專(zhuān)題13.10 期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（蘇科版）（解析版）

專(zhuān)題13.10期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【蘇科版】考點(diǎn)1考點(diǎn)1平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）汛期即將來(lái)臨，防汛指揮部在某水域一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射出的光束自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射出的光束自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，燈B射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足|a-3b|+(a+b-4)2=0．假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN(1)求a、b的值；(2)如圖2，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射出的光束到達(dá)AN之前，若兩燈射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，若∠BCD=20°，求∠(3)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射出的光束才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射出的光束到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？【答案】(1)a=3(2)30°(3)當(dāng)t=15秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．【分析】（1）根據(jù)a-3b+a+b-42=0，可得a-3b=0，且a+b-4=0，進(jìn)而得出（2）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)∠BCD=90°﹣∠BCA=90°-180°-2t=2t-90°=20°可得t的值，根據(jù)（3）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：①在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前，②在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后，分別求得t的值即可．【詳解】（1）∵a-3b+又∵a﹣∴a=3，（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，如圖，作CE//PQ，而∴PQ//∴∠ACE=∠CAN=180°-3t°，∠BCE=∠CBD=t°，∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，∵∠ACD=90°，∴∠BCD=90°﹣∴t=55°，∵∠CAN=180°-3t，∴∠BAC=45°-180°-3t（3）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行．依題意得0<t<150①當(dāng)0<t<60時(shí)，3t=30+t解得t=15；②當(dāng)60<t<120時(shí)，3t-3×60+30+t解得t=82.5；③當(dāng)120<t<150時(shí)，3t-360=t+30，解得t=195>150(不合題意)綜上所述，當(dāng)t=15秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類(lèi)思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．2．（2022春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，直線PQ∥MN，一副三角板（∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=30°，∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=45°）按如圖①放置，其中點(diǎn)E在直線PQ上，點(diǎn)B，C均在直線MN上，且CE平分(1)求∠DEQ的度數(shù)；(2)如圖②，若將△ABC繞B點(diǎn)以每秒5°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為F，G）．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒0≤t≤36；①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若邊BG∥CD，求②若在△ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，△CDE繞E點(diǎn)以每秒4°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△CDE有一邊與BG平行時(shí)t的值．【答案】(1)60°(2)①6；②103或【分析】（1）如圖，先求解∠ACN=180°-∠ACB=150°，∠ECN=12∠ACN=75°，由PQ（2）①如圖，由BG∥CD，可得∠GBC=∠DCN，可得∠GBC=30°，再列方程求解即可；②如圖，當(dāng)BG∥CD時(shí)，延長(zhǎng)DC交MN于R．證明∠GBN=∠DRN，過(guò)D作DS∥PQ，則PQ∥DS∥MN，可得∠QED=60°+4t°，∠DRN=90°-60+4t【詳解】（1）解：如圖①中，∵∠ACB=30°，∴∠ACN=180°-∠ACB=150°，∵CE平分∠ACN，∴∠ECN=1∵PQ∥∴∠QEC=180°-75°=105°，∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=60°．（2）①如圖②中，∵BG∥∴∠GBC=∠DCN，∵∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°，∴∠GBC=30°，∴5t=30，∴t=6．∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若邊BG∥CD，t的值為②如圖③中，當(dāng)BG∥CD時(shí)，延長(zhǎng)DC交MN于∵BG∥∴∠GBN=∠DRN，過(guò)D作DS∥PQ，則∴∠QED+∠DRN=∠EDS+∠RDS=∠EDR=90°，∵∠QED=60°+4t∴∠DRN=90°-60+4t∴5t=30-4t，∴t=10如圖③﹣1中，當(dāng)BG∥CD時(shí)，延長(zhǎng)DC交NM于∵BG∥∴∠GBN+∠DRM=180°，∵∠QED=60+4t°，同理：∴∠DRM=90°-180°-60°-4t°∴5t+4t-30=180，∴t=70綜上所述，滿足條件的t的值為103或70【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，角平分線的含義，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合，清晰的分類(lèi)討論都是解本題的關(guān)鍵．3．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）如圖，已知直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于O點(diǎn)，G點(diǎn)．P點(diǎn)是直線(1)如圖1，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)至AB與CD之間時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥PN分別交AB、CD于M、N．若∠BMP=14°，求∠PNG的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至直線AB上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥PN分別交AB、CD于M、N．作∠EPM的角平分線并反向延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)T，交CD于點(diǎn)Q，作∠NPF的角平分線與CD交于點(diǎn)H，若∠PHC=70°，求∠BTQ的度數(shù)；(3)過(guò)點(diǎn)P作PM⊥PN分別交AB、CD于M、N，設(shè)PN與AB交于點(diǎn)K，點(diǎn)O在MK之間，點(diǎn)M在點(diǎn)O的左邊且MO∶KO=3∶1，S△POK=8．沿直線EF方向平移直線CD，并保持CD始終在AB下方，使得S△MOG=4．連接MG、MN【答案】(1)76°(2)25°(3)109或【分析】（1）作PQ∥AB，根據(jù)AB∥CD得PQ∥AB∥CD，即可得∠MPQ=∠PMB=14°，（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠RPE=∠RPM=12∠EPM∠NPH=∠HPF=12∠NPF，根據(jù)PM⊥PN得∠MPN=90°，即可得∠EPM+∠NPF=90°，12∠EPM+12∠NPF=45°，則∠RPE=∠HPF=45°，根據(jù)∠RPE=∠QPG（3）分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AB的下方時(shí)，連接KG、ON，

根據(jù)MO∶KO=3∶1，S△POK=8得S△POM=3S△POK=24，根據(jù)S△MOG=4，可得OP∶OG=24∶4=6∶1，則S△OKG=16S△POK=43，即可得S△PKG=S【詳解】（1）解：如圖1，作PQ∥AB∵AB∥∴PQ∥∴∠MPQ=∠PMB=14°，∠QPN=∠PNG，∵PM⊥PN，∴∠MPN=90°，∴∠QPN=∠MPN-∠MPQ=90°-14°=76°，∴∠PNG=∠QPN=76°；（2）解：如圖2，∵RP平分∠EPM，∴∠RPE=∠RPM=1∵PH平分∠NPF，∴∠NPAH=∠HPF=1∵PM⊥PN，∴∠MPN=90°，∴∠EPM+∠NPF=90°，∴12∴∠RPE=∠HPF=45°，∵∠RPE=∠QPG，∴∠QPG+∠HPF=45°，即∠HPQ=45°，∵∠PHC是△PHQ的一個(gè)外角，且∠PHC=70°，∴∠PHC=∠HPQ+∠PQH，即∠PQH=∠PHC-∠HPQ=70°-45°=25°，∵AB∥∴∠BTQ=∠PQH=25°；（3）解：①如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在AB的下方時(shí)，連接KG、ON，

