42四川省成都市龍泉驛區(qū)龍泉驛區(qū)東上高級(jí)中學(xué)有限公司2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

成都東上高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年度（上期）期中測試高2022級(jí)數(shù)學(xué)命題人：許爾亮審題人：董建民第Ⅰ卷一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求）1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．某中學(xué)高三年級(jí)共有學(xué)生800人，為了解他們的視力狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，若樣本中共有女姓11人，則該校高三年級(jí)共有男生（）人A．220 B．225 C．580 D．5853．PM2.5的監(jiān)測值是用來評價(jià)環(huán)境空氣質(zhì)量的指標(biāo)之一，劃分等級(jí)為：PM2.5日均值在以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)；PM2.5日均值在空氣質(zhì)量為二級(jí)：PM2.5日均值超過為超標(biāo)，如圖是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（單位：）變化的折線圖，關(guān)于PM2.5日均值說法正確的是（）A．這10天日均值的80%分位數(shù)為60B．前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差D．這10天的日均值的中位數(shù)為414．下列敘述正確的是（）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一定越來越接近一個(gè)確定數(shù)值B．若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為，則C．若事件A與事件B互斥，則D．若事件A與事件B對立，則更多免費(fèi)優(yōu)質(zhì)滋源請家威杏MXSJ6635．已知向量，，則與的夾角是（）A．30° B．60° C．120° D．135°6．若是空間的一個(gè)基底，則也可以作為該空間基底的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．已知三棱錐O-ABC，點(diǎn)M，N分別為OA，BC的中點(diǎn)，且，，用，，表示，則等于（）A． B． C． D．8．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A．平均數(shù)為2，方差為2.4 B．中位數(shù)為3，方差為1.6C．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 D．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2二、選擇題（共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求）9．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，方差為b，中位數(shù)為c，極差為d．由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則（）A．新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 B．新數(shù)據(jù)的方差是4bC．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2c 0．新數(shù)據(jù)的極差是2d10．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件為不是互斥事件的是（）A．至多有1個(gè)白球；都是紅球B．至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C．恰好有1個(gè)白球；都是紅球D．至多有1個(gè)白球；全是白球11．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（），A．空間向量，若，則B．若對空間中任意一點(diǎn)O，有，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．已知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底D．任意向量滿足12．在正四面體ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，，則（）A． B．C． D．異面直線MN與BD所成的角為第Ⅱ卷三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．已知點(diǎn)和點(diǎn)，則______．14．疫情防控期間，學(xué)校從2名男教師和3名女教師中任選2人參加志愿者服務(wù)，則選中的2人都是女教師的概率為______．15．若向量在空間的一組基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)是______．16．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長為1的正方體的對角線上，且異于點(diǎn)A，.記．當(dāng)為銳角時(shí)，的取值范圍是______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．“盲盒”是指商家將動(dòng)漫、影視作品的周邊或設(shè)計(jì)師單獨(dú)設(shè)計(jì)出玩偶放入盒子里，當(dāng)消費(fèi)者購買這個(gè)盒子，因盒子上沒有標(biāo)注，只有打開才會(huì)知道抽到什么，不確定的刺激會(huì)加強(qiáng)重復(fù)決策，從而刺激消費(fèi)．某商家將編號(hào)為1，2，3的三個(gè)玩偶隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)玩偶，每個(gè)玩偶的放置是相互獨(dú)立的．（1）共有多少種不同的放法？請列舉出來；．（2）求盒中放置的玩偶的編號(hào)與所在盒的編號(hào)均不相同的概率．18．如圖，在平行六面體中，，，設(shè)向量，，．（1）用表示向量，；（2）求．19．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖。（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；（3）已知落在的平均成績是56，方差是7，落在的平均成績?yōu)?5，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差．20．棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求，；21．多項(xiàng)選擇題是高考的一種題型，其規(guī)則如下：有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.現(xiàn)高二某同學(xué)正在進(jìn)行第一次月考，做到多項(xiàng)選擇題的11題和12題.該同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己只能全憑運(yùn)氣，在這兩個(gè)多項(xiàng)選擇題中，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率是，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率是，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率是．已知該同學(xué)做題時(shí)題目與題目之間互不影響且第11題正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)，第12題正確答案是三個(gè)選項(xiàng)（1）求該同學(xué)11題得5分的概率；（2）求該同學(xué)兩個(gè)題總共得分不小于7分的概率．