2.2圓的對(duì)稱性（二）垂徑定理（十一大題型）（ 解析版）

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》2.2圓的對(duì)稱性第二課時(shí)垂徑定理知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一圓的對(duì)稱性圓的軸對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸；圓又是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二垂徑定理◆1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；垂徑定理的依據(jù)是圓的軸對(duì)稱的性質(zhì).推導(dǎo)格式：◆2、垂徑定理的用法：（1）連接圓心與弦的一端，與過(guò)圓心且垂直與弦的線段和弦的一半構(gòu)成直角三角形（即垂徑定理三角形），利用勾股定理列式求值.（2）如圖弦長(zhǎng)a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：（3）r,a，d，h，已知其中任意兩個(gè)量，即可求出另外兩個(gè)量.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三垂徑定理的推論◆1、垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.◆2、垂徑定理及其推論：一條直線滿足：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦（不是直徑）；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其它三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）◆3、垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：題型一垂徑定理有關(guān)的概念題型一垂徑定理有關(guān)的概念【例題1】下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（）

①過(guò)弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

②弦的垂線平分它所對(duì)的兩條?。?/p>

③過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條??；

④平分不是直徑的弦的直徑平分弦所對(duì)的兩條?。瓵．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)垂徑定理以及推論判斷即可．【解答】解：①過(guò)弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的兩條弧，錯(cuò)誤，這條直線需要垂直這條弦．

②弦的垂線平分它所對(duì)的兩條弧，錯(cuò)誤，這條直線需要平分這條直線．

③過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧，錯(cuò)誤，這條弦不是直徑成立．

④平分不是直徑的弦的直徑平分弦所對(duì)的兩條?。_．

故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理以及推論，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理以及推論，屬于中考?？碱}型．解題技巧提煉1、垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的弧.2、一條直線滿足:①過(guò)圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其它三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）【變式1-1】（2023?肅州區(qū)三模）下列語(yǔ)句中，正確的有（）（1）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）長(zhǎng)度相等的兩條弧是等??；（4）圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是對(duì)稱軸．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】由圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，等弧的概念，圓的對(duì)稱性，即可判斷．【解答】解：（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故（1）不符合題意；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故（2）不符合題意；（3）長(zhǎng)度和度數(shù)相等的兩條弧是等弧，故（3）不符合題意；（4）圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是對(duì)稱軸，故（4）不符合題意．∴正確的有0個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，等弧的概念，圓的認(rèn)識(shí)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，已知⊙O的直徑AB⊥CD弦于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．CE＝DE B．AE＝OE C．∠COA＝∠DOA D．△OCE≌△ODE【分析】根據(jù)垂徑定理得出CE＝DE，弧CB＝弧BD，再根據(jù)全等三角形的判定方法“AAS”即可證明△OCE≌△ODE．【解答】解：∵⊙O的直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，∴CE＝DE，CB=在△OCE和△ODE中，∠CEO=∠DEO=90°∠OCE=∠ODE∴△OCE≌△ODE（AAS）．∴∠COE＝∠DOE，即∠COA＝∠DOA．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。咀兪?-3】如圖，在⊙O中，MN是直徑，AB是弦，且MN⊥AB，垂足為C，下列結(jié)論：①AC＝BC，②AN=BN，③BM=AM，④OC＝CN上述結(jié)論中，正確的有【分析】根據(jù)垂徑定理對(duì)各小題進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：∵在⊙O中，MN是直徑，AB是弦，且MN⊥AB，∴AC＝BC，AN=BN，AM=∵AB不一定過(guò)ON的中點(diǎn)，∴OC與CN的關(guān)系不能確定．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．題型二利用垂徑定理求線段長(zhǎng)題型二利用垂徑定理求線段長(zhǎng)【例題2】（2022春?海門市期中）如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的垂線段OE長(zhǎng)為3cm，則半徑OA的長(zhǎng)為cm．【分析】根據(jù)垂徑定理求出AE的長(zhǎng)，在Rt△AOE中根據(jù)勾股定理直接求出OA即可．