動態(tài)故障樹的概率計算

動態(tài)故障樹的概率計算

該系統(tǒng)的依賴性和安全性分析包括失敗樹分析、二次決策圖法（bdd）和連續(xù)參數(shù)的馬爾可夫鏈（以下簡稱馬爾可夫鏈）。其中,BDD僅適用于靜態(tài)故障樹分析;馬爾可夫過程盡管能解決動態(tài)問題,但即使對于簡單的動態(tài)系統(tǒng),馬爾可夫鏈的建立和求解也是非常繁瑣的。因此,有必要研究針對這些特殊事件的動態(tài)特性的故障樹,提供分析手段。動態(tài)故障樹(DFTA)法綜合了故障樹分析和馬爾可夫鏈兩者的優(yōu)點,它通過引入表征動態(tài)特性的新的邏輯門類型,并建立相應的DFTA,進行DFTA分析,是解決具有動態(tài)特性系統(tǒng)的可靠性與安全性分析的有效途徑。文獻試圖通過馬爾可夫鏈進行DFTA分析,但由于給出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖和通用概率求解公式不正確,以至于計算結(jié)果與實際結(jié)果相差較大。本文修正了文獻中的DFTA的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,給出了基于馬爾可夫鏈的DFTA的失效概率通用計算公式,并對其進行了證明。最后利用該通用計算公式進行了示例分析。1dfta如何轉(zhuǎn)化為馬爾可夫鏈傳統(tǒng)的故障樹涉及到的邏輯門包括“與門”、“或門”、“非門”等,這些邏輯門通常稱為靜態(tài)門。為了使故障樹更好的處理特殊的復雜特性,需要引入動態(tài)邏輯門及其相應的馬爾可夫鏈。動態(tài)邏輯門主要有:優(yōu)先與門(PAND)、功能相關(guān)門(FDEP)、順序相關(guān)門(SEQ)、冷備件門(CSP)和熱備件門(HSP)等。通過引入動態(tài)邏輯門就可以對動態(tài)系統(tǒng)的可靠性與安全性進行建模,然后通過將動態(tài)邏輯門向馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)化實現(xiàn)頂事件失效概率的求解。下面給出兩種動態(tài)邏輯門向馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)化的簡圖。圖1和圖2中“0”表示底事件正常,“1”表示底事件失效?！癋a”表示系統(tǒng)失效狀態(tài);“NF”表示系統(tǒng)非失效狀態(tài)。圓圈表示系統(tǒng)所處的一種狀態(tài)。下面舉例說明DFTA如何轉(zhuǎn)化為馬爾可夫鏈。系統(tǒng)由兩個處理器組成,P1和P2分別是其基本輸入部件,且每一個都帶有自己的備件分別為S1和S2.系統(tǒng)的失效機理是:當且僅當處理器1先失效,然后處理器2也失效時,系統(tǒng)失效。該系統(tǒng)的DFTA及相應的馬爾可夫鏈由圖3和圖4所示。圖4中相同狀態(tài)號的狀態(tài)在不同分支上由于輸入的不同,它們代表不同的馬爾可夫狀態(tài)。在應用中往往將DFTA模塊化成獨立的動態(tài)子樹和獨立的靜態(tài)子樹,其中的動態(tài)子樹轉(zhuǎn)化成相應的馬爾可夫鏈進行求解,靜態(tài)子樹則采用很多方法都可求解。對于狀態(tài)較多的復雜系統(tǒng),可以設(shè)想將狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖分解成若干條狀態(tài)轉(zhuǎn)移鏈,根據(jù)不同的鏈長,分別推導出計算公式。在應用時只要套用這些公式,然后綜合各條鏈的結(jié)果,便可得到整個系統(tǒng)的可靠性指標。設(shè)各狀態(tài)轉(zhuǎn)移服從指數(shù)分布。下面給出鏈長為1、2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移鏈的轉(zhuǎn)移概率求解公式及通用公式。1.1ttpvtpftpftpftpfps的運動方程組及初始條件圖5中λ0,1為狀態(tài)“0”到狀態(tài)“Fa”轉(zhuǎn)移率,λ0,NF分別為狀態(tài)“0”到狀態(tài)“NF”轉(zhuǎn)移率設(shè)pij(t)為從狀態(tài)i到j的轉(zhuǎn)移概率,那么Ρ(t)=[p00(t)p01(t)p0ΝF(t)p10(t)p11(t)p1ΝF(t)pΝF0(t)pΝF1(t)pΝFΝF(t)]滿足以下微分方程組及初始條件:{Ρ′(t)=Ρ(t)Q,Ρ(0)=E.(1)式中:E為與P同階的單位矩陣;轉(zhuǎn)移率為Q=[-(λ0,1+λ0,ΝF)λ0,1λ0,ΝF000000].