∵M(jìn)O:KO=3:1，S△POK∴S△POM∵S△MOG∴OP:OG=24:4=6:1，∴S△OKG∴S△PKG∵OK∥GN，∴PK:KN=S∴S△KGN∵AB∥∴S△MGN②如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在AB的上方時(shí)，連接KG、ON，∵M(jìn)O∶KO=3∶1，S△POK∴S△POM∵S△MOG∴OP∶OG=24∶4=6∶1，∴S△OKG∴S△PKG∵OK∥GN，∴PK∶KN=S∴S△KGN∵AB∥∴S△MNG綜上所述，△MGN的面積為109或14【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用等高模型解決問(wèn)題．4．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【理解概念】（1）如果一條直線將一個(gè)圖形分割成面積相等的兩個(gè)部分，則稱(chēng)這條直線叫做該圖形的“等積線”．（2）如圖①，直線l1∥l2，點(diǎn)A是直線l1上的一點(diǎn)，AB⊥l2，垂足為B【新知探究】（1）如圖②，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)出△ABC的等積線，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)法；（2）如圖③，直線l1∥l2，A、B是l2上的兩點(diǎn)，P、Q是l1上的兩點(diǎn)，分別連接AP、AQ、BP、BQ，AQ與BP交于點(diǎn)O．設(shè)△APO的而積為S1，△BQO的面積為S【拓展提高】（1）如圖④，點(diǎn)M是△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，CM<BM．小峰同學(xué)做了如下的操作：①連接MA，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)CD∥MA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D：②找出線段BD的中點(diǎn)E，畫(huà)直線ME．小峰認(rèn)為直線ME就是△ABC的等積線，你同意嗎？說(shuō)明理由．（2）如圖⑤，在四邊形ABCD中，連接AC，△ACD的面積小于過(guò)點(diǎn)A畫(huà)四邊形ABCD的等積線，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)法，不需說(shuō)理．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）=；（1）同意，見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）三角形中線可將三角形面積平分，因此取中點(diǎn)連線即可；（2）平行線中先找到面積相等的三角形，再減去相同的部分直接求出剩余部分面積相等即可；（1）通過(guò)作輔助線得到S△MDA=S（2）與（1）同理，推論出S△ADC=S△APC，然后取BP中點(diǎn)【詳解】（1）取BC中點(diǎn)K，連接AK，AK是△ABC的等積線．（2）∵l1∴S△APQ∴S1故答案為：=；（1）連接MD，∵CD∥MA，∴S△MDA∴S△ABC∵BD的中點(diǎn)是E，∴S△MBE∴S∴ME就是△ABC的等積線．（2）過(guò)D作DP∥AE交BC延長(zhǎng)線于P，連接取BP中點(diǎn)E，連接AE，與（1）同理可得，AE即為四邊形ABCD的等積線．【點(diǎn)睛】此題考查三角形中線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是在平行線中找出等面積的三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化．5．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱(chēng)為“8字型”．(1)求證：∠A+∠C=∠B+∠D．(2)如圖2所示，∠1=130°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．(3)如圖3，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，且與CD，AB分別相交于點(diǎn)M，N．①若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度數(shù)．②若角平分線中角的關(guān)系改成“∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB”，試直接寫(xiě)出【答案】(1)見(jiàn)解析(2)260°(3)①110°；②4∠P=∠B+3∠C，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解；（3）①根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=12∠C+∠B，然后把∠C=120°②與①的證明方法一樣得到4∠P=∠B+3∠C．【詳解】（1）證明：在圖1中，有∠A+∠C=180°-∠AOC，∠B+∠D=180°-∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：如圖2所示，∵∠DME=∠A+∠E，∠3=∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D=∠3，∵∠2=∠3+∠F，∠1=130°，∴∠3+∠F=∠2=∠1=130°，∴∠A+∠E+∠D+∠F=130°，∵∠B+∠C=∠1=130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°．故答案為：260°．（3）解①以M為交點(diǎn)“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以N為交點(diǎn)“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP，∴2∠P=∠B+∠C，∵∠B=100°，∴∠P=1②4∠P=∠B+3∠C，其理由是：∵∠CAP=14∠CAB∴∠BAP=34∠CAB以M為交點(diǎn)“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，以N為交點(diǎn)“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=1∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=3∴3∠C-∠P∴4∠P=∠B+3∠C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義．明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知直線a//b，點(diǎn)A、E在直線a上，點(diǎn)B、F在直線b上，∠ABC＝100°，BD平分∠ABC交直線a于點(diǎn)D，線段EF在線段AB的左側(cè).若將線段EF沿射線AD的方向平移，在平移的過(guò)程中BD所在的直線與EF所在的直線交于點(diǎn)P．試探索∠1的度數(shù)與∠EPB的度數(shù)有怎樣的關(guān)系？為了解決以上問(wèn)題，我們不妨從EF的某些特殊位置研究，最后再進(jìn)行一般化.【特殊化】（1）如圖，當(dāng)∠1＝40°，且點(diǎn)P在直線a、b之間時(shí)，求∠EPB的度數(shù)；（2）當(dāng)∠1＝70°時(shí)，求∠EPB的度數(shù)；【一般化】（3）當(dāng)∠1＝n°時(shí)，求∠EPB的度數(shù).（直接用含n的代數(shù)式表示）【答案】（1）170°（2）見(jiàn)解析（3）①見(jiàn)解析②見(jiàn)解析【分析】（1）作PG∥a，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)可得∠GPB=180°－12∠ABC=130°，計(jì)算即可；（2）作PG∥a，結(jié)合畫(huà)圖，分3種情況分析：當(dāng)交點(diǎn)P在直線a上方，∠EPB＝20°；當(dāng)交點(diǎn)P在直線a、b之間，∠EPB＝160°；當(dāng)交點(diǎn)P在直線b下方，∠EPB＝20°；（3）根據(jù)（1）（2）情況，分2種情況分析：①當(dāng)n＞50°時(shí)；②當(dāng)n＜50°時(shí)，各有3種情況【詳解】（1）作PG∥a，∴∠EPG＝∠EFC=400∵a∥b∴PG∥b∴∠GPB＋∠CBD=1800又∵BD是∠ABC平分線，且∠ABC=1000，∴∠GPB=1800－12∠ABC=130∴∠EPB＝∠EPG＋∠GPB=1700（2）①當(dāng)交點(diǎn)P在直線a上方，作PG∥a，∵a∥b∴PG∥b∴∠EPG=∠1,∠GPB=∠DBC∴∠EPB＝700－500=200②當(dāng)交點(diǎn)P在直線a、b之間，作PG∥a，∵a∥b∴PG∥b∴∠GPB=∠PBC=12∠ABC=500,∠BFE＝∠EPG=1800∴∠EPB＝∠EPG＋∠GPB=500+1800-∠1=2300－700=1600③當(dāng)交點(diǎn)P在直線b下方，作PG∥a，∵a∥b∴PG∥b∴∠EPG=∠1,∠GPB=∠DBC∴∠EPB＝700－500=200（3）由（1）（2）得：①當(dāng)n＞500時(shí)，交點(diǎn)P在直線a上方，∠EPB＝n－500交點(diǎn)P在直線a、b之間，∠EPB＝2300－n交點(diǎn)P在直線b下方，∠EPB＝n－500②當(dāng)n＜500時(shí)，交點(diǎn)P在直線a上方，∠EPB＝500－n交點(diǎn)P在直線a、b之間，∠EPB＝1300＋n交點(diǎn)P在直線b下方，∠EPB＝500－n【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用.作好輔助線，分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.7．（2022春·江蘇鹽城·七年級(jí)?？计谀靖拍钫J(rèn)識(shí)】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的三分線．其中，BD是鄰AB三分線，BE是鄰BC三分線．【問(wèn)題解決】(1)如圖②，在△ABC中，∠ABC和外角∠ACD的三分線交于點(diǎn)E、F，若∠A=60°，求∠F的度數(shù)．(2)如圖③，若∠AOB=120°，射線OC在∠AOB內(nèi)部，OM是∠AOC的鄰OA三分線，ON是∠BOC的鄰OB三分線，若OM、ON、OA、OB中有兩條直線互相垂直時(shí)，求∠AOC．【延伸推廣】(3)在（2）的條件下，若∠AOC<∠BOC時(shí)，射線ON以每秒1°的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)至OB便立刻回轉(zhuǎn)，射線OM以每秒3°的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)至OB便立刻回轉(zhuǎn)，然后在∠BOC間作往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ON第一次到達(dá)OC時(shí)，與射線OM同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒后，OM，ON中，有一條射線是OB與另一條射線所成角的鄰OB三分線．