估計量的評價及區(qū)間估計教學設計

Administrator[日期]概率論與實用文檔概率論與數理統(tǒng)計教學設計課程名稱經濟應用數學C課時50+50=100分鐘任課教師蔡東平專業(yè)與班級市營B1601班人資B1601-02班課型新授課課題估計量評價準則區(qū)間估計學習目標知識與技能1.理解并掌握估計量評價的三個準則：無偏性、有效性、相合性;2.理解置信區(qū)間的概念;3．掌握一個總體參數均值、方差的區(qū)間估計．4.了解兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.了解兩個總體均值之差的估計：匹配樣本6.了解兩個總體比例之差的區(qū)間估計過程與方法1.從上節(jié)課例子中引入新課。2.通過具體例子理解無偏性、有效性、相合性.3.通過具體的應用性例題，理解置信區(qū)間.4理解大樣本的估計方。掌握一個總體參數均值、方差的區(qū)間估計。5.基于學生的基礎狀況，采用“交互探究式教學”，用直觀的方式，引導學生了解兩個總體均值之差的區(qū)間估計了解兩個總體均值之差的估計：匹配樣本；了解兩個總體比例之差的區(qū)間估計。情感態(tài)度與價值觀1.培養(yǎng)學生能夠自覺地用統(tǒng)計的視角觀察生活，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結規(guī)律，將概率統(tǒng)計方法用于分析和探討生活中的實際問題，提高認知能力和水平.2.讓學生理解，一個真理的發(fā)現(xiàn)不是一蹴而就的，需要經過有簡單到復雜，由具體到抽象的不斷深入的過程.教學分析教學內容1.估計量評價的三個準則：無偏性、有效性、相合性;2.置信區(qū)間的概念;3．一個總體參數均值、方差的區(qū)間估計．4.兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.兩個總體均值之差的估計：匹配樣本6.兩個總體比例之差的區(qū)間估計教學重點1.估計量評價的三個準則：無偏性、有效性、相合性;2.置信區(qū)間的概念;3．一個總體參數均值、方差的區(qū)間估計．教學難點1.相合性;2.置信區(qū)間的概念;3．一個總體參數方差的區(qū)間估計．4.兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.兩個總體均值之差的估計：匹配樣本6.兩個總體比例之差的區(qū)間估計教學方法與策略課堂教學設計思路對于總體分布中一個未知參數，可提出不同的估計量θ的估計量，矩估計：極大似然估計：這就出現(xiàn)了比較好壞的問題，給出評定好壞標準。區(qū)間估計是在點估計基礎上，給出總體參數估計的一個區(qū)間，由此可以衡量點估計值可靠性的度量。這個區(qū)間通常是由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差而得到。以樣本均值的區(qū)間估計來說明區(qū)間估計原理：根據樣本均值的抽樣分布可知，重復抽樣或無限總體抽樣情況下，樣本均值的數學期望值等于總體均值，樣本均值的標準誤差等于，由此可知，樣本均值落在總體均值兩側各為一個標準誤差范圍內的概率為0.6827，兩個標準誤差范圍0.9545，三個標準誤差范圍0.9973，并可計算出樣本均值落在的兩側任何一個標準誤差范圍內的概率（根據已知的，計算）。但實際估計時，是未知的，因而不再是估計樣本均值落在某一范圍內的概率，而只能根據已設定的概率計算這個范圍的大小。例如：約有95%的樣本均值會落在距的兩個標準誤差范圍內，即約有95%的樣本均值所構造的兩個標準誤差的區(qū)間會包括。