解(1)式,從0到j若存在鏈長為1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移鏈T1,則P(t)在T1上的分量ΡΤ1=p01(t)=λ0,1λ0,1+λ0,ΝF(1-e-(λ0,1+λ0,ΝF)t)=λ0,1(1λ0,1+λ0,FΝ-1λ0,1+λ0,FΝe-(λ0,1+λ0,FΝ)t).(2)式中:λ0,1>0,λ0,FN≥0.1.2pt分量式從0至j若存在鏈長為2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程T2,則P(t)在T2上的分量式中:λ0,1>0;λ0,FN≥0;λ1,2>0;λ1,NF≥0.1.3鏈長度為n的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程tn式中:λi-1,i>0,λi-1,NF≥0.2qnnqnfps.n,n-1,2-1,2-1,2,2-1,2,2-1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,5,3,5,5,5,5,5,100.2,5,,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,7,5,5,7,5,5,5,7,5,7,5,5,5,5,5,5,5,5,7,5,7,5,7,5,7,5,7,10,7,5,7,10,7,10,7,5,7,5,5,7,5,7,5,7,7,5,7,5,7,5,5,5,5,7,5,5,7,5,5,5,5,7,.20.3.2,5,5,5,5,5,100.3.2,若過程是隨機連續(xù)的,則對任意的固定的狀態(tài)空間i與j,轉(zhuǎn)移率為qij=p′ij(0)=limΔt→+0pij(Δt)-pij(0)Δt=limΔt→+0pij(Δt)-δijΔt.式中:δij=limt→+0pij(t)={1,i=j,0,i≠j.則鏈長為n的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程,其轉(zhuǎn)移率矩陣為Q=[q00q01?q0nq0ΝFq10q11?q1nq1ΝF????qn0qn1?qnnqnΝFqΝF0qΝF1?qΝFΝFqΝFΝF]=[-λ0,1-λ0,FΝλ0,100?00λ0,FΝ0-λ1,2-λ1,ΝFλ1,20?0λ1,ΝF???????0000?-λn-1,n-λn-1,ΝFλn-1,nλn-1,ΝF0000?0000000?000].根據(jù)馬爾可夫過程理論,轉(zhuǎn)移概率P(t)與轉(zhuǎn)移率Q的關(guān)系為P(t)=P(t)Q.根據(jù)常系數(shù)線性微分方程理論可知,在初始條件P(0)=(δij)=E時,P(t)=eQt.eQt的拉普拉斯解法為eQt=L-1[(sE-Q)-1].因此有P(t)=eQt=L-1[(sE-Q)-1].設(shè)A=sE-Q=[s+λ0,1+λ0,FΝ-λ0,100?00-λ0,FΝ0s+λ1,2+λ1,ΝF-λ1,20?00-λ1,ΝF???????0000?s+λn-1,n+λn-1,ΝF-λn-1,n-λn-1,ΝF0000?0s00000?00s]利用求逆矩陣的初等變換法可知:(AE)初等變換→(EA-1).設(shè)B=A-1=(bij)(n+2)×(n+2).圖7中狀態(tài)“0”到狀態(tài)“n”的轉(zhuǎn)移概率,即p0n(t)=L-1(b0n)=L-1(1sn∏i=1λi-1,is+λi-1,i+λi-1,ΝF).根據(jù)海維賽(Heaviside)展開式,有3失效概率以圖3和圖4所示為例,進行示例分析。在該狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖中,狀態(tài)Fa對應系統(tǒng)失效。從失效狀態(tài)向前回溯,可得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移鏈:→Ρ1,S1,Ρ2,S2,→Ρ1,Ρ2,S1,S2,→Ρ2,Ρ1,S1,S2.因此,只需分別計算出這3條鏈的轉(zhuǎn)移概率,它們的和就是所需的失效概率。設(shè)λP1=2.3×10-4/h,λP2=2.5×10-4/h,λS1=1.1×10-4/h,λS2=1.2×10-4/h.取時間t為1000h,代入(4)式,此時n=4(鏈長都為4),各分支的轉(zhuǎn)移概率分別為:PΤ4Ρ1S1Ρ2S2=2.4887×10-5;PΤ4Ρ1Ρ2S1S2=2.4987×10-5;PΤ4Ρ2Ρ1S1S2=2.5036×10-5.則系統(tǒng)的失效概率為PΤ4sys=PΤ4Ρ1S1Ρ2S2+PT4P1P2S1S2+PΤ4Ρ2Ρ1S1S2=7.4910×10-5.利用ReliabilityWorkbench軟件的Markov模塊計算圖4示例,