（直接寫(xiě)出答案）【答案】(1)40°；(2)30°或90°；(3)1003秒或36秒或752秒或90秒或【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠A=∠ACD-∠ABC=60°，然后根據(jù)三分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)求解即可；（2）由題意可知，共有三種情況：①當(dāng)OA⊥ON時(shí)，即∠AON＝90°，②當(dāng)OM⊥OB時(shí)，即∠MOB＝90°，③當(dāng)OM⊥ON時(shí)，即∠MON=90°，分別根據(jù)角的和差及三分線的定義計(jì)算即可；（3）由（2）可知，當(dāng)∠AOC<∠BOC時(shí)，∠AOC＝30°，∠BON＝30°，可求得∠BOM＝110°，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)ON和OM轉(zhuǎn)動(dòng)后的位置，結(jié)合三分線的定義分情況求解即可．【詳解】（1）解：∵∠A=60°，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠A=∠ACD-∠ABC=60°，∵BF、CF是∠ABC和外角∠ACD的三分線，∴∠FBC=23∠ABC∴∠F=∠FCD-∠FBC=2（2）解：由題意可知，共有兩種情況：①當(dāng)OA⊥ON時(shí)，即∠AON＝90°，∵∠AOB=120°，∴∠BON＝∠AOB-∠AON=120°-90°=30°，∵ON是∠BOC的鄰OB三分線，∴∠BOC＝3∠BON＝90°，∴∠AOC＝120°－90°＝30°；②當(dāng)OM⊥OB時(shí)，即∠MOB＝90°，∵∠AOB=120°，∴∠AOM＝∠AOB-∠MOB=120°-90°=30°，∵OM是∠AOC的鄰OA三分線，∴∠AOC＝3∠AOM＝90°，當(dāng)OM⊥ON時(shí)，即∠MON=90°，∵∠AOB=120°，∴∠AOM+∠BON=120°-90°=30°，∵OM是∠AOC的鄰OA三分線，ON是∠BOC的鄰OB三分線，∴∠AOC=3∠AOM，∠BOC=3∠BON，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=3∠AOM+3∠BON=90°，這與∠AOB=120°矛盾，∴OM⊥ON不成立，綜上，∠AOC的度數(shù)為30°或90°；（3）解：由（2）可知，當(dāng)∠AOC<∠BOC時(shí)，∠AOC＝30°，∠BON＝30°，∵OM是∠AOC的鄰OA三分線，∴∠AOM＝13∠AOC＝10°∴∠BOM＝120°－10°＝110°，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分情況討論：當(dāng)ON到達(dá)OB前，ON是∠BOM的鄰OB三分線時(shí)，由題意得：∠BOM＝3∠BON，即110-3t=330-t此方程無(wú)解，故此情況不存在；當(dāng)ON到達(dá)OB前，OM是∠BON的鄰OB三分線時(shí)，由題意得：3∠BOM＝∠BON，即3110-3t解得：t=75當(dāng)t=752時(shí)，ON已經(jīng)到達(dá)當(dāng)ON到達(dá)OB返回至OC，OM到達(dá)OB前，ON是∠BOM的鄰OB三分線時(shí)，由題意得：∠BOM＝3∠BON，即110-3t=3t-30解得：t=100當(dāng)ON到達(dá)OB返回至OC，OM到達(dá)OB前，OM是∠BON的鄰OB三分線時(shí)，由題意得：3∠BOM＝∠BON，即3110-3t解得：t=36；當(dāng)ON到達(dá)OB返回至OC，OM到達(dá)OB返回至OC前，ON是∠BOM的鄰OB三分線時(shí)，由題意得：∠BOM＝3∠BON，即3t-110=3t-30此方程無(wú)解，故此情況不存在；當(dāng)ON到達(dá)OB返回至OC，OM到達(dá)OB返回至OC前，OM是∠BON的鄰OB三分線時(shí)，由題意得：3∠BOM＝∠BON，即33t-110解得：t=75當(dāng)ON到達(dá)OB返回至OC，OM到達(dá)OB返回至OC再轉(zhuǎn)向OB前，ON是∠BOM的鄰OB三分線時(shí)，由題意得：∠BOM＝3∠BON，即90-3t-110-90解得：t=190當(dāng)t=1903時(shí)，OM尚未到達(dá)當(dāng)ON到達(dá)OB返回至OC，OM到達(dá)OB返回OC再轉(zhuǎn)向OB前，OM是∠BON的鄰OB三分線時(shí)，由題意得：3∠BOM＝∠BON，即390-解得：t=90；當(dāng)ON到達(dá)OB返回至OC，OM第二次轉(zhuǎn)向OC時(shí)，此時(shí)只可能是OM是∠BON的鄰OB三分線，由題意得：3∠BOM＝∠BON，即33t-110-90-90解得：t=105，綜上，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)1003秒或36秒或752秒或90秒或105秒后，OM，ON中，有一條射線是OB與另一條射線所成角的鄰【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差計(jì)算，三角形外角的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，正確理解三分線的定義，分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022春·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【教材呈現(xiàn)】蘇科版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書(shū)七下第42頁(yè)第20題，是一道研究雙內(nèi)角平分線的夾角和雙外角平分線夾角的數(shù)學(xué)問(wèn)題，原題如下．在△ABC中，∠A=n°．（1）設(shè)∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；（2）設(shè)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點(diǎn)O'，求∠B（3）∠BOC與∠BO【問(wèn)題解決】聰聰對(duì)上面的問(wèn)題進(jìn)行了研究，得出以下答案：如圖1，在△ABC中，∠A=n°．(1)∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC的度數(shù)為_(kāi)_______；(2)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點(diǎn)O'，則∠BO'(3)∠BOC與∠BO'C(4)【問(wèn)題深入】如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC沿MN折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1+∠2與∠BOC的一個(gè)等量關(guān)系式：(5)如圖3，過(guò)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線的交點(diǎn)O'，作直線PQ交AD于點(diǎn)P，交AE于點(diǎn)Q．當(dāng)∠APQ=∠AQP時(shí)，∠CO'【答案】(1)90°+1(2)90°-1(3)∠BOC+∠BO(4)∠1+∠2=4∠BOC-360°；(5)∠C【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理得到，∠ABC+∠ACB=180°-n°，再根據(jù)角平分線的定義，推出∠OBC+∠OCB=90°-12n°（2）根據(jù)三角形外角的定義，推出∠CBD+∠BCE=180°+n°，再根據(jù)角平分線的定義，推出∠CBO'+∠BC（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)果即可得到答案；（4）由折疊的性質(zhì)可知，∠AMN=∠OMN，∠ANM=∠ONM，得到∠1=180°-2∠AMN，∠2=180°-2∠ONM，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，推出∠1+∠2=2∠A，由（1）同理可證∠BOC=90°+1（5）根據(jù)多邊形內(nèi)角和與角平分線的定義，推出∠BO'C=∠BPQ，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠C【詳解】（1）解：∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-n°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB故答案為：90°+1（2）解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A=180°+n°，∵BO'平分∠CBD，CO∴∠CBO'=∴∠CBO∴∠BO故答案為：90°-1（3）解：由（1）和（2）可知，∠BOC=90°+12n°∴∠BOC+∠BO故答案為：∠BOC+∠B（4）解：∠1+∠2=4∠BOC-360°，理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，∠AMN=∠OMN，∠ANM=∠ONM，∴∠1=180°-∠AMN-∠OMN=180°-2∠AMN，∠2=180°-∠ANM-∠ONM=180°-2∠ONM，∵∠AMN+∠ANM=180°-∠A，∴∠1+∠2=180°-2∠AMN+180°-2∠ANM=360°-2∠AMN+∠ANM由（1）同理可證，∠BOC=90°+1∴2∠A=4∠BOC-360°，∴∠1+∠2=4∠BOC-360°；（5）解：∵四邊形BCQP的內(nèi)角和為360°，∴∠CBP+∠BPQ+∠PQC+∠BCQ=360°，∵BO'平分∠CBD，CO∴∠CBD=2∠CBO'，∵∠APQ=∠AQP，∴2∠CBO∴∠CBO∴∠CBO∴∠BO∵∠BO∴∠CO∵∠ABC=180°-∠CBD=180°-2∠PBO∴∠ABC=180°-2∠CO∴∠CO【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，根據(jù)圖形找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．9．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校考期末）已如在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°．（1）如圖1，若∠ABC=70°，則∠NDC=________．（2）如圖2，若BF、DE分別平分∠CBM、∠CDN，判斷DE與BF位置關(guān)系并證明理由．（3）如圖3，若BP、DP分別五等分∠CBM、∠CDN（即∠CBP=15∠CBM，∠CDP=1【答案】（1）70°；（2）DE∥BF，證明見(jiàn)解析；（3）54°【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和計(jì)算即可；（2）根據(jù)平角的定義和等量代換可得∠MBC+∠CDN=180°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠CBF+∠CDE=90°，從而推出∠EDB+∠FBD=180°，可得結(jié)論；（3）根據(jù)五等分得到∠CDP+∠CBP=36°，連接PC并延長(zhǎng)，證明∠DCB=∠DPB+∠CBP+∠CDP，即可計(jì)算．