專(zhuān)題01 圓的基本性質(zhì)+垂徑定理（知識(shí)串講+6大考點(diǎn)）原卷版

專(zhuān)題01圓的基本性質(zhì)+垂徑定理考點(diǎn)類(lèi)型知識(shí)串講（一）圓的相關(guān)概念（1）圓的概念：在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)叫做圓心，線(xiàn)段叫做半徑．以點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．特點(diǎn)：圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形．（2）確定圓的條件：①圓心；②半徑，③其中圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)確定圓的大?。?）相關(guān)概念同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓．（二）垂徑定理及其推論（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）推論：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧②弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?、蹐A的兩條平行弦所夾的弧相等（3）常見(jiàn)輔助線(xiàn)做法：①過(guò)圓心，作垂線(xiàn)，連半徑，造，用勾股，求長(zhǎng)度（多為方程勾股）；②有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：圓的相關(guān)概念典例1：（2023·福建·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋?/p>

）A．同樣長(zhǎng)度的線(xiàn)段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個(gè)圓所有的直徑都相等C．圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍D．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形【變式1】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足AB=2PM，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．以AB為直徑的圓B．AB的延長(zhǎng)線(xiàn) C．AB的垂直平分線(xiàn) D．平行AB的直線(xiàn)【變式2】（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB是半徑為2的圓的一條弦，則AB的長(zhǎng)可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式3】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）畫(huà)圓時(shí)，圓規(guī)兩腳間可叉開(kāi)的距離是圓的（）A．直徑 B．半徑 C．周長(zhǎng) D．面積考點(diǎn)2：利用垂徑定理——求線(xiàn)段典例2：（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，線(xiàn)段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB長(zhǎng)為16，OE長(zhǎng)為6，則⊙O半徑是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【變式1】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A、B是⊙O上兩點(diǎn)，AB=10，點(diǎn)P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P與A、B不重合），連接AP、PB，過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AP交AP于點(diǎn)E，OF⊥PB交PB于點(diǎn)

A．2 B．3 C．5 D．6【變式2】（2023·浙江·一模）如圖，在水平放置的圓柱形排水管的截面中，圓的半徑為5，弓形部分水面寬度AB=8，則該截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．2【變式3】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，AB=8cm，CD=6cm，則A．43cm B．53cm C．83考點(diǎn)3：利用垂徑定理——求平行弦典例3：（2022秋·天津和平·九年級(jí)?？计谀袿半徑為5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，則AB與CD間的距離為（A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時(shí)排水管水面寬為（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【變式2】（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB和CD的距離是（

）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【變式3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7考點(diǎn)4：利用垂徑定理——求同心圓典例4：（2022秋·北京·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A2,2，B4,0，A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G【變式1】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D【變式2】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知△ABC的邊BC=23，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則∠A的度數(shù)是（A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【變式3】（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，AB=12cm，AO=8cm，則OC長(zhǎng)為（）cmA．5 B．4 C．25 D．考點(diǎn)5：利用垂徑定理——實(shí)際應(yīng)用典例5：（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

A．20m B．28m C．35m【變式1】（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？计谀┩曹?chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理，如圖1，筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為4米，⊙O半徑長(zhǎng)為3米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線(xiàn)的距離是（

）A．1米 B．3+5米 C．3米 D．3-【變式2】（2023春·福建南平·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1，點(diǎn)M表示筒車(chē)的一個(gè)盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車(chē)工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O（O在水面上方）為圓心的圓，且圓O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為8米．若筒車(chē)工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為2米，則這個(gè)圓的半徑為（

）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【變式3】（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）圖1是木馬玩具，圖2是木馬玩具底座水平放置的示意圖，點(diǎn)O是AB所在圓的圓心，點(diǎn)A，B離地高度均為15cm，水平距離AB=90cm，則

A．60cm B．65cm C．70cm D考點(diǎn)6：垂徑定理的推論——定圓心典例6：（2023春·安徽亳州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E，CE=DE，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．CB=BD B．OE=BE C．CA=DA D．【變式1】（2022秋·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的弦AB=8，M是AB的中點(diǎn)，且OM=3，則⊙O的半徑等于（

）A．7 B．4 C．5 D．6【變式2】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，將△ACD沿CD對(duì)折得△A′CD．連接BA'，連接AA′交CD于點(diǎn)E，若AB=14cm，BA．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【變式3】（2022秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A、B、A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在⊙O中，點(diǎn)A，O，D以及點(diǎn)B，O，C分別在一條直線(xiàn)上，則圖中的弦有(

