2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：26 圓錐曲線壓軸大題五個(gè)方程框架十種題型(原卷版)

26圓錐曲線壓軸大題【題型一】五個(gè)方程題型框架【典例分析】已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(2，2)，B(3，3)，且圓心C在直線x－y+1=0上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+1與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求|MN|的值.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】“五個(gè)方程”（過(guò)去老高考對(duì)韋達(dá)定理型的直觀稱呼。）參考【典例分析】一直一曲倆交點(diǎn)。直線有沒(méi)有？是那種未知型的？已知過(guò)定點(diǎn)。則可設(shè)為，同時(shí)討論k不存在情況。如3.曲線方程有沒(méi)有？倆交點(diǎn)：設(shè)為4.聯(lián)立方程，消y或者消x，建立一元二次方程，同時(shí)不要忘了判別式或者得到對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理或目標(biāo)，就是把題中問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第六個(gè)關(guān)于韋達(dá)定理的方程或者不等式，代入求解【變式演練】1.橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上一點(diǎn).（1）當(dāng)P為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，求；（2）若，求滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；（直接寫(xiě)答案）（3）直線與橢圓C交于A，B，若，求k.2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)（0，1）的距離與到直線y＝2的距離的比值為，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）直線y＝kx+1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0，2），證明：直線MA，MB的斜率之和為0．3.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的下頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).若，求的值.【題型二】直線設(shè)法【典例分析】已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn).（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；（2）證明：以線段為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】如果所過(guò)定點(diǎn)在x軸上，為（m，0），也可以設(shè)為，此時(shí)包含了斜率不存在的情況，但是反而不包含x軸這條直線?！镜淅治觥堪褍煞N設(shè)法都展示出來(lái)供參考。選擇不同直線的設(shè)法，是因?yàn)椋?.避免對(duì)k不存在情況討論，可以把k不存在的情況包含在里邊。2.兩種直線形式設(shè)法，有時(shí)候在計(jì)算中可以降低參數(shù)的計(jì)算量：如過(guò)點(diǎn)（1,0）直線，設(shè)成與代入到圓錐曲線中，明顯的后邊這種設(shè)法代入計(jì)算時(shí)要稍微簡(jiǎn)單點(diǎn)。3.2011年以來(lái)，最早出現(xiàn)這種設(shè)直線法的高考題是2012年的重慶試卷壓軸大題，教師授課時(shí)可搜集補(bǔ)充教學(xué)。4.授課時(shí)，如有可能，盡量把兩種設(shè)法，都讓學(xué)生同時(shí)做做，做個(gè)對(duì)比，既能看出這種設(shè)法在某些試題中的計(jì)算優(yōu)勢(shì)，又不過(guò)分拔高這種設(shè)法的效果。如【典例分析】。建議授課時(shí)，把班里學(xué)生分為兩組，每組挑出一個(gè)代表上講臺(tái)演版分別用著不同方法做這道題?！咀兪窖菥殹?.已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)（0，-1)直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．2.已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在上，為的右焦點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)為的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于（不與重合）兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：.3.如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)分別為，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)B做直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使，求直線的方程【題型三】雙變量直線核心理解【典例分析】已知點(diǎn)M為直線l1：x＝－1上的動(dòng)點(diǎn)，N(1，0)，過(guò)M作直線l1的垂線l，l交MN的中垂線于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為C．（1）求曲線C的方程；（2）若直線l2：y＝kx＋m(k≠0)與圓E：(x－3)2＋y2＝6相切于點(diǎn)D，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且D為線段AB的中點(diǎn)，求直線l2的方程．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】當(dāng)題中的直線既無(wú)斜率，又不過(guò)定點(diǎn)線，就要設(shè)成“雙變量”型：，依舊得討論k是否存在情況當(dāng)直線既不過(guò)定點(diǎn)，也不知斜率時(shí)，設(shè)直線，就需要引入兩個(gè)變量了。（1）（2），此時(shí)直線不包含水平，也要適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充討論。（3）設(shè)“雙變量”時(shí)，第一種設(shè)法較多。因?yàn)橐话闱闆r下，沒(méi)有了定點(diǎn)在x軸上，那么第二種設(shè)法實(shí)際上也沒(méi)有特別大的計(jì)算優(yōu)勢(shì)。如第1題。（4）重要！雙變量設(shè)法，在授課時(shí)，一定要講清楚以下這個(gè)規(guī)律：一般情況下，試題中一定存在某個(gè)條件，能推導(dǎo)出倆變量之間的函數(shù)關(guān)系。這也是證明直線過(guò)定點(diǎn)的理論根據(jù)之一?！咀兪窖菥殹?.在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.2.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：為常數(shù)，并求出此常數(shù).3.已知A、B、C是橢圓W:上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).(=1\*ROMANI)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積;(=2\*ROMANII)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說(shuō)明理由.【題型四】直線過(guò)定點(diǎn)【典例分析】已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】直線過(guò)定點(diǎn)：1、直線多為y=kx+m型2.目標(biāo)多為求：m=f（k）3.一些題型，也可以直接求出對(duì)應(yīng)的m的值，如本小專題【變式演練】第3題【變式演練】1.已知橢圓兩點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：l過(guò)定點(diǎn)．2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Р與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，N(異于點(diǎn)A)，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn).3.已知橢圓C：（）的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)連線的斜率為，C的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與左、右焦點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四邊形的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知點(diǎn)，若斜率為k（）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)直線AP，BP的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，試問(wèn)直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．【題型五】圓過(guò)定點(diǎn)【典例分析】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，△的面積為，橢圓短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過(guò)定點(diǎn)且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線，分別與軸交于?