專題10平面向量及其應(yīng)用（教師版）

專題10平面向量及其應(yīng)用平面向量是高考命題的平面向量是高考命題的熱點和重點內(nèi)容，命題突出向量的基本運算與工具性，常常以平面圖形為載體，考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何、不等式等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)．通過本專題的復(fù)習(xí)要注意正確掌握平面向量中相關(guān)概念，注意平面向量具備數(shù)與形的兩面性，并合理轉(zhuǎn)化，注意向量數(shù)量積的多種應(yīng)用，注意借助坐標(biāo)系、運用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)和方程思想轉(zhuǎn)化解決相關(guān)問題。專題中三個探究（數(shù)量積最值范圍、平面幾何、解析幾何中應(yīng)用）突出重點與難點，簡潔清晰，將高考中這部分內(nèi)容的考查方式和思維方法深入的剖析。——大冶一中高級教師陳俊杰探究1：平面向量數(shù)量積的最值與范圍問題【典例剖析】例1.(2022·山東省聯(lián)考)已知|a|=|b|=2,且a，b的夾角為60°,若|cA.[-4,4] B.[-23,23]選題意圖:最新聯(lián)考題選題意圖:最新聯(lián)考題，與數(shù)量積有關(guān)的最值和范圍問題是高考的熱點，可通過建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,將向量的數(shù)量積坐標(biāo)化,從而轉(zhuǎn)化常見的三角函數(shù)求范圍，還有一種思路是數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)求解，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的靈活性和創(chuàng)新性.思維引導(dǎo)：解法1：取OA=a,OB=b,OC=c，說明點C在以A為圓心，半徑為1的圓面上(包括邊界)，設(shè)向量b,c的夾角為θ，推出θ取值范圍為[π6,π2]；然后求解b?【解析】解法1：取OA=a,OB=b,OC=c，則點C在以A為圓心，半徑為1的圓面上(包括邊界)，

設(shè)向量b由于|c|cosθ為向量c在向量b上的投影，且0≤|c|cosθ≤2．

故b?c的取值范圍是[0,4]．

解法2：不妨設(shè)a=(2,?0)，b=(1,3)，c=(x,?y)．

因為|c-a|≤1，所以(x-2)2+y2≤1【變式訓(xùn)練】練11(2022·安徽省安慶市聯(lián)考)已知向量a，b，c滿足|a|=2，|b|=1，|(c-a)2+(c【解析】因為(c-a)2+(c-b)2-(c故答案為[-2,-1練12(2022·河北省模擬)已知平面向量a，b滿足|a|=|b|=a?b=2，且A.2 B.3 C.4 D.5【解析】∵|a|=|b|=a?b=2，∴cos<a,b>=a?b|a||b|=12練13(2022·安徽省滁州市三模)已知平面向量a,b,c滿足|a|=1，|b|=3，a?b=0【解析】∵a·b=0，∴可以a方向為x軸正方向，b方向為y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由圖可知，a=OA,b=OB，c=OC，O(0,0)，A(1,0)，B(0,3以M1為圓心，AB長為半徑作出圓M1，同理作出圓M2．

∵c-a與c-b的夾角為即∠ACB=π6=12∠AM1B=12∠AM2B，

則點C的軌跡為圓M1中弦AB所對應(yīng)的優(yōu)弧以及圓M2中弦AB所對應(yīng)的優(yōu)弧(不包括端點A、B)．

①當(dāng)C在圓M1中弦AB所對應(yīng)的優(yōu)弧中時，

由圖可知M1(2,3)，設(shè)點C(x,y)，則有(x-2)2+(y-3)2=4，

令x=2+2cosθy=3+2sinθ，則c?→b→-【規(guī)律方法】平面向量中，有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：1.“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷.

2.“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.探究2：平面向量與平面幾何【典例剖析】例2.(2022·北京卷)在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC則PA?PBA.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6]選題意圖:選題意圖:高考真題，以三角形和平面向量為載體，綜合考查了向量的數(shù)量積、直線和圓、函數(shù)的最值、三角函數(shù)等知識點，該題目的解法多樣，可通過建立坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解，也可以利用平面向量的線性運算和數(shù)量積進(jìn)行求解，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)的靈活性和創(chuàng)新性.思維引導(dǎo)：法一：建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解;法二：利用平面向量的線性運算與數(shù)量積運算進(jìn)行求解【解析】法一：建立如圖所示坐標(biāo)系，

由題易知，設(shè)C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，∵PC=1，∴設(shè)Pcosθ,sinθ，=-3cosθ-4sinθ+cos2θ+sin2θ

=1-5sin(θ+φ)(sinφ=35,cosφ=45)∈[-4，6]

法二：注意：<CP，CB>=|故選D．【變式訓(xùn)練】練21(2022·浙江省聯(lián)考·多選)八卦是我國古代的一套有象征意義的符號.如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA=1，則(

)A.EF=AB B.OB+OH【解析】對于A，兩向量方向相反，故錯誤；

對于B，連接BH交OA于M，由|OH|=|OB|=1，∠HOB=90°可得|OM|=22，

由向量的平行四邊形法則可得OB+OH=2OM，

又|OE|=1，則OB+OH=2OM=-2OE，B正確；

對于C，由正八邊形可得∠AOB=45°，

則OA?OD=|OA|?|OD|cos∠AOD=1×1×cos135°=-22，C練22(2022·湖南省長沙市模擬)數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線．若AB=4，AC=2，則下列各式不正確的是

