河北省2022年中考數(shù)學(xué)人教版總復(fù)習(xí)教學(xué)案-第六章第1節(jié)圓的基本性質(zhì)

第六章圓第一節(jié)圓的基本性質(zhì)【課標(biāo)要求】☆理解圓、弧、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念．☆探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論．☆理解圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，了解三角形的內(nèi)心和外心．【教材對接】人教：九上第二十四章P79～91，P99～100；冀教：九上第二十八章P146～166；北師：九下第三章P65，P67～88，P97～99.圓的有關(guān)概念及性質(zhì)圓定義1：平面上，到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓定義2：平面上，一條線段繞著它固定的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一端點所形成的圖形就是圓弦圓上任意兩點間的線段叫做這個圓的一條弦直徑過圓心的弦叫做這個圓的直徑．直徑是圓內(nèi)最長的弦弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。畧A的直徑將這個圓分成能夠完全重合的兩條弧，這樣的一條弧叫做半圓．大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧，能夠完全重合的兩條弧叫做等弧圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角圓周角頂點在圓上，兩邊都與圓相交的角叫做圓周角等圓能夠完全重合的兩個圓叫做等圓圓的對稱性圓是軸對稱圖形，過圓心的每一條直線都是它的對稱軸圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后都與自身重合圓心角、弧、弦之間的關(guān)系在同圓或等圓中，兩個圓心角及其所對應(yīng)的兩條弦和所對應(yīng)的兩條弧這三組量中，只要有一組量相等，其他兩組量就分別相等【基礎(chǔ)練1】(1)下列說法錯誤的是(B)A．直徑是圓中最長的弦B．長度相等的兩條弧是等弧C．面積相等的兩個圓是等圓D．半徑相等的兩個半圓是等弧(2)如圖，AB是⊙O的直徑，eq\x\to(BC)＝eq\x\to(CD)＝eq\x\to(DE)，∠COD＝38°，則∠AEO的度數(shù)是(B)A.52°B．57°C．66°D．78°垂徑定理及其推論垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧推論平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧【方法點撥】垂徑定理及其推論的應(yīng)用(1)應(yīng)用垂徑定理推論時，一定要注意被平分的弦不是直徑．(2)在圓中計算線段長度時，常需考慮垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．其中“半徑、弦的一半、弦心距”三者的長度滿足勾股定理．(3)確定圓中未知圓心的位置時，常根據(jù)垂徑定理的推論確定圓心在某一條直線或線段上，再根據(jù)垂徑定理求解相關(guān)的量．(4)求圓內(nèi)兩條平行弦間的距離時，需注意兩條平行弦可以在圓心的同側(cè)或異側(cè)．【基礎(chǔ)練2】(2021·衡水模擬)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P，若CD＝BP＝8，則⊙O的直徑為(A)A.10B．8C．5D．3圓周角定理及其推論圓周角定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半推論1同弧(或等弧)所對的圓周角相等推論2直徑(或半圓)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑推論3圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角【方法點撥】圓周角定理及其推論的應(yīng)用(1)在圓中，遇到90°的圓周角就找其所對弦(直徑)；遇到直徑，就要想到它所對的圓周角是90°.(2)常見輔助線的作法：在求弧所對圓周角度數(shù)時，有時可過弧的一端點引直徑，將弧所對圓周角轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解．(3)已知圓內(nèi)一條弦和其對應(yīng)的圓心角，求對應(yīng)的圓周角時需注意圓周角可以在弦的兩側(cè)．【基礎(chǔ)練3】(1)(2021·石家莊新華區(qū)模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，C為半圓的中點，D為⊙O上的一點，且C，D兩點分別在AB的異側(cè)，則∠D的度數(shù)為(B)A．30°B．45°C．60°D．75°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)(2021·衡水模擬)如圖，OA，OB是⊙O的半徑，C是eq\x\to(AB)上一點，連接AC，BC.若∠AOB＝128°，則∠ACB的大小為(B)A．126°B．116°C．108°D．106°(3)(2021·承德一模)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝60°，則∠DCE的度數(shù)是(A)A．60°B.120°C．90°D．無法確定三角形的內(nèi)心與外心任意一個三角形都有其外接圓和內(nèi)切圓．三角形外接圓與內(nèi)切圓的性質(zhì)如下表．外接圓內(nèi)切圓圖示圓心圓心是三角形的外心，是三條邊的垂直平分線的交點圓心是三角形的內(nèi)心，是三條角平分線的交點性質(zhì)三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等三角形的內(nèi)心到三角形的三條邊的距離相等角度關(guān)系∠BOC＝2∠A，∠OBC＝∠OCB∠BOC＝90°＋eq\f(1,2)∠A判斷方法從三角形中任意選兩條邊，作它們的中垂線，其交點即為三角形的外心從三角形中任意選兩個角，作它們的角平分線，其交點即為三角形的內(nèi)心【溫馨提示】(1)三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部．任何一個三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任何一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2)銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊的中點處，鈍角三角形的外心在三角形的外部．三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形有無數(shù)個．