2021年江蘇省南京市秦淮區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2021年江蘇省南京市秦淮區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卷相應(yīng)位置上）

1.（2分）4的算術(shù)平方根是（）

A.±4B.4C.±2D.2

2.（2分）已知下列式子不成立的是（）

A.〃+2021Vb+2021B.tz-2021<Z?-2021

C.-2021a<-2021Z?D.avb

20212021

3.（2分）下列各數(shù)中，與最接近的是（)

A.0.4B.0.6C.0.8D.1

4.（2分）2020年是新中國(guó)歷史上極不平凡的一年,我國(guó)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行逐季改善，在全球主要經(jīng)

濟(jì)體中唯一實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)正增長(zhǎng).根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2016-2020年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值

及其增長(zhǎng)速度如圖所示.

（數(shù)據(jù)來(lái)源：中華人民共和國(guó)2020年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)）

根據(jù)圖中提供的信息，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.2020年末，中國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值邁上百萬(wàn)億元新的大臺(tái)階

B.2016年至2020年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈遞增趨勢(shì)

C.2017年至2020年，相比較上一年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增加最多的是2017年

D.2017年至2020年，相比較上一年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)速度最快的是2017年

5.（2分）關(guān)于一次函數(shù)y=h+6,有下列命題：

甲：圖象過(guò)點(diǎn)（3,4）；乙：/><0；丙：k=2；?。簣D象過(guò)點(diǎn)（1,2）.

若上述四個(gè)命題中只有一個(gè)假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

6.（2分）將如圖所示的紙片折疊、粘合成正方體形狀.下列結(jié)論：

①粘合時(shí)，線段AB與線段尸G重合；

②在正方體中，CE所在的面與GH所在的面相對(duì)；

③在正方體中，AC〃QE；

④在正方體中，QE與EF的夾角是60°.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卷相應(yīng)位置

上）

7.（2分）-2的相反數(shù)是,-2的倒數(shù)是.

8.（2分）“沉睡數(shù)千年，一醒驚天下”.三星堆遺址在5號(hào)坑提取出僅1.4CM的牙雕制品，

最細(xì)微處間隔不足5O|i/7?（1卬〃=106〃?），用科學(xué)記數(shù)法表示50|i/n是m.

9.（2分）分解因式d-1的結(jié)果是.

10.（2分）計(jì)算：（a-b）2-（a+b）2=.

11.（2分）如圖，在矩形ABCD中，AD=6,AB=4,NBAD的平分線交BC于點(diǎn)E,則

12.（2分）如圖，在△ABC中，。是AB上一點(diǎn)，ZACD=ZB,AC=5,AD=3,則OB

13.（2分）如圖，AB是半圓的直徑，C、。是半圓上的兩點(diǎn)，且NBAC=46°,AD=CD，

則

NDAB=

14.（2分）已知a、0是方程7-2x-1=0的兩個(gè)根，則0?+20=

15.（2分）如圖，在正方形A8CD中，E、F、G、H分別是￡>4、AB.BC、CC上靠近A、

B、C、。的四等分點(diǎn)，/、人K、乙分別是EEFG、GH、HE上靠近E、F、G、”的四

等分點(diǎn)，則:正方形.加=_______________________

S四邊形］JKL

16.（2分）如圖，在四邊形ABC。中，AB=2,BC=BD,NAOC=150°,ZDCB=60°,

則AC的最大值是_________________

三、解答題（本大題共11小題，共88分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（7分）計(jì)算（m+2--^—）4-JBZL.

m-22m-4

x-3（x-2）>4

18.（7分）解不等式組（2x-l>x-l，并寫出它的整數(shù)解.

19.（8分）如圖，在菱形A8CD中，E、F是AC上兩點(diǎn)，AE=CF.求證：四邊形BFDE

是菱形.

20.（8分）某初中學(xué)校每天對(duì)全校學(xué)生的午休情況進(jìn)行檢查，初一，初二，初三3個(gè)年級(jí)

都要被檢查到.某天由甲，乙，丙3名同學(xué)檢查，他們來(lái)自3個(gè)不同的年級(jí)，每人只能

檢查1個(gè)年級(jí).

