2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過-考點(diǎn)05 一元二次方程

考點(diǎn)05—元二次方程

*考情分析與預(yù)測

本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、

一元二次方程的應(yīng)用題為主,既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題,年年考查,分值為20分左右,

預(yù)計(jì)2021年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型,為避免丟分,學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.

知識(shí)整告

一、一元二次方程的概念

1.一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.一般形式：ax*12+bx+c=0（其中上c為常數(shù)，a。。），其中力x,c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和

常數(shù)項(xiàng)，分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).

注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意因?yàn)楫?dāng)。=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次

方程；（2）一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知

數(shù)的最高次數(shù)是2.

二、一元二次方程的解法

1.直接開平方法：適合于（x土a-=伙820）或（or土力＞=（以±1）2形式的方程.

2.配方法：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；

（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成（x±a）2=20）的形式；

（5）運(yùn)用直接開平方法解方程.

3.公式法：（1）把方程化為一般形式，即以2+法+c=o；（2）確定a/,c的值；（3）求出。2一4比的

值；（4）將的值代入》=心殳僅二皿即可.

2a

4.因式分解法：基本思想是把方程化成（6+加（。％+4）=0的形式，可得儂+匕=0或％+d=0.

三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系

1.根的判別式：一元二次方程必2+歷:+。=0（"/0）是否有實(shí)數(shù)根，由02_4ac的符號(hào)來確定，我們把

b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式.

2.一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系

（1）當(dāng)4ac>0時(shí)，方程雙2+法+。=0（。聲0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)。2_4QC=0時(shí)，方程o?+以+。=0（。￥0）有1個(gè)（兩個(gè)相等的）實(shí)數(shù)根;

（3）當(dāng)〃-4ac<0時(shí)，方程分2+以+。=0（。/0）沒有實(shí)數(shù)根.

3.根與系數(shù)關(guān)系：對于一元二次方程W2+法+°=0（其中a,b,c為常數(shù)，。。0）,設(shè)其兩根分別為演，

ebc

，則玉+&=，*I"2=—,

a“a

四、利用一元二次方程解決實(shí)際問題

列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程（組）解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、歹U、解、驗(yàn)、答六步.列

一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是?？純?nèi)容.

1.增長率等量關(guān)系

（1）增長率=增長量+基礎(chǔ)量.（2）設(shè)。為原來量，加為平均增長率，〃為增長次數(shù)，〃為增長后的量,

則”（1+根）”=匕；當(dāng)加為平均下降率時(shí)，則有。（1一根）"=。.

2.利潤等量關(guān)系：（1）利潤=售價(jià)一成本.（2）利潤率=關(guān)崇義100%.

3.面積問題

（1）類型1：如圖1所示的矩形ABCD長為。，寬為b,空白“回形”道路的寬為x,則陰影部分的面積

為(a—2x)(?！?x).

（2）類型2：如圖2所示的矩形A8C。長為。，寬為b,陰影道路的寬為x,則空白部分的面積為

(a-x)(b-x).

（3）類型3：如圖3所示的矩形AB8長為“，寬為b,陰影道路的寬為x,則4塊空白部分的面積之和

可轉(zhuǎn)化為(a-x)3-x).

圖1

4.碰面問題（循環(huán)問題）

（1）重疊類型（雙循環(huán)）：〃支球隊(duì)互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為加。

支球隊(duì)要和剩下的（〃-1）支球隊(duì)比賽，...1支球隊(duì)需要比（〃一1）場

?.?存在"支這樣的球隊(duì)，.?.比賽場次為：〃（〃-1）場

A與H比賽和B與4比賽是同一場比賽，，上述求法有重疊部分.

（）

/.m=2-nn—1

（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場與所有球隊(duì)各打一場，總共比賽場次為機(jī)。

支球隊(duì)要和剩下的（〃一1）支球隊(duì)比賽，...I支球隊(duì)需要比（n-1）場

?.?存在〃支這樣的球隊(duì)，.?.比賽場次為：〃（?-1）場.

與8比賽在4的主場，B與力比賽在B的主場，不是同一場比賽，，上述求法無重疊.

m=n（n—1）

《^點(diǎn)考向.

