函數(shù)的極值,最大值與最小值

節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值一、函數(shù)的極值及其求法二、最大值最小值問題2021/5/91一、函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,如果對于該鄰域內(nèi)任何異于x0的x都有極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).(1)成立,則稱為f(x)的極大值,稱為f(x)的極大值點(diǎn)；(2)成立,則稱為f(x)的極小值,稱為f(x)的極小值點(diǎn)；1.極值的定義2021/5/92注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn)上.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).2021/5/932.極值存在的必要條件定理1

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么f

(x0)

0.證明:以f(x0)是極大值來證明.因?yàn)閒(x0)是極大值,故在x0的某鄰域內(nèi),對任意的都有所以,當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),所以2021/5/94

使導(dǎo)數(shù)f

(x)為零的點(diǎn)(方程f

(x)

0的實(shí)根)稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).

思考:

極值點(diǎn)是否一定是駐點(diǎn)?駐點(diǎn)是否一定是極值點(diǎn)?2021/5/953.極值的判別法定理2(第一充分條件)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù),且在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點(diǎn)x0可除外).如果在該鄰域內(nèi)

如果f(x)在x0的兩側(cè)保持相同符號,則x0不是f(x)的極值點(diǎn).2021/5/96因此可知x0為f(x)的極大值點(diǎn).同理可說明情形(2).說明:對于情形(1)，由判別定理可知,當(dāng)時(shí),f(x)單調(diào)增加,當(dāng)時(shí),f(x)單調(diào)減少,2021/5/97的符號,依定理判定xi是否為f(x)的判定函數(shù)極值一般步驟(3)判定每個駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)兩側(cè)(在xi

較小的鄰域內(nèi))極值點(diǎn).2021/5/98可知x=0為y的極小值點(diǎn),極小值為0.例1.所給的函數(shù)定義域?yàn)榻?非極值極小0+0+0–y1(0,1)0x2021/5/99例2.(1)f(x)在(

)內(nèi)連續(xù)

除x

1外處解:(3)列表判斷x

1為不可導(dǎo)點(diǎn)

得駐點(diǎn)x

1

(2)令f

(x)

0

可導(dǎo)

且(

1)

1(

1

1)1(1

)

不可導(dǎo)

0

xf

(x)f(x)↗0↘↗2021/5/910定理3

(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù),且則證:(1)存在x0的某鄰域,使由判別法1知同理證(2).2021/5/911說明:當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求,且駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)時(shí),利用判定極值的第二充分條件判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)比較方便.但當(dāng)f

(x0)

0時(shí)

只能用方法1判斷.2021/5/912例3.

求函數(shù)f(x)

(x2

1)3

1的極值

解:f

(x)

6x(x2

1)2

令f

(x)

0

求得駐點(diǎn)x1

1

x2

0

x3

1

f

(x)

6(x2

1)(5x2

1)

因?yàn)閒

(0)

6

0

所以f(x)在x

0處取得極

小值

極小值為f(0)

0

無法用定理3-8判別

在

1的左右鄰域內(nèi)f

(x)

0

所以f(x)在

1處沒有極值

同理,

f(x)在1處也沒極值

因?yàn)閒

(

1)

f

(1)

0

2021/5/913二、最大值最小值問題

怎樣求函數(shù)的最大值和最小值?x1x2x3x4x5Mm觀察與思考：觀察下面的函數(shù)在哪些點(diǎn)有可能成為最大值或最小值點(diǎn)?2021/5/914

其最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中的最小者

極值與最值的關(guān)系:x1x2x3x4x5Mm

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間端點(diǎn)及區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)處取得.

函數(shù)在閉區(qū)間[a

b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中的最大者;2021/5/915最大值和最小值的求法:(1)求出函數(shù)f(x)在(a

b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)設(shè)這些點(diǎn)為x1

x2

xn;

(2)計(jì)算函數(shù)值

f(a)

f(x1)

f(xn)

f(b);x1x2x3x4x5Mm(3)判斷:最大者是函數(shù)f(x)在[a

b]上的最大值

最小者是函數(shù)f(x)在[a

b]上的最小值

2021/5/916例4.

求在上的最大值與最小值.解:令得駐點(diǎn)因?yàn)樗?021/5/917

例5.

工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km

A點(diǎn)到火車站B的距離為100km

欲修一條從工廠到鐵路的公路CD

已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5

為使火車站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省

問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？DC20kmAB100km解:x

設(shè)AD

x(km)

y

5k

CD

3k

DB(k是某個正數(shù))

B與C間的運(yùn)費(fèi)為y

則DB=100

x

即)100(340052xkxky-++=(0￡x￡100).

2021/5/918其中以y|x

15

380k為最小

因此當(dāng)AD

15km時(shí)

運(yùn)費(fèi)最省

由于y|x

0

400k

y|x

15

380k

2021/5/919解:

設(shè)觀察者與墻的距離為x(m),則令得駐點(diǎn)根據(jù)問題的實(shí)際意義,觀察者最佳站位存在,駐點(diǎn)又唯一,因此他站在距墻2.4m

處看圖最清楚.例6.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于觀察者的眼睛1.8m,問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最清楚(視角

最大)?2021/5/920特殊情況下的最大值與最小值:

若f(x)在一區(qū)間(有限或無限

開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且有且只有一個駐點(diǎn)x0

則：當(dāng)f(x0)是極大值時(shí)

f(x0)就是f(x