2021年山西省太原市高考數(shù)學(xué)模擬考試（文科）（二）（附答案詳解）

2021年山西省太原市高考數(shù)學(xué)模擬考試（文科）（二）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.（2020?廣東省?月考試卷）已知復(fù)數(shù)2=白，則z的共鈍復(fù)數(shù)踞（）

A.1—iB.l+iC.iD.-i

2.（2021?山西省太原市?模擬題）已知集合4={x|x（x-1）=0},B={x||x|=1},則4n

B=（）

A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{1}

3.（2020?廣西壯族自治區(qū)北海市?月考試卷）藝術(shù)體操比賽共有7位評(píng)委分別給出某選

手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從7個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最

低分，得到5個(gè)有效評(píng)分.5個(gè)有效評(píng)分與7個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是

（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差

4.（2021?山西省太原市?模擬題）已知斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺

旋線”，它的畫法是:以斐波那契數(shù)列（即為=a2=1>an+2=an+1+an（neN*））

的各項(xiàng)為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90。的圓

弧，將這些圓弧依次連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波拉契

螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的一部分，則第七項(xiàng)所對(duì)

應(yīng)的扇形的弧長(zhǎng)為（）

5.（2021?山西省太原市?模擬題）在等比數(shù)列{%}中，a2a4=2a3-1,則CI5=

（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2021?山西省太原市?模擬題）點(diǎn)「（私企小乂小豐0）是拋物線y?=2px（p>0）上一

點(diǎn)，且點(diǎn)尸到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則p=（）

A.1B.2C.jD.6

7.（2021?山西省太原市?模擬題）已知函數(shù)y=/（%）部分圖

象的大致形狀如圖所示，則y=/（x）的解析式最可能

是（）

COSX

A./(x)

ex-e-x

sinx

B./(%)=

ex-e-x

COSX

C./(X)=

ex+e-x

sinx

D.f(x)=

ex+e-x

8.（2021?山西省太原市?模擬題）已知函數(shù)f（x）=a2/一》在點(diǎn)（I,/。））處的切線經(jīng)過

點(diǎn)（2,6）,則實(shí)數(shù)a=（）

A.+1B.+2C.+>/3D.+V2

9.（2021?山西省太原市?模擬題）已知圓M：0-砌2+3-人）2=3（￡1為€/?）與圓0：

產(chǎn)+丫2=1相交于4,B兩點(diǎn),且|48|=遮，則下列錯(cuò)誤的結(jié)論是（）

A.利?麗是定值B.四邊形OAM8的面積是定值

C.a+b的最小值為一&D.a-b的最大值為2

10.（2021.山西省太原市.模擬題）在直角△AM中,a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角A,B,

C所對(duì)的邊，點(diǎn)G是△ABC的重心，若AG_L8G,則cosC=（）

A.立B.漁C.1D-

3355

11.（2021.山西省太原市.模擬題）已知三棱錐A—BCD中，AB=BD=DA=2痘,BC1

CD,BC=CD,則當(dāng)三棱錐4-BCD的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（）

A.487rB.287rC.167rD.207r

12.（2021?山西省太原市?模擬題）已知直線x-2y+n=0（n^0）與雙曲線捺一'=

l（a>0,b>0）的兩條漸近線分別相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n,0）,若儼川=

\PB\,則該雙曲線的離心率是（）

A.V2B.V3C..D.漁

32

二、單空題（本大題共4小題，共20.（）分）

13.（2021?山西省太原市?模擬題）設(shè)落方為單位向量，且|4+3|=百，則|N-石|=

14.(2021?山西省太原市?模擬題)已知Isina+cosa=*貝ijsin2a=

第2頁(yè)，共20頁(yè)

15.(2021?山西省太原市?模擬題)已知點(diǎn)4(1,0)和B(2,m),點(diǎn)M(x,y)是函數(shù)y="x圖象

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)于任意的點(diǎn)M(x,y),不等式麗?麗26X?麗(其中。是坐

標(biāo)原點(diǎn))恒成立，則實(shí)數(shù)m.