考向一一元二次方程的解

緊扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化筒變形求解。

典例引領(lǐng)

1.（2020?江蘇常州?中考真題）若關(guān)于尤的方程月+姓一2=0有一個(gè)根是1,則。=.

【答案】1

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=l代入方程得到關(guān)于a的一次方程，然后解此一次方程即可.

【解析】解：把x=l代入方程必—2=（）得l+a-2=0,解得a=l.故答案是：1.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

變式拓展

1.（2020?甘肅金昌?中考真題）已知x=l是一元二次方程（帆—2）/+4x-加=。的一個(gè)根，則的值為

（）

A.-1或2B.-1C.2D.0

【答案】B

【分析】首先把X=1代入（機(jī)―2）Y+4x—機(jī)2=0,解方程可得mi=2,m?=-l,再結(jié)合一元二次方程定義

可得m的值

【解析】解：把x=l代入（〃[-2）%2+4x-，〃2=0得：m—2+4—m2=°>解得：mi=2,畋=-1

：（/九一2）/+4》-m2=0是?元二次方程，，m—2W0>m2>m——\<故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的解和定義，關(guān)鍵是注意方程二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0.

考向二解一元二次方程

一元二次方程的常見解法及適用情形:

一般形式：ax1++c=0（。。0）

直接開平方法形如（x+根）2=〃（〃之0）的方程，可直接開方求解，則％=-〃2+6，

因式分解法可化為a（x+m）（x+〃）=0的方程，用因式分解法求解，則內(nèi)=一/〃，%=一〃

配方法若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為a（x+〃）2=女，再直接開方求解

公式法利用求根公式：-4ac（/=二_4比之0）

2a

典例引領(lǐng)

1.（2020?遼寧營口?中考真題）一元二次方程N(yùn)-5x+6=0的解為（）

A.xi=2,X2=-3B.X]=-2,X2=3C.X\=-2,X2=-3D.xi=2,及=3

【答案】D

【分析】利用因式分解法解方程.

【解析】解：(x-2)(x-3)=0,x-2=0或x-3=0,.'.xi=2,X2=3.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這

種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

2.（2020?山東聊城?中考真題）用配方法解一元二次方程2/一3%一1=0,配方正確的是（）.

【答案】A

【分析】按照配方法的步驟進(jìn)行求解即可得答案.

,31

【解析】解：2X2-3X-1=0移項(xiàng)得一3X=1，二次項(xiàng)系數(shù)化1的=X=

22

配方得⑶H+0即故選:A

22UJI4；16

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟為（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把

二次項(xiàng)的系數(shù)化為1：（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)?半的平方.

【點(diǎn)睛】本題考查了解元二次方程，能夠根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵.

3.（2019?西藏中考真題）一元二次方程/—六1=（）的根是

【答案—￥，馬二野.

【分析】先計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式解方程.

2

【解析】爐-尸］=o，a=l,b=—1,c=—1,A=(-1)-4X(-1)=5>0，

X一生5,所以x一T+也V一if.故答案為.r一1+石X-"后

2x12222

變式拓展

1.（2020?山東泰安?中考真題）將一元二次方程了2一8%—5=0化成（x+a）2=/?（m匕為常數(shù)）的形式，

則a,b的值分別是（）

A.-4，21B.-4.11C.4,21D.-8,69

【答案】A

【分析】根據(jù)配方法步驟解題即可.

【解析】解：5=0移項(xiàng)得*2—8x=5，配方得f—8x+42=5+16，

即（x-4『=21,'.a--4,h-2].故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是配方：在二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，方程兩邊同時(shí)加上

一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

x

2.（2020?四川樂山?中考真題）已知ywO,且犬一3只—4丁=0.則一的值是

y

【答案】4或-I

【分析】將已知等式兩邊同除以V進(jìn)行變形，再利用換元法和因式分解法解一元二次方程即可得.

x3x

【解析】???丁工。???將尤2一3孫一4/=0兩邊同除以丁得：（一/------4=0

x

令t=一則產(chǎn)—3/-4=0因式分解得：（，-4）（，+1）=0解得/=4或，=一1

y

x

即一的值是4或一1故答案為：4或—1.

y

【點(diǎn)睛】本題考查了利用換元法和因式分解法解一元二次方程，將已知等式進(jìn)行正確變形是解題關(guān)鍵.

