標(biāo)G，把點C、G代入求出直線CH的解析式，聯(lián)立兩個函數(shù)求出交點坐標(biāo)，用兩點間的距離公式求出CH的長度；將直線CH向下平移與拋物線只有一個交點時，兩直線間的距離最短，利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題求出平移后的函數(shù)解析式，作GJ⊥l1，得出直角三角形，求出兩條直線間的距離即為碗內(nèi)面湯的最大深度是．【解析】以F為原點，直線AB為x軸，直線EF為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：由題意知：F（0，0），E（0，1），C（，7），D（，7），設(shè)拋物線的解析式為：，把點C（，7）代入得，，解得：a＝，∴，將瓷碗繞點B緩緩傾斜倒出部分面湯，當(dāng)∠ABK＝30°時停止，所以旋轉(zhuǎn)前CH與水平方向的夾角為30°，即∠DCH＝30°，設(shè)直線CH的解析式為y＝kx+b，與y軸交于點G，如圖：由題意知：點C（，7），∵∠DCH＝30°，CK＝，∴KG＝tan30°＝4，∴FG＝3，即點G（0，3），∴，解得：，∴直線CH的解析式為：y＝x+3，由，解得或，∴H（，），∴CH＝．把直線CH：y＝x+3，向下平移m個單位得到直線：y＝，當(dāng)直線與拋物線只有一個交點時，兩平行線之間的距離最大，過G作GJ⊥，交于點J，與y軸交于點M，GJ的長即為碗內(nèi)面湯的最大深度，聯(lián)立，整理為：，∵只要一個交點，∴Δ＝0，即，解得：，∴直線l1的解析式為：，∴點M（0，），GM＝3﹣＝，∵CH與水平面的夾角為30°，∴直線與水平面的夾角為30°，即∠MGJ＝30°，∴在Rt△GMJ中，GJ＝GMcos30°＝，即碗內(nèi)面湯的最大深度為：，故答案為：，．【點睛】題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)以及直角三角形在實際生活中的應(yīng)用，建立合適的直角坐標(biāo)系和待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．探照燈的內(nèi)部可以看成是拋物線的一部分經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的拋物曲面．其原理是過某一特殊點的光線，經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對稱軸，我們稱這個特殊點為拋物線的焦點．若拋物線的表達(dá)式為，則拋物線的焦點為．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，某款探照燈拋物線的表達(dá)式為，焦點為F．(1)點F的坐標(biāo)是___________；(2)過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，已知沿射線FA方向射出的光線，反射后沿射線射出，所在直線與x軸的交點坐標(biāo)為．①畫出沿射線方向射出的光線的反射光線；②所在直線與x軸的交點坐標(biāo)為___________．【答案】(1)(2)①見解析，②【分析】（1）根據(jù)題意得出，即可確定點F的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)題意確定軸，得出，經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，軸，據(jù)此作出平行線即可；②設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式，然后與聯(lián)立求解即可得出結(jié)果．（1）解：根據(jù)題意得，，∴，∴，故答案為：；（2）由題意可知拋物線的對稱軸是y軸，∴經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于拋物線的對稱軸，即經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，∴軸∵所在的直線與x軸的交點坐標(biāo)為，∴A點的橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)為，∴，①經(jīng)拋物線反射后所得的光線平行于y軸，∴軸∴畫出沿射線方向射出的光線的反射光線，如下圖所示：②設(shè)直線的解析式為，把、代入，得，解得：∴直線的解析式為，由題意可知，直線與拋物線交于A、B兩點，把代入整理得，解得：，，∵點B在y軸的左側(cè)，∴B點的橫坐標(biāo)為，∵軸，∴所在直線與x軸的交點坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合問題等，理解題意，綜合運用一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．圖是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線：近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點O正上方4米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線：運動．(1)當(dāng)運動員運動到離A處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)在（1）的條件下，當(dāng)運動員運動水平線的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？(3)當(dāng)運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求b的取值范圍．【答案】(1)(2)當(dāng)運動員運動水平線的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米(3)【分析】（1）點，點代入拋物線，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）運動員與小山坡的豎直距離為1米，結(jié)合圖形根據(jù)，解方程即可求解；（3）將化為頂點式，求得坡頂坐標(biāo)為，根據(jù)當(dāng)運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，列出不等式，解不等式即可求解．