22．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段CD，的中點(diǎn)．（1）求證：（2）求三棱錐的體積成都東上高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年度（上期）期中測試題高2022級(jí)數(shù)學(xué)參考答案1．C【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式運(yùn)算求解．【詳解】由題意可知：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．2．C【分析】利用分層抽樣比例一致得到相關(guān)方程，從而得解．【詳解】依題意，設(shè)高三男生人數(shù)為n人，則高三女生人數(shù)為人，由分層抽樣可得，解得．3．B【分析】利用題中折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢，對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】對于A，將10天中的PM2.5日均值按從小到大排列為30，32，34；40，41，45，48，60，78，80，根據(jù)80%分位數(shù)的定義可得，這10天中PM2.5日均值的80%分位數(shù)是，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，前5天的日均值的極差為，后5天的日均值的極差為，故選項(xiàng)B正確；對于C，由折線圖和方差的定義可知，前5天的日均值波動(dòng)性小，所以前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤：對于D，這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．4．D【分析】選項(xiàng)A．事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率，并非越來越接近；選項(xiàng)B，；選項(xiàng)C．事件A與事件B互斥，；選項(xiàng)D，對立事件的概率和為1．【詳解】選項(xiàng)A，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率，并不一定越來越接近這個(gè)確定數(shù)值，故A不正確；選項(xiàng)B，樣本空間Q的子集稱為隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形，必然事件發(fā)生的概率為1，不可能事件發(fā)生的概率為0，即，故B不正確；選項(xiàng)C．若事件A與事件B互斥，則它們不可能同時(shí)發(fā)生，即B發(fā)生則A一定不發(fā)生，所以，則，則有，不一定與相等，故C不正確：選項(xiàng)D．若事件A與事件B對立，則為必然事件，且事件A與事件B互斥，則，故D正確．5．C【分析】根據(jù)題意和空間向量數(shù)量積和模的坐標(biāo)表示，求出，結(jié)合計(jì)算即可求解．【詳解】由題意知，，，，所以，又，所以．6．C【分析】利用空間向量的基底的概念結(jié)合空間向量的共面定理一一判定即可．【詳解】對于A項(xiàng)，易知，則A項(xiàng)中向量共面，不符合；對于B項(xiàng)，易知，則B項(xiàng)中向量共面，不符合；對于D項(xiàng)，易知，則D項(xiàng)中向量共面，不符合；對于C項(xiàng)，易知，，不共面，即C正確．7．A【分析】由向量對應(yīng)線段的空間關(guān)系，應(yīng)用向量加法法則用，，表示出即可．【詳解】由圖知：．8．A【分析】A選項(xiàng)，有平均數(shù)與方差間關(guān)系，可判斷選項(xiàng)正誤：BCD選項(xiàng)，通過舉反例可判斷選項(xiàng)正誤．【詳解】A選項(xiàng)，若5次結(jié)果中有6，因平均數(shù)為2．則方差，因，則當(dāng)平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)一定不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A正確；B選項(xiàng)，取5個(gè)點(diǎn)數(shù)為3，3，3，5，6；則此時(shí)滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為4，則方差，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，取5個(gè)點(diǎn)數(shù)為2，2，3，5，6，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，取5個(gè)點(diǎn)數(shù)為1，1，2，5，6，滿足中位數(shù)為2，平均數(shù)為3，故D錯(cuò)誤．9．ABD【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差的定義即可判斷答案．【詳解】的平均數(shù)為a，所以，A正確；方差為b，即，所以，B正確；中位數(shù)為c，則的中位數(shù)為，C錯(cuò)；極差為d，則的極差為，D對．10．AB【分析】根據(jù)互斥事件的概念判斷即可．【詳解】解：對于A：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事件，故A正確；對于B：“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事件．故B正確；對于C：“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事件．故C錯(cuò)誤；對于D：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“全是白球”包含都是白球，所以“至多有1個(gè)白球”與“全是白球”是互斥事件．故D錯(cuò)誤．11．ABC【詳解】對于A：若，則，故A正確；對于B：若對空間中任意一點(diǎn)O，有，由于，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B正確；對于C：假設(shè)不是空間的一個(gè)基底，則共面，設(shè)，因?yàn)?，所以有，整理可得，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，所以有，顯然該方程組不成立，故假設(shè)錯(cuò)誤．所以，也是空間的一個(gè)基底，故C正確；對于D：由于是一個(gè)數(shù)值，也是一個(gè)數(shù)值，則由可得和共線，與己知的任意性不符，故D錯(cuò)誤．12．BC【詳解】由題意，如圖正四面體ABCD，，A錯(cuò)誤，B正確．在正四面體ABCD中，設(shè)AB的中點(diǎn)為F，連接DF，CF，則，，而，DF，平面DFC，故平面DFC，平面DFC，故，故，又為正三角形，M為AD的中點(diǎn)，故，則，則，且，所以，C正確．取CD的中點(diǎn)為E，連接ME，NE，則，，且，，則即為異面直線MN與BD所成的角或其補(bǔ)角，由證明方法同理可證，所以，所以是以為直角的等腰直角三角形，所以，D錯(cuò)誤．13．【詳解】，．故答案為：14．【詳解】記男老師為1，2，女老師為3，4，5，任選兩人，基本事件有：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10個(gè)，其中2個(gè)都是女老師的事件有：34，35，45，共3個(gè)．所以選中的2人都是女教師的概率為,故答案為：15．【詳解】因?yàn)樵诨紫碌淖鴺?biāo)是，所以，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，因此，所以，，，即，，，即向量在基底下的坐標(biāo)為，故答案為：16．【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由可得，，由圖可知，，不共線，所以當(dāng)為銳角時(shí)，即，解得或，又，所以，所以的取值范圍是．17．【詳解】（1）共有6種不同的放法，按盒子號(hào)1，2，3的順序放入玩偶的情況為；；；；；．（2）設(shè)所求事件為A，則A包含有，兩個(gè)基本事件，并且每個(gè)基本事件等可能，