線性代數(shù)教案 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組

教案課程名稱:線性代數(shù)編寫時間：20年月日第次第2－PAGE2頁教案課程名稱:線性代數(shù)編寫時間：20年月日第次第2－PAGE1頁授課章節(jié)第三章矩陣的初等變換與線性方程組§1矩陣的初等變換§2初等矩陣目的要求理解初等變換、初等矩陣,掌握逆陣求法重點難點利用初等變換法求逆陣復(fù)習(xí)……………………3分鐘§1矩陣的初等變換定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換：（1）互換矩陣中兩行（列）元素（記ri←→rj或ci←→cj）；（2）用一個非零數(shù)k乘矩陣的某一行（列）（記k×ri或k×ci）；（3）矩陣的某一行（列）元素倍地加到另一行（列）對應(yīng)元素上（記ri+k×rj或ci+k×cj）；（注意：本行的元素并沒有改變）矩陣的初等行或列變換統(tǒng)稱矩陣的初等變換。如果矩陣A經(jīng)過有限次的初等變換變成B，則稱A與B等價。記做A~B或A→B。矩陣等價的三個性質(zhì)：（1）反身性A→A；（2）對稱性若A→B，則B→A；（3）傳遞性：若A→B，B→C，則A→C。行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零，每個臺階只有一行，即每段豎線的長度為一行，豎線后面的第一個元素為非零數(shù)。如，，等都是行階梯形矩陣。行最簡形矩陣：在行階梯形矩陣的基礎(chǔ)上，每個非零行左數(shù)第一個非零元是1，并且它所在列的其它元素都是零。標準型矩陣：它的左上角為一個單位陣，其它元素都是零。就是.定理1任意一個m×n矩陣A，總可以經(jīng)過有限次初等行變換將其變成行階梯形矩陣，進一步還可化成行最簡形矩陣。定理2一個非奇異矩陣A，可以經(jīng)過有限次初等行變換變成單位陣。定理3任意一個m×n矩陣A，總可以經(jīng)過有限次初等變換將其變成標準型矩陣。用初等行變換將化成單位陣?！?2分鐘§2初等矩陣定義2（初等矩陣）對單位矩陣E施行一次初等變換后得到的矩陣，稱為初等矩陣。有以下三種類型：對調(diào)、倍乘、倍加，1．對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列記為。2．以k≠0乘矩陣某行或某列記為,其中。3．以數(shù)k乘矩陣某行（列）加到另一行（列）上去記為,初等矩陣有如下性質(zhì)：性質(zhì)1初等矩陣都是可逆矩陣，且其逆陣也是同類初等矩陣，；；性質(zhì)2初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍是同類初等矩陣，；；性質(zhì)3對矩陣A施行一次行初等變換相當(dāng)于在A的左邊乘一個同類m階初等矩陣；而施行一次列初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘一個同類n階初等矩陣。初等矩陣的這個性質(zhì)為計算逆矩陣提供了一個方法，討論如下。設(shè)A是階可逆矩陣，由上節(jié)定理2（一個非奇異矩陣A，可以經(jīng)過有限次初等行變換變成單位陣）則A可經(jīng)過有限次初等行變換變成單位陣，即存在一批初等矩陣P1、P2、…、Ps，使得Ps…P2P1A=E，所以Ps…P2P1=A-1這樣，如果把將A化成E過程中的每個初等陣Pi都記載下來，就可得到A的逆矩陣A-1=Ps…P2P1，可以想象這樣做也很麻煩。采用對比的方法：Ps…P2P1A=EPs…P2P1E=A-1，就是說，對A做什么樣的初等行變換，就對E做什么樣的初等行變換，而不必記載中間的初等變換的具體結(jié)果，直至將A化成E。再考慮到分塊矩陣的乘積，有Ps…P2P1（A|E）=（Ps…P2P1A|Ps…P2P1E）=（E|A用初等變換表示上面的過程，就是（A|E）→（P1A|P1E）→（P2P1A|P2P1E）→（Ps…P2P1A|Ps…P2P1E）=（E|A-1這就是用初等變換求逆矩陣的方法。例3用初等變換法求矩陣的逆矩陣。