16.(2021?山西省太原市?模擬題)已知矩形ABC。中，AB=4,AD=3,點(diǎn)E是邊C￡>

上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE折起至△P4E,使得平面H4B1平面ABC,過P作PG1AB,

垂足為G,則4G的取值范圍為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.(2021?山西省太原市?模擬題)如圖，在平面四邊形ABC。中，力

4840=45。，AB=y/2,AABO的面積為萼./)C

(I)求8。的長(zhǎng)；,/(

(II)若NBCD=120。，求BC+CD的取值范圍.

18.(2021?山西省太原市?模擬題)2017年國(guó)家發(fā)改委、住建部發(fā)布了性活垃圾分類制

度實(shí)施方案少，規(guī)定46個(gè)城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，垃圾回收、利

用率要達(dá)35%以上,某市在實(shí)施垃圾分類之前，對(duì)人口數(shù)量在1萬(wàn)左右的社區(qū)一天產(chǎn)

生的垃圾量(單位：噸)進(jìn)行了調(diào)查.已知該市這樣的社區(qū)有200個(gè)，如圖是某天從中

隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)所產(chǎn)生的垃圾量繪制的頻率分布直方圖.現(xiàn)將垃圾量超過14噸/

天的社區(qū)稱為“超標(biāo)”社區(qū).

(I)根據(jù)上述資料?，估計(jì)當(dāng)天這50個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值又精確到整數(shù))；

(II)若以上述樣本的頻率近似代替總體的概率，請(qǐng)估計(jì)這200個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社

區(qū)的個(gè)數(shù).

(HI)市環(huán)保部門決定對(duì)樣本中“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來源進(jìn)行調(diào)查，先從這些社區(qū)中

按垃圾量用分層抽樣抽取5個(gè)，再?gòu)倪@5個(gè)社區(qū)隨機(jī)抽取2個(gè)進(jìn)行重點(diǎn)監(jiān)控，求重

點(diǎn)監(jiān)控社區(qū)中至少有1個(gè)垃圾量為［16,18］的社區(qū)的概率.

19.(2021.山西省太原市.模擬題)如圖，在幾何體

ABCQEF中，四邊形A8C。是邊長(zhǎng)為2的菱形，且

Z.BAD=60°,CE=DE,EF//DB,DB=2EF,平

面CDE，平面ABCD.

(I)求證：平面BCFJL平面ABCD；

(II)若直線BE與平面ABCD所成的角為45。，求三棱錐4-CEF的體積.

20.(2021?山西省太原市?模擬題)已知函數(shù)/'(x)=ax+l(aWR),g(x)-sinx+cosx.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，證明：不等式/(%)2g(x)在［0,+8)上恒成立；

(11)若不等式/0)29(為在［-%+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)。取值的集合.

第4頁(yè)，共20頁(yè)

21.（2021?山西省太原市?模擬題）已知橢圓C：搐+《=l（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別

是點(diǎn)A,B,直線/：x=|與橢圓C相交于。，E兩個(gè)不同點(diǎn)，直線D4與直線

的斜率之積為-；，AABD的面積為延.

43

（I）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（口）若點(diǎn)「是直線/：X=|的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不在X軸上），直線AP與橢圓C的另一個(gè)

交點(diǎn)為Q，過P作BQ的垂線，垂足為M,在x軸上是否存在定點(diǎn)N,使得|MN|為

定值，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.（2021.山西省太原市.模擬題）在平面直角坐標(biāo)系xO），中，曲線C的參數(shù)方程為

_2低

{“一把（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直

線/的極坐標(biāo)方程為pcos（。+彳）=

（I）求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

（口）已知點(diǎn)A在曲線C上，且點(diǎn)A到直線/的距離為孝，求點(diǎn)A的直角坐標(biāo).

23.(2021?全國(guó)?模擬題)已知函數(shù)/'(x)=|x+m2|+\2x-m\(m>0).

(I)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求不等式/'(x)<6的解集；

(11)若/。)的最小值為|,月.a+b=m(a>0,b>0),求證：Va+2VF<V5.

第6頁(yè)，共20頁(yè)

答案和解析

1.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】共飄復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

【解析】

【分析】

本題是基礎(chǔ)題，考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，考查計(jì)算能力，?？?/p>

題型.