（1）甲檢查初一年級(jí)的概率為:

（2）求他們都不檢查自己所在年級(jí)的概率.

21.（7分）某初中學(xué)校共有2000名學(xué)生.為增強(qiáng)學(xué)生安全防護(hù)意識(shí)，該校提出“預(yù)防千萬(wàn)

條，口罩第一條”的倡議--提倡在上學(xué)和放學(xué)途中佩戴口罩.學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組采取

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，抽取了部分學(xué)生，了解其在上學(xué)和放學(xué)途中佩戴口罩的情況.

收集數(shù)據(jù)

（1）數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了以下三種調(diào)查方案：

方案一：從初一年級(jí)隨機(jī)抽取8個(gè)班級(jí)共300名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查；

方案二：分別從三個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取各100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查；

方案三：隨機(jī)抽取300名女生進(jìn)行調(diào)查.

其中抽取的樣本具有代表性的方案是.

整理數(shù)據(jù)

數(shù)學(xué)興趣小組采?。?）中的具有代表性的方案進(jìn)行了一周的調(diào)查，根據(jù)調(diào)查，將數(shù)據(jù)繪

制成條形統(tǒng)計(jì)圖：

上學(xué)途中和放學(xué)途中佩戴口罩的人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖

.人數(shù)口上學(xué)途中

3口放學(xué)途中

OO

2.240

25O21020121322%2

OO

15O

1OO

5O

I周W一周二周三O周四周五日期

（2）估計(jì)全校周五上學(xué)途中佩戴口罩的學(xué)生人數(shù)是多少？

分析數(shù)據(jù)

（3）比較這一周抽樣學(xué)生上學(xué)、放學(xué)途中佩戴口罩的情況，寫出一條正確的結(jié)論.

22.（8分）“精準(zhǔn)扶貧，暖心助力”.駐村書記通過(guò)某平臺(tái)直播帶貨，幫助當(dāng)?shù)匕傩彰撠氈?/p>

富.蘋果成本價(jià)為每千克5元，銷售價(jià)為每千克8元；蜜桔成本價(jià)為每千克6元，銷售

價(jià)為每千克10元.通過(guò)直播，兩種水果共銷售5000依，蘋果的銷售量不少于2000&g.

（1）若銷售的蘋果和蜜桔的總成本為27400元，則銷售蘋果kg,銷售蜜桔

kg.

（2）當(dāng)蘋果的銷量為多少時(shí)，兩種水果的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

23.（7分）如圖，學(xué)校有一旗桿48.為了測(cè)量旗桿高度，小明采用如下方案：在點(diǎn)C處測(cè)

得旗桿頂B的仰角為45°,從與點(diǎn)C相距6,”的E處測(cè)得旗桿頂B的仰角為60°.若

CD=EF^\.9m,求旗桿AB的高度（精確到0.1〃?）.（參考數(shù)據(jù)：圾-1.41,?E.73.）

24.（9分）已知二次函數(shù)丫=/^皿-+川-1為常數(shù)）.

（1）求證：不論〃?為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（2）若函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，求機(jī)的取值范圍.

25.（8分）如圖，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.分別延長(zhǎng)區(qū)4、AB、CA、

AC至點(diǎn)D、E、F、G,使得AZ)=AF=8C,BE=8,CG=6.

(1)經(jīng)過(guò)。、E、G三點(diǎn)作。。；(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)求證：點(diǎn)F在00上；

(3)。0的半徑長(zhǎng)為.

己知是實(shí)數(shù)，若某個(gè)函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M(〃?，/?),則稱點(diǎn)M是該函數(shù)圖象上的“固

定點(diǎn)

【數(shù)學(xué)理解】

(1)一次函數(shù)>=-2A+3的圖象上的“固定點(diǎn)”的坐標(biāo)是；

(2)求證：反比例函數(shù)y=K(k>0)的圖象上存在2個(gè)“固定點(diǎn)”；

X

(3)將二次函數(shù))，=』+法+1Ch<-2)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，

圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象在x軸上方的部分組成一個(gè)類似“W”

形狀的新圖象.若新圖象上恰好存在3個(gè)“固定點(diǎn)”，求b的值.

