阜陽市潁州區(qū)第三中學(xué)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精阜陽三中2019—2020學(xué)年第一學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)試卷（理科）時(shí)間：120分鐘總分：150分一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1。設(shè)集合,，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次方程化簡集合,再對集合進(jìn)行交集運(yùn)算。【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查一元二次方程求解、集合交運(yùn)算，考查基本運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題。2.為虛數(shù)單位，則（）A。2 B. C。3 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】先對復(fù)數(shù)進(jìn)行除法運(yùn)算，再計(jì)算模長即可得到答案?！驹斀狻恳?yàn)?，所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、模的求解，考查基本運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3。命題“對任意"的否定是（）A。不存在 B.存在C。存在 D。對任意的【答案】C【解析】分析】利用全稱命題的否定為特稱命題，直接進(jìn)行求解.【詳解】全稱命命題“對任意的”，命題的否定為：存在.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，求解時(shí)注意全稱命題的否定為特稱命題，任意要改成存在，同時(shí)對結(jié)論進(jìn)行否定.4。若函數(shù)，則()A. B.2 C。 D.4【答案】C【解析】【分析】利用分段函數(shù)的解析式，先計(jì)算,再計(jì)算的值.【詳解】因，所以。故選:C?！军c(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解、分段函數(shù)的解析式,考查基本運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題。5.方程表示橢圓的必要不充分條件是（)A. B。C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，所選擇的“正確選項(xiàng)”是方程表示橢圓的必要不充分條件；再把方程表示橢圓的充要條件求出，再根據(jù)集合間的關(guān)系，即可得到答案.【詳解】方程表示橢圓的充要分條件是,解得：，，，所以，，是正確選項(xiàng)的真子集，對照四個(gè)選項(xiàng)，只有符合。故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，充分條件、必要條件的定義，屬于中檔題．6.以下四個(gè)命題中正確的是（）A.空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示B.若為空間向量的一組基底，則構(gòu)成空間向量的另一組基底C。為直角三角形的充要條件是D.任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底定義：任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底，逐一分析，，可判斷這三個(gè)結(jié)論的正誤；根據(jù)向量垂直的充要條件，及直角三角形的幾何特征，可判斷的真假?！驹斀狻繉，空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)不共面的向量表示,中忽略三個(gè)基底不共面的限制，故A錯(cuò)誤；對B，若為空間向量的一組基底，則三個(gè)向量互不共面；則,也互不共面，故可又構(gòu)成空間向量的一組基底，故正確;對C，的為直角為直角三角形，但為直角三角形時(shí),可能為銳角，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對D，任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底，三個(gè)向量不共線時(shí)可能共面，故D錯(cuò)誤;故選:B．【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體考查空間向量的基底概念、向量垂直的充要條件,考查對概念的理解與應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題．7。某班有60名學(xué)生,一次考試的成績服從正態(tài)分布，若,估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績在100分以上的人數(shù)為（）A.12 B。20 C.30 D。40【答案】A【解析】【分析】利用正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱,從而求得的值，進(jìn)而求得的概率值，即可得到答案。【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布,所以，所以，所以該班數(shù)學(xué)成績在100分以上的人數(shù)為（人）。故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的應(yīng)用,求解時(shí)注意利用曲線的對稱性，同時(shí)注意一個(gè)端點(diǎn)值不影響概率值,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.8。點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為1，則的值為（）A?；?B.或 C.或 D?；颉敬鸢浮緾【解析】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若，則準(zhǔn)線方程為，由題設(shè)可得，則，不合題意,舍去；若,則準(zhǔn)線方程為,由題設(shè)可得，解之得或，應(yīng)選答案C．9。某研究機(jī)構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：x4681012y12356由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為,則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線下方的概率為(）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出樣本點(diǎn)的中心,求出的值,得到回歸方程得到5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有，，共2個(gè)，求出概率即可．【詳解】，，故，解得：，則，故5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有，，共2個(gè)，故所求概率是,故選:A．【點(diǎn)睛】本題考查回歸方程概念、概率的計(jì)算以及樣本點(diǎn)的中心，考查數(shù)據(jù)處理能力，是一道基礎(chǔ)題．10。安排5名學(xué)生去3個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù),且每人只去一個(gè)社區(qū)，要求每個(gè)社區(qū)至少有一名學(xué)生進(jìn)行志愿服務(wù)，則同學(xué)甲單獨(dú)去一個(gè)社區(qū)不同的安排方式有（）A。100種 B。60種 C。42種 D。25種【答案】C【解析】【分析】給三個(gè)社區(qū)編號分別為1,2，3，則甲可有3種安排方法，剩下的兩個(gè)再進(jìn)行分步計(jì)數(shù),從而求得所有安排方式的總數(shù)。【詳解】甲可有3種安排方法,若甲先安排第1社區(qū),則第2社區(qū)可安排1個(gè)、第3社區(qū)安排3個(gè)，共；第2社區(qū)2個(gè)、第3社區(qū)安排2個(gè)，共；第2社區(qū)3個(gè)，第3社區(qū)安排1個(gè)，共；故所有安排總數(shù)為.故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查分類與分步計(jì)數(shù)原理、組合數(shù)的計(jì)算，考查分類討論思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。11.