3.（2020?湖南張家界?中考真題）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程1-61+8=0的兩根，則

該等腰三角形的底邊長為（）

A.2B.4C.8D.2或4

【答案】A

【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長，用三角形存在的條件分類討論邊長，即可得

出答案.

【解析】解：X?—6x+8=0（x—4）（x—2）=0解得：x=4或x=2,

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,2,4時(shí)，不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,4,4時(shí)，符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)能組成三角形，

所以三角形的底邊長為2,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查J'等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解一元二次方程，能求出方程的解并能夠判

斷三角形三邊存在的條件是解此題的關(guān)鍵.

考向三一元二次方程根的判別式

對于方程如2+陵+。=0370）,A=b2-4ac，①若/>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②若4=0,

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③若/<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.

典例引領(lǐng)

1.（2020?山東濱州?中考真題）對于任意實(shí)數(shù)k,關(guān)于*的方程,/—（%+5）%+女2+2左+25=0的根的情

2

況為（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.沒有實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.無法判定

【答案】B

【分析】先根據(jù)根的判別式求出的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容判斷即可.

【解析】解：-x2~（k+5）x+k2+2k+25=0,

2

△=[-（A+5）]2-4xgx（公+24+25）=—/+64-25=—（左一3>—16,

不論k為何值，一（攵一3尸”0,即△=—（%—3）2—16<0,所以方程沒有實(shí)數(shù)根，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程ax?-bx+c=0

（a、b、c為常數(shù)，a/0）,當(dāng)△=b：!-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)

相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=b2-4ac<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

2.（2020?黑龍江雞西?中考真題）已知關(guān)于X的一元二次方程/_（24+1）1+42+2人=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，X,,

則實(shí)數(shù)攵的取值范圍是（）

A.k<—B.k<—C.左>4D.k<—且ZHO

444

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式列不等式，再解不等式即可.

2

【解析】解：；關(guān)于X的一元二次方程x2_（2k+l）x+A2+2k=o有兩個(gè)實(shí)數(shù)根匹，X2,Q=b-4ac>Q,

'：a-\,b--{2k+\},c-kz+2k,,-.[-（2A:+1）]2-4xlx（A:2+2^）>0,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式，掌握一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?湖南懷化?中考真題）已知一元二次方程/一履+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則A的值為（）

A.k=4B.k=-4C.k=±4D.左=±2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得方程的判別式△=（）,進(jìn)而可得關(guān)于k的方程，解方程即得答案.

【解析】解：由題意，得：△=(—%『-16=0,解得：左=土4.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，屬于基礎(chǔ)題型，熟知一元二次方程的根的判別式與方程

根的個(gè)數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1.(2020?湖北荊州?中考真題)定義新運(yùn)算。*人，對于任意實(shí)數(shù)a,b滿足a*b=(a+Z?)(a-0)—l,其中

等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6,若x*k=x(k為實(shí)

數(shù))是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是()

A.有一個(gè)實(shí)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

【答案】B

【分析】將X*《按照題中的新運(yùn)算方法展開，可得x*Z=(x+k)(x-z)-l,所以X*Z=X可得

(x+k)(x-z)-l=x，化簡得：=△=—左27)=4左2+5,可得/>0,

即可得出答案.

【解析】解：根據(jù)新運(yùn)算法則可得：x*Z=(x+Z)(x-Z)-l=x2-/一1,

則X*Z=X即為f一公_1=》，整理得：》2_%_左2_]=0,則”=11=一1,。=一公一1,

可得：A=(-l)2-4xl-(-F-l)=4)l2+5

Q^NO，二4人2+525;??.A>0,?..方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故答案選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算以及一元二次方程根的判別式.注意觀察題干中新定義運(yùn)算的計(jì)算方法，不能

出錯(cuò)：在求一元二次方程根的判別式時(shí)，含有參數(shù)的一元二次方程要尤其注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).

2.(2020?安徽中考真題)下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是()

A.f+i=2xB.x2+1=0C.x2-2x-3D.x2-2x-0

【答案】A

【分析】根據(jù)根的判別式逐一判斷即可.