【解答】解：∵OE⊥AB，AB＝8，∴AE＝BE＝4，在Rt△AOE中，OE＝3，根據(jù)勾股定理得：OA=A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧．解題技巧提煉作弦的垂線并連接圓心與弦的一個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)造“垂徑定理三角形”，利用勾股定理求解.【變式2-1】（2023春?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，若CD=45BE＝2，則AB的長(zhǎng)是（）A．12 B．16 C．65 D．【分析】連接OC，設(shè)圓的半徑是r，由勾股定理得到r2＝（r﹣2）2+(25)2，求出【解答】解：連接OC，設(shè)圓的半徑是r，∵BE＝2，∴OE＝r﹣2，∵直徑AB⊥CD，∴CE=12CD=12×∵OC2＝OE2+CE2，∴r2＝（r﹣2）2+(2∴r＝6，∴AB＝2r＝12．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是連接OC，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于r的方程．【變式2-2】（2023?伊川縣一模）如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分別為C，D，則CD的長(zhǎng)為（）A．12 B．22 C．32 【分析】連接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂徑定理以及三角形的中位線定理解決問(wèn)題即可．【解答】解：連接AB．∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，∴AB=O∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴AC＝CP，PD＝DB，∴CD=12AB故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，三角形的中位線定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線即可解決問(wèn)題．【變式2-3】（2022?丹江口市模擬）如圖，AB是⊙O的弦，AB長(zhǎng)為8，P是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AP于點(diǎn)C，OD⊥PB于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為（）A．3 B．23 C．43 D．4【分析】由OC⊥AP于點(diǎn)C，OD⊥PB于點(diǎn)D，利用垂徑定理知C、D分別為AP、BP的中點(diǎn)，CD是△ABP的中位線，利用中位線的性質(zhì)即可求出CD的長(zhǎng)．【解答】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴AC＝PC，BD＝PD，∴CD∥AB，且CD=12∵AB＝8，∴CD=12AB＝故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，三角形中位線，掌握垂徑定理，三角形中位線，利用垂徑定理推出C、D分別為AP、BP的中點(diǎn)，利用△ABP的中位線性質(zhì)解決問(wèn)題是關(guān)鍵．【變式2-4】（2023?蒙陰縣三模）已知⊙O的半徑為5，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，則OP＝（）A．14 B．15 C．17 D．32【分析】過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OB，根據(jù)垂徑定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OB，則OB＝5，∵PA＝2，PB＝4，∴AB＝PA+PB＝6，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝3，∴PC＝PB﹣BC＝1，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得：OC2＝OB2﹣BC2＝52﹣32＝16，在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得：OP=O故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．題型三利用垂徑定理求角度題型三利用垂徑定理求角度【例題3】（2022秋?諸城市校級(jí)月考）如圖，⊙O的直徑是4cm，C是AB的中點(diǎn)，弦AB、CD交于P，CD＝23cm，求∠APC的度數(shù)．【分析】作OH⊥CD于H，連接OC交AB于E，如圖，根據(jù)垂徑定理得CH＝DH=12CD=3，在根據(jù)勾股定理計(jì)算出OH＝1，則利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠OCH＝30°，由于C是AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推理得到OC⊥AB，然后在Rt△PCE【解答】解：作OH⊥CD于H，連接OC交AB于E，如圖，∵OH⊥CD，∴CH＝DH=12CD在Rt△OCH中，∵OC＝2，CH=3∴OH=OC∴∠OCH＝30°，∵C是AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，在Rt△PCE中，∵∠ECP＝30°，∴∠CPE＝60°，即∠APC的度數(shù)為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。忸}技巧提煉主要是利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和等知識(shí)來(lái)求解．【變式3-1】如圖，AB為⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，E是AD的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度數(shù)．【分析】根據(jù)平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，由E是AD的中點(diǎn)得到OE⊥AD，則利用互余可計(jì)算出∠AOE＝70°，加上∠OAC＝∠AOC，于是可根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠AOC．【解答】解：∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE⊥AD，∴∠AEO＝90°，∵∠BAD＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠AOC，∴∠AOC=12（180°﹣∠AOC）=12（180°﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。咀兪?-2】如圖，已知⊙O半徑OA＝4，點(diǎn)B為圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)C為劣弧AB上的一動(dòng)點(diǎn)，CD⊥OA，CE⊥OB，連接DE，要使DE取得最大值，則∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°【分析】如圖，延長(zhǎng)CD交⊙O于P，延長(zhǎng)CE交⊙O于T，連接PT．