在區(qū)間估計中，由樣本統(tǒng)計量所構造的總體參數的估計區(qū)間，稱為置信區(qū)間，區(qū)間的最小值為置信下限，最大值為置信上限。例如，抽取了1000個樣本，根據每個樣本構造一個置信區(qū)間，其中有95％的區(qū)間包含了真實的總體參數，而5%的沒有包括，則稱95％為置信水平／置信系數。構造置信區(qū)間時，可以用所希望的值作為置信水平，常用的置信水平是90％，95％，99％，見下表：置信水平/2/290%0.100.051.64595%0.050.0251.9699%0.010.0052.58稱為顯著性水平，表示用置信區(qū)間估計的不可靠的概率，1-為置信水平。如何解釋置信區(qū)間：如用95%的置信水平得到某班學生考試成績的置信區(qū)間為（60，80），即在多次抽樣中有95%的樣本得到的區(qū)間包含了總體真實平均成績，（60，80）這個區(qū)間有95%的可能性屬于這些包括真實平均成績的區(qū)間內的一個。板書設計1.估計量評價的三個準則：無偏性、有效性、相合性;2.置信區(qū)間的概念;3．一個總體參數均值、方差的區(qū)間估計．4.兩個總體均值之差的區(qū)間估計5.兩個總體均值之差的估計：匹配樣本6.兩個總體比例之差的區(qū)間估計教學進程1．無偏性（15分鐘）教學意圖教學內容教學環(huán)節(jié)累計15分鐘通過上一節(jié)課學習，我們已經發(fā)現(xiàn)，點估計有各種不同的求法，為了在不同點估計間進行比較選擇，就必須對各種點估計的好壞給出評價標準.對小樣本而言，需要一些其他的評價標準，無偏性便是一個常用的評價標準.設為參數θ的一個估計量，若E（）=θ，則稱為θ的一個無偏估計量。稱|E（-θ）|為系統(tǒng)誤差。無偏性要求可以改寫為，這表示無偏估計沒有系統(tǒng)偏差.當我們使用估計時,由于樣本的隨機性,與總是有偏差的,這種偏差時而（對某些樣本觀測值）為正,時而（對另一些樣本觀測值）為負,時而大,時而小.無偏性表示，把這些偏差平均起來其值為0，這就是無偏估計的含義.而若估計不具有無偏性，則無論使用多少次，其平均也會與參數真值有一定距離，這個距離就是系統(tǒng)誤差.例1對任一總體而言，樣本均值是總體均值的無偏估計.當總體k階矩存在時,樣本k階原點矩是總體k階原點矩的無偏估計.但對k階中心矩則不一樣,譬如,樣本方差就不是總體方差的無偏估計,因為在前面已經指出：.對此，有如下兩點說明：當樣本趨于無窮時，有，我們稱為的漸近無偏估計，這表明當樣本量較大時，可近似看作的無偏估計.若對作如下修正：，(6.2.5)則是總體方差的無偏估計.這種簡單的修正方法在一些場合被采用.（6.2.5）定義的也稱為樣本方差，它比更常用.這是因為在時，<，因此用估計有偏小的傾向，特別在小樣本場合要使用估計.無偏性不具有不變性.即若是的無偏估計，一般而言，不是的無偏估計，除非是的線性函數.譬如，是的無偏估計，但s不是的無偏估計.下面我們以正態(tài)分布為例加以說明.時間：15分鐘對任一總體而言，樣本均值是總體均值的無偏估計2.有效性：（15分鐘）教學意圖教學內容教學環(huán)節(jié)有效性累計30分鐘設，同為θ的無偏估計，若D（）≤D（），則認為更為有效。例2．總體X~π（λ），為來自總體的樣本則，，，都是λ的無偏估計顯然更有效例3．證明：與（=1）同為E（X）=μ的無偏估計，但更有效證明：E（）=μ，E（）==μD（）=，D（）=，進而也就是說D（）≤D（）時間:15分鐘3.一致性（相合性）（20分鐘）教學意圖教學內容教學環(huán)節(jié)累計50分鐘數理統(tǒng)計中給出了眾多的估計量評價標準，對同一估計量實用不同的評價標準可能會得到完全不同的結論，因此在評價某一個估計好壞時首先要說明是在哪一個標準下，否則所論好壞則毫無意義.