2023-2024學(xué)年湖南省株洲市高一上學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省株洲市高一上學(xué)期第一次適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．集合，則（

）A． B．C． D．2．下列選項(xiàng)中表示同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與3．若集合,則能使成立的所有組成的集合為（

）A． B． C． D．4．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．5．不等式成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．6．對(duì)于、，規(guī)定，集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A． B．C． D．7．已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且時(shí)，，若，恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列命題中的真命題有（

）A．當(dāng)x＞1時(shí)，的最小值是3B．的最小值是2C．當(dāng)0＜x＜10時(shí)，的最大值是5D．若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若x+2y＝3xy，則2x+y的最大值為310．下列說(shuō)法正確的有（

）A．命題“若，則”的否定是“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為D．命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為11．對(duì)于集合，定義，且，下列命題正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，，或，則D．若，，則，或12．已知函數(shù)的定義域是，且，當(dāng)時(shí)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．D．不等式的解集為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則的取值集合為.14．已知函數(shù)，若對(duì)上的任意實(shí)數(shù)，恒有成立，那么的取值范圍是.15．已知函數(shù)，，若，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.16．已知函數(shù)，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知A為方程的所有實(shí)數(shù)解構(gòu)成的集合，其中a為實(shí)數(shù).(1)若A是空集，求a的范圍；(2)若A是單元素集合，求a的范圍：(3)若A中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍.18．（1）已知關(guān)于的不等式的解集是，求的值；（2）若正數(shù)，滿足，求的最小值．19．已知集合，集合．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得是的必要不充分條件？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．已知定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式;(2)判斷的單調(diào)性（并用單調(diào)性定義證明）;(3)解不等式.21．已知二次函數(shù).（1）若的解集為，解關(guān)于的不等式.（2）若對(duì)任意，恒成立，求的最大值.（3）已知，，若對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.22．設(shè)數(shù)集由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則.(1)若，試證明中還有另外兩個(gè)元素；(2)集合是否為雙元素集合，并說(shuō)明理由；(3)若中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)8個(gè)，所有元素的和為，且中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合.1．D【分析】先求出集合的補(bǔ)集，再求出【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選：D2．D【分析】根據(jù)函數(shù)三要素，即定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域，三者只要有一個(gè)不相同，函數(shù)即不是同一函數(shù)，由此一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，而定義域?yàn)镽，故二者不是同一函數(shù)；對(duì)于B，的定義域?yàn)镽，與的定義域?yàn)?，故二者不是同一函?shù)；對(duì)于C，與對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故二者不是同一函數(shù)；對(duì)于D，與的定義域以及對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域都相同，故二者為同一函數(shù)，故選：D3．C【分析】考慮和兩種情況,得到不等式組,解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí),即,時(shí)成立;當(dāng)時(shí),滿足,解得;綜上所述:.故選:C.4．B【分析】利用基本不等式即可得解.【詳解】由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故選：B.5．D【分析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】由，解得，所以不等式成立的一個(gè)必要不充分條件是.故選：D.6．C【分析】分、的奇偶性相同和奇偶性不同兩種情況討論，列舉出滿足條件的元素，即可得出集合的元素個(gè)數(shù).【詳解】分、的奇偶性相同和奇偶性不同兩種情況討論：①如果、的奇偶性相同，且、，此時(shí)，可為：、、、、、、、、、、，共個(gè)；②如果、的奇偶性不同，且、，此時(shí)，可為：、、、，共個(gè).因此，集合的元素個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C.7．C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C8．B【分析】根據(jù)給定條件分段求出解析式及對(duì)應(yīng)函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合，可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)椋視r(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，解得或，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，