例4用初等變換法求矩陣的逆矩陣?！?2分鐘內(nèi)容小結(jié):初等變換;初等矩陣;掌握逆陣求法思考題:利用初等列變法求逆陣作業(yè)題:P791(1),3(1)(2),5備注:…………………………3分鐘授課章節(jié)§3矩陣的秩目的要求求解矩陣的秩重點難點求解矩陣的秩復(fù)習(xí)……………………3分鐘§3矩陣的秩定義3在m×n矩陣A中，任取k（k≤min{m，n}）行、k列，位于這些行列交叉處的元素，不改變順序組成一個k階行列式，稱此行列式為矩陣A的一個k階子式。一般地說，矩陣A的一個k階子式不止一個，可以計算它共有個k階子式。例如，，是它的一個二階子式，是它的另一個二階子式，它共有個二階子式。是它的一個三階子式，共有個三階子式。是它的一個一階子式，它共有個一階子式,它無四階和四階以上子式。定義4設(shè)在矩陣A中有一個不等于零的r階子式，而所有的r+1階（如果存在）子式均為零，則r稱矩陣A的秩。記做R（A）=r。利用定義計算一般矩陣的秩可能需要較大的計算量，不是一個好方法。因此只能計算特殊的矩陣，如階梯形矩陣的秩。如，有R（A）=3。…………………………42分鐘定理4矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。定理4給出求一般矩陣秩的方法，就是用初等變換將一般的矩陣化為階梯形矩陣。例5求矩陣的秩。矩陣秩的基本性質(zhì)：設(shè)A是m×n矩陣，≤R（A）≤min{m，n}；（2）R（AT）=R（A）；（3）若A←→B，則R（B）=R（A）。（4）若P、Q可逆，則R（PAQ）=R（A）。?！?2分鐘內(nèi)容小結(jié):求解矩陣的秩思考題:n階可逆矩陣的秩是多少?可逆矩陣又稱為滿秩矩陣.作業(yè)題:P798,9(1)(2),11備注:…………………………3分鐘授課章節(jié)§4線性方程組的解目的要求掌握線性方程組的解法重點難點解方程組復(fù)習(xí)……………………3分鐘§4線性方程組的解設(shè)有n個未知數(shù)m個方程的非奇線性方程組：（1）令，，，則（1）可寫成：（2）定義增廣矩陣：（3）顯然，方程組（1）與增廣矩陣（3）有著一一對應(yīng)關(guān)系。如果方程組（1）有解，則稱（1）是相容的，否則稱它是不相容的。對方程組施行以下三種運算：1）互換兩個方程的位置；2)用一個不等于零的數(shù)乘某一個方程；3)某一個方程加上另一個方程的倍。所得新方程組與原方程組同解。不難理解，對方程組施行的三種運算相當(dāng)于對增廣矩陣（3）做相應(yīng)的三種初等行變換。因此，解方程組的問題可轉(zhuǎn)化為對增廣矩陣做初等行變換問題。那么，采用什么方法解方程組？這里仍使用初等數(shù)學(xué)中的Gauss消元法。例6用Gauss消元法求解線性方程組。從以上的求解過程發(fā)現(xiàn)，所有同解方程組所對應(yīng)的增廣矩陣，它們彼此之間是等價的（初等行變換），最終的矩陣是行最簡型。下面用矩陣的形式重新求解原方程組。，就是?！?2分鐘例7求解線性方程組。解：，對應(yīng)方程組最后一個方程是矛盾的，因此該方程組無解。例7求解線性方程組。解：，對應(yīng)方程組最后一個方程是恒等式，因此方程組同解于前兩個方程構(gòu)成的方程組，克萊默法則說：未知數(shù)的個數(shù)與方程得個數(shù)相等的方程組，當(dāng)它的系數(shù)行列式不等于零時，它有唯一的解。這樣，在中，留下兩個未知數(shù)，并且這兩個未知數(shù)的系數(shù)構(gòu)成的行列式不等于零，而把其余的未知數(shù)當(dāng)已知數(shù)移到等號右邊，把這樣的未知數(shù)叫做自由未知數(shù)，如將x1和x2當(dāng)真正的未知數(shù)，把x3和x4當(dāng)自由未知數(shù)，即，令，則，它的所有解是。當(dāng)然，這個過程仍可以矩陣形式得到，，。由以上的幾個例題，歸納出一般的結(jié)果。定理4線性方程組（1）有解的充要條件是R（A）=R（B）。當(dāng)R（A）=R（B）=n時，方程組（1）有唯一解；當(dāng)R（A）=R（B）<n時，方程組（1）有無窮解。對于n個未知數(shù)m個方程的奇次線性方程組：（4）令，，則（4）可寫成：（5）齊次線性方程組（4）總是相容的，當(dāng)x1=0、x2=0、…、xn=0滿足方程組（4），這組解稱為零解，其它的解稱為非零解。齊次線性方程組是非齊次線性方程組的特例。自然，非齊次線性方程組的一些結(jié)果也適應(yīng)齊次線性方程組。對于齊次線性方程組，它的增廣矩陣，顯然有R（A）=R（B），因此，齊次線性方程組總是相容的。進一步，當(dāng)R（A）=R（B）=n