復(fù)數(shù)分子、分母同乘分母的共拆復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為。+加(。,匕6/?)的形式，即可得到選項(xiàng).

【解答】

解：復(fù)數(shù)2=a=需言=1+。

所以它的共朝復(fù)數(shù)為1-i,

故選A.

2.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【解析】解：A={X|X(X-1)=0}={0,1},F={X||X|=1}={1,-1},

則4CB={1}.

故選：D.

分別求出4,B,然后結(jié)合集合交集運(yùn)算即可求解.

本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

【解析】解：根據(jù)題意，從7個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到5個(gè)有

效評(píng)分.

5個(gè)有效評(píng)分與7個(gè)原始評(píng)分相比，不變的中位數(shù)，

故選：A.

根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的定義，分析可得答案.

本題考查數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式

【解析】解：由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)之和,

根據(jù)題意，接下來的一段圓弧所在圓的半徑r=5+8=13,

對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)］=2〃x13x：=等，

故選：C.

根據(jù)題意，分析要求所對(duì)應(yīng)的扇形的弧，所在圓的半徑，由弧長(zhǎng)公式可得答案.

本題主要考查了斐波那契數(shù)的規(guī)律，扇形的弧長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【解析】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛即｝中，有a2a4=說，

則有a2a4=al=2a3-1，解可得=1，

又由則=送，解可得。5=4，

故選：B.

根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a4=說=2。3-1，解可得的值，結(jié)合等比中項(xiàng)

的性質(zhì)可得。逆5=說，變形可得答案.

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)及幾何意義

【解析】解：???點(diǎn)尸到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,

???^+m=3,點(diǎn)P(m,ani)(m*0)是拋物線/=2Px(p>0)上一點(diǎn)，

可得27n2=2pm,

解得p=2.

故選：B.

點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,把點(diǎn)尸代入拋物線方程，解出p即可.

本題考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔

題.

第8頁(yè)，共20頁(yè)

7.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的解析式

【解析】解：根據(jù)題意，由函數(shù)y=〃x)的圖象，其定義域?yàn)閧x|xH0},/(%)為奇函數(shù)，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,/。)=總大有靖一er。。，即XO0,其定義域?yàn)閧x|x羊0},

且八一嗎=一片7=一/。)，函數(shù)〃%)為奇函數(shù)，符合題意，

對(duì)于B,〃>)=普充有eX-er#0,即x00,其定義域?yàn)閧x|x力0},

有/'(一%)=卷黑=/(為，函數(shù)f。)為偶函數(shù)，不符合題意，

對(duì)于C,等j,恒成立，其定義域?yàn)榉膊环项}意，

對(duì)于。，/(X)=ex+e—w。恒成立，其定義域?yàn)镵,不符合題意，

故選：A.

根據(jù)題意，由函數(shù)y=/(x)的圖象，分析f(x)的定義域以及奇偶性，據(jù)此分析選項(xiàng)中函

數(shù)的奇偶性和定義域，即可得答案.

本題考查函數(shù)圖象的分析，涉及函數(shù)奇偶性、函數(shù)值符號(hào)的分析，

8.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】解：函數(shù)/(x)=a2x3—x的導(dǎo)數(shù)為尸(x)=3a2x2-1,

可得在點(diǎn)(l,f(l))處的切線的斜率為k=3a2-1,

由切線經(jīng)過點(diǎn)(2,6),可得3a2-1=今滬，

解得a=+V2.

故選：D.

求得“X)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得a的值.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，以及兩點(diǎn)的斜率公式,考查方程思想和運(yùn)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】圓方程的綜合應(yīng)用

【解析】解：圓A/的圓心M(a,b),半徑r=V5，則△MAB為邊長(zhǎng)為國(guó)的等邊三角形,

①：???利?麗=|兩|?|麗|?cos60。=V3xV3x1=|..--A正確，

(2)：???OA=OB=1,AB=V3.△04B的高/i=$

c1、/1、/■遮cV3,B、23V3

A^LABO=2X2X=7，IS^MAB=丁X(v3)=，

S四邊形OAMB=f+學(xué)=后，8正確，

③：由②知S板/04MB=；xOMx4B,r.0M=等=2，

即迎2+12=2，a2+b2=4,V2(a2+b2)>(a+b)2,(a+b)2<8,

-2V2<a+b<2V2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，二a4-b的最小值為一2a,：C錯(cuò)誤，

④：由③得，a2+62=4>2ab,?-ab<2,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，.：ab的最大值為2,.?.￡)正確.