但不管怎么說，有一個基本標準時所有的估計都應該滿足的，它是衡量一個估計是否可行的必要條件，這就是估計的相合性，我們就從相合性開始。若，，，則稱為θ的一致估計量。如弱大數定理，，同理是總體均值μ的無偏，有效，一致估計量S2是總體方差σ2的無偏，有效，一致估計量在判斷估計的相合性時下述兩個定理是很有用的。定理6.2.1設是的一個估計量，若則是的相合估計。證明：對任意的，由切比雪夫不等式有另一方面，由可知，當充分大時有注意到此時如果，就有故由此即有定理得證。例設是來自均勻總體的樣本，證明的最大似然估計是相合估計。證明在例6.1.8中我們已經給出的最大似然估計是。由次序統(tǒng)計量的分布，我們知道的分布密度函數為故有由定理6.2.1可知，是的相合估計。定理6.2.2若分別是的相合估計，是的連續(xù)函數，則是的相合估計。證明有函數的連續(xù)性，對任意給定的，存在一個，當，有（6.2.3）又由的相合性，對給定的，對任意給定的，存在正整數，使得時,.從而有根據（6.2.3）,,故有,由的任意性，定理得證.由大數定律及定理6.2.2,我們可以看到，矩估計一般都具有相合性.比如：·樣本均值是總體均值的相合估計；·樣本標準差是總體標準差的相合估計；·樣本變異系數是總體變異系數的相合估計.例設一個試驗有三種可能結果，其發(fā)生概率分別為現(xiàn)做了次試驗，觀測到三種結果發(fā)生的次數分別為，可以采用頻率替換方法估計.由于可以有三個不同的的表達式：從而可以給出三種不同的頻率替換估計，它們分別是：由大數定律，分別是的相合估計，由定理6.2.2知，上述三個估計都是的相合估計.時間20分鐘隨著樣本量的增大，點估計值越來越接近總體參數。以樣本均值為例，抽樣分布時，樣本均之抽樣分布的標準誤差SE=/，樣本量越大，SE越小。當n無限大時，樣本均值稱為總體均值的一致估計量。下課休息10分鐘4.置信區(qū)間（10分鐘）教學意圖教學內容教學環(huán)節(jié)累計10分鐘定義2.5.1設是總體的一個參數，其參數空間為，是來自該總體的樣本，對給定的一個（0<<1）,假設有兩個統(tǒng)計量和,若對任意的，有則稱隨機區(qū)間是的的置信區(qū)間，和分別稱為的置信下限和置信上限。置信區(qū)間的頻率意義：置信水平1-：在大量重復使用的置信區(qū)間時，每次得到的樣本觀測值是不同的，從而每次得到的區(qū)間也不是不一樣的，對每次具體的觀測值而言，可能在內，也可能不在。平均而言，在大量的區(qū)間估計觀測值中，至少有包含。它是在點估計基礎上，給出總體參數估計的一個區(qū)間，由此可以衡量點估計值可靠性的度量。這個區(qū)間通常是由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差而得到。以樣本均值的區(qū)間估計來說明區(qū)間估計原理：根據樣本均值的抽樣分布可知，重復抽樣或無限總體抽樣情況下，樣本均值的數學期望值等于總體均值，樣本均值的標準誤差等于，由此可知，樣本均值落在總體均值兩側各為一個標準誤差范圍內的概率為0.6827，兩個標準誤差范圍0.9545，三個標準誤差范圍0.9973，并可計算出樣本均值落在的兩側任何一個標準誤差范圍內的概率（根據已知的，計算）。但實際估計時，是未知的，因而不再是估計樣本均值落在某一范圍內的概率，而只能根據已設定的概率計算這個范圍的大小。例如：約有95%的樣本均值會落在距的兩個標準誤差范圍內，即約有95%的樣本均值所構造的兩個標準誤差的區(qū)間會包括。在區(qū)間估計中，由樣本統(tǒng)計量所構造的總體參數的估計區(qū)間，稱為置信區(qū)間，區(qū)間的最小值為置信下限，最大值為置信上限。