【詳解】解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=70°，∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠NDC=180°-110°=70°；（2）DE∥BF，如圖，連接BD，∵∠ABC+∠ADC=180°，且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°，∴∠MBC+∠CDN=180°，∵∠CBF=12∠MBC，∠CDE=12∠∴∠CBF+∠CDE=90°，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°，∴DE∥BF；（3）∵∠MBC+∠CDN=180°，∴∠CDP+∠CBP=15（∠MBC+∠CDN）=36°連接PC并延長(zhǎng)，∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP，∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP，∴∠DPB=90°-36°=54°．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和與外角，三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．10．（2022春·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一個(gè)各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個(gè)內(nèi)角都比相鄰?fù)饨堑?倍還大20°．（1）求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；（2）若將這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角，剩下多邊形的內(nèi)角和是多少？【答案】（1）9；（2）1080o或1260o或1440o．【分析】（1）設(shè)多邊形的一個(gè)外角為x，則與其相鄰的內(nèi)角等于3x+20°，根據(jù)內(nèi)角與其相鄰的外角的和是180°列出方程，求出x的值，再由多邊形的外角和為360°，求出此多邊形的邊數(shù)為360°x（2）剪掉一個(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求出答案．【詳解】解：（1）設(shè)每一個(gè)外角為x，則與其相鄰的內(nèi)角等于3x+20°，∴180°-x=3x+20°，∴x=40°，即多邊形的每個(gè)外角為40°，∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的外角個(gè)數(shù)為：360°40°∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9；（2）因?yàn)榧舻粢粋€(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，①若剪去一角后邊數(shù)減少1條，即變成8邊形，∴內(nèi)角和為8-2×180°=1080°②若剪去一角后邊數(shù)不變，即變成9邊形，∴內(nèi)角和為9-2×180°=1260°③若剪去一角后邊數(shù)增加1，即變成10邊形，∴內(nèi)角和為10-2×180°=1440°∴將這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角后，剩下多邊形的內(nèi)角和為1080°或1260°或1440°．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，外角和定理，多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2考點(diǎn)2冪的運(yùn)算解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）閱讀材料：31的末尾數(shù)字是3，32的末尾數(shù)字是9，33的末尾數(shù)字是7，34的末尾數(shù)字是1，35的末尾數(shù)字是3，......，觀察規(guī)律，34n+1=(34)n×3，∵34的末尾數(shù)字是1，∴(34(1)32021的末尾數(shù)字是，142022的末尾數(shù)字是(2)求22022(3)求證：122024+37【答案】(1)3，6；(2)4；(3)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的結(jié)論可知32021的末尾數(shù)字；根據(jù)閱讀材料中提供的方法，可得142n+1的末尾數(shù)字是4，142n（2）先將22022化成(24)505（3）分別證明122024的末尾數(shù)字為6和372018的末尾數(shù)字【詳解】（1）解：∵32021∴32021的末尾數(shù)字為∵141的末尾數(shù)字是4，142的末尾數(shù)字是6，143∴142n+1的末尾數(shù)字是4，142n∴142022的末尾數(shù)字是6故答案為：3，6；（2）解：22022∵(24)∴22022的末尾數(shù)字是4（3）證明：∵121的末尾數(shù)字是2，122的末尾數(shù)字是4，123的末尾數(shù)字是8，124的末尾數(shù)字是6，12∴124n+1的末尾數(shù)字是2，124n+2的末尾數(shù)字是4，124n+3的末尾數(shù)字是8，12∴122024=同理可得：374n+1的末尾數(shù)字7，374n+2的末尾數(shù)字9，374n+3的末尾數(shù)字3，37∴372018=37∴122024+37∴122024+37【點(diǎn)睛】此題是一道閱讀理解題，主要考查了冪的運(yùn)算、數(shù)的整除，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方法則是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）如果10b=n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b=d（n）．由定義可知：10b=n與b=d（n）表示b、n兩個(gè)量之間的同一關(guān)系．(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10）=____，d（10-2）=______；(2)“勞格數(shù)”有如下運(yùn)算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（mn）=d（m）-d（n）；根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：d(a3)(3)若d（2）=0.3010，分別計(jì)算d（4）；d（5）．【答案】(1)1，﹣2(2)3(3)0.6020，0.699．【分析】（1）由“勞格數(shù)”的定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪解答即可；（2）根據(jù)冪的乘方公式轉(zhuǎn)化求解即可；（3）根據(jù)積的乘方公式、冪的乘方轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】（1）解：∵10b＝10，∴b＝1，∴d（10）＝1；10b＝10﹣2，∴b＝﹣2，∴d（10﹣2）＝﹣2；故答案為1，﹣2；（2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（mn）=d（m）-d（n∴d(故答案為3；（3）解：∵d（2）＝0.3010，∴d（4）＝2d（2）＝0.6020，d（5）＝d（102）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699【點(diǎn)睛】本題考查新定義，有理數(shù)的運(yùn)算；理解題意，將新定義轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方與積的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.3．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+2設(shè)S=1+2+2則2S=2+2②-①得，2S-S=S=2請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問(wèn)題：（1）2+22（2）求1+12（3）求-2+（4）求a+2a2+3a3【答案】（1）221?2；（2）2-1250；（3）2101-23；（【分析】（1）根據(jù)閱讀材料可得：設(shè)s＝2+22+???+220①，則2s＝22＋23＋…＋220＋2（2）設(shè)s＝1+12+122+???+1250（3）設(shè)s＝-2+-22+???+-2100①，-2s（4）設(shè)s＝a+2a2+3a3+???+nan①，as＝a2+2a3+3a4【詳解】解：根據(jù)閱讀材料可知：（1）設(shè)s＝2+222s＝22＋23＋…＋220＋221②，②?①得，2s?s＝s＝221?2；故答案為：221?2；（2）設(shè)s＝1+1212s＝12②?①得，12s?s＝-12s＝1∴s＝2-12故答案為：2-12（3）設(shè)s＝-2+-2s＝-22②?①得，-2s?s＝-3s＝-2101∴s＝2101（4）設(shè)s＝a+2a2as＝a2+2②-①得：as-s=-a-a2設(shè)m=-a-a2-am=-a2-④-③得：am-m=a-an+1∴m=a-a∴as-s=a-an+1a-1∴s=a-an+1a-1【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型?實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵是理解閱讀材料進(jìn)行計(jì)算．4．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)揚(yáng)州市竹西中學(xué)校考期末）(1)你發(fā)現(xiàn)了嗎？(23)2=(2)請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，判斷(54)(3)我們可以發(fā)現(xiàn)：(ba)-m(4)利用以上的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：(7【答案】（1）=；（2）=；（3）=；（4）1895【分析】（1）類(lèi)比題干中乘方的運(yùn)算即可得；（2）類(lèi)比題干中分?jǐn)?shù)的乘方計(jì)算方法計(jì)算后即可得；（3）根據(jù)（1）、（2）的規(guī)律即可得；（4）逆用積的乘方將原式變形為(715)【詳解】（1）我們發(fā)現(xiàn)(23)（2）計(jì)算得(54)∴(5（3）我們可以發(fā)現(xiàn)：(ba)-m=(（4）利用以上的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：(715)-5．