【解析】A./+I=2X變形為/一2兀+1=0,此時(shí)△=4-4=0,此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)A正確；

B.f+iuO中△=0一4=-4<0,此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

C.X2-2X=3整理為爐_2x—3=0，此時(shí)△=4+12=16>0,此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤：

D.%2—2%=0中，A=4>0,此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式，熟練掌握根的情況與判別式間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.(2020?四川攀枝花?中考真題)若關(guān)于％的方程%—m=0沒有實(shí)數(shù)根，則用的值可以為().

1

A.-1B.——C.0D.1

4

【答案】A

【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程12一%—m=0沒有實(shí)數(shù)根，判斷出△<(),求出m的取值范圍，再找出符合條

件的m的值.

【解析】解：???關(guān)于x的方程f一萬一加二。沒有實(shí)數(shù)根，

...△[(-1)--4x1x()=1+4/”<0,解得：/〃<一；，故選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)滿足，故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，需要掌握一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根相當(dāng)于判別式小于零.

考向四根與系數(shù)關(guān)系

bQ

設(shè)一元二次方程辦2+Z?x+c=O(awO)的兩根分別為*,%，則M+x,=-一，匹尤2=一?

aa

典例引領(lǐng)

1.(2020?江蘇南京?中考真題)關(guān)于x的方程(x—l)(x+2)=02(2為常數(shù))根的情況下，下列結(jié)論中正

確的是()

A.兩個(gè)正根B.兩個(gè)負(fù)根C.一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根D.無實(shí)數(shù)根

【答案】C

【分析】先將方程整理為一般形式，再根據(jù)根的判別式得出方程由兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，然后又根與系數(shù)的

關(guān)系判斷根的正負(fù)即可.

【解析】解：(x-l)(x+2)=p2,整理得：x2+x-3-p2=0.

.?.△=12—4(-3-22)=422+13>。，.?.方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程兩個(gè)根為不、馬，

?.,玉+々=-1,MX?=-3-02，兩個(gè)異號(hào)，而且負(fù)根的絕對值大.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ov2+bx+c=0(a#))的根的判別式△二爐_4,心當(dāng)△>(),方程有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：△＜（）,方程沒有實(shí)數(shù)根.也考查r一元二次方程根與系

bc

數(shù)的關(guān)系：X,+X=-,——

2aa

2.（2019?廣東廣州?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程f一伏一1?-4+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根內(nèi),當(dāng)，

+2）（M—為-2）+2%]%2=—3,則k的值（）

A.0或2B.-2或2C.-2D.2

【答案】D

【分析】將（%一%2+2）（玉一％2-2）+2%々=-3化簡可得，+%21一4%工2一4+2%,工2=一3，

利用韋達(dá)定理，（上—1）2—4一2（—女+2）=—3,解得，k=±2,由題意可知△＞（）,

可得k=2符合題意.

【解析】解：由韋達(dá)定理，得：再+X2=k-1，xtx2=~k+2,

由（力—/+2）（王一—2）+2%/=-3,得：（%—為2）—4+2X|=—3＞

即（玉+々）2—4%/_4+2%%2=_3,所以，（后_1）2_4_2（_4+2）=_3,

化簡，得：左2=4,解得：k=±2,

因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程f—e—I）%—左+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以，△=（k—Ip—4（—女+2）=r+2左一7〉0,k=-2不符合，所以，k=2故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?四川宜賓?中考真題）一元二次方程/+2犬一8=0的兩根為0々，則強(qiáng)+2尤=

%々

37

【答案】—二

2

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出斗+々和王%即可；

【解析】x2+2x—8=0??=1,b=2,c=—8,

/.x{+n=一—=-2,&叱二—二一8,—+2XjX2+工=X2+%]+21]尤2，

ad.-*^2

2

=&+%）、2"2+2J-2）-2x（-8）+2_37故答案為—衛(wèi)

中2-8v722

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，準(zhǔn)確利用知識(shí)點(diǎn)化簡是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2019?四川成都?中考真題）己知王，馬是關(guān)于8的一元二次方程f+2x+左一1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且

X；+x；-%工2=13,則k的值為.

【答案】-2

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【解析】xi.X2=k-l,x：=（X]）2-3百?蒞=4-3（1（-1）=13區(qū)=-2.故答案為:-2.

VXI+X2=-2,—XXX2+X2

【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用.

