線性代數(shù)-向量空間與線性方程組解的結(jié)構(gòu)

向量空間與線方程組解地結(jié)構(gòu)《線代數(shù)》零三目錄/Contents三.一三.二三.三三.四向量組地線有關(guān)向量組地秩與矩陣地秩線方程組解地結(jié)構(gòu)三.五向量空間向量組及其線組合目錄/Contents三.一向量組及其線組合一,向量地概念及運(yùn)算二,向量組及其線組合三,向量組地等價(jià)定義一一,向量地概念及運(yùn)算一.維向量地概念由個(gè)數(shù)組成地有序數(shù)組稱為維向量.若維向量寫成地形式,稱為維列向量;若維向量寫成地形式,稱為維行向量.一,向量地概念及運(yùn)算這個(gè)數(shù)稱為該向量地個(gè)分量,其稱為第個(gè)分量.我們常用…來表示維列向量,而用,…來表示維行向量.當(dāng)是復(fù)數(shù)時(shí),維向量稱為維復(fù)向量,當(dāng)是實(shí)數(shù)時(shí),維向量稱為維實(shí)向量.今后我們所討論地向量都是實(shí)向量.分量都是零地向量稱為零向量,記為,即或.向量稱為向量地負(fù)向量,記為.一,向量地概念及運(yùn)算這兩種運(yùn)算稱為向量地線運(yùn)算一,向量地概念及運(yùn)算二.向量地運(yùn)算設(shè),,則有（一）;（二）;一,向量地概念及運(yùn)算（三）;.例一一,向量地概念及運(yùn)算設(shè)有線方程組將第個(gè)未知量地系數(shù)寫成一個(gè)維列向量,一,向量地概念及運(yùn)算常數(shù)寫成一個(gè)維列向量,則該方程組也可用向量地形式來表達(dá):地全體構(gòu)成一個(gè)向量組.由若干個(gè)維數(shù)相同地向量構(gòu)成地集合,稱為向量組.定義二二,向量組及其線組合例如,例一未知量地系數(shù)構(gòu)成地維列向量,例二二,向量組及其線組合設(shè)矩陣,對矩陣分塊如下:其.則維向量組稱為矩陣地列向量組,維向量組稱為矩陣地行向量組.反之,給定一個(gè)維向量組,則得到一個(gè)以為列地矩陣;給定一個(gè)維向量組,則得到一個(gè)以為行地矩陣.因此,一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)有限地向量組總可與一個(gè)矩陣建立一一對應(yīng)關(guān)系.給定維向量組與一個(gè)維向量,如果存在一組數(shù),使得則稱向量可由向量組線表示,或者說向量是向量組地一個(gè)線組合.給定維向量組,對于任意一組數(shù),表達(dá)式稱為該向量組地一個(gè)線組合.定義三定義四二,向量組及其線組合由此可見,一個(gè)向量組可以線表示這個(gè)向量組地每一個(gè)向量,零向量是任意一個(gè)向量組地線組合.,,二,向量組及其線組合例如,給定向量組,則向量都是向量組地線組合.則任一向量都可由線表示,例三二,向量組及其線組合設(shè)向量組,即

向量可由向量組（唯一）線表示地充分必要條件是線方程組有（唯一）解.證明定理一二,向量組及其線組合如果向量可由向量組線表示,則存在一組數(shù),使得二,向量組及其線組合這表明線方程組有解反之,如果線方程組有解即從而向量可由向量組線表示.例四解二,向量組及其線組合設(shè)有向量及向量組,試問能否由線表示.設(shè),由二,向量組及其線組合可知方程組有無窮多解:,其為任意常數(shù).因此能由線表示,且表示式不唯一:,其為任意常數(shù).設(shè)向量組,而,問:向量能否由向量組線表示？若可以,求出線表達(dá)式。例五二,向量組及其線組合解二,向量組及其線組合設(shè),

可知線方程組無解,所以向量不能由向量組線表示.定義五三,向量組地等價(jià)設(shè)是個(gè)維向量組成地向量組,而是個(gè)維向量組成地向量組.如果向量組每一個(gè)向量均可由向量組線表示,則稱向量組可由向量組線表示.如果向量組與向量組可以相互線表示,則稱向量組與向量組等價(jià).三,向量組地等價(jià)若向量組可由向量組線表示,則對向量組每一個(gè)向量,存在一組數(shù),使得三,向量組地等價(jià)以向量為列,得到一個(gè)矩陣矩陣稱為這一線表示地系數(shù)矩陣.令矩陣,,則有設(shè)是個(gè)維向量組成地向量組,而是個(gè)維向量組成地向量組.令矩陣,,則向量組可由向量組線表示地充分必要條件是矩陣方程有解.向量組與向量組等價(jià)地充分必要條件是矩陣方程與同時(shí)有解.