我國古代典籍《周易》用“卦"描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有2個(gè)陽爻的概率是()A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】分別計(jì)算所有“重卦”和恰有個(gè)陽爻的“重卦"種數(shù),根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得結(jié)果?！驹斀狻克小爸刎浴惫灿校悍N;恰有個(gè)陽爻的情況有:種恰有個(gè)陽爻的概率為：本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查古典概型中的概率求解問題,屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，有，在上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B。 C。 D.【答案】B【解析】令g（x）=f(x)?x2,則，函數(shù)是奇函數(shù)，且，在上，,函數(shù)單調(diào)遞減,由題意可得g(x)在R遞減,∴f(4?m)?f（m)=g(4?m)+（4?m)2?g(m）?m2=g（4?m)?g(m)+8?4m?8?4m,∴g(4?m）?g（m），∴4?m?m，解得:m?2，故選B.點(diǎn)睛：對于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式（組)的問題,若f(x）為偶函數(shù)，則f(－x）＝f(x）＝f(|x|)．二、填空題；本大題共4小題，每小題5分，共20分,第16題第一空2分,第二空3分。13。=______．【答案】【解析】【分析】利用積分運(yùn)算得,計(jì)算可得答案。【詳解】因?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查積分的運(yùn)算，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14。的展開式中,的系數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理的展開式，當(dāng)時(shí),可求得的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，所以的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的系數(shù)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.15.已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為上的點(diǎn)，若的長等于虛軸長的倍，點(diǎn)在線段上，則的周長為________.【答案】44【解析】【詳解】由題意因?yàn)镻Q過雙曲線的右焦點(diǎn)(5,0),所以P，Q都在雙曲線的右支上,則有，兩式相加，利用雙曲線的定義得,所以△PQF的周長為=28＋16＝44.故答案為44。16?！办巢瞧酢睌?shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù)．具體數(shù)列為:即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（1）__________；(2)若，則__________．（用表示）【答案】（1）.。（2）.【解析】【分析】（1)寫出前項(xiàng),進(jìn)行求和,即可得出結(jié)論;（2）迭代法可得，可得，將代入計(jì)算可得答案.【詳解】（1).（2),所以。故答案為：；?！军c(diǎn)睛】本題以“斐波那契"數(shù)列為背景,考查數(shù)列的遞推關(guān)系、前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，考查方程思想的運(yùn)用,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用遞推關(guān)系。三、解答題:本大題共6小題，共70分，解答過程寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.設(shè)P：函數(shù)在上單調(diào)遞增，Q：關(guān)于x不等式的解集為R。（1）如果“P且Q”為真，求a的取值范圍．（2）如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求a的取值范圍．【答案】(1）；(2)或?！窘馕觥俊痉治觥浚?）對，分別為真時(shí),求出的范圍，再取交集即可；（2）當(dāng)和有且僅有一個(gè)正確時(shí),即真假或假真,再利用集合的運(yùn)算即可.【詳解】當(dāng)為真時(shí)，在恒成立，所以；當(dāng)為真時(shí)，;（1）當(dāng)“且”為真時(shí)，即為真，為真，所以;(2)當(dāng)和有且僅有一個(gè)正確時(shí)，即真假或假真,所以或解得：或.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用、一元二次函數(shù)與簡易邏輯問題的交會,考查函數(shù)與方程思想、分類討論思想的運(yùn)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意端點(diǎn)的取值。18.設(shè)函數(shù)，（1）求函數(shù)在上的值域（2）設(shè),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。【答案】(1）；（2）或?！窘馕觥俊痉治觥浚?)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式求得單調(diào)區(qū)間和極值，并與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較，從而得到函數(shù)在閉區(qū)間的最值，從而得到函數(shù)的值域；（2)由知：,顯然是其一個(gè)根,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程有且僅有一個(gè)根且不為0，再利用導(dǎo)數(shù)研究的最值和單調(diào)性,從而得到參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1),令，則當(dāng)時(shí),,所以在上遞增當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減因?yàn)?，所以函?shù)的最小值為，最大值為0，所以函數(shù)的值域是.(2）由知：,顯然是其一個(gè)根，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程有且僅有一個(gè)根且不為0；令.，易知在遞增,在遞減，當(dāng)時(shí)，，且，若方程有且僅有一個(gè)根且不為0，所以或.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的值,考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意將方程根的問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題。19.如圖,在四棱錐中，平面平面，．（1)證明：平面；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得到到線面垂直；（2）以為原點(diǎn)，分別以射線為軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，可得平面的法向量，平面的法向量，求出法向量的夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的大小?！驹斀狻?1）在直角梯形中，由得，,由，則，即，因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面，平面，所以平面。（2)以為原點(diǎn)，分別以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,由題意可知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，可算得,由得,,可取，由得,，可取，于是，由題意可知，所求二面角是銳角,故二面角的大小是．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化、向量法求二面角的大小，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意建系要符合右手法則.20.受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:品牌