（1）根據(jù)題意可知：點，點代入拋物線：得，，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式；（2）∵運動員與小山坡的豎直距離為1米，∴，解得：（不合題意，舍去），，故當(dāng)運動員運動水平線的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米；（3）∵點，∴拋物線：，∵拋物線：，∴坡頂坐標(biāo)為，∴當(dāng)運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，，解得：.【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，根據(jù)題意求得解析式是解題的關(guān)鍵．13．某水果店購進(jìn)某種水果的成本為20元/千克，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來30天的銷售單價P（單位：元/千克）與時間（單位：天）之間的關(guān)系如圖所示的直線上，銷售量Q（單位：千克）與時間（天）的函數(shù)解析式為：．(1)求P關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求該水果店銷售利潤最大時的x的值；(3)為響應(yīng)政府“精準(zhǔn)扶貧”的號召，該店決定每銷售1千克水果就捐贈n（n為正整數(shù)）元給“精準(zhǔn)扶貧”對象．欲使捐贈后不虧損，且利潤隨時間x（x為正整數(shù)）的增大而增大，求捐贈額n的值．【答案】(1)；(2)該水果店銷售利潤最大時的x的值為10；(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)該水果店銷售利潤為y元，根據(jù)總利潤等于每千克的利潤乘以銷售量，列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，將其寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）設(shè)捐贈后的利潤為w（元），根據(jù)總利潤等于（每千克的利潤?捐贈額）乘以銷售量，列出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及欲使捐贈后不虧損，且利潤隨時間x（x為正整數(shù)）的增大而增大，可列出不等式，進(jìn)而求得n的值．（1）解：設(shè)P關(guān)于x的函數(shù)解析式為，將，代入，得：，解得：，∴P關(guān)于x的函數(shù)解析式為；（2）解：設(shè)該水果店銷售利潤為y元，由題意得：，∴當(dāng)時，y取最大值1250，∴該水果店銷售利潤最大時的x的值為10；（3）解：設(shè)捐贈后的利潤為w（元），由題意得：，∵二次項系數(shù)為，拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，w隨x的增大而增大；當(dāng)時，w隨x的增大而減??；∵利潤隨時間x（x為正整數(shù)）的增大而增大，∴，解得：，∵捐贈后不虧損∴當(dāng)時，，解得：，∴，∵n為正整數(shù)，∴．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分，若記水柱上某一位置與水管的水平距離為米，與湖面的垂直高度為米，下面的表中記錄了與的五組數(shù)據(jù)：米米根據(jù)上述信息，解決以下問題：(1)在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示與函數(shù)關(guān)系的圖象；(2)若水柱最高點距離湖面的高度為米，則______；(3)現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過，如圖所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于米．已知游船頂棚寬度為米，頂棚到湖面的高度為米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度噴水頭忽略不計至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計算說明理由結(jié)果保留一位小數(shù)．【答案】(1)見解析(2)1.5(3)公園應(yīng)將水管露出湖面的高度噴水頭忽略不計至少調(diào)節(jié)到米才能符合要求【分析】（1）建立坐標(biāo)系，描點．用平滑的曲線連接即可；（2）觀察圖象即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求出最高點的高度，設(shè)二次函數(shù)的頂點式，求解原拋物線的解析式；設(shè)出二次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可．（1）解：以噴泉與湖面的交點為原點，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：（2）解：根據(jù)題意可知，該拋物線的對稱軸為x＝2，此時最高，即m＝1.5，故答案為：1.5；（3）解：根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將代入，得，拋物線的解析式為：，設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：，由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為時，縱坐標(biāo)的值大于，，解得，水管高度至少向上調(diào)節(jié)1.1米，（米），公園應(yīng)將水管露出湖面的高度噴水頭忽略不計至少調(diào)節(jié)到1.6米才能符合要求．【點睛】本題屬于二次函數(shù)的應(yīng)用，主要考查待定函數(shù)求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵在于掌握由二次函數(shù)的圖象建立二次函數(shù)模型．15．某校為配合疫情防控需要，每星期組織學(xué)生進(jìn)行核酸抽樣檢測；防疫部門為了解學(xué)生錯峰進(jìn)入操場進(jìn)行核酸檢測情況，調(diào)查了某天上午學(xué)生進(jìn)入操場的累計人數(shù)y（單位：人）與時間x（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：數(shù)據(jù)如表．