考點(diǎn)10 二次函數(shù)中6大特殊圖形的存在性問題-原卷版

考點(diǎn)10二次函數(shù)中6大特殊圖形的存在性問題1等腰三角形的存在性解決方法畫弧法：以等腰三角形確定邊兩端點(diǎn)分別為圓心，確定邊長度為半徑畫弧，與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，另外確定邊的垂直平分線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。2直角三角形的存在性的解決方法①運(yùn)用勾股定理：a2+b2=c2②運(yùn)用剝離法（參照?qǐng)A證明玻璃法的運(yùn)用）3平行四邊形的存在性問題的解決方法利用線段長解析式=定值長（平行四邊形對(duì)邊平行且相等）列方程求值線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為。2.平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），則：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD。即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等。4相似三角形的存在性問題的解決方法相似三角形存在性問題，分類討論步驟：第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先確定已知三角形是否有直角，或確定的對(duì)應(yīng)角；①若有已知的相等角，則其頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)；②若沒有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：確定相似后，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來推導(dǎo)邊的大小；②若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后用相似來列方程求解。5菱形的存在性問題的解決方法菱形依據(jù)，有一組鄰邊相等的平行四邊是是菱形。對(duì)比于平行四邊形的判定，還有鄰邊相等條件，因此，相比較于平行四邊形(AC作為對(duì)角線），坐標(biāo)系中還需要滿足以下三個(gè)等式：X解題方法：(在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對(duì)角線垂直或者鄰邊相等)(1)選定點(diǎn)、半動(dòng)點(diǎn)組成的三角形，三邊作為對(duì)角線再分類討論；(2)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程：；（AC為對(duì)角線時(shí)）(3)對(duì)角線垂直：或者鄰邊相等：X6矩形的存在性問題的解決方法1兩點(diǎn)間坐標(biāo)公式;2平行四邊形頂點(diǎn)公式;3矩形的判別：對(duì)角線相等的平行四邊形平面四點(diǎn)坐標(biāo)A（XA，YA），B（XB，YB），C（XC由以上得到矩形判別公式：（以AC，BD為對(duì)角線為例）X二、公式解讀：上式中①和②式子是判定平行四邊形依據(jù)，③式為對(duì)角線相等，從而判定為矩形。由上可以知矩形最多可以有三個(gè)未知量，帶入以上方程組可以得到一個(gè)三元一次方程組，可解。由三個(gè)未知量，則可以判別出矩形至少有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，最多可以有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)。兩個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)+一個(gè)半動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)。注釋：（半動(dòng)點(diǎn)是橫縱坐標(biāo)其中一個(gè)已知，一個(gè)未知）求解方法：確定半動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)----分類討論-----列出公式求解。考點(diǎn)1等腰三角形的存在性解決方法考點(diǎn)2直角三角形的存在性的解決方法考點(diǎn)3平行四邊形的存在性問題的解決方法考點(diǎn)4相似三角形的存在性問題的解決方法考點(diǎn)5菱形的存在性問題的解決方法考點(diǎn)6矩形的存在性問題的解決方法考點(diǎn)1等腰三角形的存在性解決方法1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）拋物線y＝ax2+bx+3過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），頂點(diǎn)為C．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，連接CP并延長交x軸于點(diǎn)D，連接AC，若△DAC是等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．2．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，拋物線y＝ax2+3x+c經(jīng)過A(﹣1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，并且與y軸交于點(diǎn)C．(1)求此拋物線的解析式；(2)直線BC的解析式為；(3)若點(diǎn)M是第一象限的拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為t，過點(diǎn)M作x軸的垂線交BC于點(diǎn)N，設(shè)MN的長為h，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式及h的最大值；(4)在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)證明；如果不存在，說明理由．3．（2023春·天津·九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．(1)求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)用配方法求該拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，判斷△ABC的形狀，并說明理由；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)O、點(diǎn)C、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形構(gòu)成等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)是軸上一點(diǎn)，且是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn)2直角三角形的存在性的解決方法5．（2022秋·四川廣安·九年級(jí)校考期中）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為直線，為y軸上一點(diǎn)，直線與拋物線交于另一點(diǎn)D．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)試在線段下方的拋物線上求一點(diǎn)E，使得的面積最大，并求出最大面積；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得是直角三角形？如果存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2022·廣東潮州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，且的面積為5．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)在直線的圖象下方，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫出的最大值．7．（2021春·廣東梅州·九年級(jí)?？计谥校┮阎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過，，與x軸交于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；(3)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使是直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．8．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)南師附中宿遷分校校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)該拋物線與直線相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于直線下方，連接、．①在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，若為直角三角形，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．考點(diǎn)3平行四邊形的存在性問題的解決方法9．（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．連接．