由圖可知，，恒有，必有，即的取值范圍是，故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)解析式畫出圖象，利用圖象求解即可，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難題.9．AC【分析】對(duì)于A、C利用基本不等式分析判斷，對(duì)于B由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于D根據(jù)基本不等式的變形分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B因?yàn)?，等?hào)成立的條件是，顯然不成立，所以等號(hào)不成立，不能使用基本不等式，即最小值不為2，令，則在上單調(diào)遞增，所以時(shí)取得最小值，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C因?yàn)椋瑒t所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10．BCD【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定及存在量詞命題的否定可判斷AB，根據(jù)全稱量詞命題及存在量詞命題的真假結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】命題“若，則”為全稱量詞命題，它的否定為存在量詞命題“，則，故A不正確；命題“，”的否定是“，”，故B正確；“，”是假命題，則它的否定“，”是真命題，則當(dāng)時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，則，解得，故C正確；“，”是真命題，則，又，則，解得，故D正確．故選：BCD．11．ABC【分析】根據(jù)集合新定義即，且，一一判斷各選項(xiàng)，可得答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以若，則，故A正確，若，則,則，故B正確;，，或，則，故C正確，若，，則，，或，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12．ABD【分析】對(duì)于A，利用賦值法求得，從而得以判斷；對(duì)于B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)于C，利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求得式子的值，由此得以判斷；對(duì)于D，先求得，再將不等式轉(zhuǎn)化為，從而得到關(guān)于的不等式，解之即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，令，得，所以，故A正確；對(duì)于B，令，得，所以，任取，且，則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以在上是減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以由得，故，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集為，故D正確.故選：ABD．關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于解含抽象函數(shù)的不等式問(wèn)題，一般先利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求得其在定義域上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問(wèn)題.13．【分析】根據(jù)題意集合A有一個(gè)元素，考慮和兩種情況，計(jì)算得到答案即可.【詳解】由題意，集合有且僅有兩個(gè)子集，則集合只有一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意.綜上所述，的取值集合為.故答案為.14．【分析】根據(jù)是R上的減函數(shù)，列出不等式組，解該不等式組即可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)上的任意實(shí)數(shù)，恒有成立，所以函數(shù)在R上遞減，所以，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為.15．【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求得函數(shù)和的值域構(gòu)成的集合，結(jié)合題意，得到，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，即函數(shù)的值域構(gòu)成集合，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，即函數(shù)的值域構(gòu)成集合，又由，，使成立，即,則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．16．1【分析】畫出的圖象后可求其最小值.【詳解】的圖象如圖所示，故的最小值為1，故1.17．(1)；(2)或；(3)或.【分析】（1）討論，根據(jù)可得結(jié)果；（2）討論，根據(jù)可得結(jié)果；（3）轉(zhuǎn)化為方程至多有一個(gè)解，由（1）（2）可得結(jié)果.【詳解】（1）若A是空集，則方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，方程有解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，得.綜上所述.（2）若A是單元素集合，則方程有唯一實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，符合題意；當(dāng)時(shí)，，得.綜上所述：或.（3）若A中至多有一個(gè)元素，則方程至多有一個(gè)解，當(dāng)方程無(wú)解時(shí)，由（1）知，；方程有唯一實(shí)根時(shí)，由（2）知，或.綜上所述：或.18．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)分式不等式解法求出含參的解集即可求的值；（2）用“1”的代換即可構(gòu)造基本不等式求最小值.【詳解】解：（1）可化為，因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以，即，由，解得．?），因?yàn)?，所以．因?yàn)?，而，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．19．(1)或；(2)存在，.【分析】（1）化簡(jiǎn)集合N，求出其補(bǔ)集，由列出不等式組求解即可；（2）根據(jù)必要不充分條件轉(zhuǎn)化為，列出不等式組求解即可.【詳解】（1）由題意，，所以或，因?yàn)?，所以或，解得或，所以?shí)數(shù)m的取值范圍是或.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得是的必要不充分條件，則，即，則，解得，故存在實(shí)數(shù)使得是的必要不充分條件.20．(1)(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析；(3)【分析】（1）由題意得，又，求解、，即可得出答案；（2）判斷出函數(shù)在上是增函數(shù)，任取、且，作差，通分、因式分解后判斷的符號(hào)，即可證得結(jié)論成立；（3）根據(jù)單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可，需注意函數(shù)的定義域.【詳解】（1）定義在上的奇函數(shù)，則，即，解得，又，即，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）函數(shù)在上是增函數(shù)，證明如下：任取、且，則，因?yàn)?，則，，故，即，因此函數(shù)在上是增函數(shù).（3），，，解得，不等式的解集為．21．（1）；（2）最大值為1；（3）.【分析】（1）利用的解集為，得出，，的關(guān)系，再解關(guān)于的不等式；（2）對(duì)任意，恒成立，等價(jià)于，且，借助均值不等式可得最大值；（3）由對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，可得，由存在，使得成立可得，結(jié)合均值不等式得到結(jié)果.【詳解】解：（1）∵的解集為，∴，，，，∴，∴解集為，（2）∵對(duì)任意，恒成立，∴，且∴，，故，∴，當(dāng)，時(shí)取“”，∴的最大值為1；（3）由對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，可得即，由存在，使得成立可得，∴，∴，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.22．(1)證明見解析；(2)不是，理由見解析