湖北省武漢市第十九中學2023-2024學年高二上學期10月月考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市第十九中學2023-2024學年高二上學期10月月考數(shù)學試題一、單選題1.連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點數(shù)分別為m，n，記，則下列說法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數(shù)”與“”互為對立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為〖答案〗D〖解析〗連擲一枚均勻的骰子兩次，

所得向上的點數(shù)分別為m，n，則共有個基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點，則事件“t＝12”的概率為，故A錯誤；

事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對立事件,如事件m=3,n=5，故B錯誤；

事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯誤；

事件“t＞8且mn＜32”有共9個基本事件，

故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；

故選：D．2.如圖，在平行六面體中，M在AC上，且，N在上，且．設，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為M在AC上，且，N在上，且，所以，，在平行六面體中，，，，所以，，所以，故選：A．3.已知空間三點，，在一條直線上，則實數(shù)的值是（）A.2 B.4 C.-4 D.-2〖答案〗C〖解析〗因為空間三點，，在一條直線上，所以,故，所以.故選：C.4.已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，則，設直線的傾斜角為，故，所以當時，直線的傾斜角；當時，直線的傾斜角；綜上所述：直線的傾斜角故選：B5.在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.6.如圖，在二面角的棱上有兩點A、B，線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若，則線段CD的長為（）A. B.16 C.8 D.〖答案〗D〖解析〗分別過點、點作、的平行線相交于點，連接，則四邊形為平行四邊形.線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB.，則為二面角的平面角，即，如圖所示.為等邊三角形，，，，平面，平面平面又平面在中，故選：D7.如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因為底面為矩形，，，，所以，，又，所以，則.故選：B8.某知識問答競賽需要三人組隊參加，比賽分為初賽、復賽、決賽三個階段，每個階段比賽中，如果一支隊伍中至少有一人通過，則這支隊伍通過此階段.已知甲、乙、丙三人組隊參加，若甲通過每個階段比賽的概率均為，乙通過每個階段比賽的概率均為，丙通過每個階段比賽的概率均為，且三人每次通過與否互不影響，則這支隊伍進入決賽的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗“至少有一人通過”的對立事件為“三人全部未通過”，則這支隊伍通過每個階段比賽的概率為，所以他們連續(xù)通過初賽和復賽的概率為，即進入決賽的概率為.故選：B二、多選題9.下列說法正確的是（）A.不經(jīng)過原點的直線都可以表示為B.若直線與兩軸交點分別為A、B且AB的中點為(4，1)則直線l的方程為C.過點(1，1)且在兩軸上截距相等的直線方程為y＝x或x＋y＝2D.直線3x－2y＝4的截距式方程為〖答案〗BCD〖解析〗A中，與坐標軸垂直的直線也不能用截距式表示，故A錯；B中，AB的中點為(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直線方程為，故B對；C中過原點時，直線為y＝x，不過原點時直線為x＋y＝2，故C對；D中，方程3x－2y＝4可化為，故D對．故選：BCD10.關于空間向量，以下說法正確的是（）A.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B.已知，，為空間一個基底，若，則也是空間的基底C.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面D.平面的一個法向量為，點為內(nèi)一點，則點到平面的距離為2〖答案〗BCD〖解析〗A選項，雖然，但是無法判斷是否在平面外，所以A選項錯誤.B選項，由于，所以共面，由于，，為空間的一個基底，即與不共面，也即與不共面，所以也是空間的基底，所以B選項正確.C選項，由，得，所以，所以共面，所以四點共面，所以C選項正確.D選項，，所以到平面的距離是，D選項正確.故選：BCD11.下列說法正確的是（）A.甲乙兩人獨立的解題，已知各人能解出的概率分別是和，則題被解出的概率是B.若，是互斥事件，則，C.某校名教師的職稱分布情況如下：高級占比，中級占比，初級占比，現(xiàn)從中抽取名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應抽取人D.