（2022春·江蘇泰州·七年級(jí)校考期末）利用圖形來(lái)表示數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，也可以利用數(shù)量或數(shù)量關(guān)系來(lái)描述圖形特征或圖形之間的關(guān)系，這種思想方法稱(chēng)為數(shù)形結(jié)合．你能利用數(shù)形結(jié)合的思想解決下列問(wèn)題嗎?(1)如圖①，一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，依次取正方形面積的12，14，18，…，12n，根據(jù)圖示我們可以知道：1(2)如圖②，一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，依次取剩余部分的23，根據(jù)圖示：計(jì)算：23(3)如圖③是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，根據(jù)圖示：計(jì)算：13+29【答案】(1)6364，(2)1-(3)1-【分析】（1）根據(jù)題意找出規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題干給出圖形，依次取正方形面積的23,2（3）根據(jù)題干給出圖形，依次取正方形面積的13,2【詳解】（1）解：∵第1次截取后剩余12第2次截取后剩余12第3次截取后剩余12…，第n次截取后剩余12∴12+1故答案為：6364，1-（2）解：∵第1次截取后剩余13第2次截取后剩余13第3次截取后剩余13…，第n次截取后剩余13∴23故答案為：1-1（3）解：∵第1次截取后剩余23第2次截取后剩余23第3次截取后剩余23…，第n次截取后剩余23∴13故答案為：1-2【點(diǎn)睛】本題考查的圖形的變化類(lèi)，根據(jù)題干給出的圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）樂(lè)于思考的小宏在學(xué)習(xí)《冪的運(yùn)算》時(shí)發(fā)現(xiàn)：若am=an（a>0，且a≠1，m、n(1)如果2×4x×(2)如果5x+2+5x+1【答案】(1)x=5；(2)x=2【分析】（1）利用冪的乘方的法則及同底數(shù)冪的乘法的法則對(duì)式子進(jìn)行整理，從而可求解；（2）利用同底數(shù)冪的乘法的法則及冪的乘方的法則對(duì)式子進(jìn)行整理，即可求解．【詳解】（1）解：∵2×4∴2×2即21+7x∴1+7x=36，解得：x=5；（2）∵5∴5×5x+1+即5x+1∴x+1=3，解得：x=2．【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與運(yùn)用．7．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）求值：(1)已知2x+5y+3=0，求4x(2)已知3x+1-3【答案】(1)1(2)x=3【分析】（1）先求出2x+5y=-3，再根據(jù)4x（2）由3x+1-3x=54可得3?【詳解】（1）解：∵2x+5y+3=0，∴2x+5y=-3，∴4=====1（2）解：∵3x+1∴3?3∴2?3∴3x∴x=3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法和同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，冪的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期末）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作(a，b)；如果ac=b，那么(??，??)=??．例如：因?yàn)?(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(3，9)=___________，(___________，16)=2，(-2，-8)=___________；(2)有同學(xué)在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象；(3設(shè)(∴(即(∵3∴3即(3,4)=x,∴(①若(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c，請(qǐng)你嘗試運(yùn)用上述這種方法證明a+b=c．②猜想(x-1)n,(y+1)n+【答案】(1)2；±4；3(2)①見(jiàn)解析；②(x-1)，(【分析】（1）根據(jù)規(guī)定的兩數(shù)之間的運(yùn)算法則解答；（2）①根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，結(jié)合定義證明；②根據(jù)例題和①中證明的式子作為公式進(jìn)行變形即可．【詳解】（1）解：∵32=9，∴(3，∵(±4)2=16，∴(±∵-23=-8，∴(-2，故答案為：2；±4；3．（2）①證明∵(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c∴4∴4即4∴a+b=c．②∵(∴(x-1)===(x-1),(故答案為：(x-1),(y【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義的理解和掌握，還考查了同底數(shù)冪的乘法以及整式的混合運(yùn)算，弄清題中的新運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．9．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）閱讀：已知正整數(shù)a、b、c，顯然，當(dāng)同底數(shù)時(shí)，指數(shù)大的冪也大，若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和(1)比較大?。?20420（填寫(xiě)＞、＜或＝）．(2)比較233與3(3)已知2a=3，【答案】(1)>(2)2(3)603979776【分析】（1）根據(jù)同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a>c時(shí)，則有（2）將根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算，將233與3（3）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，將28+2b3轉(zhuǎn)化為28×2【詳解】（1）解：∵5>4∴5故答案為：>．（2）∵3∵8<9∴（3）∵∴∴=====603979776．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則和逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則及其逆運(yùn)算法則．10．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）閱讀以下材料：指數(shù)與對(duì)數(shù)之間有密切的聯(lián)系，它們之間可以互化．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若ax=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，比如指數(shù)式24=16我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：loga(M?N)=log設(shè)logaM=m，loga∴M?N=am又∵m+n=log∴l(xiāng)oga請(qǐng)解決以下問(wèn)題：(1)將指數(shù)式34=81轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式(2)求證：logaMN=(3)拓展運(yùn)用：計(jì)算log69+【答案】(1)4=(2)證明見(jiàn)解析(3)2【分析】（1）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系求解．（2）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系求證．（3）利用（1）、（2）中的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解．【詳解】（1）解：根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系得：4=log故答案為：4=log（2）解：設(shè)logaM=m，loga∴MN=∴l(xiāng)ogaMN=∴l(xiāng)ogaMN=（3）解：原式===2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的知識(shí)解題，理解新定義，找到指數(shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3考點(diǎn)3整式乘法與因式分解解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?=22+【解決問(wèn)題】（1）數(shù)53______“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問(wèn)題】（2）已知x2+y2（3）已知S=2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為【拓展結(jié)論】（4）已知實(shí)數(shù)x、y滿足-x2+【答案】（1）是；（2）1；（3）k=36，理由見(jiàn)解析；（4）x-2y的最大值為2．【分析】（1）把59分為兩個(gè)整數(shù)的平方即可；（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可求出x+y的值；（3）根據(jù)S為“完美數(shù)”，利用完全平方公式配方，確定出k的值即可；（4）由已知等式表示出y，代入x-2y中，配方后再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：53=2故答案為：是；（2）已知等式變形得：x2即x-22∵x-22≥0，∴x-2=0，y+1=0，解得：x=2，y=-1，則：x+y=2-1=1．故答案為：1；（3）當(dāng)k=36時(shí)，S為“完美數(shù)”，理由如下：S=2==x∵S是完美數(shù)，∴x2∴k=36；（4）∵-x∴-y=-x2+∴x-2y=x-2=-2=-2=-2x-2當(dāng)x=2時(shí)，x-2y最大，最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．(1)觀察圖2，請(qǐng)你寫(xiě)出a+b2、a-b2、ab之間的等量關(guān)系是(2)利用（1）中的結(jié)論，若x+y=5，xy=94，求(3)如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當(dāng)BC=1時(shí)，△BEG的面積記為S1，當(dāng)BC=2時(shí)，△BEG的面積記為S2,?