根據(jù)垂徑定理以及三角形的中位線定理，可得DE=12PT，當(dāng)PT是直徑時(shí)，DE的長(zhǎng)最大，再證明∠AOB＝【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CD交⊙O于P，延長(zhǎng)CE交⊙O于T，連接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE=12∴當(dāng)PT是直徑時(shí)，DE的長(zhǎng)最大，連接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB=12∠POT＝故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問(wèn)題．【變式3-3】如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA垂直于點(diǎn)D，連接AB、AC．點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE．（1）若AB＝6，求DE的長(zhǎng)；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到AB=AC，則AC＝AB＝6，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到（2）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和計(jì)算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC得到∠CDE＝∠C＝40°．【解答】解：（1）∵BC⊥OA，∴AB=AC，∠ADC＝∴AC＝AB＝6，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴DE=12AC＝（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝100°，∴∠C=12（180°﹣100°）＝∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴ED＝EC，∴∠CDE＝∠C＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱酥苯侨切涡边吷系闹芯€性質(zhì)．題型四利用垂徑定理求最值題型四利用垂徑定理求最值【例題4】（2022秋?道外區(qū)期末）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，M是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)的最小值為（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】過(guò)O作OM′⊥AB，連接OA，由“過(guò)直線外一點(diǎn)與直線上的所有連線中垂線段最短”的知識(shí)可知，當(dāng)OM于OM′重合時(shí)OM最短，由垂徑定理可得出AM′的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可求出OM′的長(zhǎng)，即線段OM長(zhǎng)的最小值．【解答】解：如圖所示，過(guò)O作OM′⊥AB，連接OA，∵過(guò)直線外一點(diǎn)與直線上的所有連線中垂線段最短，∴當(dāng)OM于OM′重合時(shí)OM最短，∵AB＝8，OA＝5，∴AM′=12×8在Rt△OAM′中，OM′=OA2∴線段OM長(zhǎng)的最小值為3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．利用“過(guò)直線外一點(diǎn)與直線上的所有連線中垂線段最短”求最值.【變式4-1】（2022春?江夏區(qū)校級(jí)月考）如圖，在⊙O中，弦AB＝5，點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連結(jié)OC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則CD的最大值為（）A．5 B．2.5 C．3 D．2【分析】連接OD，如圖，利用勾股定理得到CD，利用垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最小，再求出CD即可．【解答】解：連接OD，如圖，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD=O當(dāng)OC的值最小時(shí)，CD的值最大，而OC⊥AB時(shí)，OC最小，此時(shí)D、B兩點(diǎn)重合，∴CD＝CB=12AB=12即CD的最大值為2.5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出點(diǎn)C的位置是解此題的關(guān)鍵．【變式4-2】在平面直角坐標(biāo)系中，若以A（2，﹣1）為圓心，2為半徑的⊙A與過(guò)點(diǎn)B（1，0）的直線交于C、D，則CD的最小值為（）A．2 B．2 C．22 D．4【分析】連接AC，作AE⊥CD于E，根據(jù)垂徑定理和勾股定理得出CE＝DE=12CD，CE=AC2-AE2，所以當(dāng)AE取最大值時(shí)，CE最小，即CD最小，由于【解答】解：如圖，連接AC，作AE⊥CD于E，∴CE＝DE=12CD，∵AC＝2，∴當(dāng)AE取最大值時(shí)，CE最小，即CD最小，∴當(dāng)E點(diǎn)與B重合時(shí)，AE最大，∵A（2，﹣1），B（1，0），∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2，∴CE的最小值為：AC∴CD的最小值為22，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，垂線段最短以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，明確E點(diǎn)與B重合時(shí)，AE最大是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023?江都區(qū)模擬）如圖平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為55，弦AB的長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，⊙O內(nèi)一點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，3），當(dāng)弦AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)D到AB的距離的最小值是．【分析】連接OB，如圖，利用垂徑定理得到AC＝BC＝2，則利用勾股定理可計(jì)算出OC＝11，利用三角形三邊的關(guān)系，當(dāng)OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)D到AB的距離的最小，然后計(jì)算出OD的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)D到AB的距離的最小值．