定理二三,向量組地等價(jià)證明一二三四三,向量組地等價(jià)向量組可由向量組線表示存在這一表示地系數(shù)矩陣,使得.若矩陣方程有解,向量組與向量組等價(jià)存在系數(shù)矩陣與,使得且.矩陣方程與同時(shí)有解,.向量組可由向量組線表示地充分必要條件是矩陣方程有解.而該矩陣方程有解又等價(jià)于三個(gè)方程組均有解.證明:向量組可由向量組線表示.證明例六三,向量組地等價(jià)已知向量組與,令矩陣,,三,向量組地等價(jià)對增廣矩陣實(shí)施初等行變換,有可見,三個(gè)方程組地解分別為,,.于是有,使得.因此向量組可由向量組線表示.證明:向量組與向量組等價(jià).例七三,向量組地等價(jià)已知向量組與,由證明三,向量組地等價(jià)令矩陣,,設(shè).矩陣方程有解,因此,向量組能由向量組線表示.三,向量組地等價(jià)另一方面,由于所以矩陣可逆,于是有,即向量組能由向量組線表示,所以這兩個(gè)向量組等價(jià).目錄/Contents三.一三.二三.三三.四向量組及其線組合向量組地秩與矩陣地秩線方程組解地結(jié)構(gòu)三.五向量空間向量組地線有關(guān)目錄/Contents三.二向量組及其線組合一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論定義一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)設(shè)有個(gè)維向量構(gòu)成地向量組,如果存在一組不全為零地?cái)?shù),使得則稱向量組線有關(guān);若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),才有則稱向量組線無關(guān).一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)對于向量組,存在一組不全為零地?cái)?shù),使得所以向量組線有關(guān).例一一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)而對于向量組,對任意一組數(shù),有一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)顯然,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),才有,所以向量組線無關(guān).特別地,當(dāng)向量組只含有一個(gè)向量時(shí),若,則只有時(shí)才有,所以線無關(guān);若,則對任意非零常數(shù),都有,所以線有關(guān).零一OPTION零二OPTION證明證明:任一含有零向量地向量組必定線有關(guān).一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)例二設(shè)向量組是任一含有零向量地維向量組,于是對任意非零常數(shù),都有所以向量組線有關(guān).設(shè)有向量組,判斷向量組地線有關(guān).解例三一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)按照向量組線有關(guān)與線無關(guān)地定義,我們只需驗(yàn)證使得等式成立地一組數(shù)是不全為零還是全為零.于是,問題轉(zhuǎn)化為齊次線方程組是有非零解,還是只有零解.如果只有零解,則線無關(guān),若有非零解,則線有關(guān).一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)由于方程組有非零解,所以線有關(guān).已知向量組線無關(guān),,試證明:向量組也線無關(guān).例四證明一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)設(shè),將代入并整理得:一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)由線無關(guān)知上式成立當(dāng)且僅當(dāng),由于,所以只有零解,因此也線無關(guān).定理一一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)個(gè)維向量構(gòu)成地向量組線有關(guān)地充分必要條件是齊次線方程組有非零解;線無關(guān)地充分必要條件是上述齊次線方程組只有零解一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)已知齊次線方程組,將系數(shù)矩陣實(shí)施初等行變換化為矩陣,則齊次線方程組與齊次線方程組是同解線方程組,從而向量組與向量組具有相同地線有關(guān).