故選：C.

利用AMAB為邊長(zhǎng)為次的等邊三角形判斷A,利用三角形的面積公式判斷B,利用相交

兩圓的性質(zhì)和基本不等式判斷C,D.

本題考查圓與圓的位置關(guān)系，三角形的面積公式，基本不等式定理的應(yīng)用，屬于中檔題

10.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】正余弦定理在解三角形計(jì)算中的綜合應(yīng)用

【解析】解：建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)BC=m,BA=n,且m>0,n>0,

由G是心△ABC的重心，得

所以前=?,?加=(表一算

因?yàn)锳G1BG,所以布.蔗=聯(lián)等=0,

解得?n=V2n,

第10頁(yè)，共20頁(yè)

又4C=(m,—ri)，

所以coszTlCB=7Tw2=嚕=當(dāng)，

V7n2+n2v2?P+n263

故選：B.

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，再求角的余弦值.

本題考查了三角形的重心性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了直角三角形的邊角關(guān)系應(yīng)用問題,

是基礎(chǔ)題.

11.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積和體積

【解析】解：BCLCD,BC=CD,BD=2V3.

■1?BC=CD-=V6>

又AB=AD=2V5，

二要使三棱錐A-BCD的體積最大，則AC，平面BCD或平面ABO_L平面BCD,

當(dāng)4c1平面BCD時(shí)，三棱錐4-BCD的高為「加一BC?=^12-6=瓜,

當(dāng)平面4BD，平面BCD時(shí)，三棱錐4-BCD的高為J(2V3)2-(V3)2=3.

故當(dāng)平面/BD，平面BCD時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大，

如圖,

設(shè)AABO的外心為0,則。到8、C、。的距離相等，即。為三棱錐力一BCD的外接球

的球心，

可得外接球半徑R=0A=|J(2V3)2-(V3)2=2.

;其外接球的表面積為47rx22=167r.

故選：C.

由已知可得要使三棱錐A-BCD的體積最大,則4C1平面BCD或平面4BD，平面BCD,

進(jìn)一步分析可得，當(dāng)平面4B0J■平面8CD時(shí)，三棱錐4-BC0的體積最大，求解三角

形可得三棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案.

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

12.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)及幾何意義

【解析】解：由題意，雙曲線胃―，=1(&>0/>0)的兩條漸近線方程為丫=±5%,

聯(lián)立片(?b

解得做湛,言),

1%—2y+n=0

聯(lián)立(片一產(chǎn)b

解得B(—T),

lx-2y+n=0%+2ba+2/

AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為E(3，卷),

-2b2n

???|P*=|PB|,PE與直線％—2、+71=0垂直，即節(jié)謔

a^-n

整理得2a2=3從，又爐=c2-a2,解得e=工=小.

a3

故選：c.

分別聯(lián)立雙曲線的兩條漸近線方程與已知直線方程求得A、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公

式求得AB中點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合|P*=|P8|,由PE所在直線斜率與已知直線斜率的關(guān)

系列式求解.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

13.【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積

【解析】解：|方|=|石|=1，|a+K|=V31

???(a+b)2=l+l+2a-h=3>

???2a-b=1>

/.|a-K|=J(a-b)2=VI+1-1=1-

故答案為：1.

根據(jù)條件對(duì)|方+石|=舊兩邊平方即可求出2五=1，然后根據(jù)|日_方|=J(a-b)2

即可求出答案.

本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，單位向量的定義，向量長(zhǎng)度的求法，考查了計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

第12頁(yè)，共20頁(yè)

14.【答案】%

9

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式及其應(yīng)用

【解析】解：,?*sina+cosa=%二平方可得14-2sinacosa=14-sin2a=費(fèi)，

.c7

**?SITL2.CC=—，

9

故答案為：g.