時間x（分鐘）0123…8x>8累計人數(shù)y（人）0150280390…640640(1)求a，b，c的值；(2)如果學(xué)生一進(jìn)入操場就開始排隊進(jìn)行核酸檢測，檢測點有4個，每個檢測點每分鐘檢測5人，求排隊人數(shù)的最大值（排隊人數(shù)=累計人數(shù)已檢測人數(shù)）；(3)在（2）的條件下，全部學(xué)生都完成核酸檢測需要多少時間？如果要在不超過20分鐘讓全部學(xué)生完成核酸檢測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個檢測點？【答案】(1)，，(2)490人(3)從一開始應(yīng)該至少增加3個檢測點【分析】（1）根據(jù)題意列方程，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)排隊人數(shù)=累計人數(shù)已檢測人數(shù)，首先找到排隊人數(shù)和時間的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，找到排隊人數(shù)最多時有多少人；8分鐘后入校園人數(shù)不再增加，檢測完所有排隊同學(xué)即完成所有同學(xué)體溫檢測；（3）設(shè)從一開始就應(yīng)該增加個檢測點，根據(jù)不等關(guān)系“要在20分鐘內(nèi)讓全部學(xué)生完成體溫檢測”，建立關(guān)于的一元一次不等式，結(jié)合為整數(shù)可得到結(jié)果．（1）將，，代入，得，解之得，，；（2）設(shè)排隊人數(shù)為w，由（1）知，由題意可知，，當(dāng)時，，∴時，排隊人數(shù)的最大值是490人，當(dāng)時，，，∵-20<0，隨自變量的增大而減小，∴w<640-20×8=480，由得，排隊人數(shù)最大值是490人；（3）在（2）的條件下，全部學(xué)生完成核酸檢測時間（分鐘）設(shè)從一開始增加n個檢測點，則，解得，∵n為整數(shù)，∴從一開始應(yīng)該至少增加3個檢測點．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式是本題的關(guān)鍵．16．拋物線：與直線：交于、兩點，且．(1)求和的值（用含的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)時，拋物線與軸的另一個交點為．求的面積；當(dāng)時，則的取值范圍是______．(3)拋物線：的頂點，求出與的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)為何值時，點達(dá)到最高．(4)在拋物線和直線所圍成的封閉圖形的邊界上把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為“美點”，當(dāng)時，直接寫出“美點”的個數(shù)______；若這些美點平均分布在直線的兩側(cè)，的取值范圍：______．【答案】(1)，(2)①10；②(3)，當(dāng)時，此時點達(dá)到最高(4)；【分析】將點分別代入拋物線和直線解析可得出結(jié)論；由可得出，令，可得出的值，進(jìn)而可得出點的坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線和直線的解析式，可得出點的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式可得出結(jié)論；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出當(dāng)時，拋物線的增減性，進(jìn)而可得出的取值范圍；將拋物線的解析式化為頂點式，可得出的值，進(jìn)而可得出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；求出拋物線與直線的交點，在其范圍內(nèi)，根據(jù)拋物線解析式和直線解析式的特點確定“美點”的個數(shù)；根據(jù)題意若這些美點平均分布在直線的兩側(cè)，則直線在點和之間，由此求出的值，進(jìn)而得出結(jié)論．（1）解：將點代入直線：，，；將點代入拋物線：，，；綜上，，；（2）當(dāng)時，，拋物線的解析式為：．令，則或，，令，解得或，．．當(dāng)時，函數(shù)隨的增大而增大，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，的取值范圍為：．故答案為：．（3）拋物線：，拋物線的頂點為，，，當(dāng)時，的最大值為，此時點達(dá)到最高．綜上，，當(dāng)時，此時點達(dá)到最高．（4）當(dāng)時，拋物線：，直線：，由得，，，拋物線與直線的交點是和，當(dāng)時，在和上的邊界上，當(dāng)橫坐標(biāo)是整數(shù)時，縱坐標(biāo)也是整數(shù)，“美點”共有：個；當(dāng)過點時，直線下方有個，直線上方有個，此時，解得；當(dāng)過點時，直線下方有個，上方有個，此時，解得；若這些美點平均分布在直線的兩側(cè)，的取值范圍：．故答案為：；．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，新定義“美點”，二次函數(shù)的應(yīng)用，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．培優(yōu)第三階——中考沙場點兵一、單選題1．（2022·河北·新樂市實驗學(xué)校模擬預(yù)測）小高發(fā)現(xiàn)，用微波爐加工爆米花時，時間太短，一些顆粒沒有充分爆開；時間太長，就糊了.如果將爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足的函數(shù)關(guān)系（、、是常數(shù)），小高記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)（如下圖）.根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（

）A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題即可．【解析】解：由題意得：，解得：，故二次函數(shù)解析式為：，∴當(dāng)時，食用率最高；故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的最值問題．解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給信息準(zhǔn)確的求出函數(shù)解析式．2．（2022·云南昆明·二模）根據(jù)防疫的相關(guān)要求，學(xué)生入校需晨檢，體溫超標(biāo)的同學(xué)須進(jìn)入臨時隔離區(qū)進(jìn)行留觀．某校要建一個長方形臨時隔離區(qū)，隔離區(qū)的一面利用學(xué)校邊墻（墻長5米），其它三面用防疫隔離材料搭建，但要開一扇1米寬的進(jìn)出口（不需材料），共用防疫隔離材料10米搭建的隔離區(qū)的面積最大為（