，以此類(lèi)推，當(dāng)BC=n時(shí)，△BEG的面積記為S【答案】(1)4ab=(2)16(3)1275【分析】（1）通過(guò)觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，大正方形是由四個(gè)矩形與中間的小正方形組成，據(jù)此進(jìn)一步分析求解即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論進(jìn)一步代入計(jì)算即可；（3）連接EC，證明出EC∥BG，再利用△BEG的面積與△BGC的面積相等得出Sn=n【詳解】（1）由圖1和圖2中矩形的面積為等量得：4ab=故答案為：4ab=a+b（2）由（1）中公式可得：a-b2同理可得：x-y==16；（3）連接EC，在正方形ACDE和正方形BCGF中，∠ECD=∠CGB=45°，∴EC∥BG，∴△BGE和△BGC的邊BG上的高相等，∴S當(dāng)BC=1時(shí)，S1當(dāng)BC=2時(shí)，S2……當(dāng)BC=n時(shí)，Sn∴∴S=====1275【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，觀察圖形，找出相應(yīng)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2022春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）知識(shí)生成：我們已經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到(a+b)2(1)直接應(yīng)用：若xy=7,x+y=5，直接寫(xiě)出x2+y(2)類(lèi)比應(yīng)用：填空：①若x3-x=4，則x②若x-2019x-2023=2，則(x-2019)(3)知識(shí)遷移，兩塊完全相同的特制直角三角板（∠AOB=∠COD=90°）如圖2所示放置，其中A，O，D在一直線上，連接AC，BD，若AD=16,S【答案】(1)11(2)1，20(3)一塊直角三角板的面積為34．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形可得答案；（2）①設(shè)x=m，3-x=n，則mn=4，m+n=3，由x2②設(shè)x-2019=a，x-2023=b，則ab=(x-2019)(x-2023)=2，a-b=4，由(x-2019)2（3）設(shè)AO=p，DO=q，由題意可得，p+q=16，p2+q2=120【詳解】（1）解：∵xy=7,x+y=5，∴x故答案為：11；（2）解：①設(shè)x=m，3-x=n，則mn=4，m+n=3，∴==9-8=1，故答案為：1；②設(shè)x-2019=a，x-2023=b，則ab=2，a-b=4，∴==20，故答案為：20；（3）解：設(shè)AO=p，DO=q，∵AD=16，S△AOC∴p+q=16，12即p+q=16，p2∴2pq==16即pq=68，∴S答：一塊直角三角板的面積為34．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，掌握完全平方公式的變形是正確解答的關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀：在計(jì)算x-1x【觀察】①(x-1)(x+1)=x②(x-1)x③(x-1)x……(1)【歸納】由此可得：x-1xn(2)【應(yīng)用】請(qǐng)運(yùn)用上面的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：計(jì)算：22023+(3)計(jì)算：220-(4)若x5+x【答案】(1)x(2)2(3)1(4)x2022【分析】（1）利用已知得出式子變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案；（2）利用（2）中變化規(guī)律進(jìn)而得出答案；（3）將220-219+（4）利用（2）中變化規(guī)律得出x的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：①(x-1)(x+1)=x②(x-1)x③(x-1)x……；∴x-1x故答案為：xn+1（2）解：2==2（3）解：2==-=-=1故答案為：13（4）解：∵x-1x∴x=±1，∵x5∴x≠1，∴x2022【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方差公式以及數(shù)字變化規(guī)律，正確得出式子之間的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）填空：a-ba+ba-baa-ba…(1)a-ba2022(2)猜想：a-ban-1+an-2b+?+a(3)利用（2）中的猜想的結(jié)論計(jì)算：①1+2+②310【答案】(1)a(2)a(3)①22024-1，【分析】（1）根據(jù)題中條件總結(jié)歸納即可求解；（2）根據(jù)題中條件總結(jié)歸納即可求解；（3）①根據(jù)題中條件可得a=2,b=1，即可求出答案；②由題意可得：a=3,b=-1，從而求得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)上式總結(jié)歸納得：a-ba故答案為：a2023（2）解：根據(jù)上式猜想得：a-ba故答案為：an（3）解：①1+2+=∴a=2,b=1，∴原式=2②由題意可得：a=3,b=-1，∴3=∴310【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的運(yùn)算，靈活運(yùn)用題中條件是解題關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇泰州·七年級(jí)校考期末）若x滿足5-xx-2求x-52解：設(shè)5-x=a，x-2=b，則5-xx-2=ab=2，所以x-52請(qǐng)運(yùn)用上面的方法求解下面的問(wèn)題：(1)若x滿足若2023-xx-2021=-2022，則2023-x2(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E、F分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE=1，CF=3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是35，則長(zhǎng)方形EMFD的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】(1)4048；(2)24．【分析】（1）設(shè)2023-x=a，x-2021=b，則ab=-2022，a+b=2，依據(jù)a2（2）依題意得ED=x-1，DF=x-3，則x-1x-3=35，設(shè)x-1=a，x-3=b，則ab=35，a-b=2，依據(jù)a2+b2=a-b2【詳解】（1）解：設(shè)2023-x=a，x-2021=b，則2023-xx-2021=ab=-2022，2023-x===4048，故答案為：4048；（2）依題意得：ED=x-1，DF=x-3，則x-1x-3設(shè)x-1=a，x-3=b，則x-1x-3=ab=35，∴a2+b2=∴a+b2=a2∴a+b=144∴ED+DF=a+b=12則長(zhǎng)方形EMFD的周長(zhǎng)為：2a+b故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的綜合應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．7．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）【知識(shí)生成】我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．在學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問(wèn)題．(1)根據(jù)圖1，可以得到等式：a+b2=aA．分類(lèi)討論

B．轉(zhuǎn)化

C．由特殊到一般

D．?dāng)?shù)形結(jié)合(2)根據(jù)圖2，可以得到等式：______；(3)①圖3是由幾個(gè)小正方形和小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的大正方形，用不同的方法表示這個(gè)大正方形的面積，可以得到等式______；②已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26．利用①中所得到的等式，直接寫(xiě)出代數(shù)式a2+b(4)畫(huà)出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示2a+ba+2b【知識(shí)遷移】(5)①類(lèi)似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．如圖4，是用2個(gè)小正方體和6個(gè)小長(zhǎng)方體拼成的一個(gè)棱長(zhǎng)為a+b的大正方體．用不同的方法表示這個(gè)大正方體的體積，可以得到的等式為_(kāi)_____；②已知a+b=5，ab=6，利用①中所得的等式，直接寫(xiě)出代數(shù)式a3+b(6)圖5表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：______．【答案】(1)D(2)a-b(3)①a+b+c2=(4)見(jiàn)解析(5)①a+b3=(6)x【分析】（1）體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合；（2）根據(jù)圖形的面積的兩種不同計(jì)算方法得到完全平方公式；（3）①先用正方形的面積公式表示出面積，再用幾個(gè)小正方形和小長(zhǎng)方形的面積的和表示大正方形的面積，由兩個(gè)結(jié)果相等即可得出結(jié)論；②利用①中的等式直接代入求得答案即可；（4）根據(jù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可畫(huà)出圖形，將2a+ba+2b（5）①如圖3，由圖形體積的兩種不同表示方法可得等式；②由等式利用代入法即可求解；（6）根據(jù)兩個(gè)圖形體積相等即可列出恒等式．【詳解】（1）解：這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合；故選：D；（2）解：由題意得陰影部分的面積a-b2故答案為：a-b2（3）解：①∵正方形面積為a+b+c2小塊四邊形面積總和為a2∴由面積相等可得：a+b+c2故答案為：a+b+c2②由①可知a2∵a+b+c=9，ab+bc+ac=26，∴a2故答案為：29；（4）解：面積為2a+ba+2b∴2a+ba+2b（5）解：①用不同的方法表示這個(gè)大正方體的體積，得到的等式為a+b3②∵a+b=5，ab=6，∴a==125-3×6×5=125-90=35．