【解答】解：連接OB，如圖，∵OC⊥AB，∴AC＝BC=12AB＝在Rt△OBC中，OC=OB當(dāng)OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)D到AB的距離的最小，∵OD=42∴點(diǎn)D到AB的距離的最小值為11﹣5＝6．故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．【變式4-4】（2023?武安市二模）如圖1所示是一款帶毛刷的圓形掃地機(jī)器人，它的俯視圖如圖2所示，⊙O的直徑為40cm，毛刷的一端為固定點(diǎn)P，另一端為點(diǎn)C，CP=102cm，毛刷繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)形成的圓弧交⊙O于點(diǎn)A，B，且A，P，B三點(diǎn)在同一直線上．毛刷在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與⊙O交于點(diǎn)D，則A．202cm B．(20-102)cm C．(20【分析】連接AB，OB，當(dāng)O、P、D、C四點(diǎn)共線時(shí)，CD最長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出OP，然后根據(jù)CD＝CP﹣DP即可解答．【解答】解：如圖所示，連接AB，OB，根據(jù)題意可得：BP=AP=CP=102，且A，P，B∴OP垂直平分AB，∴∠OPB＝90°，∴當(dāng)O、P、D、C四點(diǎn)共線時(shí)，CD最長(zhǎng)，∵OB=OD=1在Rt△BOP中，由勾股定理得OP=O∴DP=OD-OP=(20-102∴CD長(zhǎng)最大值為CP-PD=102故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．題型五利用垂徑定理求取值范圍題型五利用垂徑定理求取值范圍【例題5】（2022?甘肅模擬）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點(diǎn)M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤5【分析】當(dāng)M與A或B重合時(shí)，OM最長(zhǎng)，當(dāng)OM垂直于AB時(shí)，OM最短，即可求出OM的范圍．【解答】解：當(dāng)M與A（B）重合時(shí)，OM的值最大＝OA＝5；當(dāng)OM垂直于AB時(shí)，可得出M為AB的中點(diǎn)，此時(shí)OM最小，連接OA，在Rt△AOM中，OA＝5，AM=12AB＝根據(jù)勾股定理得：OM=52∴3≤OM≤5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問(wèn)題來(lái)求范圍，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023?同心縣校級(jí)二模）如圖，⊙O的半徑為10，弦AB＝16，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則OM不可能為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OB，利用垂徑定理求得OM的最大值與最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OB，如圖，∵OC⊥AB，∴AC＝BC=12AB＝∴OC=OB∵垂線段最短，∴點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，OM取得最小值6，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A，B重合時(shí)，OM取得最大值10，∴6≤OM≤10．∴OM不可能為5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，正確利用上述定理與性質(zhì)求得OM的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022秋?桃城區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動(dòng)點(diǎn)P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點(diǎn)M、N分別是弦AB、PQ的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16【分析】連接OM、ON、OA、OP，由垂徑定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=12PQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，當(dāng)AB∥PQ時(shí)，M、O、N三點(diǎn)共線，當(dāng)AB、PQ位于O的同側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最短＝ON﹣OM＝7，當(dāng)AB、PQ位于O的兩側(cè)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng)＝OM+【解答】解：連接OM、ON、OA、OP，如圖所示：∵⊙O的直徑為26，∴OA＝OP＝13，∵點(diǎn)M、N分別是弦AB、PQ的中點(diǎn)，AB＝24，PQ＝10，∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=12∴OM=132-122當(dāng)AB∥PQ時(shí)，M、O、N三點(diǎn)共線，當(dāng)AB、PQ位于O的同側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，當(dāng)AB、PQ位于O的兩側(cè)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)＝ON+OM＝12+5＝17，∴線段MN的長(zhǎng)度的取值范圍是7≤MN≤17，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問(wèn)題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】如圖，⊙O的直徑為10，A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB＝6，CD＝8，若點(diǎn)E、F分別是弦AB、CD的中點(diǎn)，則線段EF長(zhǎng)度的取值范圍是（）A．1≤EF≤7 B．2≤EF≤5 C．1＜EF＜7 D．1≤EF≤6【分析】連接OE、OF、OA、OC，由垂徑定理得OE⊥AB，OF⊥CD，AE=12AB＝3，CF=12CD＝4，由勾股定理得OE＝4，OF＝3，當(dāng)AB∥CD時(shí)，E、O、F三點(diǎn)共線，當(dāng)AB、CD位于O的同側(cè)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最短＝OE﹣OF＝1，當(dāng)AB、CD位于O的兩側(cè)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng)＝OE+【解答】解：連接OE、OF、OA、OC，如圖所示：∵⊙O的直徑為10，∴OA＝OC＝5，∵點(diǎn)E、F分別是弦AB、CD的中點(diǎn)，AB＝6，CD＝8，∴OE⊥AB，OF⊥CD，AE=12AB＝3，CF=12∴OE=OA2-AE2當(dāng)AB∥CD時(shí)，E、O、F三點(diǎn)共線，當(dāng)AB、CD位于O的同側(cè)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最短＝OE﹣OF＝1，當(dāng)AB、CD位于O的兩側(cè)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度最長(zhǎng)＝OE+OF＝7，∴線段EF的長(zhǎng)度的取值范圍是1≤EF≤7，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問(wèn)題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．