2.（2019?廣西玉林?中考真題）若一元二次方程/一%一2=0的兩根為王，馬,則（1+玉）+々。一%）的

值是（）

A.4B.2C.1D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【解析】根據(jù)題意得玉=1，3=-2,

所以（1+玉）+%2（1―玉）=1+玉+X2-X,X2=1+1-（-2）=4.故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知根與系數(shù)的性質(zhì).

3.（2020?湖北黃石?中考真題）已知：關(guān)于x的一元二次方程而％—2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（1）求相的取值范圍；（2）設(shè)方程的兩根為玉、x2,且滿足（百一%）2-17=0,求機(jī)的值.

【答案】（1）m20（2）9

【分析】（1）根據(jù)題意可得△＞（）,再代入相應(yīng)數(shù)值解不等式即可；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得玉+Z=-赤，玉々=2,根據(jù)（%一/『=（玉+々）2—4%/=17可得關(guān)于

m的方程，整理后可即可解出m的值.

【解析】（1）根據(jù)題意得△=（4m）（-2）20,且mNO,

解得m2-8且m20.故m的取值范圍是m20；

（2）方程的兩根為再、W，玉+*2=-詬，玉/=-2

（%）-x2）-17=0；?（X|—X2）~=（玉+芻）~一4玉尤2=17即m+8=17解得m=9/.m的值為9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式

△的關(guān)系：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：（2）△=（）0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△<0o

方程沒有實(shí)數(shù)根.以及根與系數(shù)的關(guān)系：X”X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的兩根時(shí)，xi+x2

bc

=—,xrx2=—.

aa

考向五一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用

列一元二次方程解實(shí)際問題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程.其中分析實(shí)際問題是

解決問題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實(shí)際問題.

典例引領(lǐng)

1.（2020?湖北鄂州?中考真題）目前以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展.某市2019年底有5G用戶

2萬戶，計(jì)劃到2021年底全市5G用戶數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬戶.設(shè)全市5G用戶數(shù)年平均增長率為％,則尤值

為（）

A.20%B.30%C.40%D.50%

【答案】c

【分析】先用含X的代數(shù)式表示出2020年底、2021年底5G用戶的數(shù)量，然后根據(jù)2019年底到2021年底

這三年的5G用戶數(shù)量之和=8.72萬戶即得關(guān)于x的方程，解方程即得答案.

【解析】解：設(shè)全市5G用戶數(shù)年平均增長率為X，根據(jù)題意，得：2+2（l+x）+2（l+x1=8.72,

解這個(gè)方程，得：%,=0.4=40%,X2=-3.4（不合題意，舍去）..?/的值為40%.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用之增長率問題，屬于?？碱}型，正確理解題意、找準(zhǔn)相等關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

2.（2020?貴州黔南?中考真題）在2020年新冠肺炎疫情期間，某中學(xué)響應(yīng)政府有“停課不停學(xué)”的號(hào)召，

充分利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)，九年級(jí)1班的全體同學(xué)在自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，彼此關(guān)懷，全班每

兩個(gè)同學(xué)都通過一次電話，互相勉勵(lì)，共同提高，如果該班共有48名同學(xué)，若每兩名同學(xué)之間僅通過一次

電話，那么全同學(xué)共通過多少次電話呢？我們可以用下面的方式來解決問題.用點(diǎn)4、4、4…分表示

第1名同學(xué)、第2名同學(xué)、第3名同學(xué)…第48名同學(xué)，把該班級(jí)人數(shù)x與通電話次數(shù)y之間的關(guān)系用如圖

模型表示:

（1）填寫上圖中第四個(gè)圖中y的值為,第五個(gè)圖中y的值為

（2）通過探索發(fā)現(xiàn)，通電話次數(shù)y與該班級(jí)人數(shù)x之間的關(guān)系式為,當(dāng)x=48時(shí)，對應(yīng)的V=

（3）若九年級(jí)1班全體女生相互之間共通話190次，問：該班共有多少名女生?

【答案】（1）10,15；（2）y二2二D，1128；(3)20

【分析】（1）觀察圖形，可以找出第四和第五個(gè)圖中的y值；

（2）根據(jù)y值隨x值的變化，可找出,再代入x=48可求出當(dāng)x=48時(shí)對應(yīng)的y值；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論結(jié)合九年級(jí)1班全體女生相互之間共通話190次，即可得出關(guān)于x的一元二次方程,

解之取其正值即可得出結(jié)論.

