專題24.1 圓的有關(guān)性質(zhì)-圓的概念、垂徑定理、弧、弦、圓心角之八大考點(解析版)

專題24.1圓的有關(guān)性質(zhì)--圓的概念、垂徑定理、弧、弦、圓心角之八大考點【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一求過圓內(nèi)一點的最長弦】 1【考點二利用垂徑定理求值】 2【考點三利用垂徑定理求平行弦問題】 5【考點四垂徑定理的推論】 8【考點五垂徑定理的實際應(yīng)用】 11【考點六圓心角概念辨析】 13【考點七利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】 14【考點八利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】 16【過關(guān)檢測】 19【典型例題】【考點一求過圓內(nèi)一點的最長弦】例題：（2023秋·河南周口·九年級校考期末）若的直徑長為，點，在上，則的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)直徑是最長的弦即可求解．【詳解】解：∵若的直徑長為，點，在上，∴的長不可能是，故選：D．【點睛】本題考查了圓的相關(guān)概念，掌握直徑是最長的弦是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）已知的半徑是3cm，則中最長的弦長是（

）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm【答案】B【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解．【詳解】解：圓的直徑為圓中最長的弦，中最長的弦長為．故選：B．【點睛】本題考查了圓的認識：需要熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．2．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）已知是半徑為6的圓的一條弦，則的長不可能是（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D【分析】根據(jù)半徑求得直徑的長，然后利用圓內(nèi)最長的弦是直徑作出判斷即可．【詳解】解：∵圓的半徑為6，∴直徑為12，∵AB是一條弦，∴AB的長應(yīng)該小于等于12，不可能為14，故選：D．【點睛】本題考查了圓的認識，解題的關(guān)鍵是了解圓內(nèi)最長的弦是直徑，難度較小．【考點二利用垂徑定理求值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長為．

【答案】【分析】由題意易得，根據(jù)勾股定理可求的長，然后問題可求解．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴,故答案為．【點睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知的半徑為，弦的長為，則圓心到的距離為．【答案】【分析】過點作于點H，由垂徑定理得到，在中，利用勾股定理即可得到圓心到的距離．【詳解】解：如圖，的半徑為，弦的長為，過點作于點H，

則，，∴，即圓心到的距離為，故答案為：【點睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長為寸．

【答案】26【分析】連接構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由得到點為的中點，由可求出的長，再設(shè)出圓的半徑為，表示出，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程，求解方程可得的值，即為圓的直徑．【詳解】解：連接，

，且寸，寸，設(shè)圓的半徑的長為，則，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，化簡得：，即，（寸）．故答案為：26．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．【考點三利用垂徑定理求平行弦問題】例題：（2023秋·天津和平·九年級?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過點作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當(dāng)圓點在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點不在、之間，與之間的距離．【詳解】解：過點作，為垂足，交與，連，，如圖，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；當(dāng)圓點在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點不在、之間，與之間的距離；所以與之間的距離為7或1．故選：C．【點睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了勾股定理以及分類討論的思想的運用．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．【答案】2或14【分析】由于弦與的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論：①弦與在圓心同側(cè)；②弦與在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦與在圓心同側(cè)時，如圖①，

過點O作，垂足為F，交于點E，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②當(dāng)弦與在圓心異側(cè)時，如圖，

過點O作于點E，反向延長交于點F，連接，同理，，，所以與之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．2．（2023春·甘肅武威·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【答案】7cm或17cm．【分析】分兩種情況進行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12?5＝7cm；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB與CD之間的距離為7cm或17cm．【點睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運用定理是解題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．【考點四垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測得其同一水平線上A、B兩點之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【答案】【分析】連接，設(shè)的半徑為R，利用垂徑定理以及勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，設(shè)的半徑為R，則，由題意得，，∴，在中，由勾股定理得，解得，則的半徑為米．故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖是一位同學(xué)從照片上前切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A，B兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】連接，作于點D，交優(yōu)弧于點C，利用垂徑定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的長，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，作于點D，交優(yōu)弧于點C，則厘米．由題意得厘米，在中，厘米，∴厘米，則“圖上”太陽從目前所處位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案為：16．【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺．問徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長是寸．【答案】【分析】連接，依題意，得出，設(shè)半徑為，則，在中，，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，，為的半徑，∴，設(shè)半徑為，則，在中，，∴，解得：，∴直徑為，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【考點五垂徑定理的實際應(yīng)用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級專題練習(xí)）如圖，的直徑與弦交于點E，，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論判斷即可．【詳解】解：∵是的直徑與弦交于點，，根據(jù)垂徑定理及其推論可得，點B為劣弧的中點，點為優(yōu)弧的中點，∴，，但不能證明，故選項說法錯誤，符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是垂徑定理及其推論，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理及其推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧，平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。咀兪接?xùn)練】1．（2023春·九年級單元測試）下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦②平分弦的直徑平分弦所對的?、鄞怪庇谙业闹本€必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【詳解】根據(jù)垂徑定理及其推論進行判斷．【解答】解：根據(jù)垂徑定理，①正確；②錯誤．平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對的弧；③錯誤．垂直于弦且平分弦的直線必過圓心；④正確．故選：D．【點評】注意概念性質(zhì)的語言敘述，有時是專門來混淆是非的，只是一字之差，所以學(xué)生一定要養(yǎng)成認真仔細的習(xí)慣．2．（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）下列說法中正確的說法有（）個①對角線相等的四邊形是矩形

