2024屆高考數(shù)學一輪總復習第九章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第七講條件概率二項分布與正態(tài)分布課件

第七講條件概率、二項分布與正態(tài)分布課標要求考情分析1.了解條件概率和條件概率與獨立性的關系，能計算簡單隨機事件的條件概率.2.會利用乘法公式計算概率，會利用全概率公式計算概率.3.了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題.4.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量.通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征以理解獨立重復試驗、二項分布的概念為主，重點考查二項分布概率模型的應用，高考中常以解答題的形式考查，難度為中高檔1.條件概率(續(xù)表)2.事件的相互獨立性(1)定義：設A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立.3.全概率公式4.獨立重復試驗與二項分布(1)伯努利實驗

只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利實驗.將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.n重伯努利試驗具有如下特征： ①同一個伯努利試驗重復做n次. ②各次試驗的結(jié)果相互獨立.(2)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.5.正態(tài)分布μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R).我們稱函數(shù)f(x)的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線. (2)正態(tài)曲線的特點 ①曲線位于x軸上方，與x軸不相交. ②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱.④當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.⑤曲線與x軸之間的面積為1.⑥當σ一定時，曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖9-7-1①所示.

⑦當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖9-7-1②所示.①②圖9-7-1(3)正態(tài)分布的定義及表示

若隨機變量x的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2).特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545.③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.

考點一條件概率1.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記A＝{兩次的點數(shù)均為奇數(shù)}，B＝{兩次的點數(shù)之和為4}，則P(B|A)＝()A.

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1B. 4C.29D.23

解析：由題意知事件A包含的樣本點為(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)共9個，在A發(fā)生的條件下，事件B包含的樣本點為(1，3)，(3，1)共2個，所以答案：C

3.(一題兩空)(2022年天津)現(xiàn)有52張撲克牌(去掉大小王)，每次取一張，取后不放回，則兩次都抽到A的概率為________；在第一次抽到A的條件下，第二次也抽到A的概率是________.n(AB)，得P(B|A)＝【題后反思】求條件概率的常用方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P(AB)

P(A).

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)

n(A).考點二全概率公式

[例1]有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%，三廠生產(chǎn)的占20%.已知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%，1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？解：設事件A為“任取一件為次品”，事件Bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i＝1，2，3.如圖9-7-2，B1∪B2∪B3＝S，圖9-7-2由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3).

P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.【題后反思】(1)何時用全概率公式：多種原因?qū)е率录陌l(fā)生時.(2)如何用全概率公式：將一個復雜事件表示為幾個彼此互斥事件的和.(3)從本質(zhì)上講，全概率公式是加法公式與乘法公式的結(jié)合.

【變式訓練】

(2022年古冶區(qū)校級期末)有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%；加工出來的零件混放在一起，且第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.現(xiàn)從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品的概率為()A.0.0415C.0.0425

B.0.0515D.0.0525

解析：設B＝“任取一個零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺答案：D車床加工”(i＝1，2，3)，則Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3，兩兩互斥.根據(jù)題意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45.P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.故選D.考點三獨立重復試驗與二項分布考向1相互獨立事件的概率(1)求乙、丙兩個家庭各自回答這道題正確的概率；(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答這道題正確的概率.考向2獨立重復試驗研究所分三個小組分別獨立進行該種子的發(fā)芽試驗，每次試驗種一粒種子，每次試驗結(jié)果相互獨立.假定某次試驗種子發(fā)芽則稱該次試驗是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次試驗是失敗的.(1)第一小組做了四次試驗，求該小組恰有兩次失敗的概率；(2)第二小組做了四次試驗，設試驗成功與失敗的次數(shù)的差的絕對值為X，求X的分布列及數(shù)學期望；

(3)第三小組進行試驗，到成功了四次為止，在第四次成功之前共有三次失敗的前提下，求恰有兩次連續(xù)失敗的概率.考向3二項分布

[例4]某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動，為鼓勵更多的人積極參與到宣傳活動中來，宣傳活動現(xiàn)場設置了抽獎環(huán)節(jié).在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案.抽獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”卡和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎.卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行.活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與’卡？”主持人答：“我只(1)求抽獎者獲獎的概率；

(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎者先從裝有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值.【題后反思】(1)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；②正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算.(2)獨立重復試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略①在求n次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定n和k的值，再準確利用公式求概率；

②在根據(jù)獨立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵是理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，從而求得概率.【考法全練】A.

316

3B. 4

13C. 16

1D. 4圖9-7-3答案：C

2.(考向2)為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有40人，不超過100km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有20人，不超過100km/h的有25人.

(1)在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過100km/h的人中隨機抽取2人，求這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；

(2)以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過100km/h且為男性駕駛員的車輛為X，求X的分布列.

3.(考向3)(2022年汕頭市一模)足球比賽全場比賽時間為90分鐘，在90分鐘結(jié)束時成績持平，若該場比賽需要決出勝負，需進行30分鐘的加時賽，若加時賽仍是平局，則采取“點球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負.“點球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊應各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5輪前，一隊的進球數(shù)已多于另一隊踢滿5次可能射中的球數(shù)，則不需再踢，例如第4輪結(jié)束時，雙方進球數(shù)比為2∶0，則不需再踢第5輪了；③若前5輪點球大戰(zhàn)中雙方進球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負，即從第6輪起，雙方每輪各派1人罰點球，若均進球或均不進球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進球另一方不進球的情況，進球方勝.練中，小明射了3次點球，且每次射點球互不影響，記X為射進點球的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.(2)記“在第4輪結(jié)束時，甲隊進了3個球并剛好勝出”為事件A，

由題意可知，在第4輪結(jié)束時，甲隊進了3個球并剛好勝出，則甲、乙兩隊進球數(shù)之比為3∶0或3∶1.“甲、乙兩隊進球數(shù)之比為3∶0”記為事件A1，“甲、乙兩隊進球數(shù)之比為3∶1”記為事件A2，則A＝A1＋A2，且A1與A2互斥，

考點四正態(tài)分布[例5](1)(2021年全國Ⅱ)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2

)，則下列結(jié)論中不正確的是()

A.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大

B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D.該物理量在一次測量中結(jié)果落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等

解析：因為某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2

)，所以測量的結(jié)果的概率分布關于10對稱，且方差σ2

越小，則分布越集中.對于A，σ越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由于概率分布關于10對稱，測量結(jié)果大于10的概率為0.5，故B正確；對于C，因為10.01和9.99關于10對稱，所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故C正確；

對于D，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9，10.2)分布在10附近的區(qū)域大于(10，10.3)分布在10附近的區(qū)域，故測量結(jié)果落在(9.9，10.2)內(nèi)的概率大于落在(10，10.3)內(nèi)的概率，故D錯誤.答案：D圖9-7-4解析：由題意可知X～N(1，σ2)，答案：C【題后反思】解決正態(tài)分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸x＝μ；(2)標準差σ；(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.【變式訓練】設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機變量X，且X～N(800，502).則一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為()

[參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974]A.0.9772C.0.9974

B.0.6826D.0.9544解析：∵X～N(800，502)，∴P(700≤X≤900)＝0.9544，∴P(X≤900)＝1－0.0228＝0.9772.故選A.答案：A

⊙二項分布與超幾何分布模型識別問題(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模)

教科書和考題中常涉及二項分布與超幾何分布，學生對這兩種模型的定義不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認為是超幾何分布，不加分析，濫用公式，運算對象不明晰，事實上，超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別.[例6]寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？

(1)X1表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)；

(2)X2

表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個骰子的點數(shù)之和；

(3)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件數(shù)為