【解析】解：（1）觀察圖形，可知：第四個(gè)圖中），的值為10,第五個(gè)圖中y的值為15.故答案為：10；15.

⑵2一3x2,6=等,10=5x46x5x(x-l)

,??y=

2222

當(dāng)x=48時(shí)，y=48x（48-l）=1128故答案為：尸（,）；]128.

（3）依題意，得：地上—1）=190,化簡，得：f—x—38o=o,

2

解得：X,=20,X2=-19（不合題意，舍去）.答：該班共有20名女生.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及圖形的變化規(guī)律，觀察圖形找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?湖南衡陽?中考真題）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形.為

便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？

若設(shè)小道的寬為X米，則根據(jù)題意，列方程為（）

A.35X20-35x-20x+2x2=600B.35x20-35x-2x20x=600

C.（35-2x）（20-x）=600D.（35-x）（20-2x）=600

【答案】C

【分析】把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個(gè)矩形，根據(jù)種植的面積為600列出

方程即可.

【解析】解：如圖，設(shè)小道的寬為皿，則種植部分的長為（35-2x）加，寬為（20—x）加，

山題意得：（35-2x）（20-x）=600.故選C.

【點(diǎn)睛】考查一元二次方程的應(yīng)用；利用平移的知識(shí)得到種植面積的形狀是解決本題的突破點(diǎn)；得到種植

面積的長與寬是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2020?山東濱州?中考真題〉某水果商店銷售一種進(jìn)價(jià)為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價(jià)為50元/千克，

則一個(gè)月可售出500千克；若售價(jià)在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元，則月銷售量就減少10千克.

（1）當(dāng)售價(jià)為55元/千克時(shí)，每月銷售水果多少千克？（2）當(dāng)月利潤為8750元時(shí)，每千克水果售價(jià)為多

少元？（3）當(dāng)每千克水果售價(jià)為多少元時(shí)，獲得的月利潤最大？

【答案】（1）450千克；（2）當(dāng)月銷售利潤為元8750時(shí)，每千克水果售價(jià)為65元或75元；（3）當(dāng)該優(yōu)質(zhì)

水果每千克售價(jià)為70元時(shí)，獲得的月利潤最大

【分析】（1）根據(jù)銷售量的規(guī)律：500減去減少的數(shù)量即可求出答案：（2）設(shè)每千克水果售價(jià)為x元，根據(jù)

題意列方程解答即可；（3）設(shè)月銷售利潤為丁元，每千克水果售價(jià)為x元，根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)

頂點(diǎn)式函數(shù)關(guān)系式的性質(zhì)解答即可.

【解析】解：（1）當(dāng)售價(jià)為55元/千克時(shí)，每月銷售量為500—10x（55—50）=500—50=450千克.

（2）設(shè)每千克水果售價(jià)為x兀，由題意，%-40）［500-10（x-50）］=8750,

即一1+]400%-40000=8750,整理，得f-]40x=-4875,

配方，得（x—70）2=4900—4875,解得玉=65,々=75.

當(dāng)月銷售利潤為兀8750時(shí)，每千克水果售價(jià)為65元或75元

（3）設(shè)月銷售利潤為V元，每千克水果售價(jià)為x元，由題意，得y=（x—40）［500—10（x—50）］,

即y=-10x2+1400x-40000（40<x<100）,配方，得y=-10（x-70）2+9000,

?.?一10<0，...當(dāng)x=70時(shí)，y有最大值...當(dāng)該優(yōu)質(zhì)水果每千克售價(jià)為70元時(shí)，獲得的月利潤最大.

【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，頂點(diǎn)式二次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意，根據(jù)題意對應(yīng)的列

方程或是函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行解答，并正確計(jì)算.

3.（2020?湖北宜昌?中考真題）資料：公司營銷區(qū)域面積是指公司營銷活動(dòng)范圍內(nèi)的地方面積，公共營銷區(qū)

域面積是指兩家及以上公司營銷活動(dòng)重疊范圍內(nèi)的地方面積.

