數(shù)學(xué)高中人教A版必修3學(xué)案2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征第2課時(shí)Word版含解析

第二章統(tǒng)計(jì)2.2用樣本估計(jì)總體2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(第2課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差;能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差),并作出合理的解釋;會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征,形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí).合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境問題1:平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時(shí)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷.如某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)報(bào)表顯示,此地區(qū)的生的平均身高為176cm,給我們的印象是該地區(qū)的生生長發(fā)育好,身高較高.但是,如果這個(gè)平均數(shù)是從五十萬名生中抽出的五十名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來的話,那么,這個(gè)平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有生的身高.因此,只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài).我們應(yīng)該引入什么樣的概念才能解決這個(gè)問題呢?問題2:(1)有甲、乙兩種鋼筋,現(xiàn)從中各抽取一個(gè)樣本(如下表)檢查它們的抗拉強(qiáng)度(單位:kg/mm2),通過計(jì)算發(fā)現(xiàn),兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125.甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145哪種鋼筋的質(zhì)量較好?(2)某種子公司為了在當(dāng)?shù)赝菩袃煞N新水稻品種,對(duì)甲、乙兩種水稻進(jìn)行了連續(xù)7年的種植對(duì)比實(shí)驗(yàn),年畝產(chǎn)量分別如下:(千克)甲:600,880,880,620,960,570,900(平均773)乙:800,860,850,750,750,800,700(平均787)請(qǐng)你用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí),說明選擇哪種品種推廣更好?(3)全面建設(shè)小康社會(huì)是我們黨和政府的工作重心,某市按當(dāng)?shù)匚飪r(jià)水平計(jì)算,人均年收入達(dá)到1.5萬元的家庭即達(dá)到小康生活水平.民政局對(duì)該市100戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),他們的人均收入達(dá)到了1.6萬元,民政局即宣布該市生活水平已達(dá)到小康水平,你認(rèn)為這樣的結(jié)論是否符合實(shí)際?(4)如何考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小呢?把數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來,是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度?二、信息交流,揭示規(guī)律討論結(jié)果:標(biāo)準(zhǔn)差:方差:三、運(yùn)用規(guī)律,解決問題【例題】甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的一種零件.為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位:mm):甲25.4625.3225.4525.3925.3625.3425.4225.4525.3825.4225.3925.4325.3925.4025.4425.4025.4225.3525.4125.39乙25.4025.4325.4425.4825.4825.4725.4925.4925.3625.3425.3325.4325.4325.3225.4725.3125.3225.3225.3225.48從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看,誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高?四、變式訓(xùn)練,深化提高某地區(qū)全體九年級(jí)的3000名學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)試,為了估計(jì)學(xué)生的成績,從不同的不同程度的學(xué)生中抽取了100名學(xué)生的成績?nèi)缦?100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該地區(qū)3000名學(xué)生的平均分、合格率(60及60分以上均屬合格).五、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉請(qǐng)同學(xué)們想一想1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些知識(shí)內(nèi)容?2.你認(rèn)為學(xué)習(xí)這些有什么意義?布置作業(yè)課本P82習(xí)題2.2A組第6,7題.課后鞏固:1.在一次歌手大獎(jiǎng)賽上,七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為.

2.若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是.