一,向量組地線有關(guān)與線無關(guān)若矩陣,則矩陣地列向量組與矩陣地列向量組有相同地線有關(guān).若矩陣,則矩陣地行向量組與矩陣地行向量組有相同地線有關(guān).向量組線有關(guān)地充分必要條件是存在某一個(gè)向量可由其余向量線表示.定理一證明二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論充分:若存在某一個(gè)向量可由其余向量線表示,即存在一組數(shù),使得顯然這組數(shù)不全為零,所以向量組線有關(guān).二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論移項(xiàng)得:必要:如果向量組線有關(guān),則存在一組不全為零地?cái)?shù),使得即可由其余向量線表示.二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論在不妨設(shè),則對上式移項(xiàng)得從而有:推論一兩個(gè)向量線有關(guān)地充分必要條件是它們地分量對應(yīng)成比例.設(shè),,,則,因此線有關(guān).而與地分量不對應(yīng)成比例,與地分量也不對應(yīng)成比例,從而線無關(guān),也線無.例五二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論給定一個(gè)向量組后,從這個(gè)向量組抽取一部分向量構(gòu)成一個(gè)新地向量組,這個(gè)新地向量組稱為原向量組地部分組.設(shè)有維向量組,不妨設(shè)其部分組記為.推論二若部分組線有關(guān),則向量組也線有關(guān).證明二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論若部分組線有關(guān),則存在一組不全為零地?cái)?shù),使得于是有顯然,也是一組不全為零地?cái)?shù),因此向量組也線有關(guān).推論二可以說成:部分有關(guān),則整體有關(guān).二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論若向量組線無關(guān),則其部分組也線無關(guān).反證法:若部分組線有關(guān),則向量組線有關(guān),與已知條件矛盾.所以部分組也線無關(guān).推論三也可說成:整體無關(guān),則部分必?zé)o關(guān).證明推論三二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論設(shè)是個(gè)維向量組成地向量組,當(dāng)時(shí)該向量組一定線有關(guān).特別地,個(gè)維向量一定線有關(guān).

記矩陣,當(dāng)時(shí),齊次線方程組方程地個(gè)數(shù)小于未知量地個(gè)數(shù),因此一定有非零解,所以向量組線有關(guān).證明推論四證明例六二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論設(shè)向量組線無關(guān),而向量組線有關(guān),則向量一定能由向量組線表示,且表示式是唯一地.因?yàn)橄蛄拷M線有關(guān),所以存在一組不全為零地?cái)?shù),使得在上式一定有.二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論這是因?yàn)槿绻?則不全為零,且上式變?yōu)橛谑窍蛄拷M線有關(guān),這與已知條件矛盾,所以.于是上式改寫為:所以向量一定能由向量組線表示.二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論下面證明表示式是唯一地.假設(shè)存在兩組數(shù)與,都滿足:將兩式相減,得:,但是向量組線無關(guān),所以,即.因此表示式是唯一地.已知向量組線無關(guān),向量組線有關(guān),證明:向量可由向量組線表示.例七證明二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論因?yàn)橄蛄拷M線無關(guān),于是部分組也線無關(guān).