材料：某地有A,B兩家商貿(mào)公司（以下簡稱A,B公司）.去年下半年A,B公司營銷區(qū)域面積分別為m

平方千米，n平方千米，其中m=3”,公共營銷區(qū)域面積與A公司營銷區(qū)域面積的比為今年上半年，

受政策鼓勵(lì)，各公司決策調(diào)整，A公司營銷區(qū)域面積比去年下半年增長了九％,B公司營銷區(qū)域面積比去年

3

下半年增長的百分?jǐn)?shù)是A公司的4倍，公共營銷區(qū)域面積與A公司營銷區(qū)域面積的比為二，同時(shí)公共營銷

7

區(qū)域面積與A,B兩公司總營銷區(qū)域面積的比比去年下半年增加了x個(gè)百分點(diǎn).

問題：（1）根據(jù)上述材料，針對去年下半年，提出一個(gè)你喜歡的數(shù)學(xué)問題（如求去年下半年公共營銷區(qū)域

面積與B公司營銷區(qū)域面積的比），并解答；

（2）若同一個(gè)公司去年下半年和今年上半年每平方千米產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)收益持平，且A公司每半年每平方千米

產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)收益均為B公司的1.5倍，求去年下半年與今年上半年兩公司總經(jīng)濟(jì)收益之比.

【答案】（1）見解析；（2）55:72

【分析】（1）根據(jù)題意任意寫出問題解答即可.

（2）根據(jù)題意列出等式，解出增長率再代入A,B的收益中計(jì)算即可.

【解析】解（1）問題1：求去年下半年公共營銷區(qū)域面積與B公司營銷區(qū)域面積的比

2222

解答：3〃x—=—”—n:n--

9333

問題2：A公司營銷區(qū)域面積比B公司營銷區(qū)域的面積多多少？解答：3n—n=2n

問題3：求去年下半年公共營銷區(qū)域面積與兩個(gè)公司總營銷區(qū)域面積的比

222（2、1

解答：3nx—-—n—3n+n—n=—

3

(2)法---x3〃(l+x%)=3H(1+x%)+n(l+4x%)--x3n(l+x%)3z?x—+-n|+x%

7

法二|x3n(l+x6%)+3n(l+x%)+n(l+4x%)-1x3n(l+x%)

=3mx—+3/1+/1—n+x%

9I3J

m=3n

法三：〈3

yX/n(l+X%)+(1+X%)+〃(1+4x%)-yX〃2(l+X%)=3〃x—+3〃+〃——n+x%

9I3J

100(X％)2+45犬％—13=0解得1％=20%,x%=65%(舍去)

設(shè)B公司每半年每平方千米產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)收益為a,則A公司每半年每平方千米產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)收益為1.5〃

今年上半年A,B公司產(chǎn)生的總經(jīng)濟(jì)收益為1.5Qx3〃x(1+20%)+x(1+4x20%)=12na

去年下半年A,B公司產(chǎn)生的總經(jīng)濟(jì)收益為1.5。x3〃+ax〃=5.5加7

去年下半年與今年上半年兩公司總經(jīng)濟(jì)收益之比為(5.5〃。)：(7.2M)=55:72

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程增長率的問題,關(guān)鍵在于理解題意列出等式方程.

、聲點(diǎn)沖關(guān)充

1.（2019?四川遂寧?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程（a—1）/—2x+/—1=0有一個(gè)根為*=0,

則?的值為（）

A.0B.±1C.1D.-1

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，再將x=0代入原式，即可得到答案.

【解析】解：???關(guān)于x的一元二次方程（a—1）F—2》+/一1=0有一個(gè)根為》=0，

Aa2-1=0.a—1。0，則“的值為：a=-\.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義.

2.（2020?上海中考真題）用換元法解方程一=2時(shí)，若設(shè)一寸可，則原方程可化為關(guān)于y的方程

x~x+1廣

是（）

A./-2,y+l=0B./+2y+l=0C.y2+y+2=0D.y2+y-2=0

【答案】A

x+11

【分析】方程的兩個(gè)分式具備倒數(shù)關(guān)系，設(shè)「一=y，則原方程化為丫+—=2,再轉(zhuǎn)化為整式方程yJ2y+l=0

xy

即可求解.

r4.11

【解析】把一丁可代入原方程得：尸一=2,轉(zhuǎn)化為整式方程為歹-2>1=0.故選：A.

x-y

【點(diǎn)睛】考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時(shí)常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，

化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧.