②在同圓或等圓中，同一條弦所對的圓周角相等③相等的圓心角所對的弧相等

④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧⑤到三角形三邊距離相等的點是三角形三個內(nèi)角平分線的交點A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)矩形的判定方法、圓的性質(zhì)、垂徑定理、三角形的有關(guān)性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①對角線相等的平行四邊形是矩形，故錯誤；②在同圓或等圓中，同一條弦所對的圓周角不一定相等，∵同一條弦所對的圓周角有兩種情況，故不正確；③在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；④平分非直徑的弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，故錯誤；⑤到三角形三邊距離相等的點是三角形的內(nèi)心，而內(nèi)心是角平分線的交點，故正確；故選：A．【點睛】本題是對基礎(chǔ)概念的考查，熟記概念是解題關(guān)鍵．【考點六圓心角概念辨析】例題：（2023秋·九年級單元測試）下面圖形中的角是圓心角的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)圓心角的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A．頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；B．頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；C．頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；D．是圓心角，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了圓心角的定義，注意：頂點在圓心上，并且兩邊和圓相交的角，叫圓心角．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下列說法正確的是（）A．如果一個角的一邊過圓心，則這個角就是圓心角B．圓心角α的取值范圍是C．圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角D．圓心角就是在圓心的角【答案】C【分析】由圓心角的定義：圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角，即可求得答案．【詳解】解：∵圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角，∴A、D錯誤，C正確；∵圓心角α的取值范圍是，∴B錯誤．故選：C．【點睛】此題考查了圓心角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓心角的定義．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下圖中是圓心角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓心角的概念：圓心角是指在中心為O的圓中,過弧AB兩端的半徑構(gòu)成的∠AOB,稱為弧AB所對的圓心角進行判斷.【詳解】解：A、不是圓心角，故不符合題意；B、不是圓心角，故不符合題意；C、是圓心角，故符合題意；D、不是圓心角，故不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是圓心角的概念，掌握頂點在圓心的角叫作圓心角是解題的關(guān)鍵．【考點七利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點C，D在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【詳解】解：∵在中，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點A，B，C在上，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系，熟知同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）下列說法：①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③過直線上兩點和直線外一點，可以確定一個圓；④圓是軸對稱圖形，直徑是它的對稱軸．其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理判斷①，根據(jù)垂徑定理的推論判斷②；根據(jù)不共線的三點共圓可判斷③；根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷④．【詳解】解：①同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；②平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，故錯誤；③過直線上兩點和直線外一點，可以確定一個圓，正確；④圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，故錯誤，正確的只有1個，故選：B．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理的推論，軸對稱圖形的對稱軸，圓的性質(zhì)，熟練掌握定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點八利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知的半徑，，在上，于點，于點，且，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的判定定理可得，然后根據(jù)弧、弦和圓心角的關(guān)系證明即可．【詳解】證明：∵，，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的判定定理以及弧、弦和圓心角的關(guān)系等知識，準確證明是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·九年級校考開學(xué)考試）已知：如圖，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求證：AB=CD．【答案】見解析【分析】根據(jù)∠ABD=∠CDB，可知，則有，由此可得，進而可證AB=CD．【詳解】證明：∵∠ABD=∠CDB，∴，∴，∴，∴AB=CD．【點睛】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，即在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等，能夠熟練掌握圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北秦皇島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點，C是弧AB中點．求證：∠A＝∠B．【答案】見解析【分析】連接，通過證明即可得結(jié)論．【詳解】證明：如圖，連接，是的中點，，，在和中，，，．【點睛】本題考查弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定和性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點A，B，C均在上，若，，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)等邊對等角得出，則，最后根據(jù)等角對等角得出，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握半徑相等，等腰三角形“等邊對等角”．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)有（）①平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧；②在等圓中，如果弧相等，那么它們所對的弦也相等；③等弧所對的圓心角相等；④過三點可以畫一個圓；⑤圓是軸對稱圖形，任何一條過圓心的直線都是它的對稱軸；⑥三角形的外心到三角形的三邊距離相等．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由垂徑定理的推論可判斷①，由圓心角，弧，弦之間的關(guān)系可判斷②③，由不在同一直線上的三點確定一個圓可判斷④，由圓的對稱軸是直線可判斷⑤，由三角形的外心的性質(zhì)可判斷⑥，從而可得答案．【詳解】解：①當(dāng)被平分的這條弦是直徑時，平分弦的直徑，不平分這條弦所對的弧，所以平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧說法錯誤，故不符合題意；②在等圓中，如果弧相等，那么它們所對的弦也相等，說法正確，故符合題意；③等弧所對的圓心角相等，說法正確，故符合題意；④由于過不在同一條直線上的三點可以畫一個圓，所以過三點可以畫一個圓說法錯誤，故不符合題意；⑤圓是軸對稱圖形，任何一條過圓心的直線都是它的對稱軸，說法正確，故符合題意；⑥由于三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等，所以三角形的外心到三角形的三邊距離相等說法錯誤，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，垂徑定理的推論，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓的確定，三角形的外心的性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，的半徑為是圓外一點，，交于點，則弦的長為（