題型六利用垂徑定理求面積題型六利用垂徑定理求面積【例題6】（2023?石城縣模擬）如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE＝2，AE＝3，則△ACB的面積為（）A．3 B．5 C．6 D．8【分析】根據(jù)垂徑定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：∵CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，AE＝3，∴AB＝2AE＝6，∴△ACB的面積為12×AB×CE=12×6故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，垂徑定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出AB的長(zhǎng)．解題技巧提煉本題考查垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計(jì)算，掌握垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計(jì)算公式是正確解答的前提．【變式6-1】（2023?澗西區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，DE．若DE＝3DO，AB=45，則△ODEA．4 B．32 C．25 D【分析】先根據(jù)垂徑定理得到AD＝BD＝25，則BE＝2OD，再根據(jù)圓周角定理得到∠B＝90°，接著利用勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，從而可求出OD，然后利用三角形面積公式計(jì)算．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB＝2∵OA＝OE，∴OD為△ABE的中位線，∴BE＝2OD，∵AE為直徑，∴∠B＝90°，在Rt△BDE中，∵BD2+BE2＝DE2，∴（25）2+（2OD）2＝（3OD）2，解得OD＝2，∴△ODE的面積=12OD?BD=12×2×故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱藞A周角定理和勾股定理．【變式6-2】（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個(gè)花壇的面積為（）A．144π B．256π C．400π D．441π【分析】根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出OB2，再根據(jù)圓面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD過(guò)圓心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=1∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，即這個(gè)花壇的面積為400π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計(jì)算，掌握垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計(jì)算公式是正確解答的前提．【變式6-3】（2022秋?新余期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，則圖中陰影部分的面積為．【分析】利用垂徑定理，得出CH＝DH＝4，由OC＝OD得出Rt△COH≌Rt△DOH，進(jìn)而得出圖中陰影部分的面積為S△ABD，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，CD＝8，∴CH＝DH＝4，∵OC＝OD，∴Rt△COH≌Rt△DOH（HL），∴S△COH＝S△DOH，故圖中陰影部分的面積為：S△ABD=12AB?DH=12×10故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理，得出圖中陰影部分的面積為：S△ABD是解題關(guān)鍵．【變式6-4】（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)A，C，D均在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O內(nèi)，且AB⊥BC于點(diǎn)B，BC⊥CD于點(diǎn)C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，則⊙O的面積為（）A．125π4 B．275π4 C．125π9 【分析】利用垂徑定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半徑后，根據(jù)圓面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OA、OC，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于M，MO的延長(zhǎng)線于AB延長(zhǎng)線交于N，則四邊形BCMN是矩形，∵OM⊥CD，CD是弦，∴CM＝DM=12CD＝1＝∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，設(shè)ON＝x，則OM＝8﹣x，在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，∵OA＝OC，∴AN2+ON2＝OM2+CM2，即52+x2＝（8﹣x）2+12，解得x=5即ON=5∴OA2＝52+（52）2=∴S⊙O＝π×OA2=1254故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理、勾股定理是解決問(wèn)題的前提，求出半徑是正確解答的關(guān)鍵．題型七垂徑定理分類討論問(wèn)題題型七垂徑定理分類討論問(wèn)題【例題6】（2023?岱岳區(qū)二模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，則AB與CD之間的距離為（）cm．A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【分析】過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于F點(diǎn)，連接OA、OC，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)OF⊥CD，則根據(jù)垂徑定理得到AE＝4cm，CF＝3cm，再分別利用勾股定理計(jì)算出OE＝3cm，OF＝4cm，討論：當(dāng)點(diǎn)O在AB與CD之間時(shí)，如圖1，EF＝OF+OE＝7cm；當(dāng)點(diǎn)O不在AB與CD之間時(shí)，如圖2，EF＝OF﹣OE＝1cm．