復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義（教學(xué)設(shè)計(jì)）

§一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義．內(nèi)容解析：本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書必修第二冊(cè)》（人教A版）第七章第2節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容．復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章的重點(diǎn)，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法的運(yùn)算法則是一種規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則是通過轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算而得出的.滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的素材.通過實(shí)例，明確復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).經(jīng)歷復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義的形成過程，提高直觀想象的核心素養(yǎng)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）通過對(duì)定義復(fù)數(shù)加法法則的背景的分析，體會(huì)規(guī)定復(fù)數(shù)加法法則的合理性.（2）明確復(fù)數(shù)加法法則和減法法則的具體內(nèi)容，經(jīng)歷應(yīng)用法則解決復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算問題的過程，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).（3）經(jīng)歷復(fù)數(shù)代數(shù)形式的減法定義和復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的形成過程，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).目標(biāo)解析：（1）復(fù)數(shù)的加法法則是直接規(guī)定的，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合引入復(fù)數(shù)集的過程，即在將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集時(shí)，希望數(shù)集擴(kuò)充后，在復(fù)數(shù)集中規(guī)定的加法、乘法運(yùn)算，與實(shí)數(shù)集中規(guī)定的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且運(yùn)算律也滿足．（2）+bi中的實(shí)部和虛部a,b看作常數(shù)，i看作“變?cè)保瑥亩鴮?fù)數(shù)a+bi看成是“一次二項(xiàng)式”，進(jìn)而可以得到兩個(gè)復(fù)數(shù)相加與兩個(gè)多項(xiàng)式相加類似，可以看成是“合并同類項(xiàng)”.基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則．三、教學(xué)問題診斷分析教學(xué)問題一：在知識(shí)儲(chǔ)備上，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)系擴(kuò)充的過程，學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義，知道復(fù)數(shù)a+bi和平面上的點(diǎn)Z(a，b)以及向量OZ一一對(duì)應(yīng)；但探究復(fù)數(shù)加法的幾何意義有一定難度.解決方案：在講解本節(jié)前，可在課上先復(fù)習(xí)平面向量和復(fù)數(shù)的幾何意義等相關(guān)知識(shí)，再進(jìn)行新課的學(xué)習(xí)和探究，這是突破難點(diǎn)的一個(gè)重要舉措.教學(xué)問題二：復(fù)數(shù)加法的幾何意義是本節(jié)課的第二個(gè)教學(xué)問題．這不僅是本節(jié)課的重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)．解決方案：通過類比向量加法的幾何意義得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義．教學(xué)問題三：如何得到復(fù)數(shù)的減法是第三個(gè)教學(xué)問題．學(xué)生很容易把類比向量的減法得到復(fù)數(shù)的減法．其實(shí)，類比多項(xiàng)式的加減我們既可以得到復(fù)數(shù)的加法法則，也可以得到復(fù)數(shù)的減法法則．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過觀察、歸納得到復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺(tái)．可以讓學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)中來．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．在教學(xué)過程中，重視加減法法則的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學(xué)生體會(huì)到類比思想的重要性．五、教學(xué)過程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)回顧，溫故知新[問題1]試判斷下列復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面中落在哪象限？并畫出其對(duì)應(yīng)的向量。[問題2]同時(shí)用坐標(biāo)和幾何形式表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0所對(duì)應(yīng)的向量，并計(jì)算SKIPIF1<0[問題3]向量的加減運(yùn)算滿足何種法則？教師1：提出問題1．學(xué)生1：學(xué)生思考,完成.教師2：提出問題2．學(xué)生2：學(xué)生思考,完成.教師3：提出問題3．學(xué)生3：學(xué)生思考,完成.通過復(fù)習(xí)，為引入本節(jié)新課做好鋪墊。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。探索交流，解決問題[問題4]設(shè)向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))分別與復(fù)數(shù)a＋bi，c＋di對(duì)應(yīng)，那么eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))的坐標(biāo)如何呢？[問題5]向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么？[問題6]按照平面向量減法的幾何意義，你能得出復(fù)數(shù)減法的幾何意義嗎？[問題7]類比絕對(duì)值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？教師4：提出問題4．學(xué)生4：eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(c，d)，eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(a＋c，b＋d)．教師5：提出問題5．學(xué)生5：向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2.教師6：提出問題6．學(xué)生6：復(fù)數(shù)z1－z2的幾何意義就是向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．教師7：小結(jié)一下：1.加、減法的運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2.加法運(yùn)算律對(duì)任意z1，z2，z3∈C，有①交換律：z1＋z2＝z2＋z1．②結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)對(duì)應(yīng)的向量分別為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則與z1＋z2對(duì)應(yīng)的向量是eq\o(OZ,\s\up6(→))，與z1－z2對(duì)應(yīng)的向量是eq\o(Z2Z1,\s\up6(→)).教師8：提出問題7．學(xué)生7：|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Z0的距離．通過思考，類比向量的運(yùn)算引入復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，提高學(xué)生分析問題、概括能力。典例分析，舉一反三1.復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算例1計(jì)算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．2.復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算幾何意義例2已知平行四邊形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)O，A，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i.(1)求eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)；(2)求eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)．3.復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用例3已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值與最小值．[課堂練習(xí)1]在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C，三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1，2＋i，－1＋2i.(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)判斷△ABC的形狀．[課堂練習(xí)2]設(shè)z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，求|z1－z2|.教師9：完成例題1．學(xué)生8：(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(2)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.教師10：完成例題2．學(xué)生9：(1)因?yàn)閑q\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為－(3＋2i)，即－3－2i.(2)因?yàn)閑q\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.教師11：完成例題3．學(xué)生10：由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)－3＋4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C之間的距離等于1，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以C(－3,4)為圓心，半徑等于1的圓．而|z|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離，又|OC|＝5，所以點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的最大距離為5＋1＝6，最小距離為5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.教師12：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生11：完成課堂練習(xí)，并核對(duì)答案．通過例題進(jìn)一步鞏固復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，提高學(xué)生的概括問題的能力、解決問題的能力。[課堂練習(xí)1]鞏固復(fù)數(shù)加減法的幾何意義．[課堂練習(xí)2]能用復(fù)數(shù)的幾何意義解決綜合問題.課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問題7]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的結(jié)果為()A．5－3iB．3＋5iC．7－8i D．7－2i2．已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為____________．3.若|z－1|＝|z＋1|，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．實(shí)軸上B．虛軸上C．