故答案為：a+b3=a（6）解：左邊體積=大正方體的體積-小長(zhǎng)方體的體積=x右邊體積=長(zhǎng)方體的體積=xx-1∴x3故答案為：x3【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，完全平方式的幾何背景，掌握完全平方公式的幾個(gè)特征是正確判斷的前提，用代數(shù)式表示圖形的面積、體積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想．8．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)M=abcda>c，以它的百位數(shù)字作為十位，個(gè)位數(shù)字作為個(gè)位，組成一個(gè)新的兩位數(shù)s，若s等于M的千位數(shù)字與十位數(shù)字的平方差，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)M為“平方差數(shù)”，將它的百位數(shù)字和千位數(shù)字組成兩位數(shù)ba，個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字組成兩位數(shù)dc，并記例如：6237是“平方差數(shù)”，因?yàn)?2-32=27，所以6237此時(shí)T6237又如：5135不是“平方差數(shù)”，因?yàn)?2-32=16≠15，所以5135(1)判斷7425是否是“平方差數(shù)”？并說(shuō)明理由；(2)若M=abcd是“平方差數(shù)”，且TM比M的個(gè)位數(shù)字的9倍大30，求所有滿足條件的“平方差數(shù)”【答案】(1)是，理由如下(2)M=8175【分析】（1）根據(jù)“平方差數(shù)”的定義計(jì)算即可；（2）由M=abcd是“平方差數(shù)”，得a2-c2=10b+d，由TM比M的個(gè)位數(shù)字的9【詳解】（1）解：7254是“平方差數(shù)”．理由如下：∵72∴7254是“平方差數(shù)”．（2）∵M(jìn)=abcd是“平方差數(shù)”∴a2∵T（M）比M的個(gè)位數(shù)字的9∴10b+a+10d+c=9d+30，即a+c+10b+d=30，∴a+c+a即a+ca-c+1∵a+c＞0，∴將30分解為2×15或3×10或5×6．①a+ca-c+1解得a=8c=7∵82∴M=8175；②a+ca-c+1解得a=6c=4∵62∴M=6240（舍）；③a+ca-c+1解得a=5c=0∵52-0∴M=5205（舍）或5214．∴M=8175或【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解“平方差數(shù)”，明確條件與所求的關(guān)系．9．（2022秋·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期末）數(shù)學(xué)中的許多規(guī)律不僅可以通過(guò)數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，也可以通過(guò)圖形的面積發(fā)現(xiàn)．(1)填表：【數(shù)的角度】aba＋ba－ba2－b2213133－2151155(2)【形的角度】如圖①，在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b（b＜a）的小正方形，怎樣計(jì)算圖中陰影部分的面積？小明和小紅分別用不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積．小明的方法：若陰影部分看成大正方形與小正方形的面積差，則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為；小紅的方法：若沿圖①中的虛線將陰影部分剪開(kāi)拼成新的長(zhǎng)方形（圖②），則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為．(3)【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】猜想：a＋b、a－b、a2－b2這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是．(4)【運(yùn)用規(guī)律】運(yùn)用上述規(guī)律計(jì)算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．【答案】(1)5，1(2)a(3)a(4)1275【分析】(1)a=3，b=-2時(shí)，a2a=12,b=13時(shí)，a(2)小空1

大正方形面積為a2，小正方形的面積為b2，作差即可．小空2

把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別用含有a、b的代數(shù)式表示出來(lái)，再按照長(zhǎng)方形面積公式計(jì)算即可．(3)根據(jù)第(2)小題發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出等量關(guān)系即可．(4)每?jī)蓚€(gè)數(shù)為一組按照根據(jù)第（3）小題寫(xiě)出的規(guī)律進(jìn)行變形，問(wèn)題即可解決．【詳解】（1）aba＋ba－ba2－b2213133－215511515（2）小明的方法:大正方形面積為a2，小正方形的面積為b2，，∴陰影部分的面積為a2-b2；小紅的方法：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+b，寬為a-b，∴陰影部分的面積為(a+b)(a-b)．故答案為：a（3）a＋b、a－b、a2－b2這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系是a2（4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1=(502－492)＋(482－472)＋(462－452)…＋(22－1)=(50+49)×(50-49)+(48+47)×（48-47）+(46+45)×(46-45)…+(2+1)×(2-1)=50+49+48+47+46+45+…+2+1=50×=1275【點(diǎn)睛】本題是一道綜合性題目，通過(guò)代數(shù)計(jì)算填表和面積法兩種方式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：平方差公式．然后再運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律．10．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法，這種方法是根據(jù)完全平方公式的特征進(jìn)行代數(shù)式的變形，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們規(guī)定：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a,b是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，10是“完美數(shù)”、理由：因?yàn)?0=32+12，所以10解決問(wèn)題：（1）下列各數(shù)中，“完美數(shù)”有________（填序號(hào)）．①29；

②48：

③13：

④28．探究問(wèn)題：（2）若a2-4a+8可配方成a-m2+n2（m,n為常數(shù)），則（3）已知S=a2+4ab+5b2-8b+k（a,b是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為拓展應(yīng)用：（4）已知實(shí)數(shù)a,b滿足-a2+5a+b-3=0【答案】（1）①③；（2）±4；（3）當(dāng)k=16時(shí)，S是完美數(shù)，理由見(jiàn)詳解；（4）a+b的最小值為-1．【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義分別進(jìn)行判斷即可；（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)系數(shù)的值；（3）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義證明結(jié)論；（4）利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a+b的最小值．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，∵29=25+4=52+22，13=9+4=∴“完美數(shù)”有29和13；故答案為：①③；（2）∵a2-4a+8=a又∵a2-4a+8=a-m∴m=2，n=±2，∴mn=±4；故答案為：±4；（3）當(dāng)k=16時(shí)，S是完美數(shù)；理由如下：S===(a+2b)∵a,b是整數(shù)，∴a+2b和b-4也是整數(shù)，∴當(dāng)k=16時(shí)，S是完美數(shù)；（4）根據(jù)題意，∵-a∴a+b=a∴a+b=a∴a+b=(a-2)∵(a-2)2∴(a-2)2∴a+b的最小值為-1．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的運(yùn)算法則，因式分解的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀材料理解分組分解的方法，難度不大．考點(diǎn)4考點(diǎn)4二元一次方程組解答期末真題壓軸題1．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）閱讀下列材料：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：解方程組2x+3y4+2x-3y3=72x+3y3+2x-3y2=8．小明發(fā)現(xiàn)，如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯(cuò)．如果把方程組中的2x+3y看成一個(gè)整體，把2x-3y看成一個(gè)整體，通過(guò)換元，可以解決問(wèn)題．以下是他的解題過(guò)程：令m=2x-3y，n=2x-3y．原方程組化為m4+n3=7m3(1)學(xué)以致用運(yùn)用上述方法解下列方程組：2(x+1)+3(y-2)=1(x+1)-2(y-2)=4(2)拓展提升已知關(guān)于x，y的方程組a1x+b2y=c1a2x+b【答案】(1)x=1y=1(2)m=1n=-4【分析】（1）結(jié)合題意，利用整體代入法求解，令m=x+1，n=y-2得2m+3n=1m-2n=4，解得m=2n=-1即（2）結(jié)合題意，利用整體代入法求解，令x=m+2，y=-n則a1(m+2)-b2n=c1【詳解】（1）解：令m=x+1，n=y-2，原方程組化為2m+3n=1m-2n=4解得m=2n=-1∴x+1=2解得：x=1y=1∴原方程組的解為x=1y=1（2）在a1令x=m+2，y=-n，則a1(m+2)-b且a1x+b則有m+2=3-n=4∴m=1故答案為：m=1n=-4【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，整體代入法求解；解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意理解整體代入法，并正確求解方程組．