【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于F點(diǎn)，連接OA、OC，如圖，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE=12AB＝4cm，CF＝DF=12CD在Rt△OAE中，∵OA＝5cm，AE＝4cm，∴OE=52-4在Rt△OCF中，∵OC＝5cm，CF＝3cm，∴OF=52-3當(dāng)點(diǎn)O在AB與CD之間時(shí)，如圖1，EF＝OF+OE＝4+3＝7（cm）；當(dāng)點(diǎn)O不在AB與CD之間時(shí)，如圖2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1（cm）；綜上所述，EF的值為1cm或7cm，即AB與CD之間的距離為1cm或7cm．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．解題技巧提煉當(dāng)遇到求兩平行弦間的距離或者是弓形高的等問(wèn)題時(shí)在沒(méi)有給出圖形的情況下，要進(jìn)行分類討論,同時(shí)要利用垂徑定理和勾股定理來(lái)解決問(wèn)題.【變式7-1】已知弓形的弦長(zhǎng)為8cm，所在圓的半徑為5cm，則弓形的高為．【分析】過(guò)O作直徑OC⊥AB于D，連接OA，則CD是弓形的高或DE是弓形的高，根據(jù)垂徑定理求出AD，根據(jù)勾股定理求出OD，即可求出答案．【解答】解：過(guò)O作直徑OC⊥AB于D，連接OA，則CD是弓形的高或DE是弓形的高，∵CE⊥AB，CE為直徑，∴AD＝DB=12AB＝4在Rt△ADO中，由勾股定理得：AO2＝AD2+OD2，52＝42+OD2，OD＝3，∴CD＝5cm﹣3cm＝2cm，DE＝5cm+3cm＝8cm．故答案為：2cm或8cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)得出方程．【變式7-2】已知⊙O的直徑AB＝20，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，且CD＝16，則AE的長(zhǎng)為．【分析】分兩種情況討論，應(yīng)用勾股定理，垂徑定理，求出OE的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）當(dāng)CD在點(diǎn)O右側(cè)，連接OC，∵直徑AB⊥CD，∴CE＝12CD＝8∴OE＝OC2-CE2＝∴AE＝AO+OE＝10+6＝16；（2））當(dāng)CD在點(diǎn)O左側(cè)，連接OC，∵直徑AB⊥CD，∴CE＝12CD＝8∴OE＝OC2-CE2＝∴AE＝AO﹣OE＝10﹣6＝4．故答案為：16或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是分兩種情況討論．【變式7-3】（2022?牡丹江）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長(zhǎng)為．【分析】連接OA，由AB⊥CD，設(shè)OC＝5x，OM＝3x，則DM＝2x，根據(jù)CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根據(jù)垂徑定理得到AM＝4，然后分類討論：當(dāng)如圖1時(shí)，CM＝8；當(dāng)如圖2時(shí)，CM＝2，再利用勾股定理分別計(jì)算即可．【解答】解：連接OA，∵OM：OC＝3：5，設(shè)OC＝5x，OM＝3x，則DM＝2x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，∴AM＝BM=12在Rt△OAM中，OA＝5，AM=O當(dāng)如圖1時(shí)，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC=A當(dāng)如圖2時(shí)，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC=A綜上所述，AC的長(zhǎng)為45或25．故答案為：45或25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。}型八垂徑定理與證明題型八垂徑定理與證明【例題8】（2022秋?鄒城市校級(jí)期末）如圖，AB、CD為⊙O的兩條弦，AB∥CD，經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)E的直徑MN與CD交于F點(diǎn)，求證：CF＝DF．【分析】由垂徑定理得MN⊥AB，再證MN⊥CD，然后由垂徑定理即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵E為AB中點(diǎn)，MN過(guò)圓心O，∴MN⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴CF＝DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理，證明MN⊥CD是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查的是垂徑定理，有時(shí)需要根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-1】如圖，AB是⊙O的弦，C、D為直線AB上兩點(diǎn)，OC＝OD，求證：AC＝BD．【分析】作OH⊥AB于H，根據(jù)垂徑定理得到AH＝BH，而OC＝OD，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得OH平分CD，然后即可證得AC＝BD．【解答】證明：作OH⊥AB于H，如圖，則AH＝BH，∵OC＝OD，OH⊥AB，∴CH＝DH，∴CH﹣AH＝DH﹣BH，即AC＝BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱说妊切稳€合一的性質(zhì)．【變式8-2】（2020秋?金州區(qū)校級(jí)期末）如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)，求證：AD＝BC．【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)可知AE＝BE，再由垂徑定理可知CE＝DE，故可得出結(jié)論．【解答】證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，∵OE⊥AB，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE+DE＝BE+CE，即AD＝BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春?蕭縣月考）如圖1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．求證：四邊形ADOE是正方形；（2）如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分別交⊙O于D，C兩點(diǎn)，連接CD．求證：AB，CD是⊙O的等垂弦．