【基礎(chǔ)練4】(1)已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠C＝80°，則∠D的度數(shù)是(C)A．80°B．100°C．80°或100°D．不能確定(2)(2021·河北模擬)如圖，在△ABC中，點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4.則△DBC的面積是(B)A.4eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2D．4eq\a\vs4\al(垂徑定理及應(yīng)用)【例1】如圖，⊙O的直徑CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E，OE∶OC＝1∶3，則AB的長為(D)A.2eq\r(2)cmB．4eq\r(2)cmC．6eq\r(2)cmD．8eq\r(2)cm【解題思路】連接OB.由題意，得∠OEB＝90°，OC＝OB＝6cm.由OE∶OC＝1∶3，可求出OE＝2cm.在Rt△BEO中，由勾股定理可得BE＝eq\r(OB2－OE2)＝4eq\r(2)cm，再由垂徑定理可得AB的長．【方法點撥】(1)找準(zhǔn)相應(yīng)線段的長：半徑、弦長、弦心距；(2)利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形：弦的一半、弦心距分別作為直角邊，半徑作為斜邊；(3)利用勾股定理解決問題．1．(2021·承德一模)如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為6，P為弦AB上的動點，則線段OP長的取值范圍是(C)A．3≤OP≤5B．4＜OP＜5C．4≤OP≤5D．3＜OP＜5eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))2．如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以O(shè)為圓心的圓的一部分，CM＝DM＝2，直線MO交圓于點E，EM＝8，則圓的半徑為eq\f(17,4)．3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足為點F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝10－2eq\r(3)．eq\a\vs4\al(圓的內(nèi)接四邊形)【例2】(2021·吉林中考)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點P為邊AD上任意一點(點P不與點A，D重合)連接CP.若∠B＝120°，則∠APC的度數(shù)可能為(D)A.30°B．45°C．50°D．65°【解題思路】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B＋∠D＝180°.∵∠B＝120°，∴∠D＝180°－∠B＝60°.∵∠APC為△PCD的外角，∴∠APC＞∠D.4．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.,(1)求證：BD＝CD；(2)若⊙O的半徑為3，求BC的長．(1)證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝105°，∴∠C＝180°－105°＝75°.∵∠DBC＝75°，∴∠DBC＝∠C.∴BD＝CD；(2)解：連接OB，OC.∵∠DBC＝∠C＝75°，∴∠BDC＝180°－75°－75°＝30°.∴∠BOC＝2∠BDC＝60°.∴△BOC為等邊三角形．∴BC＝OB＝3.對弧、弦、圓周角等概念理解不深刻，未注意分類討論【例1】半徑等于eq\r(3)的⊙O中，弦AB長度為3，則弦AB所對的圓周角度數(shù)為()A．30°B．60°或120°C．60°D．30°或150°【錯解分析】本題考查了圓周角與弦的關(guān)系，同弦所對的圓周角有兩種情況，一種是在優(yōu)弧上，另一種是在劣弧上，做題時易因考慮不全面導(dǎo)致漏解．【正確解答】B1．AB和CD是⊙O的兩條平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半徑為5，則AB與CD間的距離為(C)A．1B．7C．1或7D．3或42．已知CD是⊙O的直徑，A是⊙O上的任意一點，過點D的弦DE平行于半徑OA，連接AC，若∠CDE的度數(shù)是50°，則∠ACD的度數(shù)是25°或65°．eq\a\vs4\al(混淆三角形的內(nèi)心與外心)【例2】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF折疊，點C的對應(yīng)點為O，連接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，則點O是()A.△ABC的內(nèi)心B．△ABC的外心C．△ABF的內(nèi)心D．△ABF的外心【錯解分析】本題容易混淆內(nèi)心與外心的概念．連接OB，OC.由等腰三角形的性質(zhì)可證AO是BC的垂直平分線，從而得OB＝OC，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得∠FCO＝40°，∠ACB＝65°，進(jìn)而得∠OAC＝∠OCA＝25°，則OA＝OC＝OB，即可進(jìn)行判斷．【正確解答】B3．已知點O是△ABC的外心，連接AO并延長交BC于點D，若∠B＝40°，∠BAD＝22°，則∠C的度數(shù)為(D)A．52°B．58°C．62°D．68°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4．如圖，O，I分別是△ABC的外心和內(nèi)心，AI的延長線與△ABC的外接圓相交于點D，連接BI，BD，DC，則下列說法中錯誤的是(C)A．弦DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與弦DC重合B．弦DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DI重合C．△ADC沿直線AD折疊，則弦DC一定能與弦DB重合D．若BC經(jīng)過外心O，沿直線BI折疊△ABI，則點A落在弦BC上圓周角定理及其推論(5年1考)1．(2020·河北中考)有一題目：“已知：點O為△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答為：畫△ABC以及它的外接圓O，連接OB，OC，如圖，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，∠A還應(yīng)有另一個不同的值．”下列判斷正確的是(A)A．淇淇說的對，且∠A的另一個值是115°B．淇淇說的不對，∠A就得65°C．嘉嘉求的結(jié)果不對，∠A應(yīng)得50°D．兩人都不對，∠A應(yīng)有3個不同值三角形的外心及圓內(nèi)接三角形(5年1考)2．(201