27.(10分)如圖①，己知/M4N=60°，點(diǎn)8在AM上，AB=6,P是AN上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P

不與點(diǎn)A重合)，以AB、AP為相鄰兩邊作平行四邊形APCB,再以BP為直徑作。0.

(1)當(dāng)GAPCB的某一邊所在直線與0。相切時(shí)，AP的長(zhǎng)為.

(2)當(dāng)QAPC3的四條邊所在直線與。。都相交時(shí)，設(shè)分別與AMAM交于點(diǎn)E、G,

與直線CP、BC交于點(diǎn)〃、F.

①如圖②，在六邊形BGEP”尸中，易得BF〃PE,BG//PH,NGBF=NHPE=120°,

請(qǐng)?jiān)賹懗鲫P(guān)于這個(gè)六邊形的三個(gè)結(jié)論，并選擇其中一個(gè)結(jié)論給出證明；

(要求：寫出的三個(gè)結(jié)論類型不相同)

②設(shè)AP=x,直接寫出以8、G、E、P、H、尸為頂點(diǎn)的六邊形的面積(用含x的代數(shù)式

表示).

2021年江蘇省南京市秦淮區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卷相應(yīng)位置上）

1.（2分）4的算術(shù)平方根是（）

A.±4B.4C.±2D.2

【解答】解：：22=4,

.*.4的算術(shù)平方根是2,

故選：D.

2.（2分）已知“〈小下列式子不成立的是（）

A.?+2021<Z?+2021B.a-2021V。-2021

C.-2021o<-2021/jD.a<b

20212021

【解答】解：A、不等式兩邊同時(shí)加上2021,不等號(hào)方向不變，故本選項(xiàng)正確，不符合

題意；

8、不等式兩邊同時(shí)減去2021,不等號(hào)方向不變，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、不等式兩邊同時(shí)乘以-2021,不等號(hào)方向改變，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

。、不等式兩邊同時(shí)除以2021,不等號(hào)方向不變，故本選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：C.

3.（2分）下列各數(shù)中，與遮-1最接近的是（）

A.0.4B.0.6C.0.8D.1

【解答】解：：在處1.732,

1^0.732,

V0.732-0.4=0.332,0.732-0.6=0.132,0.8-0.732=0.068,1-0.732=0.268,

???與1最接近的是0.8,

故選：C.

4.（2分）2020年是新中國(guó)歷史上極不平凡的一年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行逐季改善，在全球主要經(jīng)

濟(jì)體中唯一實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)正增長(zhǎng).根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2016-2020年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值

及其增長(zhǎng)速度如圖所示.

億元20182020年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值及其增長(zhǎng)速度

（數(shù)據(jù)來(lái)源：中華人民共和國(guó)2020年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)）

根據(jù)圖中提供的信息，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.2020年末，中國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值邁上百萬(wàn)億元新的大臺(tái)階

B.2016年至2020年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈遞增趨勢(shì)

C.2017年至2020年，相比較上一年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增加最多的是2017年

D.2017年至2020年，相比較上一年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)速度最快的是2017年

【解答】解：42020年末，中國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值邁上百萬(wàn)億元新的大臺(tái)階，此選項(xiàng)正

確，不符合題意；

B.2016年至2020年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值呈遞增趨勢(shì)，此選項(xiàng)正確，不符合題意；

C.2017年相比較上一年增加：832036-746395=85641,

2018年相比較上一年增加,919281-832036=87245,

2019年相比較上一年增加,986515-919281=67234,

2020年相比較上一年增加，1015986-986515=29471,

；.2017年至2020年，相比較上一年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增加最多的是2018年，此選項(xiàng)錯(cuò)誤,

符合題意；

D.2017年至2020年，相比較上一年，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)速度最快的是2017年，此選

項(xiàng)正確，不符合題意；

故選：C.

5.（2分）關(guān)于一次函數(shù)y=fcv+6,有下列命題：

甲：圖象過(guò)點(diǎn)（3,4）；乙：Z?<0；丙：k=2；T：圖象過(guò)點(diǎn)（1,2）.