例如，抽取了1000個樣本，根據每個樣本構造一個置信區(qū)間，其中有95％的區(qū)間包含了真實的總體參數，而5%的沒有包括，則稱95％為置信水平／置信系數。構造置信區(qū)間時，可以用所希望的值作為置信水平，常用的置信水平是90％，95％，99％，見下表：置信水平/2/290%0.100.051.64595%0.050.0251.9699%0.010.0052.58稱為顯著性水平，表示用置信區(qū)間估計的不可靠的概率，1-為置信水平。如何解釋置信區(qū)間：如用95%的置信水平得到某班學生考試成績的置信區(qū)間為（60，80），即在多次抽樣中有95%的樣本得到的區(qū)間包含了總體真實平均成績，（60，80）這個區(qū)間有95%的可能性屬于這些包括真實平均成績的區(qū)間內的一個。時間10分鐘5.一個總體參數的區(qū)間估計（20分鐘）教學意圖教學內容教學環(huán)節(jié)累計30分鐘一、總體均值的的區(qū)間估計1、大樣本的估計方法當總體服從正態(tài)分布且方差已知，或者總體不是正態(tài)分布但為大樣本時，樣本均值的抽樣分布均為正態(tài)分布，其數學期望值等于總體均值，方差為/n。樣本均值經過標準化以后的隨即變量服從標準正態(tài)分布，Z=~N(0,1)對于的雙側置信區(qū)間，有P(＜Z)=1-或P(-Z＜Z＜Z)=1-，將統(tǒng)計量Z代入上式，得：P(-Z＜＜Z)=1-，經整理有P(-＜＜+)=1-總體均值所在（1-）置信水平下的置信區(qū)間為：（公式1），為標準正態(tài)分布右側面積為/2的z值，是估計總體均值時的允許誤差。/21-=95%/2-0如果總體為正態(tài)分布但方差未知，或總體不服從正態(tài)分布，只要大樣本條件下，公式2中的總體標準差可用樣本標準差代替，公式2例1：一家食品廠每天產量8000克左右。每袋產品規(guī)定重量100克，企業(yè)質檢部門為對產品質量進行監(jiān)測，經常抽檢分析每袋重量是否達標。先從某天生產的一批產品中隨機抽取25袋，測得25袋平均重量為105.36克。已知產品重量分布呈正態(tài)分布，總體標準差為10克。試估計該批產品平均重量在95%的置信水平下的置信區(qū)間。解：已知=10，n=25，置信水平1-=95%，查標準正態(tài)分布表得=1.96。=105.361.96×10/=105.363.92即該批食品平均重量的95%的置信區(qū)間為（101.44，109.28）。例2：一家保險公司收集到由36個投保人組成的隨機樣本，36人的平均年齡為39.5歲，標準差為7.77歲。試確立該公司投保人平均年齡90%的置信區(qū)間。解：已知，n=36，s=7.77，1-=90%，=1.645。由于總體方差未知，但為大樣本，可用樣本方差代替總體方差。=39.51.645×7.77/=39.52.13投保人平均年齡的90%的置信區(qū)間為（37.37，41.63）。2、小樣本的估計方法在總體為正態(tài)分布的情況下，抽取到小樣本時，如果方差已知可以按照公1構造；如果方差未知，則樣本均值經過標準化處理后的隨機變量不再服從Z分布，而是服從自由度為n-1的t分布，用s2代替，t=需要用t分布來構造總體均值的置信區(qū)間。t分布是類似于正態(tài)分布的一種對稱分布，通常其比正態(tài)分布平坦和分散，一個特定的t分布依賴于自由度。隨著自由度的增大，t分布逐漸趨于正態(tài)分布。標準正態(tài)分布自由度為20的t分布自由度為10的t分布根據t分布建立的總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為：公式3tα/2是自由度為n-1時，t分布中右面積為α/2時的t值，可通過查t分布表得。