)A．2條 B．3條 C．4條 D．5條2．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）在⊙O中，P為其內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為8cm，最短的弦的長(zhǎng)為4cm，則OP的長(zhǎng)為（）．A．23cm B．22cm C．2cm D．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在⊙O內(nèi)有折線(xiàn)OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，則BC的長(zhǎng)為()A．19 B．16 C．18 D．204．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）已知⊙O的半徑為10，P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝6，則過(guò)P點(diǎn)，且長(zhǎng)度為整數(shù)的弦有（

）A．5條 B．6條 C．8條 D．10條5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，由邊長(zhǎng)為1的正方形組成的6×5網(wǎng)格中，一塊含45°的三角板ABC的斜邊AB始終經(jīng)過(guò)格點(diǎn)N，AC始終經(jīng)過(guò)格點(diǎn)M，點(diǎn)A在MN下方運(yùn)動(dòng)，格點(diǎn)P到A的距離最小值為（

）A．1 B．2 C．13﹣1 D．22﹣26．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）小明想知道一塊扇形鐵片OAB中的AB的拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）是多少？但他沒(méi)有任何測(cè)量工具，聰明的小明觀(guān)察發(fā)現(xiàn)身旁的墻壁是由10cm的正方形瓷磚密鋪而成（接縫忽略不計(jì)）．他將扇形OAB按如圖方式擺放，點(diǎn)O,A,B恰好與正方形瓷磚的頂點(diǎn)重合，根據(jù)以上操作，AB的拱高約是（

A．10cm B．20cm C．(30-1057．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，AE，CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F．若OD=3，AB=8，則FC的長(zhǎng)是（

A．10 B．8 C．6 D．48．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知圓O的半徑為10，AB⊥CD，垂足為P，且AB＝CD＝16，則OP的長(zhǎng)為()A．6 B．62 C．8 D．829．（2023·九年級(jí)單元測(cè)試）☉O的半徑為10cm,弦AB=12cm,則圓心到AB的距離為()A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm10．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)期中）CD是圓O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，若OE=3，AE=4，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．AC的長(zhǎng)為25 B．CE的長(zhǎng)為C．CD的長(zhǎng)為12 D．AD的長(zhǎng)為10二、填空題11．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P到圓上的點(diǎn)的最大距離為10cm，最小距離為4cm，則此圓的半徑為．12．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）點(diǎn)A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，則∠OAB=．13．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，將半徑為4cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)度為cm．14．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙o的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm,那么A、B兩點(diǎn)到直線(xiàn)CD的距離之和為.15．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝30°，⊙O的半徑是6，若點(diǎn)P是⊙O上的一點(diǎn)，PB＝AB，則PA的長(zhǎng)為．16．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為10cm，△ABC內(nèi)接于⊙O，圓心O在△ABC內(nèi)，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面積為cm2．三、解答題17．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知；如圖，在⊙O中，C、D分別是半徑OA、BO的中點(diǎn)，求證：AD＝BC．18．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）往直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖所示．若油面寬AB=60019．（2011秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如下圖，在半徑為5米的圓形花壇周?chē)抟粭l寬1米的小路，求小路的面積．20．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）為了落實(shí)“二十大”報(bào)告精神，辦人民滿(mǎn)意教育，決定重新修建學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，設(shè)計(jì)圖如下：兩端是半圓形，中間是長(zhǎng)方形．（π取3）(1)求這個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)．(2)求這個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積．(3)已知整個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)由草坪和塑膠跑道組成，塑膠跑道和草坪的面積比是3：7，每平方米草坪的價(jià)格是5元，比每平方米塑膠的價(jià)格低192021．（2021·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）在直徑為10cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖，油面寬AB為6cm，當(dāng)油面寬AB為8cm時(shí)，油上升了多少cm？22．（2021秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上且不與點(diǎn)A，B重合，∠ABC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)E，連接CE交BD于點(diǎn)F，連接FG．(1)求證：FG=1(2)若AB=65，F(xiàn)G=623．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求證：△ABC是等邊三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面積．24．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）問(wèn)題提出（1）如圖①，在△ABC中，BC＝6，D為BC上一點(diǎn)，AD＝4，則△ABC面積的最大值是．問(wèn)題探究（2）如圖②，已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為12，求矩形ABCD面積的最大值．問(wèn)題解決（3）如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，現(xiàn)在他想利用周邊地的情況，把原來(lái)的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長(zhǎng)盡可能長(zhǎng)的四邊形地，用來(lái)建魚(yú)塘．已知葛叔叔欲建的魚(yú)塘是四邊形ABCD，且滿(mǎn)足∠ADC＝60°．你認(rèn)為葛叔叔的想法能否實(shí)現(xiàn)？若能，求出這個(gè)四邊形