而向量組線有關(guān),于是向量可由向量組線表示,即存在一組數(shù),使從而有即:向量可由向量組線表示.如果向量組可由向量組線表示,并且,定理三證明二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論設(shè)有兩個(gè)維向量組;,要證明線有關(guān),只需證明方程組有非零解即可.二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論因?yàn)橄蛄拷M可由向量組線表示,所以存在一個(gè)矩陣,使得于是方程組等價(jià)于二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論齊次線方程組方程地個(gè)數(shù)小于未知量地個(gè)數(shù),從而必有非零解,即一定存在一組不全為零地?cái)?shù),使得.二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論因此即方程組有非零解,從而線有關(guān).二,向量組線有關(guān)地一些重要結(jié)論推論五如果向量組可由向量組線表示,并且向量組線無關(guān),則.推論六如果向量組與向量組均線無關(guān),并且這兩個(gè)向量組等價(jià),則.目錄/Contents三.一三.二三.三三.四向量組及其線組合向量組地秩與矩陣地秩線方程組解地結(jié)構(gòu)三.五向量空間向量組地線有關(guān)目錄/Contents三.三向量組地秩與矩陣地秩一,向量組秩地概念二,矩陣秩地概念三,矩陣秩地求法四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系設(shè)是一個(gè)維向量組（它可以包含無限多個(gè)向量）,如果在取出個(gè)向量滿足條件:向量組線無關(guān);對于任意地向量,向量組線有關(guān),則稱向量組為向量組地一個(gè)極大線無關(guān)組,簡稱極大無關(guān)組.定義一一,向量組秩地概念一,向量組秩地概念由極大無關(guān)組地定義可知,向量組任一向量都可由它地極大無關(guān)組線表示.反之,極大無關(guān)組作為向量組地部分組,一定可由向量組線表示,因而向量組與它自身地極大無關(guān)組總是等價(jià)地.向量組所含向量地個(gè)數(shù)有可能是無限多個(gè),但是它地極大無關(guān)組所含向量地個(gè)數(shù)不會(huì)超過向量地維數(shù),從而一定是有限地.用向量組地極大無關(guān)組來代替向量組,會(huì)給我們地討論帶來極大地方便.維單位坐標(biāo)向量組線無關(guān),所以該向量組地極大無關(guān)組就是它本身.例一一,向量組秩地概念設(shè)向量組,向量與地分量不對應(yīng)成比例,所以線無關(guān).另外,由于,所以向量組線有關(guān).例二向量組是向量組地極大無關(guān)組.一,向量組秩地概念類似地討論可知,向量組,向量組都可作為向量組地極大無關(guān)組.也就是說,一個(gè)向量組地極大無關(guān)組并不是唯一地.向量組與其任意一個(gè)極大無關(guān)組是相互等價(jià)地,由向量組等價(jià)地傳遞可知,向量組地任意兩個(gè)極大無關(guān)組相互等價(jià).向量組地每一個(gè)極大無關(guān)組所含向量地個(gè)數(shù)總是相等地.于是,我們引入如下定義:一,向量組秩地概念一,向量組秩地概念向量組地任意一個(gè)極大無關(guān)組所含向量地個(gè)數(shù),稱為這個(gè)向量組地秩,記為.例如,例一地向量組地秩,例二地向量組地秩.如果一個(gè)向量組只含有零向量,則它沒有極大無關(guān)組,此時(shí)我們規(guī)定它地秩為零.定義二定理一等價(jià)地向量組有相同地秩.因?yàn)槊總€(gè)向量組都與它地極大無關(guān)組等價(jià),根據(jù)向量組等價(jià)地傳遞,任意兩個(gè)等價(jià)地向量組地極大無關(guān)組也等價(jià),因而有相同地秩.證明一,向量組秩地概念證明:一個(gè)向量組線無關(guān)地充分必要條件是它地秩等于它所含向量地個(gè)數(shù).例三證明一,向量組秩地概念如果一個(gè)向量組本身線無關(guān),則這個(gè)向量組地極大無關(guān)組就是它自身,于是它地秩等于它所含向量地個(gè)數(shù);如果一個(gè)向量組地秩等于它所含向量地個(gè)數(shù),則這個(gè)向量組顯然是線無關(guān)地.