例3：已知某種燈泡的使用壽命服從正態(tài)分布，先從一批燈泡中隨機挑出16只，測得平均使用壽命為1490小時，樣本標準差為24.77小時，試確定該批燈泡平均壽命95%的置信區(qū)間。解：根據=0.05查表得，tα/2(n-1)=tα/2(15)=2.131。=14902.131×=149013.2該燈泡平均壽命的95%的置信區(qū)間為（1476.8，1503.2）。不同情況下總體均值的區(qū)間估計：總體分布樣本量方差已知方差未知正態(tài)分布大樣本（n≥30）小樣本（n＜30）非正態(tài)分布大樣本（n≥30）二、總體比例（二項總體參數P）的區(qū)間估計根據中心極限定理，當大樣本時，樣本比例分布可近似看作正態(tài)分布，p的數學期望等于總體比例，E(p)=π，p的方差等于σ2p=π(1-π)/n。p經過標準化的隨機變量服從標準正態(tài)分布，z=~N(0,1)可得大樣本總體比例在1-α置信水平下的區(qū)間估計公式：=公式4是總體比例的點估計，是允許誤差。例4：某城市希望了解下崗職工中女性的比例，隨機抽取100個下崗職工，其中65人為女性。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間。解：已知n=100，zα/2=1.96，樣本女性比例=65%，==65%1.96×=65%9.35%該城市下崗職工中女性比例的95%的置信區(qū)間是（55.65%，74.35%）。雖然樣本比例p隨著樣本量增大而近似服從正態(tài)分布，但n應該多大才能使其呈正態(tài)分布呢？這與樣本比例p的取值有關，當p接近0.5時，用較小的樣本就可使其服從正態(tài)，而當p接近0或1時，則需要大樣本。三、總體方差的區(qū)間估計樣本方差服從于自由度為n-1的卡方分布，所以用卡方分布構造總體方差的置信區(qū)間。總體方差在1-α的置信區(qū)間1-α/2α/2建立總體方差的置信區(qū)間，就是要找到一個值，使其滿足P(1-α/2≤≤α/2)=1-α由于=~（n-1），代入上式，有1-α/2≤≤α/2，可得總體方差在置信水平下的置信區(qū)間為：≤≤公式5例5：仍以例1為例，如不知道總體方差，抽查25袋食品的方差為93.21克。以95%的置信水平構造該廠食品重量方差的置信區(qū)間。解：根據顯著性水平α=0.05，自由度n-1=24，查卡方分布表得，α/2(24)=39.364,1-α/2(24)=12.401?？傮w方差的置信區(qū)間為：≤≤該廠食品總體重量方差的95%的置信區(qū)間為（56.83，180.39）。時間20分鐘6.兩個參數的區(qū)間估計（18分鐘）教學意圖教學內容教學環(huán)節(jié)累計48分鐘一、兩個總體均值之差的區(qū)間估計1、兩個總體均值之差的估計：獨立樣本（1）大樣本的估計方法如果兩個總體都為正態(tài)分布，或者都不是正態(tài)分布但都是樣本都是大樣本（n≥30），則(-)的抽樣分布服從于期望值為(μ1-μ2)，方差為σ12/n1+σ22/n2的正態(tài)分布。兩個樣本之差經過標準化后服從標準正態(tài)分布。當兩個總體的方差已知，(μ1-μ2)在1-α下的置信區(qū)間為：(-)公式6當兩個總體的方差未知，(μ1-μ2)在1-α下的置信區(qū)間為：(-)公式7例6：某地區(qū)教委想估計兩所中學的學生高考英語平均成績之差，現(xiàn)在兩所中學獨立抽取兩個隨機樣本，見下表。確定兩所中學高考英語平均分之差在95%的置信區(qū)間。