2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題五立體幾何中的熱點(diǎn)問題課件

專題五立體幾何中的熱點(diǎn)問題題型一平面圖形的翻折問題

平面圖形翻折為空間圖形問題，重點(diǎn)考查平行、垂直關(guān)系，解題關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化，根據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒有變化的量和發(fā)生變化的量，這些不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征.[例1](2021年中衛(wèi)市模擬)如圖5-1，在四邊形ABCD中，線段AD，CD的中點(diǎn).以EF為折痕把△DEF折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，G為線段PB的中點(diǎn).

圖5-1(1)證明：平面GAC∥平面PEF；(2)若平面PEF⊥平面ABCFE，求直線AG與平面PAC所成角的正弦值.

(1)證明：連接

CE，由題意知，四邊形ABCE為正方形，連接BE交AC于點(diǎn)O，連接OG，所以O(shè)為BE中點(diǎn)，如圖5-2所示.又因?yàn)镚為PB中點(diǎn)，所以O(shè)G∥PE.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD，CD中點(diǎn)，所以AC∥EF.因?yàn)镺G∩AC＝O，PE∩EF＝E，AC，OG?平面GAC，PE，EF?平面PEF，所以平面GAC∥平面PEF.圖5-2(2)解：建立如圖5-3所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：圖5-3【題后反思】三步解決平面圖形翻折問題

【互動(dòng)探究】

1.圖5-4是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖5-5.圖5-4圖5-5

(1)證明：圖5-5中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求圖5-5中的二面角B-CG-A的大小.(1)證明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面.由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解：如圖

D50，作EH⊥BC，垂足為點(diǎn)H.圖D50因?yàn)镋H?平面BCGE，BC?平面ABC，平面BCGE⊥平面ABC，題型二探索性問題

[例2](2023年瓊山區(qū)校級(jí)期中)如圖5-6所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，四邊形ABB1A1，ACC1A1均為正方形，點(diǎn)D在線段AA1

上，點(diǎn)E是線段CC1

的中點(diǎn).圖5-6正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖5-7所示：圖5-7【題后反思】

(1)解決探索性問題的基本方法是假設(shè)結(jié)論成立或?qū)ο蟠嬖冢缓笤谶@個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，則說明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；否則不成立，即不存在. (2)在棱上探尋一點(diǎn)滿足各種條件時(shí)，要明確思路，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用共線向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求點(diǎn)坐標(biāo)用λ表示，再根據(jù)條件代入，注意λ的范圍.(3)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可將空間中的探索性問題轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題進(jìn)行處理.

【互動(dòng)探究】

2.(2021年全國甲卷理科)如圖5-8，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1

的中點(diǎn)，D為棱A1B1

上的點(diǎn)，BF⊥A1B1. (1)證明：BF⊥DE； (2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？圖5-8圖D51

題型三立體幾何的綜合應(yīng)用

[例3]如圖5-9(1)所示，正方形的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖5-9(2)所示的60°的二面角，點(diǎn)M在線段AB上.(1)(2)圖5-9(1)若M為AB的中點(diǎn)，且直線MF與由A，D，E三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為O，試確定點(diǎn)O的位置，并證明直線OD∥平面EMC；(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°？若存在，求此時(shí)二面角M-EC-F的余弦值；若不存在，說明理由.解：(1)因?yàn)橹本€MF?平面ABFE，故點(diǎn)O在平面ABFE內(nèi)也在平面ADE內(nèi)，所以點(diǎn)O在平面ABFE與平面ADE的交線上，如圖5-10所示，圖5-10因?yàn)锳O∥BF，M為AB的中點(diǎn)，所以△OAM≌△FBM，所以O(shè)M＝MF，AO＝BF，所以點(diǎn)O在EA的延長線上，且AO＝2，連接DF交EC于點(diǎn)N，因?yàn)樗倪呅蜟DEF為矩形，所以N是EC的中點(diǎn)，連接MN，因?yàn)镸N為△DOF的中位線，所以MN∥OD，又因?yàn)镸N?平面EMC，OD

平面EMC，所以直線OD∥平面EMC.

(2)假設(shè)存在，則由已知可得，EF⊥AE，EF⊥DE，AE∩DE＝E，所以EF⊥平面ADE，所以平面ABFE⊥平面ADE，

取AE的中點(diǎn)H，過H作HG⊥FB于點(diǎn)G，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以HA，HG，HD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖5-11所示的空間直角坐標(biāo)系，圖5-11解得t＝1或t＝3，所以假設(shè)成立，即存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°.取ED的中點(diǎn)Q，因?yàn)镋F⊥平面ADE，QA?平面ADE，所以QA⊥EF，易知QA⊥DE，又DE∩EF＝E，DE，EF?平面CEF，因?yàn)楫?dāng)t＝2時(shí)，cosθ＝0，平面EMC⊥平面CEF，【題后反思】

(1)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).

(2)平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.【互動(dòng)探究】

3.(2022年海淀區(qū)校級(jí)開學(xué))如圖5-12，矩形ABCD所在的平面與菱形ABEF所在的平面垂直，G為BE邊中點(diǎn)，AE＝AF.(1)求證：直線AG⊥平面BCE；

(2)若AF＝2，________，求二面角C-AG-F的余弦值.從①BC＝

AB；②BC＝AG這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入上面的橫線上，并解答問題.圖5-12證明：(1)∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∴AB⊥BC，∵矩形ABCD∩菱形ABEF＝AB，∴BC⊥平面ABEF，∵AG?平面ABEF，∴BC⊥AG，菱形ABEF中，∵