(

)A.AG?BC-4=0 B.2GO【解析】A，設(shè)M為BC中點，由G是?ABC的重心可得AG=23AM=23(12AB+12AC)=13AB+13AC，所以AG?BC=13(AB則AO==|AE||AC|-|AD||AB|=12|AC故OA=3OG由歐拉線定理可得OH=3OG，所以O(shè)H=OA+OB練23(2022·浙江省期末)如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為BC邊的中點，F(xiàn)為CD邊上一點，若AF·AE=|AEA.3 B.5 C.32 D.【解析】法一：以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，

建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(0,0)，E(2,1).設(shè)|DF|=x，則F(x,2)，故AF=(x,2)，AE=(2,1)．

∵AF·AE=|AE|2，∴(x,2)·(2,1)=2x+2=5，解得x=32，

∴|AF|=322+22=52．

故選D．

法二：連接EF

由題意，∵AF·AE=|AF|·|AE|cos∠EAF=|AE|練24(2022·湖南省長沙市聯(lián)考)已知邊長為2的菱形ABCD中，點F為BD上一動點，點E滿足BE=2ECAE?BD=-23，則【解析】由題意知：BE=23BC=23AD，設(shè)∠DAB=θ，

∴AE?BD=(AB+BE)?(AD-AB)=(AB+23AD)·(AD-AB)

=AB?AD-AB2+23故答案為-73【規(guī)律方法】利用向量法解決平面幾何問題一般需要三步：

1.尋基底，尋找條件中的已知長度和夾角的不共線的兩條線段作為基底

2.用基底表示結(jié)論中的有關(guān)線段3.通過向量的運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，并把運算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系.探究3：平面向量與解析幾何【典例剖析】例3.(2021·全國乙卷文科)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F到準(zhǔn)線的距離為2．

(1)求C的方程；

(2)已知O為坐標(biāo)原點，點P在C上，點Q滿足PQ=9選題意圖選題意圖：高考真題，向量與參數(shù)是圓錐曲線中常見的載體，很好的體現(xiàn)解析幾何中數(shù)形轉(zhuǎn)化和坐標(biāo)法的核心思想方法，考查了直線和拋物線的基本知識，考查了向量數(shù)形“兩面性”的運用轉(zhuǎn)化和求解最值中運用函數(shù)基本思想,體現(xiàn)了觀察、探究、發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng).思維引導(dǎo)：(1)根據(jù)焦點F到準(zhǔn)線的距離為2求出p，進(jìn)而得到拋物線方程，

(2)設(shè)出點Q的坐標(biāo)(m,n)，按照向量關(guān)系得出P點坐標(biāo)，再代入拋物線方程中，表示出OQ斜率k，結(jié)合基本不等式分別討論n=0，n>0【解析】(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F(p2,0)，準(zhǔn)線方程為x=-p2，

由題意，該拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為p2-(-p2)=p=2，

∴y2=4x．

(2)由(1)知，拋物線C：y2=4x，F(xiàn)(1,0)，

設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m,n)，則QF=(1-m,-n)，PQ=9QF=(9-9m,-9n)

∴P點坐標(biāo)為(10m-9,10n)，

將點P代入C得100n2=40m-36，整理得m=100n2+3640=25n2+910，

∴直線OQ斜率k=nm=【變式訓(xùn)練】練31(2022·河北省聯(lián)考)已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左、右焦點，離心率為2，點P為雙曲線在第一象限上的一點，且滿足PF1?PF2=0，|PF1||PF2【解析】(1)由題意可得e=ca=2，可得c=2a，b2=c2-a2=3a2，所以b=3a，

又因為PF1?PF2=0，|PF1||PF2|=6．

在Rt△PF1F2中，由|PF1||PF2|=6．

由|PF1|-|PF2|=2a，所以可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2，

而|PF1|2+|PF2|2=4c2，所以4c2-12=4a2，可得b2=3，a練32(2022·廣東省深圳市聯(lián)考)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點Q為x軸上的一個動點，動點P滿足|PO|=|PQ|=32，又點E滿足(1)求動點E的軌跡Г的方程；(2)過曲線Г上的點A(x?0，y?0)(x?0y?0≠0)的直線l與x，y軸的交點分別為M和N，且NA=2AM【解析】(1)法一：設(shè)E(x,y)，由題意，設(shè)Q(x',0)，由|PO|=|PQ|=32得P(12x',y')，且x'24+y'2=94，

由PE=12EQ得E(23x',23y')，則x=23x'y=23y'，得x'=32xy'=32y，

代入x'24+y'2=94整理得x24+y2=1，

則動點E的軌跡Г的方程為：x24+y2=1．

法二：設(shè)∠POQ=α,P(32cosα,32sinα),Q(3cosα,0),

設(shè)E(x,y)，則x=2cosαy=sinα,

消去α得x24+y2=1．

動點E的軌跡Г的方程為：x24【規(guī)律方法】

1.運用向量的共線的相關(guān)知識，可以較容易地處理涉及三點共線、定比分點、直線等問題。在處理圓錐曲線中求相關(guān)量的取值范圍、求直線的方程、求待定字母的值、證明過定點等問題時，如能恰當(dāng)?shù)倪\用平面向量共線的相關(guān)知識，常常能使問題較快捷的得到解決。2.向量的數(shù)量積將一些幾何知識與代數(shù)知識充分的聯(lián)系在一起，它可以處理垂直、長度、三角形面積和三角函數(shù)等問題。所以在解決圓