一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率是〖答案〗BCD〖解析〗∵他們各自解出的概率分別是和，，則此題不能解出的概率為，則此題解出的概率為，A選項錯，若、是互斥事件，則，，B選項對，高級教師應抽取時人，C選項對，由題意可得女生相鄰的概率，D選項對，故選BCD.12.下列命題正確的是（）A.若是平面的一個法向量，是直線上不同的兩點，則的充要條件是B.已知三點不共線，對于空間中任意一點，若，則四點共面C.已知，若與垂直，則D.已知的頂點分別為，則邊上的高的長為〖答案〗BCD〖解析〗若是平面的一個法向量，直線上有不同的兩點，，當時，即使，也不能說明，故A錯誤；若，則，所以，所以四點共面，故B正確；由題意可得，若與垂直，則，解得，故C正確；由題意可得，則邊上的高的長即為點到直線的距離，故D正確．故選：BCD.三、填空題13.已知直線l的一個方向向量為，若點為直線l外一點，為直線l上一點，則點P到直線l的距離為_____________.〖答案〗〖解析〗由題意可得l的一個單位方向向量為，,故點P到直線l的距離.故〖答案〗為：.14.四面體OABC中，M，N分別是OA，CB的中點，點G在線段MN上，且使，若，則________.〖答案〗〖解析〗由題意得：因為又不共面，∴，則.故〖答案〗為：.15.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為________.①與為對立事件；②與是互斥事件；③與是對立事件：④；⑤.〖答案〗①④〖解析〗口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”，①，由對立事件定義得與為對立事件，故①正確；②，與有可能同時發(fā)生，故與不是互斥事件，故②錯誤；③，與有可能同時發(fā)生，不是對立事件，故③錯誤；④，，，，從而，故④正確；⑤，，從而，故⑤錯誤．故〖答案〗為：①④．16.直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗如下圖所示：設過點且與軸垂直的直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，當點從點移動到點（不包括點）的過程中，直線的傾斜角為銳角，此時，；當點從點（不包括點）移動到點的過程中，直線的傾斜角為鈍角，此時，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知的頂點，，．（1）求AB邊上的中線所在直線的方程；（2）求經(jīng)過點A，且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程．解：（1）線段的中點為，則中線所在直線方程為：，即.（2）設兩坐標軸上的截距為，若，則直線經(jīng)過原點，斜率，直線方程為，即；若，則設直線方程為，即，把點代入得，即，直線方程為；綜上，所求直線方程為或．18.在直三棱柱中，，，．（1）求異面直線與所成角的正切值；（2）求直線與平面所成角的余弦值．解：（1）在直三棱柱中，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則點、、、、、.設異面直線與所成角為，，，，即，，則，因此，異面直線與所成角的正切值為；（2）設直線與平面所成角為，設平面的一個法向量為，，，，由，得，取，得，所以，平面一個法向量為，，，則.因此，直線與平面所成角的余弦值為.19.已知空間中三點，，，設，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量與互相垂直，求的值；（3）求的面積.解：（1）空間中三點，，，設，，所以，，，，且，設，，，或．（2），且向量與互相垂直，，解得．的值是．（3）因為，，，，，，．20.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點.（1）求點到平面的距離；（2）若G是棱上一點，當平面時，求的長.解：（1）如圖，以頂點為原點，分別以線段所在直線為軸建立坐標系.根據(jù)題意，圖中各點坐標可表示為設平面的法向量為，直線與平面的夾角為，點到平面的距離為，則，即取，則有.所以點到平面的距離.（2）根據(jù)（1）可設點的坐標為，點的坐標為,當平面時，，即解得，故的長為.21.2021年是建黨100周年，為了使全體黨員進一步堅定理想信念，傳承紅色基因，市教育局以“學黨史?悟思想?辦實事?開新局”為主題進行“黨史”教育，并舉辦由全體黨員參加“學黨史”知識競賽.競賽共設100個小題，每個小題1分，共100分.現(xiàn)隨機抽取1000名黨員的成績進行統(tǒng)計，并將成績分成以下七組：，，，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)；（2）用分層隨機抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進行問卷調(diào)查，求這2人中至少有1人成績低于76分的概率.解：（1）由頻率分布直方圖可得，1000名學員成績的眾數(shù)為，成績在的頻率為，成績在的頻率為，故中位數(shù)位于之間，中位數(shù)是，平均數(shù)為.（2）∵與的黨員人數(shù)的比值為，采用分層隨機抽樣方法抽取5人，則在中抽取2人，中抽3人，設抽取人的編號為，，抽取人的編號為，，，則從5人中任選2人進行問卷調(diào)查對應的樣本空