(1)求拋物線的解析式：(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．10．（2023·廣東珠海·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中中，已知拋物線L：和線段，其中點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線L與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線L的頂點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)Q在拋物線L上，且與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接，求證：為等腰直角三角形；(3)在（2）的條件下，射線交x軸于點(diǎn)F，連接，四邊形是否能構(gòu)成平行四邊形？如果能，請(qǐng)求m的值；如果不能，說明理由；(4)若拋物線L與線段只有一個(gè)交點(diǎn)．請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍________．11．（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知拋物線過點(diǎn)，，，其頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)若P是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)N，E為直線AC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作交拋物線于點(diǎn)F，以N，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．12．（2023秋·湖南長沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)，，的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線交于點(diǎn)，試探究為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；(3)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)4相似三角形的存在性問題的解決方法13．（2021·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，拋物線W與x軸交于A(1，0)，M(﹣3，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B(0，3)，拋物線W關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形為拋物線L．(1)求拋物線W的表達(dá)式；(2)如果E是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，D是拋物線L的頂點(diǎn)，那么在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAD與△EBO是相似三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．14．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)和點(diǎn)，連接，線段上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作的平行線交直線于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）移動(dòng)點(diǎn)P，求線段的最大值；（3）如圖2，過點(diǎn)E作y軸的平行線交于點(diǎn)F，連接，若以點(diǎn)C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和是相似三角形，求此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．15．（2023春·海南海口·九年級(jí)?？谑械诰胖袑W(xué)校考階段練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)在第二象限的拋物線上．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，作交y軸于點(diǎn)F．①求出四邊形的周長l與m的函數(shù)表達(dá)式，并求l的最大值；②當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③是否存在點(diǎn)P，使得以P、E、C為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．16．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Р作軸交直線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)Р點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在y軸上是否存在點(diǎn)，使得以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以B，C，N為頂點(diǎn)的三角形相似(其中點(diǎn)Р與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng))，若存在，直接寫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)5菱形的存在性問題的解決方法17．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式；(2)將拋物線L向右平移3個(gè)單位長度得到新的拋物線，點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，試判斷在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（2023·陜西咸陽·?？级＃┤鐖D，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于兩點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，軸交所在直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）綜合與探究：如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．將直線沿射線方向向下平移n個(gè)單位，平移后的直線與直線交于點(diǎn)F，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．

(1)求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，并直接寫出直線的解析式；(2)當(dāng)是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求出n的值；(3)直線上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（2023春·山西長治·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）綜合與探究：圖1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，C，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（A點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)），若，P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，作于點(diǎn)F．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)當(dāng)?shù)闹荛L最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，過點(diǎn)P作的平行線．交線段于點(diǎn)M，在直線上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)6矩形的存在性問題的解決方法21．（2021春·廣東汕頭·九年級(jí)汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，連接，若點(diǎn)橫坐標(biāo)為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)點(diǎn)在第一象限的拋物線上，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在動(dòng)點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．（2023·吉林白城·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b、c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，直接寫出m的取值范圍；(3)當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，將拋物線B、P兩點(diǎn)之間的部分（包括B、P兩點(diǎn)）記為圖象G，設(shè)圖象G上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h．①求h與m之間的函數(shù)關(guān)系式；②點(diǎn)Q在此拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)時(shí)，以B、P、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，且BP為矩形的一邊，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．23．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出y的最大