3.（2020?四川雅安?中考真題）如果關(guān)于X的一元二次方程依2一3x+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么Z的取值范

圍是（）

9999

A.k..；-B.k...且左。0C.k?一且A/0D.k?---

4444

【答案】C

【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，知4=（-3）2-4xkxlK）且1<和，解之可得.

【解析】解：???關(guān)于x的一元二次方程kxJ3x+l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

9

/.△=(-3)2_4xkxlX)且k翔，解得kW—且k#),故選：C.

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式與一元二次方程的定義，一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的根與△=b2-4ac

有如下關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根；③當(dāng)△<()時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.上面的結(jié)論反過來也成立.

4.(2020?湖北隨州?中考真題)將關(guān)于x的一元二次方程/一〃x+q=0變形為爐=四一4,就可以將爐

表示為關(guān)于X的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如X3=rx2=x(px—/=…，我們將這種方法

稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，已知：x2-x-l=O,且x>0,

則/―2/+3X的值為()

A.1—yfsB.3—>/5C.1+y/sD.3+A/5

【答案】C

【分析】先求得x2=x+l，代入x4_2d+3x即可得出答案.

【解析】=入21，]±J(_])2_4X]X(T」±5

A——

22

?*-x4-2d+3x=(x+l)--2X(X+1)+3X=X2+2X+1-2X2-2X+3X=-A：2+3X+1=-(x+l)+3x+l=2x，

:無=1土石,且x〉0,；.x=^5，二原式=2x匕*5=1+6，故選：C.

222

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是會(huì)將四次先降為二次，再將二次降為一次.

5.(2020?廣西河池?中考真題)某年級(jí)舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場，共要比賽36

場，則參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】根據(jù)球賽問題模型列出方程即可求解.

【解析】解：設(shè)參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)為X隊(duì)，根據(jù)題意得：gx(x-1)=36,

化筒，得x2-x-72=0,解得xi=9,X2=-8(舍去)，

答：參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是9隊(duì).故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程應(yīng)用問題中的球賽問題.

6.(2020?河南中考真題)國家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，我國快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加.2017年至2019年我國

快遞業(yè)務(wù)收入由5000億元增加到7500億元.設(shè)我國2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為

x.則可列方程為()

A.5(XX)(1+2x)=7500B.5000x2(1+%)=7500

C.5O(X)(1+X)2=7500D.5000+5000(1+%)+5000(1+X)2=7500

【答案】C

【分析】設(shè)我國2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為％,根據(jù)增長率的定義即可列出一元二次

方程.

【解析】設(shè)我國2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為x,

???2017年至2019年我國快遞業(yè)務(wù)收入由5(X)0億元增加到7500億元

即2019年我國快遞業(yè)務(wù)收入為7500億元，.?.可列方程：5000(1+x)2=7500,故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查?元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系得到方程.

7.(2020?山西中考真題)如圖是一張長12cm,寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)全

等的矩形，剩余部分(陰影部分)可制成底面積24c、加2是的有蓋的長方體鐵盒.則剪去的正方形的邊長為

_____cm.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，列出三組等式解出即可.

'2(x+b)=12

【解析】設(shè)底面長為a,寬為b,正方形邊長為x,由題意得:{a+2x=10,

ab=24

解得a=10—2r力=6—x,代入出產(chǎn)24中得：(10-2.r)(6-x)=24,

整理得—llx+18=0.解得尸2或尸9(舍去).故答案為2.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,關(guān)鍵在于不怕設(shè)多個(gè)未知數(shù)，利用代數(shù)表示列出方程.

8.（2019?山東威海?中考真題）已知“，》是方程/+工一3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則/一。+2019的值是（）

A.2023B.2021C.2020D.2019

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可知b=3-b2,a+b=-l,ab=-3,所求式子化為a2-b+2019=aJ3+b2+2019=（a+b）2-2ab+2016

即可求解.

【解析】a,匕是方程f+x-3=O的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，六匕=3—〃，a+b^-1,ab=-3,

：.a2-b+2019=a2-3+b2+2019=（。+人『一2"+2016=1+6+2016=2023；故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系將所求式子進(jìn)行化簡代入是