專題17 圓周角重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（八大題型）（原卷版）

第二十四章圓專題17圓周角重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（八大題型）【題型目錄】題型一圓周角的概念辨析題型二圓周角定理題型三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等問題題型四半圓所對(duì)的圓周角是直角問題題型五90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑問題題型六已知圓內(nèi)接四邊形求角度題型七求四邊形外接圓的直徑題型八圓周角綜合問題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、圓周角1．頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑。（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）2．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．3．一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角?！窘?jīng)典例題一圓周角的概念辨析】1．（2020秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┫铝姓f法：（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；（3）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的??；（4）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（5）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在圓上，且邊CD與該圓交于點(diǎn)E，AC，BE交于點(diǎn)F.下列角中，弧AE所對(duì)的圓周角是(

)A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC3．（2023·湖南婁底·?？家荒＃┮阎c(diǎn)、、、在圓上，且切圓于點(diǎn)，于點(diǎn)，對(duì)于下列說法：①圓上是優(yōu)??；②圓上是優(yōu)??；③線段是弦；④和都是圓周角；⑤是圓心角，其中正確的說法是．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線經(jīng)過的圓心，且與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與圓心不重合)，直線與相交于另一點(diǎn)，如果，則.5．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）把下面的語句還原成圖形：作圖區(qū)域：(1)的半徑為1cm，是的一條弦（不經(jīng)過M），、分別是劣弧所對(duì)應(yīng)的圓心角和圓周角；(2)是中的一條弧，且．6．（2023秋·河南信陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）【學(xué)習(xí)心得】小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的數(shù)．（3）【問題拓展】如圖3，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是．【經(jīng)典例題二圓周角定理】1．（2023春·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A，B，C，D在上，，B是弧的中點(diǎn)，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．2．（2023春·陜西榆林·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的外接圓，且是的直徑，點(diǎn)D在上，連接、，且，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，是的一條弦，，垂足為點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，，，則弦的長(zhǎng)是．

4．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是半圓上的三等分點(diǎn)，連接和相交于點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形是菱形．其中正確的有（填序號(hào)）．

5．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，于E，D為弧的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)如圖2，若，連接，求證：．6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的一條弦，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等問題】1．（2021春·福建南平·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接三角形，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，連接，若，則等于（）A． B． C． D．2．（2022·北京西城·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，若，則等于（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，，則°．

4．（2023·云南德宏·統(tǒng)考一模）已知：如圖，是的直徑，垂直弦于點(diǎn)，則在不添加輔助線的情況下，圖中與相等的角是（寫出一個(gè)即可）．

5．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，四邊形內(nèi)接于，．

求證：(1)；(2)是的直徑．6．（2022秋·甘肅定西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：的兩條弦，相交于點(diǎn)M，且．

(1)如圖1，連接.求證：．(2)如圖2.若．在上取一點(diǎn)E，使，交于點(diǎn)F，連接、．判斷與是否相等，并說明理由．【經(jīng)典例題四半圓所對(duì)的圓周角是直角問題】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在上，連接交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．2．（2022·河北衡水·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，若，下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B．直線垂直平分 C． D．3．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

4．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知的直徑，為上一點(diǎn)（不與、重合），連接、．弦平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為．

5．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為2的正方形中邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），以為直徑的分別交和于點(diǎn)F、M，于點(diǎn)H．

(1)求證：(2)猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．(3)當(dāng)時(shí)，求的面積．6．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，C為上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為射線上一動(dòng)點(diǎn)，且平分，連接．(1)求證：；(2)連接，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【經(jīng)典例題五90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑問題】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，在上截取點(diǎn)使，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．3．（2023·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，四邊形是矩形，，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，在運(yùn)動(dòng)的過程中，始終垂直于，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最大值為．

4．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段上，，則線段的最小值為．

5．（2022秋·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，以為腰作等腰直角，其中，可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖1，連接，．①求證：；②判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)設(shè)直線，交于點(diǎn)P，連接，求的最大值．6．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大?。?2)過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題六已知圓內(nèi)接四邊形求角度】【例6】（2023·湖北黃岡·?？级＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，連接，若，則（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接OA，AD，BD，若，則的度數(shù)為（

）

A．110° B．140° C．120° D．130°2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，E為正方形的邊上一點(diǎn)（不與重合），將沿直線翻折到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是過B、E、G三點(diǎn)的圓劣弧上一點(diǎn)，則．3．（2023·江蘇南京·校考三模）如圖，四邊形內(nèi)接于，它的3個(gè)外角的度數(shù)之比為1∶2∶4，則4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，點(diǎn)D為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F．連接，若是的切線．(1)求證：；(2)若，求直徑的長(zhǎng)．5．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得，連結(jié)．

(1)求證：．(2)若，，，求的長(zhǎng)【經(jīng)典例題七求四邊形外接圓的直徑】【例7】．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)E，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）如圖，半徑為，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，連接作，垂足為F，連接．則長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．1 C． D．2．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┰诹庑沃校?，，的兩邊分別交邊、于點(diǎn)E、F，且，記的外心為點(diǎn)P，則P、C兩點(diǎn)間的最小距離為．3．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和直線l上滑動(dòng)（均不與原點(diǎn)O重合），，，作軸，，交點(diǎn)為P，設(shè)P的坐標(biāo)為，則．4．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）已知菱形中，，點(diǎn)分別在，上，，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)？(3)當(dāng)時(shí)，求的最大值？5．（2023秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．(1)如圖①，線段，則線段的最小覆蓋圓的半徑為_________；(2)如圖②，中，，，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖，作出的最小覆蓋圓（保留作圖痕跡，不寫作法）．此最小覆蓋圓的半徑為_________；(3)如圖③，矩形中，，，則矩形的最小覆蓋圓的半徑為_________；若用兩個(gè)等圓完全覆蓋該矩形，那么這兩個(gè)等圓的最小半徑為_________．【經(jīng)典例題八圓周角綜合問題】【例8】（2023春·重慶開州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以直角三角形的斜邊為邊在三角形的同側(cè)作正方形，正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，連接，如果，，則正方形的面積為（

）

A．20 B．22 C．24 D．26【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，在上截取點(diǎn)使，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．2．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段上，動(dòng)點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

3．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和直線m的函數(shù)表達(dá)式為，動(dòng)點(diǎn)在A點(diǎn)的