由題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角的正弦公式，計(jì)算求得結(jié)果.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積

【解析】解：?.?麗?西2成?布恒成立，

二2%4-my>2,""(％)/)在'—=，nx上，

:2%+m仇x-220恒成立，設(shè)f(x)=2x+m/nx-2,(x>0),

①當(dāng)mN0時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，/(I)=0,.,.當(dāng)0cx<1時(shí)，/(%)<0,不合題意，

②當(dāng)m<0時(shí)，f(x)=2+^=

當(dāng)x>―三時(shí)，f(x)>0,當(dāng)0<m<一￡時(shí)，/(%)<0,

?1?f(.x)min=/(-y)=-2-m+m/n(-y)>0,

即-1-A+In(-1)<0,

令=.1一+ln(-y),則丁⑺)=煮+'=鬻，

當(dāng)—2<m<0時(shí)，g'(jn)>0,當(dāng)m>—2時(shí)，g'(m)<0,

???g(m)>5(-2)=0.Xvg(jrC)<0,?1.g(m)—0.m=-2.

故答案為：-2.

先把麗?麗2瓦？?麗恒成立，轉(zhuǎn)化為2x+m)％-2之0恒成立，再分類討論〃?的值

即可.

考查向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，考查恒成立問題，分類討論方法的應(yīng)用為解題的關(guān)鍵，屬

于中檔題.

16.【答案】擊3)

4

【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直的判定、利用空間向量求點(diǎn)、線、面之間的距離

【解析】解：設(shè)4G=x,DE=y,

因?yàn)镋為8上的動(dòng)點(diǎn)，平面P4BJ?平面ABC,

因?yàn)镻G_LAB,PGu平面PAB,A8為平面PA8與平面

的交線，

所以PG1平面A8CD,

所以PG14G,在△PAG中，PA=3,AG=X,

所以PG?=2/一心=9-7,①

因?yàn)镋G?=9+(y—％)2,PE=y,

△PGE中，PG2=PE2-EG2=y2-9-(y-x)2,②

聯(lián)立①②可得9-x2=y2-9-(y-x)2,

即x=

y

因?yàn)?<yW4,所以：Wx<3.

故AG的范圍是日,3).

故答案為：巳3).

設(shè)AG=x,DE=y,推得3<y<4,由面面垂直的性質(zhì)定理，可得PG_L平面A8C。,

運(yùn)用勾股定理，求得x,)，的關(guān)系式，即可得到所求范圍.

本題考查面面垂直的性質(zhì)定理和勾股定理的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

17.【答案】解：(I)在AABO中，△4B0的面積S=警=148?AD3也4⑶?1。，

所以4。=1+75，

由正弦定理可得B￡>2=AB2+AD2-2AB-AD-cos^BAD=3,

所以8。=V3.

(H)由(I)可得BD=百，設(shè)4BOC=a,(0<a<60°),

由4BC。=120°,利用正弦定理可得更=—^―==2,

sinasm(60o-a)sznl20。

所以BC+CD=2[sina+sin(60°—a)]=2sin(a+60°),

因?yàn)?<a<60°,所以曰<Sin(a+60°)<1，

第14頁(yè)，共20頁(yè)

所以百<BC+CO<2,

所以BC+CD的取值范圍為(百,2］.

【知識(shí)點(diǎn)】正余弦定理在解三角形計(jì)算中的綜合應(yīng)用、余弦定理、正弦定理

【解析】(I)在AaBD中，由已知利用三角形的面積公式可求A。的值，由正弦定理即

可求解的值.

(II)設(shè)NBDC=a,(0<a<60°),由NBCO=120。，利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變

換的應(yīng)用可求BC+CD=2s譏(a+60。)，結(jié)合范圍0<a<60。，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)

即可求解其取值范圍.