）平方米．A． B．25 C． D．15【答案】C【分析】設(shè)這個隔離區(qū)一邊AB長為x米，則另一邊BC長為（10-x+1）米，根據(jù)隔離區(qū)面積為S平方米，列出二次函數(shù)表達(dá)式，配方后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解析】設(shè)這個隔離區(qū)一邊AB長為x米，則另一邊BC長為（10-x+1）米，依題意，隔離區(qū)的面積為S=x?（10-x+1）=-x2+x=-（x-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)x=時，隔離區(qū)有最大面積，最大面積為平方米，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出二次函數(shù)表達(dá)式．3．（2022·河北石家莊·三模）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m）．有下列結(jié)論：①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面CD的距離為1.8m；④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．其中結(jié)論正確的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【答案】B【分析】根據(jù)兩點距離公式可計算AB長度，由圖像可知拋物線的對稱軸和點坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式，將已知點坐標(biāo)代入即可得出拋物線方程，進(jìn)而逐項判斷即可．【解析】①由題可知，AB=15－（﹣15）=30m，則①錯誤；②對稱軸為y軸，交y軸于點(0，﹣5)，設(shè)函數(shù)解析式為,將點(15,0)代入解析式得，解得，池底所在拋物線解析式為，則②正確；③將代入解析式得，解得，則池塘最深處到水面CD的距離為m,則③錯誤；④設(shè)原寬度為時最深處到水面的距離為m，寬度減少為原來的一半時距離為m，故④正確，所以①、③錯誤，②、④正確，選項B正確，符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了拋物線的圖像與性質(zhì)的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是結(jié)合圖像設(shè)出適當(dāng)?shù)慕馕鍪?，利用待定系?shù)法求解．4．（2022·河南南陽·三模）如圖，正方形ABCD的邊長為5，動點P的運動路線為，動點Q的運動路線為．點P與Q以相同的均勻速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，當(dāng)一個點到達(dá)終點且停止運動時，另一個點也隨之停止．設(shè)點P運動的路程為x，的面積為y，則y隨x變化的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分兩種情況：P點在AB上運動和P點在BC上運動時；分別求出解析式即可．【解析】解：（1）點P在AB上運動時，0＜x≤5，如圖，∵正方形ABCD的邊長為5，點P與Q以相同的均勻速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，作QE⊥AB交AB于點E，則有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠DBC＝45°，∴BP＝5?x，QE＝，∴△BPQ的面積為：y＝BP?QE＝×(5?x)×=（0＜x≤5），∴此時圖象為拋物線開口方向向下；（2）點P在BC上運動時，5＜x≤5，如圖，∵正方形ABCD的邊長為5，點P與Q以相同的均勻速度分別從A，B兩點同時出發(fā)，作QE⊥BC交BC于點E，則有AB＋BP＝BQ＝x，∠DBC＝45°，∴BP＝x?5，QE＝，∴△BPQ的面積為：y＝BP?QE＝×（x?5）×=（5＜x≤5），∴此時圖象是拋物線一部分，開口方向向上，且y隨x的增大而增大；綜上，只有選項B的圖象符合，故選：B．【點睛】本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象，分類討論，正確的求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南周口·二模）如圖，中，，點為邊上一個不與、重合的一個動點，過點作與點，作的中線，當(dāng)點從點出發(fā)勻速運動到點時，設(shè)的面積為，，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則的面積為（

）A． B． C．19 D．18【答案】A【分析】分析可知當(dāng)，此時，動點D運動到點C，此時，求出，，利用，求出，進(jìn)一步求出AB，再利用即可求出結(jié)果．【解析】解：由題意可知：當(dāng)，此時，動點D運動到點C，此時，設(shè)，∵，∴，∵，∴，即：，∴，，∵，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查動點問題、勾股定理、正切值、二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖象找出AB，DE的長．二、填空題6．（2022·江蘇·海安市城南實驗中學(xué)一模）如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．【答案】10【分析】成績就是當(dāng)高度y=0時x的值，所以解方程可求解．【解析】解：當(dāng)y=0時，，解得：（不合題意，舍去），所以推鉛球的距離是10米；故答案為：10．【點睛】本題考查了把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，滲透了函數(shù)與方程相結(jié)合的解題思想方法．7．