2．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）我們知道，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)A和表示數(shù)b的點(diǎn)B之間的距離AB可以用a-b來(lái)表示．例如：5-1表示5和(1)在數(shù)軸上，A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為a、b，且a、b滿足a+1+(4-b)2=0，則a=________，b=________，A、(2)點(diǎn)M在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為m，且m+1+4-m=7(3)若點(diǎn)M、N在數(shù)軸上，且分別表示數(shù)m和n，且滿足m-2022-n=2023，n+2024+m=2025，求M、【答案】(1)-1，4，5(2)m=-2或m=5(3)4045【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值以及偶次方的非負(fù)性得出a,b值，運(yùn)用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意可知在數(shù)軸上m+1+4-m=7的幾何意義是：表示有理數(shù)m的點(diǎn)到-1及到4的距離之和為7；然后分m＜-1（3）根據(jù)題意可得2023+n=±(m-2022)，2025-m=±(n+2024)，然后分情況討論即可得出答案．【詳解】（1）解：∵a+1+∴a+1=0,4-b=0，解得：a=-1,b=4，∴A、B兩點(diǎn)之間的距離為-1-4=5故答案為：-1，4，5；（2）在數(shù)軸上m+1+表示有理數(shù)m的點(diǎn)到-1及到4的距離之和為7，當(dāng)m＜-1時(shí)，解得：m=-2；當(dāng)-1≤m≤4時(shí)，m+1+無(wú)解，故此種情況不存在；當(dāng)m>4時(shí)，m+1+解得：m=5；綜上所述：m=-2或m=5；（3）∵m-2022-n=2023，∴m-2022=2023+n，∴2023+n=±(m-2022)，2025-m=±(n+2024)，若2023+n=m-20222025-m=n+2024，解得m=2023此時(shí)M、N兩點(diǎn)的距離為2023-(-2022)=4045若2023+n=-m+20222025-m=n+2024若2023+n=m-20222025-m=-n-2024若2023+n=-m+20222025-m=-n-2024，解得m=2024此時(shí)m-2022=2023+n=-2綜上所述：M、N兩點(diǎn)的距離為4045．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得出相應(yīng)的方程是解本題的關(guān)鍵．3．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問(wèn)題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的一個(gè)代數(shù)式的值．如以下問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)x、y滿足3x-y=5，2x+3y=7，求x-4y和7x+5y的值．本題常規(guī)思路是將3x-y=5①，2x+3y=7②聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案．常規(guī)思路計(jì)算量比較大，其實(shí)本題還可以仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①－②可得x-4y=-2，由①＋②×2可得7x+5y=19．這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．解決問(wèn)題：(1)已知二元一次方程組2x+y=4x+2y=5，則x-y=______，x+y=______(2)試說(shuō)明在關(guān)于x、y的方程組x+3y=4-ax-5y=3a中，不論a取什么實(shí)數(shù)，x+y(3)某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買(mǎi)小獎(jiǎng)品，買(mǎi)3支鉛筆、5塊橡皮、1本筆記本共需21元，買(mǎi)4支鉛筆、7塊橡皮、1本筆記本共需28元，則購(gòu)買(mǎi)10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需多少元？【答案】(1)－1；3(2)見(jiàn)解析(3)購(gòu)買(mǎi)10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需70元【分析】（1）①－②可求出x-y，①+②÷3（2）證明x+y為定值即可；（3）設(shè)鉛筆、橡皮、筆記本的單價(jià)分別為x，y，z元，根據(jù)題意列方程組，利用整體思想求出x+y+z即可．【詳解】（1）解：2x+y=4①－②得：x-y=-1，①+②得：等式兩邊同時(shí)除以3得：x+y=3，故答案為：－1；3．（2）證明：x+3y=4-a①+②得：等式兩邊同時(shí)除以2得：x-y=①+③得：等式兩邊同時(shí)除以2得：x+y=因此不論a取什么實(shí)數(shù)，x+y的值始終不變．（3）解：設(shè)鉛筆、橡皮、筆記本的單價(jià)分別為x，y，z元，由題意得，3x+5y+z=21②-①得：等式兩邊同時(shí)乘以2得：2x+4y=①-③得：故10x+10y+10z=70，即購(gòu)買(mǎi)10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需70元．【點(diǎn)睛】本題考查利用整體思想解方程組，讀懂題意，熟練掌握并靈活運(yùn)用整體思想是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇泰州·七年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中校考期末）已知二元一次方程ax+2y-b=0（a，b均為常數(shù)，且a≠0）．(1)當(dāng)a＝3，b＝﹣4時(shí)，用x的代數(shù)式表示y；(2)若x=a-2by=①探索a與b關(guān)系，并說(shuō)明理由；②無(wú)論a、b取何值，該方程有一組固定解，請(qǐng)求出這組解．【答案】(1)y=(2)①a=b；②x=1【分析】（1）直接將a=3，b=-4代入二元一次方程中解關(guān)于y的方程即可；（2）①將方程的解x，y代入原方程中整理可得a-b=0；②把b=a代入，由取值無(wú)關(guān)可得a的系數(shù)為0，由此即可解題．【詳解】（1）解：當(dāng)a=3，b=-4時(shí)，原方程為：3x+2y+4=0∴y=-3x-4（2）①a與b關(guān)系是a=把x=a-2by=12aa-2ba2a-b2a-b=0，∴a=b；②由①知道a=b，∴原方程可化為：ax+2y-a=0，∴a∵該方程組的解與a與b的取值無(wú)關(guān)，.∴x=1y=0【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解的定義、完全平方公式的應(yīng)用，“有解必代”是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇·七年級(jí)期末）某汽配廠接到一批外貿(mào)訂單急需大量工人生產(chǎn)某配件，工廠人力資源部門(mén)計(jì)劃招聘一批工人．若3名普工和1名高級(jí)技工日生產(chǎn)量共500個(gè)，2名普工日生產(chǎn)量與1名高級(jí)技工的一樣多．（1）求普工和高級(jí)技工日生產(chǎn)量分別是多少個(gè)？（2）調(diào)查發(fā)現(xiàn)，人才市場(chǎng)資源豐富，增加了熟練工人供工廠選擇，且其日生產(chǎn)量是普工的1.5倍，他們的工資如下表所示．為了最大限度提高產(chǎn)量，公司決定撥款9萬(wàn)元（全部用完）聘請(qǐng)三類(lèi)工人（每類(lèi)工人至少1人）共18人．人力資源部門(mén)應(yīng)招聘三類(lèi)工人各多少人，使得日生產(chǎn)最大？求出此時(shí)的日生產(chǎn)量．工人普工熟練工高級(jí)技工工資（元/人）350050006000【答案】（1）100個(gè)，200個(gè)；（2）人力資源部門(mén)應(yīng)招聘普工6人，熟練工3人，高級(jí)技工9人，使得日生產(chǎn)最大，此時(shí)的日生產(chǎn)量為2850個(gè)．【分析】（1）設(shè)普工和高級(jí)技工日生產(chǎn)量分別為x個(gè)，y個(gè)，根據(jù)題意列二元一次方程組解決問(wèn)題；（2）設(shè)招聘普工a人，熟練工b人，則高級(jí)技工（18-a-b）人，根據(jù)題意列出二元一次方程，由a,b,18-a-b都是正整數(shù)，求得整數(shù)解，再根據(jù)題意求得最值．【詳解】（1）設(shè)普工和高級(jí)技工日生產(chǎn)量分別為x個(gè)，y個(gè)，依題意，得：3x+y=5002x=y解得：x=100y=200答：普工和高級(jí)技工日生產(chǎn)量分別100個(gè)，200個(gè)．（2）設(shè)招聘普工a人，熟練工b人，則高級(jí)技工（18-a-b）人，由題意得：3500a+5000b+6000(18-a-b)=90000，整理得：36=5a+2b，∵a,b,18-a-b都是正整數(shù)，∴工廠日生產(chǎn)量為：100a+150b+200(18-a-b)=3600+100a+150b-200(a+b)∴當(dāng)a+b最小時(shí)，工廠日生產(chǎn)量最大，∴a=6∴高級(jí)技工18-a-b=9（人），3600+100a+150b-200(a+b)=3600-100a-50b=3600-600-150=2850（個(gè)）．答：人力資源部門(mén)應(yīng)招聘普工6人，熟練工3人，高級(jí)技工9人，使得日生產(chǎn)最大，此時(shí)的日生產(chǎn)量為2850個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二元一次方程的特殊解，根據(jù)題意找到等量關(guān)系建立方程（組）是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校考期末）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示5和1的兩點(diǎn)之間的距離是_________，一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m-n|．如果表示數(shù)a和-2的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么a=_________（2）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-2與5之間，則|a+2|+|a-5|的值為_(kāi)________（3）若x表示一個(gè)有理數(shù)，