本題主要考查了三角形的面積公式，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)

在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)由頻率分布直方圖得該樣本中垃圾量為：

［4,6),［6,8),［8,10),［10,12),［12,14),口4,16),口6,18)的頻率分別為0.08,0.1,0.2,

0.24,0.18,0.12,0.08,

.??估計(jì)當(dāng)天這50個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值為：

x=5x0.08+7x0.10+9x0.20+11x0.24+13x0.18+15x0.12+17x0.08=

11.04?11.

(II)由(I)得該樣本中“超標(biāo)”社區(qū)的頻率為0.12+0.08=0.2,

??.這200個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的概率為0.2,

???這200個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)為200X0.2=40.

(五)由題意得樣本中“超標(biāo)”社區(qū)共有50X(0.12+0.08)=10個(gè)，

其中垃圾量為［14,16)的社區(qū)有50x0.12=6個(gè)，

垃圾量為［16,18)的社區(qū)有50x0.08=4個(gè)，

按垃圾量用分層抽樣抽取的5個(gè)社區(qū)中，垃圾量為［14,16)的社區(qū)有3個(gè)，分別記為a,

b,c,

按垃圾量為［16,18)的社區(qū)有2個(gè)，分別記為d,e,

從中選取2個(gè)基本事件為：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10個(gè),

其中所求事件“至少有1個(gè)垃圾量為［16,18］的社區(qū)”為：

(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共7個(gè)，

重點(diǎn)監(jiān)控社區(qū)中至少有1個(gè)垃圾量為［16,18］的社區(qū)的概率為：

7

p0.7.

10

【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖、基本事件

【解析】（I）由頻率分布直方圖能估計(jì)當(dāng)天這50個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值.

（口）由頻率分布直方圖求出該樣本中“超標(biāo)”社區(qū)的頻率，由此能求出這200個(gè)“超標(biāo)”

社區(qū)的個(gè)數(shù).

（皿）先求出樣本中“超標(biāo)”社區(qū)共有10個(gè)，其中垃圾量為口4,16）的社區(qū)有6個(gè)，垃圾

量為［16,18）的社區(qū)有4個(gè)，按垃圾量用分層抽樣抽取的5個(gè)社區(qū)中，垃圾量為［14,16）的

社區(qū)有3個(gè)，分別記為小b,c,按垃圾量為［16,18）的社區(qū)有2個(gè)，分別記為d,e,從

中選取2個(gè)，利用列舉法能求出重點(diǎn)監(jiān)控社區(qū)中至少有1個(gè)垃圾量為［16,18］的社區(qū)的概

率.

本題考查平均數(shù)、頻數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖、分層抽樣、古典概型、列

舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：（I）證明：設(shè)點(diǎn)G、H分別是CC,

CB的中點(diǎn)，

連接EG,FH,GH,則GH〃。從S.DB=2GH,

因?yàn)镋F〃08,5.DB=2EF,

所以EF//GH,且EF=GH,

所以EFGH是平行四邊形，可得FH〃EG,

因?yàn)镃E=DE,所以EG1CD,

因?yàn)槠矫鍯DE，平面ABCD,所以EG_L平面ABCD,

所以，平面ABQ）,

因?yàn)镕Hu平面BCF,

所以平面BCF_L平面ABCD；

（11）連接86,由（I）可得EG1平面ABC。，

因?yàn)橹本€8E與平面A8C。所成角為45。，

所以4EBG=45。，所以BG=EG,

設(shè)4CCBD=0,

連接OE,可得OEFB是平行四邊形，所以O(shè)E〃BF,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，且NBAD=60。，

所以三角形4BO和三角形BC。都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

所以BG=遮，

第16頁(yè)，共20頁(yè)

所以以-CEF=^F-ACE—^B-ACE~^E-ABC=5s△力BC,EG

=|SABCD-EG=|X^X4XV3=1.

【知識(shí)點(diǎn)】圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積、面面垂直的判定

【解析】(I)設(shè)點(diǎn)G、H分別是CD,CB的中點(diǎn)，運(yùn)用三角形的中位線定理和平行四邊

形的判斷和性質(zhì)，推得FH〃EG,由面面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得證；

(II)連接BG,由線面角的定義，推得4EBG=45。，再由等積法，結(jié)合三棱錐的體積公

式，即可得到所求值.