若上述四個(gè)命題中只有一個(gè)假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：若一次函數(shù)同時(shí)經(jīng)過(guò)（3,4）,（1,2）,則弘+Z?=4,k+b=2,解得k=l,

b—1,此時(shí)乙、丙都是假命題，

所以一次函數(shù)不經(jīng)過(guò)（3,4）,（1,2）,

若一次函數(shù)經(jīng)過(guò)（3,4）,則女+匕=4,當(dāng)左=2時(shí)，6=-2<0,此時(shí)甲、乙、丙為真命

題，丁為假命題.

故選：

6.（2分）將如圖所示的紙片折疊、粘合成正方體形狀.下列結(jié)論：

①粘合時(shí)，線段AB與線段FG重合；

②在正方體中，QE所在的面與G4所在的面相對(duì)；

③在正方體中，AC//DE-,

④在正方體中，OE與E尸的夾角是60°.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

①粘合時(shí)，線段A8與線段FG重合，正確；

②在正方體中，OE所在的面與G”所在的面相對(duì)，正確；

③在正方體中，AC、DE不在同一平面內(nèi)，不平行，故不正確；

④在正方體中，DE與EF、OF分別為三個(gè)面的對(duì)角線，DE=EF=DF,是等邊三

角形，所以O(shè)E與E尸的夾角是60°,正確.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.

故選:B.

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卷相應(yīng)位置

±）

7.（2分）-2的相反數(shù)是2,-2的倒數(shù)是.

—2-

【解答】解：-2的相反數(shù)是2；

-2的倒數(shù)是-1；

2

故答案為：2,-1.

2

8.（2分）“沉睡數(shù)千年，一醒驚天下”.三星堆遺址在5號(hào)坑提取出僅1.4c巾的牙雕制品，

最細(xì)微處間隔不足50卬〃（1用刀=IO”機(jī)），用科學(xué)記數(shù)法表示5011m是5義IO、加.

【解答】解：50pw=50X10'6/n=5X10-5/H,

故答案為：5X10-5.

9.（2分）分解因式〃2-1的結(jié)果是（〃-1）（〃+1）.

【解答】解：原式=（a-1）（〃+1）.

故答案為：（4-1）（〃+1）.

10.（2分）計(jì)算：（a-b）2-（a+b）2—~4ab.

【解答】解：（a-匕）2-（〃+。）2,

=a2-lah+b1-a2-2ah-h2,

=-4ab.

11.（2分）如圖，在矩形ABCD中，A￡>=6,A8=4,NBAD的平分線交BC于點(diǎn)E,則

DE=_2^_.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F,

在矩形A8CC中，NB=/BAO=90°,

是的平分線，

：.ZDAB=ZEAF=45°,

AZAEB=45Q,

矩形ABE尸是正方形，

：.AB=BE=EF=AF=4,

：.DF=AD-AF=6-4=2,

4E=JEF2+DF2=A/]6+4=2旄.

故答案為：2A/^.

12.（2分）如圖，在△A8C中，力是AB上一點(diǎn)，NACC=/B,AC=5,AO=3,則。8

=16

一?一.

【解答】解：；N4CD=NB,N4=NA,

AACD^AABC,

?AD=AC

"ACAB'

:.AC2=AD-AB,

：AC=5,A￡>=3,

.M^ACi=25.

AD3

：.DB=AB-AD=25.-3=坨

33

故答案為：生.

3

13.（2分）如圖，AB是半圓的直徑，C、。是半圓上的兩點(diǎn)，且NBAC=46°,AD=CD，

貝（1

NDAB=68

C

D

AB

【解答】解：TAB是半圓。的直徑，

AZACB=90°,

VZBAC=46°,

：.ZB=44°.

AZADC=180°-44°=136°.

VAD=CD-

：.AD=DC.

：.ZDAC=Z￡)CA=180°~136°=22°,

2

AZBAD=ZDAC+ZBAC=22°+46°=68°.

故答案是：68.

14.(2分)已知a、0是方程/-2x-1=0的兩個(gè)根，則0?+2!3=5.