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義及等垂弦定義推出四邊形ADOE是矩形，根據(jù)垂徑定理得出OD＝OE，即可判定矩形ADOE是正方形；（2）連接AC，由圓心角、弦的關(guān)系可得AB＝CD，由圓周角定理可得∠BAC=12∠BOC＝45°，∠ACD=12∠AOD＝45°，可證【解答】（1）證明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°，∴四邊形ADOE是矩形，∵AB，AC是⊙O的等垂弦，∴AB＝AC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE，∴矩形ADOE是正方形．（2）證明：設(shè)AB交CD于點(diǎn)E，連接AC，∵OD⊥OA，OC⊥OB，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，∵∠BAC=12∠BOC＝45°，∠ACD=12∠∴∠BEC＝∠ACB+∠BAC＝90°，∴AB⊥CD，∵AB＝CD，AB⊥CD，∴AB，CD是⊙O的等垂弦．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理的定義是解題關(guān)鍵．題型九利用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題題型九利用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題【例題9】（2023?薛城區(qū)二模）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長(zhǎng)8m，輪子的吃水深度CD為2m，則該槳輪船的輪子直徑為（）A．10m B．8m C．6m D．5m【分析】設(shè)半徑為r，再根據(jù)圓的性質(zhì)及勾股定理，可求出答案．【解答】解：設(shè)半徑為rm，則OA＝OC＝rm，∴OD＝（r﹣2）m，∵AB＝8m，∴AD＝4m，在Rt△ODA中，有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5m，則該槳輪船的輪子直徑為10m．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵在于知道OC垂直平分AB這個(gè)隱藏的條件．解題技巧提煉利用垂徑定理建模解決實(shí)際問(wèn)題，先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形（圓或半圓），巧用弦的一半、圓的半徑和過(guò)圓心的垂線段組成直角三角形，然后借助勾股定理，列出方程求解.【變式9-1】（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門的半徑為（）A．53m B．2m C．83m 【分析】取圓心為O，連接OA，由垂徑定理設(shè)⊙O的半徑為rm，則OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂徑定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出該拱門的半徑為5【解答】解：如圖，取圓心為O，連接OA，設(shè)⊙O的半徑為rm，則OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD=12AB＝1∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=5∴該拱門的半徑為53m故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）把半徑為5cm的球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若CD＝8cm，則EF的長(zhǎng)為（）A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm【分析】設(shè)球心為O，過(guò)O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，連接OF，結(jié)合題意可解得OF＝5cm，OM＝3cm，根據(jù)勾股定理求得MF，最后由垂徑定理求得結(jié)果．【解答】解：如圖，設(shè)球心為O，過(guò)O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，連接OF，由題意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5cm，∵CD＝8cm，∴MN＝8cm，∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），∵M(jìn)N⊥AD，∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，∴MF=O∴EF＝2FM＝8cm，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，涉及到圓的基本性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握求弦長(zhǎng)通常運(yùn)用垂徑定理構(gòu)造直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022?旌陽(yáng)區(qū)二模）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長(zhǎng)為4米，⊙O半徑長(zhǎng)為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．(3-5)米 D．【分析】連接OC，OC交AB于D，由垂徑定理得AD＝BD=12AB＝2（米），再由勾股定理得OD=5【解答】解：連接OC，OC交AB于D，由題意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB＝2（米），∠ADO＝∴OD=O∴CD＝OC﹣OD＝（3-5即點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（3-5故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式9-4】（2022秋?下城區(qū)校級(jí)月考）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為30m，拱高PM為9m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有15m時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有2m，即PN＝2m時(shí)，試求：（1）拱橋所在的圓的半徑；（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否需要采取緊急措施．【分析】（1）由垂徑定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半徑；（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），則A′B′＝2A'N＝16米＞15m，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，連接OA、OA′，設(shè)半徑為xm，則OA＝OA′＝OP，由垂徑定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，∴AM=12AB＝15（在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱橋所在的圓的半徑為17m；（2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=OA'2-O∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，∴不需要采取緊急措施．