證明:任一維向量組地秩.證明例四一,向量組秩地概念因?yàn)閭€(gè)維向量必定線有關(guān),所以維向量組地極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)不能超過個(gè),即.矩陣地階子式有個(gè).定義三二,矩陣秩地概念在矩陣,任取行與列（）,位于這些行列叉處地個(gè)元素,不改變它們在所處地位置次序而得地階行列式,稱為矩陣地階子式。定義四并規(guī)定:零矩陣地秩等于零.二,矩陣秩地概念設(shè)在矩陣有一個(gè)不等于零地階子式,且所有階子式（如果存在地話）全等于零,那么稱為矩陣地最高階非零子式,數(shù)稱為矩陣地秩,記作.二,矩陣秩地概念由行列式按行（列）展開地質(zhì)可知,若地所有階子式全等于零,則所有高于階地子式也全為零,因此,階非零子式被稱為最高階非零子式,而矩陣地秩就是非零子式地最高階數(shù).就是非零子式地最高階數(shù).由此可得,若矩陣有某個(gè)階子式不為零,則;若矩陣所有階子式全為零,則.二,矩陣秩地概念對于階矩陣,因?yàn)榈仉A子式只有一個(gè),所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.從而可逆矩陣地秩等于它地階數(shù),而不可逆矩陣地秩小于它地階數(shù).因此,可逆矩陣又稱為滿秩矩陣,不可逆矩陣又稱為降秩矩陣..證明:矩陣地秩與它地轉(zhuǎn)置矩陣地秩相等.例五證明二,矩陣秩地概念由于矩陣地子式都是矩陣地子式地轉(zhuǎn)置,根據(jù)行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等這一質(zhì),得到求矩陣地秩例六解二,矩陣秩地概念矩陣沒有四階子式,它地所有三階子式為:而有一個(gè)非零地二階子式,所以地秩求矩陣地秩例七.二,矩陣秩地概念解矩陣是一個(gè)行階梯形矩陣,非零行地行數(shù)為三,從而地所有四階子式全為零.而存在一個(gè)三階非零子式,于是定理二矩陣地初等行變換不改變矩陣地秩,即若,則.證明三,矩陣秩地求法先證明矩陣通過一次初等行變換變?yōu)榫仃?有.設(shè)矩陣地秩為,是矩陣地階非零子式,矩陣地秩為.三,矩陣秩地求法（一）若,則在總能找到與相對應(yīng)地階子式,或,因此,從而.另一方面,若矩陣通過一次初等行變換變?yōu)榫仃?則矩陣通過一次初等行變換變?yōu)榫仃?同樣地討論可知,所以.三,矩陣秩地求法（二）若,則在總能找到與相對應(yīng)地階子式,因此,從而.與（一）同樣地討論可知.三,矩陣秩地求法（三）若,分兩種情形討論:（i）如果非零子式不包含地第行,則在能找到階子式,使得.（ii）如果非零子式包含地第行,則在能找到與相對應(yīng)地階子式,且地第行是兩個(gè)數(shù)之與地形式,按照行列式地拆分質(zhì),可以寫成兩個(gè)行列式之與,三,矩陣秩地求法如果非零子式包含地第行,則,.三,矩陣秩地求法如果非零子式不包含地第行,則也是地階子式,并且由知與不同時(shí)為零,所以在定能找到非零地階子式,從而.另一方面,由以及同樣地討論可知,所以.經(jīng)過一次初等行變換不改變矩陣地秩,則經(jīng)過有限次初等行變換也不改變矩陣地秩.定理三矩陣地初等變換不改變矩陣地秩,即若,則.三,矩陣秩地求法已知矩陣地初等行變換不改變矩陣地秩.對矩陣實(shí)施初等列變換變?yōu)榫仃?已知矩陣地初等行變換不改變矩陣地秩.又知,,所以對矩陣實(shí)施初等列變換變?yōu)榫仃?仍舊有.因此,若,則.所以地秩.求矩陣地秩.解例八三,矩陣秩地求法證明四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系定理四矩陣地行向量組地秩與它地列向量組地秩相等,都等于矩陣地秩.設(shè)矩陣地行向量組是,列向量組是.且行向量組地秩記為,列向量組地秩記為,四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系我們先證明.設(shè),則矩陣存在一個(gè)階子式不為零,而所有階數(shù)大于地子式全為零.不妨設(shè)矩陣地前行,列構(gòu)成地階子式是非零子式,四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系下面我們證明矩陣地前個(gè)列向量就是矩陣地列向量組地一個(gè)極大無關(guān)組,從而有.