【解答】解：：a,0是方程7-2x-1=0的兩個(gè)根，

p2-2p=l,a+B=2,a邛=-1,

Aa2+2p=(a+p)2-2ap-(p2-2p)=22-2X(-1)-1=5.

故答案為：5.

15.(2分)如圖，在正方形A8CD中，E、F、G、H分別是￡>A、AB.BC、CC上靠近A、

B、C、。的四等分點(diǎn)，/、人K、乙分別是EF、FG、GH、HE上靠近E、F、G、H的四

等分點(diǎn)，則:正方形8=_絲_.

S四邊形］JKL25

【解答】解：設(shè)AE=DH=CG=BF=a,DE=CH=BG=AF=3a,

則EF=EH=HG=FG=Na2+（3a）2=Ji而,

，EI=FJ=KG=KL=LXyflQa,EL=HK=GJ=FI=3xyflQa,

44

：.gJ=JK=KL=q半）2+邛a］母

?0正方形ABCD_/4a、2_64

??------------—\"z）——----,

S四邊形UKL至＞a25

2

故答案為：64.

25

16.（2分）如圖，在四邊形A8C。中，AB=2,BC=BD,AADC=\50°,ZDCB=60°,

則AC的最大值是_J電

【解答】解：如圖，以AB為邊作等邊△ABE,連結(jié)EC,

：.AB=BE=AE,NABE=NEAB=NAEB=60°,

,:BC=BD,NDCB=60°,

...△OCB為等邊三角形，

：.BD=BC=CD,NDCB=NCDB=NDCB=6Q°,

VZADC=15O°,

AZADB=ZADC-ZCDB=150°-60°=90°,

在△ABO和△EBC中，

'AB=EB

，ZABD=ZEBC=600-ZDBE-

BD=BC

:.AABD安AEBC(SAS),

:.NADB=NECB=9G°,

在△E2C中，EB=AB=2,ZECB=90°,

以BE為直徑作G)O,則半徑為2BE=1,

2

動(dòng)點(diǎn)C在以BE為直徑的。。上，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交。0于點(diǎn)C',

：.AC^AC=AO+OC=AO+\,

在等邊△ABE中，AB=2,。為BE的中點(diǎn)，

-"-A0=y]AB2-BO2=V22-12=V3>

：.AC'=V3+1,

即AC的最大值為J》1,

故答案為：J§+1.

三、解答題(本大題共11小題，共88分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

1n

17.(7分)計(jì)算(w+2-_§_)TC

m-22m-4

2

【解答】解：原式=(a_zl-_5_)+及3

m-2m-22(m-2)

=(m+3)(nr-3).2(m-2)

m-2m-3

=2(次+3)

=2/72+6.

x-3(x-2)>4

18.(7分)解不等式組?2x-l>x-l，并寫出它的整數(shù)解.

3^~2~

【解答】解：解不等式x-3(x-2)24,得：xWl,

解不等式2x-l>二1,得：x>一1,

32

則不等式組的解集為-

所以不等式組的整數(shù)解為0、1.

19.(8分)如圖，在菱形ABC。中，E、F是AC上兩點(diǎn)，AE=CF.求證：四邊形BFCE

是菱形.

【解答】證明：連接80交AC于點(diǎn)。,

?.?四邊形ABC。為菱形，

/.0B=0D,0A=0C,AC±BD,

"：AE=CF,

：.0A-AE=0C-CF,即0E=OF,

四邊形BE。尸為平行四邊形，

'：AC±BD,

...四邊形BECF為菱形.

20.(8分)某初中學(xué)校每天對(duì)全校學(xué)生的午休情況進(jìn)行檢查，初一，初二，初三3個(gè)年級(jí)

都要被檢查到.某天由甲，乙，丙3名同學(xué)檢查，他們來(lái)自3個(gè)不同的年級(jí)，每人只能

檢查1個(gè)年級(jí).

(1)甲檢查初一年級(jí)的概率為-1;

-3-

(2)求他們都不檢查自己所在年級(jí)的概率.

【解答】解：(1)???共有3個(gè)年級(jí)，分別是初一，初二，初三，

，甲檢查初一年級(jí)的概率為1.

