專題01 圓的基本性質+垂徑定理（知識串講+6大考點）原卷版

專題01圓的基本性質+垂徑定理考點類型知識串講（一）圓的相關概念（1）圓的概念：在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周，另一個端點所形成的圖形叫圓．這個固定的端點叫做圓心，線段叫做半徑．以點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．特點：圓是在一個平面內，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形．（2）確定圓的條件：①圓心；②半徑，③其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大?。?）相關概念同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓．（二）垂徑定理及其推論（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）推論：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?、谙业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?、蹐A的兩條平行弦所夾的弧相等（3）常見輔助線做法：①過圓心，作垂線，連半徑，造，用勾股，求長度（多為方程勾股）；②有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分．考點訓練考點1：圓的相關概念典例1：（2023·福建·九年級專題練習）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，這是因為（

）A．同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個圓所有的直徑都相等C．圓的周長是直徑的π倍D．圓是軸對稱圖形【變式1】（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）已知線段AB的中點為M，動點P滿足AB=2PM，則點P的軌跡是（

）A．以AB為直徑的圓B．AB的延長線 C．AB的垂直平分線 D．平行AB的直線【變式2】（2022秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）已知AB是半徑為2的圓的一條弦，則AB的長可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式3】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）畫圓時，圓規(guī)兩腳間可叉開的距離是圓的（）A．直徑 B．半徑 C．周長 D．面積考點2：利用垂徑定理——求線段典例2：（2023春·湖南長沙·八年級?？计谀┤鐖D，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（

）A．5 B．6 C．8 D．10【變式1】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點A、B是⊙O上兩點，AB=10，點P是⊙O上的動點（P與A、B不重合），連接AP、PB，過點O分別作OE⊥AP交AP于點E，OF⊥PB交PB于點

A．2 B．3 C．5 D．6【變式2】（2023·浙江·一模）如圖，在水平放置的圓柱形排水管的截面中，圓的半徑為5，弓形部分水面寬度AB=8，則該截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．2【變式3】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，點A、B、C三點在⊙O上，點D為弦AB的中點，AB=8cm，CD=6cm，則A．43cm B．53cm C．83考點3：利用垂徑定理——求平行弦典例3：（2022秋·天津和平·九年級?？计谀袿半徑為5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，則AB與CD間的距離為（A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式1】（2022秋·浙江寧波·九年級寧波市第七中學?？茧A段練習）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA=1m，水面寬AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，則此時排水管水面寬為（

）A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m【變式2】（2022秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB和CD的距離是（

）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm【變式3】（2023春·全國·九年級專題練習）在圓柱形油槽內裝有一些油，截面如圖所示，已知截面⊙O半徑為5cm，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?cm，則油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7考點4：利用垂徑定理——求同心圓典例4：（2022秋·北京·九年級北師大實驗中學?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，一條圓弧經(jīng)過A2,2，B4,0，A．點D B．點E C．點F D．點G【變式1】（2022春·九年級課時練習）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D【變式2】（2023春·九年級課時練習）已知△ABC的邊BC=23，且△ABC內接于半徑為2的⊙O，則∠A的度數(shù)是（A．60° B．120° C．60°或120° D．90°【變式3】（2021春·九年級課時練習）如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點，AB=12cm，AO=8cm，則OC長為（）cmA．5 B．4 C．25 D．考點5：利用垂徑定理——實際應用典例5：（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

A．20m B．28m C．35m【變式1】（2022秋·河北邢臺·九年級?？计谀┩曹囀俏覈糯l(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（

）A．1米 B．3+5米 C．3米 D．3-【變式2】（2023春·福建南平·九年級專題練習）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧．如圖1，點M表示筒車的一個盛水桶．如圖2，當筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心O（O在水面上方）為圓心的圓，且圓O被水面截得的弦AB長為8米．若筒車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為2米，則這個圓的半徑為（

）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【變式3】（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）圖1是木馬玩具，圖2是木馬玩具底座水平放置的示意圖，點O是AB所在圓的圓心，點A，B離地高度均為15cm，水平距離AB=90cm，則

A．60cm B．65cm C．70cm D考點6：垂徑定理的推論——定圓心典例6：（2023春·安徽亳州·九年級專題練習）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，CE=DE，則下列說法錯誤的是（

）A．CB=BD B．OE=BE C．CA=DA D．【變式1】（2022秋·九年級統(tǒng)考期中）如圖，⊙O的弦AB=8，M是AB的中點，且OM=3，則⊙O的半徑等于（

）A．7 B．4 C．5 D．6【變式2】（2022春·九年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，將△ACD沿CD對折得△A′CD．連接BA'，連接AA′交CD于點E，若AB=14cm，BA．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【變式3】（2022秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、A．點P B．點Q C．點R D．點M同步過關一、單選題1．（2022春·九年級單元測試）如圖所示，在⊙O中，點A，O，D以及點B，O，C分別在一條直線上，則圖中的弦有(