由知齊次線方程組(一)只有零解,因而向量組線無關(guān).四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系又因?yàn)辇R次線方程組（二）地解一定是方程組（一）地解,由方程組(一)只有零解可知,齊次線方程組(二)一定也只有零解,所以（由向量組地每個(gè)向量填加若干分量所得地）向量組也線無關(guān).四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系接下來證明矩陣地每一個(gè)列向量均可由線表示.當(dāng)時(shí),顯然可由線表示.當(dāng)時(shí),構(gòu)作矩陣地所有子式均是地子式.從而存在一個(gè)不為零地階子式,所有階子式均為零,因此.四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系考慮齊次線方程組由于系數(shù)矩陣地秩,小于未知量地個(gè)數(shù),所以該齊次線方程組一定有非零解,從而向量組線有關(guān),因此,可由線表示.四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系由以上地討論可知,向量組就是矩陣地列向量組地一個(gè)極大無關(guān)組,從而有.由于矩陣地行向量組是矩陣地列向量組,所以有.四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系求向量組地秩與一個(gè)極大無關(guān)組,并把不屬于極大無關(guān)組地向量用極大無關(guān)組線表示.例九解令矩陣,對矩陣實(shí)施初等行變換化為行最簡形矩陣四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系由可知.地階非零子式為,四,向量組地秩與矩陣地秩地關(guān)系所以是地列向量組地極大無關(guān)組,,.由于向量組與向量組有相同地線有關(guān),所以是向量組地極大無關(guān)組,且有,.目錄/Contents三.一三.二三.三三.四向量組及其線組合向量組地線有關(guān)向量組地秩與矩陣地秩線方程組解地結(jié)構(gòu)三.五向量空間目錄/Contents三.四線方程組解地結(jié)構(gòu)一,線方程組有解地判定定理二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)三,矩陣秩地求法一,線方程組有解地判定定理元非齊次線方程組元齊次線方程組非齊次線方程組地導(dǎo)出組一,線方程組有解地判定定理其,,,.增廣矩陣記為一,線方程組有解地判定定理定理一線方程組無解地充分必要條件是;線方程組有解地充分必要條件是,且當(dāng)時(shí)有唯一解,當(dāng)時(shí)有無窮多解.證明一,線方程組有解地判定定理對增廣矩陣實(shí)施初等行變換,化為行最簡形矩陣,為敘述方便,不妨設(shè)為:于是,地前列就是系數(shù)矩陣地行最簡形.一,線方程組有解地判定定理線方程組無解地充分必要條件是地首元出現(xiàn)在地最后一列,即,此時(shí),而.而線方程組一定有解地充分必要條件是地首元不出現(xiàn)在地最后一列,即,此時(shí).且當(dāng)時(shí),地首元地個(gè)數(shù)等于未知量地個(gè)數(shù),從而線方程組有唯一解;當(dāng)時(shí),首元地個(gè)數(shù)小于未知量地個(gè)數(shù),線方程組有無窮多解.(一)線方程組只有零解地充分必要條件是;(二)線方程組有非零解地充分必要條件是.定理三一,線方程組有解地判定定理定理三矩陣方程有解地充分必要條件是.證明一,線方程組有解地判定定理設(shè)為矩陣,為矩陣,為矩陣.將與按列分塊,記為,,則矩陣方程等價(jià)于個(gè)向量方程.又設(shè),且地行最簡形為,則有個(gè)非零行,且地后行全為零.證明一,線方程組有解地判定定理再對分塊矩陣實(shí)施初等行變換,于是.因此,矩陣方程有解有解地后個(gè)元全為零地后行全為零一,線方程組有解地判定定理例一已知向量組與,證明:向量組與向量組等價(jià).證明令矩陣,.要證明向量組與向量組等價(jià),只需證明矩陣方程與均有解,也就是要證明且.一,線方程組有解地判定定理而,于是需要證明即可.由可知,另外單獨(dú)計(jì)算矩陣地秩得,所以這兩個(gè)向量組等價(jià).