3.在相同條件下對(duì)自行車運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下:甲273830373531乙332938342836試判斷選誰參加某項(xiàng)重大比賽更合適?4.某養(yǎng)魚專業(yè)戶在一個(gè)養(yǎng)魚池放入一批魚苗,一年以后準(zhǔn)備出售,為了在出售以前估計(jì)賣掉魚后有多少收入,這個(gè)專業(yè)戶已經(jīng)了解到市場(chǎng)的銷售價(jià)是每千克15元,請(qǐng)問,這個(gè)專業(yè)戶還應(yīng)該了解什么?怎樣去了解?請(qǐng)你為他設(shè)計(jì)一個(gè)方案.參考答案一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境問題1:標(biāo)準(zhǔn)差,方差二、信息交流,揭示規(guī)律問題2:討論結(jié)果:(1)由上圖可以看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定.我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差.由上圖可以看出,乙的極差較大,數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散;甲的極差小,數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中,這說明甲比乙穩(wěn)定.運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,操作簡(jiǎn)單方便,但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí),就不容易得出結(jié)論.(2)選擇的依據(jù)應(yīng)該是,產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn),所以選擇乙更為合理.(3)不符合實(shí)際.樣本太小,沒有代表性.若樣本里有個(gè)別高收入者與多數(shù)低收入者差別太大.在統(tǒng)計(jì)學(xué)里,對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析,需要結(jié)合實(shí)際,側(cè)重于考察總體的相關(guān)數(shù)據(jù)特征.比如,市民平均收入問題,都是考察數(shù)據(jù)的分散程度.(4)把問題(2)中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來.我們可以很直觀地知道,乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近,即乙的分散程度小,如何用數(shù)字去刻畫這種分散程度呢?考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差:考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示.所謂“平均距離”,其含義可作如下理解:假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn,x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).xi到x的距離是|xi-x|(i=1,2,…,n).于是,樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn到x的“平均距離”是s=|x由于上式含有絕對(duì)值,運(yùn)算不太方便,因此,通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差:s=1n意義:標(biāo)準(zhǔn)差用來表示穩(wěn)定性,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大,也就越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度就越小,也就越穩(wěn)定.從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出,標(biāo)準(zhǔn)差s≥0,當(dāng)s=0時(shí),意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù).標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如,在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)x=1.973,標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868,所以x+s=2.841,x+2s=3.709;x-s=1.105,x-2s=0.237.這100個(gè)數(shù)據(jù)中,在區(qū)間[x-2s,x+2s]=[0.237,3.709]外的只有4個(gè),也就是說,[x-2s,x+2s]幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù).從數(shù)學(xué)的角度考慮,人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2——方差來代替標(biāo)準(zhǔn)差,作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具:s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]顯然,在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上,方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.需要指出的是,現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的.如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢?通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.三、運(yùn)用規(guī)律,解決問題【例題】分析:每一個(gè)工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個(gè)總體.由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出(內(nèi)徑25.40mm),生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)角度來衡量.總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25.40mm的差異大時(shí)質(zhì)量低,差異小時(shí)質(zhì)量高;當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時(shí),總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時(shí)候質(zhì)量高,標(biāo)準(zhǔn)差大的時(shí)候質(zhì)量低.這樣,比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量,只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可.但是,這兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的,根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想,我們可以通過抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù),然后比較這兩個(gè)樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差,以此作為兩個(gè)總體之間差異的估計(jì)值.解:用計(jì)算器計(jì)算可得x甲≈25.401,x乙≈25.s甲≈0.037,s乙≈0.068.從樣本平均數(shù)看,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40mm),但是差異很小;從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看,由于s甲<s乙,因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的穩(wěn)定程度高得多.于是,可以作出判斷,甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些.四、變式訓(xùn)練,深化提高解:運(yùn)用計(jì)算器計(jì)算得:100×12+90×30+80×18+70×24+60×12+50×4100=79.40(12+30+18+24+12)÷100=96%,所以樣本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此估計(jì)總體3000名學(xué)生的平均分是79.40分,合格率是96%.五、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征分兩類:(1)用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù),平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表一組數(shù)據(jù)的平均水平.(2)用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差.樣本容量越大,估計(jì)就越精確,標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小,反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度.2.用樣本估計(jì)總體的兩個(gè)手段(用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布;用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征),需要從總體中抽取一個(gè)質(zhì)量較高的樣本,才不會(huì)產(chǎn)生較大的估計(jì)偏差,且樣本容量越大,估計(jì)的結(jié)果也就越精確.課后鞏固