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理求得圓弧所在的半徑是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．題型十垂徑定理與平面直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用題型十垂徑定理與平面直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用【例題10】（2023?城西區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，⊙P與x軸交于O，A兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），⊙P的半徑為13，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（2，3） C．（3，1） D．（2，2）【分析】作PB⊥AO交AO于B，根據(jù)垂徑定理可知B是OA的中點(diǎn)，繼而求出B的坐標(biāo)，得出AB的值，可得結(jié)論．【解答】解：作PB⊥AO交AO于B，連接AP，∵PB⊥AO，∴B是OA的中點(diǎn)，∵點(diǎn)A（6，0），∴AB＝OB＝3，∵Rt△PBA中，AP=13，AB＝3∴PB=(13∴P（3，2）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．解題技巧提煉利用垂徑定理在平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)或弦長(zhǎng)，一般是過(guò)圓心作直線的垂線，由弦心矩、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形，然后利用勾股定理及其它幾何知識(shí)求出點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長(zhǎng).【變式10-1】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，半徑為5的⊙A與y軸交于點(diǎn)B（0，2）、C（0，10），則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（）A．﹣3 B．3 C．4 D．6【分析】過(guò)A作AD⊥BC于D，連接AB，根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)求出BC，再根據(jù)垂徑定理求出BD＝CD＝4，根據(jù)勾股定理求出AD即可．【解答】解：過(guò)A作AD⊥BC于D，連接AB，∵半徑為5的⊙A與y軸交于點(diǎn)B（0，2）、C（0，10），∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，∵AD⊥BC，AD過(guò)圓心A，∴CD＝BD＝4，由勾股定理得：AD=AB∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)垂徑定理求出BD＝CD＝4是解此題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2022秋?興義市期中）如圖，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半徑為5的⊙A經(jīng)過(guò)M、N，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【分析】過(guò)A作AB⊥NM于B，連接AM，根據(jù)垂徑定理求出BN＝BM＝3，根據(jù)勾股定理求出AB，求出OB，即可得出答案．【解答】解：過(guò)A作AB⊥NM于B，連接AM，∵AB過(guò)A，∴MB＝NB，∵半徑為5的⊙A與y軸相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，由勾股定理得：AB=52∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣6），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能根據(jù)垂徑定理求出BM和BN是解此題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023?沙市區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與y軸相切于原點(diǎn)O，平行于x軸的直線交⊙A于M、N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，﹣2），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1.5，﹣2） D．（1.5，﹣2）【分析】本題可先設(shè)半徑的大小，由此得出A點(diǎn)的方程．連接AM、AN根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出AN的長(zhǎng)度，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可解出N點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：分別過(guò)點(diǎn)M、N作x軸的垂線，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥MN，連接AN，則BM＝BN，設(shè)⊙A的半徑為r，則AN＝r，AB＝2，BM＝BN＝4﹣r，在Rt△ABN中，根據(jù)勾股定理，22+（4﹣r）2＝r2，可得：r＝2.5，∴BN＝4﹣2.5＝1.5，則N到y(tǒng)軸的距離為：AO﹣BN＝2.5﹣1.5＝1，又點(diǎn)N在第三象限，∴N的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解．題型十一垂徑定理綜合應(yīng)用問(wèn)題題型十一垂徑定理綜合應(yīng)用問(wèn)題【例題11】（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在⊙O中，AB、AD為弦，CD為直徑，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN與CD相交于Q．（1）求證：BQ＝BC；（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)CD⊥AB，BN⊥AD，所以∠BNA＝∠BMQ＝90°，可得∠BQM＝∠A，利用圓周角定理得∠C＝∠A，所以∠C＝∠BQM，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)圓心為O，連接BO，設(shè)BO＝r，則OM＝r﹣3，利用勾股定理得BM＝4和42+（r﹣3）2＝r2，即可求出半徑．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，∴