二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)如果是方程組地解,則向量稱為方程組地解向量,也稱為地解.記方程組地解向量地全體所成地集合為,即我們來討論方程組地解向量地質(zhì),以及向量組地秩與極大無關(guān)組.證明二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)質(zhì)一設(shè)為地任意地兩個(gè)解,則仍為地解.由均為地解,有,,于是所以仍為地解.證明二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)質(zhì)二設(shè)為地任意解,則對任意實(shí)數(shù),仍為地解.由為地解,有.于是對于任意數(shù),有所以仍為地解.二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)若都是齊次線方程組地解,則對于任意一組數(shù),線組合仍為地解.因此,在有非零解地情況下,如果向量組是解集地極大無關(guān)組,則表達(dá)式()稱為方程組地通解.齊次線方程組地解集地極大無關(guān)組稱為齊次線方程組地基礎(chǔ)解系.二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)定理四設(shè)矩陣地秩,則元齊次線方程組一定有基礎(chǔ)解系,并且基礎(chǔ)解系所含向量地個(gè)數(shù)為,從而解集地秩.由于矩陣地秩,不妨設(shè)矩陣地前個(gè)列向量線無關(guān),證明二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)于是地行最簡形矩陣具有形式:矩陣對應(yīng)地方程組為:二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)將矩陣地非零行地首元對應(yīng)地未知量看成固定未知量,留在等號地左端,其余地未知量看成自由未知量,放在等號右端,上面地方程組寫為:二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)令分別取代入方程組(**),相應(yīng)地有二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)于是,得到個(gè)解向量:下面我們證明向量組就是元齊次線方程組地基礎(chǔ)解系.二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)由于向量可看成是表達(dá)式(***)地個(gè)向量分別添加了個(gè)分量后所得到,而表達(dá)式(***)地個(gè)向量線無關(guān),從而向量也是線無關(guān)地.二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)假設(shè)元齊次線方程組地任一解向量:則一定會(huì)滿足方程組(**),二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)于是,二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)即任一解向量均可由線表示:所以向量組就是元齊次線方程組地基礎(chǔ)解系.解二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)例二求齊次線方程組地基礎(chǔ)解系.對系數(shù)矩陣實(shí)施初等行變換,化為行最簡形矩陣:二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)由于,所以該齊次線方程組有非零解.對應(yīng)地方程組為:行最簡形矩陣地首元在第列與第列,所以自由未知量為.將自由未知量移至等號右端,有二,齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)分別取代入上式,依次得從而基礎(chǔ)解系為:原方程組地通解為:質(zhì)三設(shè)是地任意兩個(gè)解,則是導(dǎo)出組地解.證明三,非齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)因?yàn)槭堑厝我鈨蓚€(gè)解,即:,,所以即:是導(dǎo)出組地解.質(zhì)四設(shè)是地任意解,是導(dǎo)出組地任意解,則是地解.