（2022·湖北襄陽·二模）如圖，某單位的圍墻由一段段形狀相同的拋物線形柵欄組成，為了牢固，每段柵欄間隔0.2米設(shè)置一根立柱（即AB間間隔0.2米的7根立柱）進(jìn)行加固，若立柱EF的長為0.28米，則拱高OC為_____米【答案】0.64【分析】根據(jù)拋物線，建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線解析式，即可求得OC的長．【解析】解：如圖，以點C為坐標(biāo)系原點，OC所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)拋物線的解析式為，由題意可知：點A的橫坐標(biāo)為－0.8，點F的橫坐標(biāo)為－0.6，代入，有，，點A的縱坐標(biāo)即為OC的長，∴0.36a＋0.28＝0.64a，解得a＝1，∴拋物線解析式為，，故OC的長為：0.64m．【點睛】本題考查根據(jù)拋物線構(gòu)建直角坐標(biāo)系，解決實際問題，熟練掌握二次函數(shù)相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．8．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點C在y軸正半軸上，拋物線經(jīng)過點B、C．（1）點B的坐標(biāo)為______．（2）若拋物線的頂點在正方形OABC的內(nèi)部，則a的取值范圍是______．【答案】

B（2，2）

0<a<2【分析】（1）觀察圖象即可得到，求得對稱軸為直線，即可求得，即可求出點B的坐標(biāo)；（2）易求得，得到拋物線為，根據(jù)題意得到，即可求解．【解析】解：（1）∵拋物線開口向上，∴．∵對稱軸為直線，且經(jīng)過點B、C，∴，∴正方形的邊長為2，∴，故答案為：B（2，2）；（2）可求得點C坐標(biāo)為（0，2），∴．∴拋物線為．∵拋物線的頂點在正方形OABC的內(nèi)部，∴，解得，∴．故答案為：.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，坐標(biāo)與圖形、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)、解一元一次不等式組，根據(jù)題意得到關(guān)于a的不等式組是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2022·遼寧遼寧·模擬預(yù)測）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價格購進(jìn)一批山野菜，市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：每千克售價x（元）……202224……日銷售量y（千克）……666054……(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每千克山野菜的售價定為多少元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？【答案】(1)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+126(2)當(dāng)每千克山野菜的售價定為28元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大，最大利潤為420元．【分析】（1）運用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為w元，然后根據(jù)總利潤等于每千克的利潤×銷售量，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．(1)解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由表中數(shù)據(jù)得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+126；(2)設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為w元，由題意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，∵市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元，∴18≤x≤28，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＜30時，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝28時，w最大，最大值為420，∴當(dāng)每千克山野菜的售價定為28元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大，最大利潤為420元．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)．10．（2022·江蘇南通·一模）為有效防范疫情風(fēng)險，保障廣大市民身體健康和生命安全，我市在8月7日～11日進(jìn)行了全員核酸檢測實戰(zhàn)演練．某檢測點從早上7：30開始等待檢測，檢測人數(shù)y（人）與時間x（分鐘）的關(guān)系如圖所示．（圖象ABC段是拋物線，CD段在x軸上）(1)請觀察圖象，7：30時等待檢測的居民有人；(2)當(dāng)0≤x≤30時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)何時開始，居民可以隨到隨測？【答案】(1)65(2)y＝﹣（x﹣30）2+245(3)從8：35時，居民可以隨到隨測【分析】（1）觀察圖象即可得；（2）根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣30）2+245，把（0，65）代入即可得；（3）根據(jù)題意，當(dāng)y＝0時，計算0＝﹣（x﹣30）2+245，即可得．（1）解：觀察圖象得，7：30時等待檢測的居民有65人，故答案為：65．（2）解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（30，245），∴設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝a（x﹣30）2+245，把（0，65）代入得，65＝a（0﹣30）2+245，解得：，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為．（3）解：由（2）知，拋物線的解析式為；當(dāng)y＝0時，即，解得：x1＝65，x2＝﹣5（不合題意舍去），∴從8：35時，居民可