甲

乙

首次出現(xiàn)故

障時(shí)間x(年)

0〈x≤1

1<x≤2

x〉2

0<x≤2

x>2

轎車數(shù)量(輛）

2

3

45

5

45

每輛利潤

(萬元)

1

2

3

1。8

2.9

將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率．(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1,生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列．(3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng),由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由．【答案】（1）（2）X1的分布列為X1

1

2

3

P

X2的分布列為X2

1.8

2.9

P

(3)甲品牌轎車【解析】（1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A）＝＝。(2）依題意得，X1的分布列為X1

1

2

3

P

X2的分布列為X2

1.8

2。9

P

(3)由(2）得E（X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2．86(萬元），E(X2)＝1.8×＋2。9×＝2。79(萬元）．因?yàn)镋（X1)〉E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車．21.如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為。(I）求橢圓的方程；(II)經(jīng)過點(diǎn),且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（均異于點(diǎn))，問：直線與的斜率之和是否為定值？若是，求出此定值;若否，說明理由．【答案】（1）(2）2【解析】【詳解】(Ⅰ)由題意知，綜合，解得,所以，橢圓的方程為.（Ⅱ)由題設(shè)知，直線的方程為，代入，得,由已知,設(shè)，則,從而直線與的斜率之和?？键c(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2。圓錐曲線的定值問題。22.已知函數(shù),曲線在處的切線方程為.(1）求（2）證明：（3）證明：當(dāng)時(shí)，【答案】(1);(2）證明見解析；（3）證明見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得切線的