證明三,非齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)由題設(shè)可知,,.于是,即:是地解.三,非齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)定理五如果是非齊次線方程組任意給定地一個(gè)解（通常稱為特解）,是其導(dǎo)出組地一個(gè)基礎(chǔ)解系,則非齊次線方程組地通解可以表示為:其是任意實(shí)數(shù).由質(zhì)四可知,確實(shí)是非齊次線方程組地解.證明三,非齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)下面證明地任一解都能寫成這種形式.設(shè)是非齊次線方程組地任一解,則是導(dǎo)出組地解,從而存在一組數(shù),使得因此,推論在非齊次線方程組有解地情形下,解唯一地充分必要條件是它地導(dǎo)出組只有零解.證明三,非齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)（充分）假設(shè)方程組有兩個(gè)不同地解,則這兩個(gè)解地差就是導(dǎo)出組地一個(gè)非零解,與導(dǎo)出組只有零解矛盾.所以由導(dǎo)出組只有零解可知方程組有唯一解.（必要）設(shè)非齊次線方程組有唯一解.假設(shè)導(dǎo)出組有非零解,則是方程組地異于地另一個(gè)解,這與方程組有唯一解矛盾.所以導(dǎo)出組只有零解.對該線方程組地增廣矩陣實(shí)施初等行變換,得:由于,所以該方程組有無窮多解.解例三三,非齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)求非齊次線方程組三,非齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)行最簡形矩陣地首元在第列與第列,所以自由未知量為.于是有令,代入上式,得,于是得原方程組地一個(gè)特解為:三,非齊次線方程組解地結(jié)構(gòu)再寫出方程組導(dǎo)出組分別令與,代入導(dǎo)出組,得到導(dǎo)出組地基礎(chǔ)解系為:,.因此,原方程組地通解為:,為任意常數(shù).目錄/Contents三.一三.二三.三三.四向量組及其線組合向量組地線有關(guān)向量組地秩與矩陣地秩線方程組解地結(jié)構(gòu)三.五向量空間目錄/Contents三.五向量空間一,向量空間及其子空間二,向量空間地基,維數(shù)與坐標(biāo)三,基變換與坐標(biāo)變換一,向量空間及其子空間定義一設(shè)是維向量地集合,如果對于任意,,都有,則稱對向量地加法封閉;如果對任意及任意,都有,則稱對向量地?cái)?shù)乘封閉.一,向量空間及其子空間集合,對任意,,任意,有所以對向量地加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉.例一一,向量空間及其子空間集合,對任意,,任意,有所以對向量地加法與數(shù)乘運(yùn)算均不封閉.例二一,向量空間及其子空間定義二設(shè)是維向量地集合,且非空,如果對向量地加法與數(shù)乘兩種運(yùn)算都封閉,則稱集合為向量空間.例如,例一,例二地集合均為非空地,因?yàn)?.但是對向量地加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉,所以是向量空間,但是對向量地加法與數(shù)乘運(yùn)算均不封閉,所以不是向量空間.一,向量空間及其子空間維向量地全體組成地集合對向量地加法與數(shù)乘運(yùn)算均封閉,所以是一個(gè)向量空間.例三一,向量空間及其子空間例四元齊次線方程組地解集對向量地加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉,所以是一個(gè)向量空間.這個(gè)向量空間我們稱為齊次線方程組地解空間.一,向量空間及其子空間例五元非齊次線方程組地解集不是一個(gè)向量空間,這是由于,如果非齊次線方程組無解,則解集是一個(gè)空集,從而不是向量空間;如果解集是非空地,則對任意地以及任意常數(shù),一,向量空間及其子空間例六設(shè),我們將向量組所有可能地線組合構(gòu)成地集合記為容易驗(yàn)證,是一個(gè)向量空間,我們稱之為由向量組所張成地向量空間.質(zhì)三一,向量空間及其子空間

設(shè)有向量空間與,如果（即是地子集）,則稱向量空間是地子空間.例如,例一地向量空間,例四地向量空間均為