本題考查空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系，以及直線和平面所成角的求法，考查轉(zhuǎn)

化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題.

20.【答案】(I)證明：當(dāng)a=1時(shí)，令h(x)=/(x)-g(x)=%+1-sinx-cosx,xER,

則h'(x)=1—cosx+sinx,

當(dāng)0<%<g時(shí)，h'(x')=1-cosx+sinx>0,

所以/i(x)在［0,J)上單調(diào)遞增，所以h(x)2八(0)=0,所以f(x)2g(x)，

當(dāng)x2即寸，h(x)=x+1-V2sin(x+^)>^+l-V2>0,所以/'(x)2g(x).

綜上所述，當(dāng)a=l時(shí)，不等式/(x)Zg(x)在［0,+8)上恒成立.

(U)令t(x)=/(%)-g(x)=ax+1—sinx—cosx,x>

貝！］t'(x)=a-cosx+sinx,

(1)當(dāng)x>。時(shí)，由題意得t(x)>0在［0,+8)上恒成立，

因?yàn)閠(0)=0,所以t'(0)=a-120,所以a21,

當(dāng)a>1時(shí)，由(I)得土。)=ax+1—sinx-cosx>x+1-sinx-cosx>0,

所以當(dāng)t>0在［0,+8)上恒成立時(shí)a>1；

(2)當(dāng)一?Wx<0時(shí)，由題意得t(x)>0在［一90)上恒成立，

因?yàn)閠(0)=0,所以F(0)=a—l40,所以a〈l,

當(dāng)a<1時(shí)，t(x)=ax+1—sinx—cosx>x+1—sinx—cosx,

由(I)得〃(%)=1—cosx+sinx=1+V2sin(x—^)<0,

所以/i(x)在［一50)上單調(diào)遞減，所以八(x)2/i(0)=0,所以t(x)20,

所以當(dāng)t(x)>0在［一90)上恒成立時(shí)a<1.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值集合為{1}.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的最值

【解析】(I)令九。)=f(x)-9(￡)，對(duì)Mx)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出h(x)>0,即可得證;

(11)令/:(刀)=/(%)-9(乂)，對(duì)t(x)求導(dǎo)，分x20,和一：Wx<0兩種情況求出a的取

值范圍，最后取交集即可求得實(shí)數(shù)〃取值的集合.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，不等式恒成立問題，考查分類討論思想與運(yùn)算

求解能力，屬于難題.

,yo_i

岫8=,2——~~

+a-a4

33

21.【答案】解：(1)設(shè)。(|,丫0),由題意得，|x2ax=4V2

3

上+窈=1

19a2丁施工

...[b23*=1

口?=4’

橢圓C的方程為彳+y2=1-

(n)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M設(shè)直線PM與x軸相交于點(diǎn)7(a,0)，由題意得7P_LBQ,

設(shè)直線AP的方程為：x=my-2,點(diǎn)Q(%,yi),

x=my—2

{M+y2_］得：(M?+4)y2—4my=0,

???yi=艱￡或?yàn)?。(舍去),

_2m2-8

J=~^9

.c,2m2.84m、

,〃(m2+4，源+4卜

28

,**一=mt—o2,?*?At=—,

33m

38

飛哥)

x

???TP_LBQ,--TP?BQ=(|—x0)(i-2)+ty1=0,

2八

2,ty12,84mm+4

???x0=-+=一+-----；2------=0,

u3xx-233mm+4-16

二直線PM過定點(diǎn)7(0,0),

取OB的中點(diǎn)N(l,0),由OM1BM可知△MOB為直角三角形,

\MN\=1\OB\=1,

第18頁(yè)，共20頁(yè)

.??存在定點(diǎn)N(1,O),使得|MN|=1.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系

【解析】（I）設(shè)。（|,%），根據(jù)題意列出關(guān)于“，h,c的方程組，解出a,b,c的值，得

到橢圓C的方程.

（口）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)N,設(shè)直線PM與x軸相交于點(diǎn)7（均,0），由題意得TP1BQ,設(shè)

直線4尸的方程為：x=my-2,與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，聯(lián)立直線x=