3

故答案為：1.

3

(2)設(shè)甲，乙，丙分別來(lái)自于初一，初二，初三3個(gè)年級(jí).甲，乙，丙3名同學(xué)各自檢

查一個(gè)年級(jí)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6種，

即（初一，初二，初三）、（初一，初三，初二）、（初二，初一，初三）、（初二，初三,

初一）、（初三，初一，初二）、（初三，初二，初一），

這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.所有的結(jié)果中，滿足他們都不檢查自己所在年級(jí)（記為事

件A）的結(jié)果有2種，即（初二，初三，初一）、（初三，初一，初二），

所以P（A）=2=a.

63

21.（7分）某初中學(xué)校共有2000名學(xué)生.為增強(qiáng)學(xué)生安全防護(hù)意識(shí)，該校提出“預(yù)防千萬(wàn)

條，口罩第一條”的倡議--提倡在上學(xué)和放學(xué)途中佩戴口罩.學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組采取

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，抽取了部分學(xué)生，了解其在上學(xué)和放學(xué)途中佩戴口罩的情況.

收集數(shù)據(jù)

（1）數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了以下三種調(diào)查方案：

方案一：從初一年級(jí)隨機(jī)抽取8個(gè)班級(jí)共300名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查；

方案二：分別從三個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取各100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查;

方案三：隨機(jī)抽取300名女生進(jìn)行調(diào)查.

其中抽取的樣本具有代表性的方案是方案二.

整理數(shù)據(jù)

數(shù)學(xué)興趣小組采?。?）中的具有代表性的方案進(jìn)行了一周的調(diào)查，根據(jù)調(diào)查，將數(shù)據(jù)繪

制成條形統(tǒng)計(jì)圖:

上學(xué)途中和放學(xué)途中佩戴口罩的人數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖

.人數(shù)口上學(xué)途中

3口放學(xué)途中

2OO

.240777

25O210201213

OO2

15O-■■■Bn

1OO

5O

周一周二周三周四周五日期

（2）估計(jì)全校周五上學(xué)途中佩戴口罩的學(xué)生人數(shù)是多少？

分析數(shù)據(jù)

（3）比較這一周抽樣學(xué)生上學(xué)、放學(xué)途中佩戴口罩的情況，寫出一條正確的結(jié)論.

【解答】解：（1）由題意可得，

其中抽取的樣本具有代表性的方案是方案二，

故答案為：方案二；

（2）2000X^22_=1480（名），

300

即估計(jì)全校周五上學(xué)途中佩戴口罩的學(xué)生有1480名；

（3）答案不唯一,例如，

結(jié)論1：這一周上學(xué)途中佩戴口罩的人數(shù)（單位：名）分別是240、210、201、213、222,

由多變少再變多，說(shuō)明上學(xué)途中學(xué)生在周初和周末安全防護(hù)意識(shí)較強(qiáng)，在周中時(shí)安全防

護(hù)意識(shí)較弱.

結(jié)論2：這一周放學(xué)途中佩戴口罩的人數(shù)（單位：名）分別是125、130、146、180、202,

逐漸增加，說(shuō)明在放學(xué)途中，越接近周末學(xué)生的安全防護(hù)意識(shí)越強(qiáng).

結(jié)論3：這一周上學(xué)途中平均每天佩戴口罩的人數(shù)約為217名，放學(xué)途中平均每天佩戴口

罩的人數(shù)約為157名，217>157說(shuō)明學(xué)生在上學(xué)途中安全防護(hù)意識(shí)較好，同時(shí)需要加強(qiáng)

放學(xué)途中的安全防護(hù)措施.

結(jié)論4：這一周上學(xué)途中佩戴口罩人數(shù)與放學(xué)途中佩戴口罩人數(shù)之差分別是115、80、55、

33、20,說(shuō)明學(xué)生在上學(xué)途中安全防護(hù)意識(shí)較好，同時(shí)需要加強(qiáng)放學(xué)途中的安全防護(hù)措

施.