）

A．4 B．6 C． D．8【答案】D【分析】過作于，連接，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)垂徑定理得出，最后求出答案即可．【詳解】解：過作于，連接，則，

，，，在中，由勾股定理得：，，，即，故選：D．【點睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識點，解題的關(guān)鍵是能熟記垂直于弦的直徑平分弦．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為的直徑，點是的中點，過點作于點，延長交于點．若，，則的直徑長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，首先證明，設(shè),在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題【詳解】解：如圖，連接．，，，點D是弧的中點，，，，，設(shè),在中，則有，解得，，故選：B．【點睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，弧，弦之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．5．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【答案】A【分析】首先利用垂徑定理的推論得出，，再設(shè)的半徑為，則．在中根據(jù)勾股定理列出方程，求出即可．【詳解】解：是的一部分，是的中點，，，．設(shè)的半徑為，則．在中，，，，，即的半徑為．故選：A．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，設(shè)的半徑為，列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，若點為的圓心，則線段是圓的半徑；線段是圓的弦，其中最長的弦是；或是劣弧；是半圓．【答案】或或或或直徑【分析】根據(jù)圓的基本概念進行作答即可．【詳解】解：如圖，若點為的圓心，則線段或或是圓的半徑；線段或或是圓的弦，其中最長的弦是直徑；或是劣??；是半圓．故答案為：或或；或或；直徑；；；【點睛】本題考查了圓的基本概念，正確掌握圓的基本概念相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點A、B、C作圓弧，則圓心的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】運用垂徑定理的推論作圖確定圓心位置，寫出坐標(biāo)即可．【詳解】解：分別作的垂直平分線，交于點P，點P即為圓心，由圖知，圓心P的坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查垂徑定理的推論，掌握作圓中弦的垂直平分線必過圓心值解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于點E．若，則度數(shù)為．【答案】50【分析】根據(jù)求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出．【詳解】解：連接．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：50．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，圓的知識，能求出∠ODE的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．9．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點O為圓心的一部分，如果M是中弦的中點，經(jīng)過圓心O交于點E，若，，則的半徑為m．【答案】【分析】連接，根據(jù)垂徑定理可得，，然后在中，利用勾股定理求出x即可．【詳解】解：連接，∵M是弦的中點，，，∴，，設(shè)圓的半徑是x米，在中，有，∴，解得：，即的半徑為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，利用垂徑定理構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，截三邊所得的弦長，則度．【答案】125【分析】過點O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如圖，由于=，利用弦、圓心角和對應(yīng)的弦心距的關(guān)系得到OM=OK=OP，則可判斷OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，然后根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和求解．【詳解】解：過點O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如圖，∵∴OM=OK=OP，∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°∠B）=90°，∴∠AOC=180°（∠OAC+∠OCA）=180°=125°．故答案為：125．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．也考查了弦、弧、圓心角和弦心距的關(guān)系．三、解答題11．（2023秋·江蘇·九年級?？贾軠y）如圖，點A、B、C、D在⊙O中，且，與相等嗎？為什么？【答案】相等，理由見解析【分析】由可得，即，因此與相等．【詳解】與相等．理由如下：∵，∴，即，∴．【點睛】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應(yīng)相等．在圓中經(jīng)常利用此結(jié)論把圓心角、弧、弦之間進行轉(zhuǎn)化．12．（2023春·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中）如圖，圓心角．(1)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)，見解析(2)【分析】（1）根據(jù)條件和，即可求解；（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)論和即可求解．【詳解】（1）解：；∵，，，∴（2）解：∵，，，，∴，∴；【點睛】本題考查了簡單幾何問題，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．13．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，，交于點，，是半徑，且于點．

(1)求證：．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）由垂徑定理得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可得結(jié)論；（2）連接，結(jié)合垂徑定理和勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：如圖，連接，

設(shè)的半徑是r，，，，的半徑是5．【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．14．（2023秋·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期末）在以為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長為______．(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點，若，求證．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）連接，，過點作，則為，的中點，得出，，根據(jù)勾股定理即可求出的長；（2）過作，作，垂足分別為、，得出，，，，連接、、、，通過證明和，即可得證．【詳解】（1）連接，，過點作，則為，的中點，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為：（2）過作，作，垂足分別為、，∴，，，，又∵，∴，連接、、、，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解此類題的關(guān)鍵．15．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，