中學1n1=46=86s1=5.8中學2n2=33=78S2=7.2解：(-)=(86-78)1.96×=82.97兩所中學高考英語平均分之差在95%的置信區(qū)間為（5.03，10.97）（2）小樣本估計方法兩個樣本都是小樣本的情況下，為估計兩個總體均值之差，需要作出以下假定：兩個總體都服從正態(tài)分布；兩個總體的方差相等；兩個隨機樣本分別獨立地抽自兩個總體。在上述假定下，無論樣本量大小，兩樣本均值之差都服從正態(tài)分布，當總體方差已知時，可用公式6計算。當兩個總體方差未知但相等時，則需要用兩個樣本的方差來估計，需要將兩個樣本數據組合在一起，計算聯(lián)合方差，用sp2表示，公式為：sp2=，公式8這樣，兩個樣本均值之差經過標準化后服從自由度為n1+n2-2的t分布。因此，兩總體均值之差在1-α下的置信區(qū)間：(-)公式9例7：為了估計兩種方法組裝產品所需時間的差異，分別對兩種不同組裝方法各隨機安排12名工人，方法1組的工人平均耗時32.5分鐘，方差為15.996分鐘；方法2組的工人平均耗時28.8分鐘，方差為19.358分鐘。假定兩種方法組裝產品的時間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平確定兩種方法組裝產品所需平均時間之差的置信區(qū)間。解：聯(lián)合方差sp2===17.677根據α=0.05，自由度=12+12-2=22，查t分布表得tα/2(22)=2.074。(-)=(32.5-28.8)2.074=3.73.56兩種方法組裝產品所需平均時間之差的95%的置信區(qū)間為（0.14，7.26）。2、兩個總體均值之差的估計：匹配樣本兩個獨立樣本存在潛在弊端，如例7當中如果存在樣本指定不公平，則會掩蓋兩種方法的真實差異。對此，可以使用匹配樣本，如例7可以選擇12個工人先用方法一組裝，再用方法二組裝，這樣得到匹配數據。使用匹配數據進行估計時，大樣本條件下，兩個總體均值之差μd=μ1-μ2在1-α置信水平下的置信區(qū)間：公式10（表示各差值的均值；表示各差值的標準差；當總體未知時則可用樣本表示。）小樣本公式為：(n-1)公式11例8：由10名學生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用AB兩套試卷進行測試，結果如下表所示：試建立兩種試卷平均分數之差在95%的置信區(qū)間。學生編號試卷A試卷B差值di17871726344193726111489845591741764951-27685513876601698577810553916解：=∑di/nd=110/10=11，sd==6.53根據自由度=9，查t分布表得(9)=2.262，(n-1)=112.262=114.67，得置信區(qū)間為（6.33，15.67）二、兩個總體比例之差的區(qū)間估計兩個二項總體中抽出兩個獨立樣本，兩個樣本比例之差的抽樣分布呈正態(tài)分布。由于兩個總體比例π1π2通常是未知的，所以用樣本比例p1、p2來代替。因此，根據正態(tài)分布建立的兩個總體比例之差在1-α下的置信區(qū)間為：(p1-p2)公式12例9：針對某個電視節(jié)目做收視率調查，在農村隨機調查400人，有32%的人收看了該節(jié)目；在城市中隨機調查500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以95%置信水平估計城鄉(xiāng)收視率差別的置信區(qū)間。解：城市收視率p1=45%，農村收視率p2=32%。當α=0.05時，=1.96。(p1-p2)=(45%-32%)1.96×=13%6.32%城鄉(xiāng)收視率差別的95%的置信區(qū)間為(6.68%，19.32%)三、兩個總體方差比的區(qū)間估計如相比較兩總體某種特征的穩(wěn)定性，須進行兩總體方差比的