22.（8分）“精準(zhǔn)扶貧，暖心助力”.駐村書記通過(guò)某平臺(tái)直播帶貨，幫助當(dāng)?shù)匕傩彰撠氈?/p>

富.蘋果成本價(jià)為每千克5元，銷售價(jià)為每千克8元；蜜桔成本價(jià)為每千克6元，銷售

價(jià)為每千克10元.通過(guò)直播，兩種水果共銷售5000依，蘋果的銷售量不少于2000依.

（1）若銷售的蘋果和蜜桔的總成本為27400元，則銷售蘋果2600履,銷售蜜桔2400

kg.

（2）當(dāng)蘋果的銷量為多少時(shí)，兩種水果的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【解答】解：（1）設(shè)銷售蘋果x千克，銷售蜜桔（5000-x）千克，

則列方程：5x+6（5000-方=27400,

解得：x=2600（千克），

5000-2600=2400（千克），

...銷售蘋果2600千克，銷售蜜桔2400千克，

故答案為：2600,2400；

（2）設(shè)銷售蘋果。千克，銷售蜜桔（5000-〃）千克，

則利潤(rùn)為：w=（8-5）a+（10-6）（5000-a）=-a+20000,

V-l<0,

隨a的增大而減小,

又：心2000,

.,?當(dāng)a=2000時(shí),利潤(rùn)最大，

最大利潤(rùn)為：卬=-2000+20000=18000（元），

答：當(dāng)蘋果的銷量為2000千克時(shí)，兩種水果的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是18000元.

23.（7分）如圖，學(xué)校有一旗桿AB.為了測(cè)量旗桿高度，小明采用如下方案：在點(diǎn)C處測(cè)

得旗桿頂B的仰角為45°,從與點(diǎn)C相距&〃的E處測(cè)得旗桿頂3的仰角為60°.若

CD=EF=l.9m,求旗桿AB的高度（精確到0.1相）.（參考數(shù)據(jù)：血七1.41,娟F.73.）

【解答】解：延長(zhǎng)CE,交AB于點(diǎn)G.如圖所示：

則NBGC=90°.AG=CD=EF=\.9m,

設(shè)BG=xin.

在Rt^BGC中，NBCG=45°,

...△8CG是等腰直角三角形，

：?CG=BG=xm.,

?：CE=6m,

GE=(x-6)m.

在RtZ\BGE中，NBEG=60°,tanZB￡G=-52=tan60°=?,

EG

解得：x=9+3?,

.,.AB=BG+GA=9+3V3+1.9S?16.1(小),

答：旗桿A8的高度約為16.1〃?.

24.(9分)已知二次函數(shù)y=/+2〃ir+，W2-1為常數(shù)).

(1)求證：不論相為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)若函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，求，〃的取值范圍.

【解答】解：(1)因?yàn)樾?4ac=4,〃2-4(w2-1)=4>0,

所以方程/+2〃a+*-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

所以該函數(shù)圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)當(dāng)y=0時(shí)，x^+lnvc+m2-1=0.解這個(gè)方程，得xi=-/n+l,X2=-m-1.

函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-m+1,()),(-w-1,0),

因?yàn)楹瘮?shù)圖像與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，且-，〃-1,

所以-，〃+1>0且-，〃-1<0,

解得-1<W<1.

25.(8分)如圖，在RtZ\A8C中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.分別延長(zhǎng)BA、AB、。、

AC至點(diǎn)￡>、E、F、G,使得AO=AF=BC,BE=8,CG=6.

(1)經(jīng)過(guò)Z)、E、G三點(diǎn)作OO；(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)求證：點(diǎn)尸在。0上；

(3)G)O的半徑長(zhǎng)為2、國(guó).

D

(2)連接尸￡＞、OD、OE、OF、OG.LM是EG的垂直平分線,

"：AD=AF,AB=CG,AC=BE,

：.AB+BE^CG+AC,即AG=AE.

是EG的垂直平分線，

.?.點(diǎn)A在LM上,

：.ZEAP=ZGAP,

：.ZFAM=ADAM,

是的垂直平分線，

:點(diǎn)。在LW上，

：.OF=OD.

.?.點(diǎn)尸在。。上.