兩點(diǎn)，試問(wèn)：以線段為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】圓過(guò)定點(diǎn)，有常見(jiàn)幾方面的思維利用以“某線段為直徑”，轉(zhuǎn)化為向量垂直計(jì)算利用對(duì)稱性，可以猜想出定點(diǎn)，并證明。通過(guò)推導(dǎo)求出定點(diǎn)（難度較大）【變式演練】1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄A的半徑為1，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)動(dòng)圓的圓心為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡與軸交于，兩點(diǎn)（在左側(cè)），過(guò)點(diǎn)的直線交點(diǎn)的軌跡于點(diǎn)（異于，），交直線：于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)，的直線交于點(diǎn)，求證以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．2.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn).（1）證明：直線PA與直線PB的斜率乘積為定值；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)Q作與軸不重合的任意直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn).問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)A？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3.已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上．求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；過(guò)點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【題型六】面積的幾種求法【典例分析】已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，且過(guò)點(diǎn)（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】圓錐曲線中求面積常規(guī)類型（1）(2)三角形恒過(guò)數(shù)軸上的定線段，可分為左右或者上下面積，轉(zhuǎn)化為(3)三角形恒過(guò)某定點(diǎn)，可分為左右或者上下面積，轉(zhuǎn)化為（4）四邊形面積，注意根據(jù)題中條件，直接求面積或者轉(zhuǎn)化為三角形面積求解?！咀兪窖菥殹?.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l：y=與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).（1）求AB弦長(zhǎng)；（2）求△FAB的面積.2.已知拋物線：（），其上一點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為4.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線分別交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，均在軸的上方），若的面積為4，求直線的方程.3.已知雙曲線：（，）的離心率為，虛軸長(zhǎng)為4.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積是，求直線的方程.【題型七】面積最值【典例分析】已知一張紙上畫(huà)有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)A，且，折疊紙片，使圓上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)曲線C的右焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)為）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】面積最值，實(shí)際上是處理最終的“函數(shù)最值”。各類型“函數(shù)式”最值規(guī)律：分式型：以下幾種求最值的基本方法一元二次型：注意自變量取值范圍高次型：整體換元或者求導(dǎo)【變式演練】1.已知橢圓C：=1(a>b>0)的焦點(diǎn)F在直線上，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(0，2)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值.2.已知點(diǎn)是已知橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)時(shí)，面積達(dá)到最大，且最大值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合，若，求四邊形面積的取值范圍.3.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，一動(dòng)圓過(guò)橢圓上焦點(diǎn)，且與直線相切．（1）求橢圓的方程及動(dòng)圓圓心軌跡的方程；（2）過(guò)作兩條互相垂直的直線，，其中交橢圓于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【題型八】定值【典例分析】已知橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，且其離心率為．（1）求橢圓C的方程．（2）已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)為P，問(wèn)：kMN·kOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】求定值問(wèn)題常見(jiàn)的思路和方法技巧：從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．求定值題型，運(yùn)算量大，運(yùn)算要求高，屬于中等以上難度的題【變式演練】1.已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，是它的一個(gè)頂點(diǎn).是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)，M為雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PM|取得最小時(shí)，求四邊形ODMP的面積；（3）若過(guò)點(diǎn)任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B都不同于點(diǎn)D），求證:為定值.2.已知圓：，定點(diǎn)，A是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于P點(diǎn)．（1）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值．3.已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）交橢圓于點(diǎn)，，直線，分別與直線交于點(diǎn)，．求證：以線段為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值．【題型九】最值與范圍【典例分析】已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．（）求雙曲線的方程；（）若直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，且線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】求最值求范圍，屬于前邊知識(shí)額綜合應(yīng)用，主要是以下兩點(diǎn)要注意注意變量的范圍。式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復(fù)習(xí)【變式演練】1.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.2.已知雙曲線C的方程為（），離心率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍.3.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)P是C的上頂點(diǎn)時(shí)，△的面積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率存在的直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，是否存在點(diǎn)，使得?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【題型十】第六個(gè)方程的積累【典例分析】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與平行的直線與橢圓交于點(diǎn).求的值.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】在一直一曲五個(gè)方程（韋達(dá)定理代入型）題型中，主要的難點(diǎn)在于怎么轉(zhuǎn)化出“第六個(gè)方程”。具有明顯的可轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理特征的。屬于較容易的題。隱藏較深的條件，需要用一些技巧，把條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理。沒(méi)有固定的轉(zhuǎn)化技巧，可以在訓(xùn)練中積累相關(guān)化歸思想?！咀兪窖菥殹?.已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別