)A．2條 B．3條 C．4條 D．5條2．（2023春·九年級單元測試）在⊙O中，P為其內一點，過點P的最長弦的長為8cm，最短的弦的長為4cm，則OP的長為（）．A．23cm B．22cm C．2cm D．3．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在⊙O內有折線OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，則BC的長為()A．19 B．16 C．18 D．204．（2023春·九年級單元測試）已知⊙O的半徑為10，P為⊙O內一點，且OP＝6，則過P點，且長度為整數(shù)的弦有（

）A．5條 B．6條 C．8條 D．10條5．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，由邊長為1的正方形組成的6×5網(wǎng)格中，一塊含45°的三角板ABC的斜邊AB始終經(jīng)過格點N，AC始終經(jīng)過格點M，點A在MN下方運動，格點P到A的距離最小值為（

）A．1 B．2 C．13﹣1 D．22﹣26．（2022秋·全國·九年級專題練習）小明想知道一塊扇形鐵片OAB中的AB的拱高（弧的中點到弦的距離）是多少？但他沒有任何測量工具，聰明的小明觀察發(fā)現(xiàn)身旁的墻壁是由10cm的正方形瓷磚密鋪而成（接縫忽略不計）．他將扇形OAB按如圖方式擺放，點O,A,B恰好與正方形瓷磚的頂點重合，根據(jù)以上操作，AB的拱高約是（

A．10cm B．20cm C．(30-1057．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點E，垂足為點D，AE，CB的延長線交于點F．若OD=3，AB=8，則FC的長是（

A．10 B．8 C．6 D．48．（2023春·九年級單元測試）如圖，已知圓O的半徑為10，AB⊥CD，垂足為P，且AB＝CD＝16，則OP的長為()A．6 B．62 C．8 D．829．（2023·九年級單元測試）☉O的半徑為10cm,弦AB=12cm,則圓心到AB的距離為()A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm10．（2022秋·浙江杭州·九年級期中）CD是圓O的直徑，弦AB⊥CD于點E，若OE=3，AE=4，則下列說法正確的是（

）A．AC的長為25 B．CE的長為C．CD的長為12 D．AD的長為10二、填空題11．（2022秋·九年級課時練習）在同一平面內，點P到圓上的點的最大距離為10cm，最小距離為4cm，則此圓的半徑為．12．（2022春·九年級單元測試）點A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，則∠OAB=．13．（2022秋·九年級單元測試）如圖，將半徑為4cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長度為cm．14．（2023春·九年級課時練習）如圖，AB是⊙o的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm,那么A、B兩點到直線CD的距離之和為.15．（2022春·九年級課時練習）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠C＝30°，⊙O的半徑是6，若點P是⊙O上的一點，PB＝AB，則PA的長為．16．（2022秋·九年級課時練習）如圖，⊙O的半徑為10cm，△ABC內接于⊙O，圓心O在△ABC內，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面積為cm2．三、解答題17．（2022秋·九年級課時練習）已知；如圖，在⊙O中，C、D分別是半徑OA、BO的中點，求證：AD＝BC．18．（2022秋·九年級單元測試）往直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油以后，截面如圖所示．若油面寬AB=60019．（2011秋·七年級課時練習）如下圖，在半徑為5米的圓形花壇周圍修一條寬1米的小路，求小路的面積．20．（2022春·九年級課時練習）為了落實“二十大”報告精神，辦人民滿意教育，決定重新修建學校運動場，設計圖如下：兩端是半圓形，中間是長方形．（π取3）(1)求這個運動場的周長．(2)求這個運動場的面積．(3)已知整個運動場由草坪和塑膠跑道組成，塑膠跑道和草坪的面積比是3：7，每平方米草坪的價格是5元，比每平方米塑膠的價格低192021．（2021·全國·九年級假期作業(yè)）在直徑為10cm的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖，油面寬AB為6cm，當油面寬AB為8cm時，油上升了多少cm？22．（2021秋·九年級課時練習）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上且不與點A，B重合，∠ABC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為點G，交⊙O于點E，連接CE交BD于點F，連接FG．(1)求證：FG=1(2)若AB=65，F(xiàn)G=623．（2022秋·九年級課時練習）如圖，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求證：△ABC是等邊三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面積．24．（2022秋·全國·九年級專題練習）問題提出（1）如圖①，在△ABC中，BC＝6，D為BC上一點，AD＝4，則△ABC面積的最大值是．問題探究（2）如圖②，已知矩形ABCD的周長為12，求矩形ABCD面積的最大值．問題解決（3）如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，現(xiàn)在他想利用周邊地的情況，把原來的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長盡可能長的四邊形地，用來建魚塘．已知葛叔叔欲建的魚塘是四邊形ABCD，且滿足∠ADC＝60°．你認為葛叔叔的想法能否實現(xiàn)？若能，求出這個四邊形