(3)如圖，連接EF.

D

"：AE=AG,/E4G=90°,

...NAGE=N4EG=45°,

:.NEOF=2NEGF=90°,

；￡F=VAF2+AE2=V102+142=2^)

：.OE=OF=^=2y/37.

V2

故答案為：2愿7

26.（9分）【概念認(rèn)識(shí)】

已知機(jī)是實(shí)數(shù)，若某個(gè)函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（〃?，〃?），則稱點(diǎn)M是該函數(shù)圖象上的“固

定點(diǎn)

【數(shù)學(xué)理解】

（1）一次函數(shù)y=-2x+3的圖象上的“固定點(diǎn)”的坐標(biāo)是（1,1）:

（2）求證：反比例函數(shù)y=K（k>0）的圖象上存在2個(gè)“固定點(diǎn)”；

X

（3）將二次函數(shù)），=，+法+1（6<-2）的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，

圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象在x軸上方的部分組成一個(gè)類似“W”

形狀的新圖象.若新圖象上恰好存在3個(gè)“固定點(diǎn)”，求》的值.

【解答】（1）解：設(shè)固定點(diǎn)為（〃?，，"）把（〃?，，"）代入一次函數(shù)y=-2r+3中，

得〃?=-2m+3,

解得機(jī)=1,

.?.固定點(diǎn)為（1,1）;

（2）證明：在丁=上（2>0）中，令），=心可得

x

解得Xl=?,X2=-7k-

將xi=Ji?弋入>=區(qū)中，得

X

將x2=-4代入y=K中，得"=-4.

X

因此反比例函數(shù)產(chǎn)區(qū)（Q0）的圖像上存在2個(gè)“固定點(diǎn)”，分別為（孤，孤）和（-

x

Vk，"

設(shè)固定點(diǎn)為（“，加），將（m,代入

得m2+bm+1=）n,

即m2+（/?-1）m+\=0,

△=（Z?-1）2-4>0,

即原圖象（翻折前）有兩個(gè)“固定點(diǎn)”，

翻折后圖形為：y=-（~+云+1）,

將（m,m）代入：m--（渥+加計(jì)1）,

即-序-（Z?+l）m-1=0,

依題意，只需該方程有一個(gè)根即可（對(duì)應(yīng)一個(gè)“固定點(diǎn)”，與前兩個(gè)合成三個(gè)）,

.*.△=（2+1）2-4=0,

即（/?+1）2=%

b+1=±\/*^=±2,

①當(dāng)6+1=2時(shí)，6=1（不合題意，bV-2舍去），

②當(dāng)人+1=-2時(shí)，b=-3,

綜上，b=-3.

27.（10分）如圖①，已知NM4N=60°,點(diǎn)8在AM上，A8=6，P是AN上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)戶

不與點(diǎn)A重合），以48、AP為相鄰兩邊作平行四邊形APC5,再以3P為直徑作。。?

（1）當(dāng)DAPCB的某一邊所在直線與0。相切時(shí)，AP的長(zhǎng)為3或12.

（2）當(dāng)JPCB的四條邊所在直線與0。都相交時(shí)，設(shè)分別與AN、AM交于點(diǎn)E、G,

與直線CP、BC交于點(diǎn)H、F.

①如圖②，在六邊形BGEP”尸中，易得BF〃PE,BG//PH,ZGBF=ZHPE=\20°,

請(qǐng)?jiān)賹懗鲫P(guān)于這個(gè)六邊形的三個(gè)結(jié)論，并選擇其中一個(gè)結(jié)論給出證明；

（要求：寫出的三個(gè)結(jié)論類型不相同）

②設(shè)AP=x,直接寫出以8、G、E、P、H、產(chǎn)為頂點(diǎn)的六邊形的面積（用含x的代數(shù)式

表示）.

【解答】解：（1）當(dāng)8尸_LAN時(shí)，直線AN與。。相切，如圖:

4P=A8?cos60°=3；

當(dāng)時(shí)，直線AM與。。相切，如圖:

M

A

'：ZA=60°,AB=6,

：.AP=—蛆—=12；

cos600

綜上所述，A